bài giảng đại số tuyến tính ánh xạ tuyến tính

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1 Slides Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giảng viên: Trònh Thanh Đèo Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 NOÄI DUNG Linear mappings Matrices of linear mappings Finding linear mappings from image of bases Kernel and image of a linear mapping Matrices of linear operators with respect to bases Matrices of linear mappings with respect to bases Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 AÙnh xạ tuyến tính Một phép tương ứng f từ tập X = Ø vào tập Y = Ø (ký hiệu f : X → Y) gọi ánh xạ nếu: “∀x ∈ X, tồn y ∈ Y cho y tương ứng x qua f ” Khi y gọi ảnh x qua f, ký hiệu y = f(x) Nếu hai ánh xạ f, g : X → Y thỏa mãn f(x) = g(x), ∀x ∈ X ta nói f g, ký hiệu f = g Ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với u, v ∈ Rn với α ∈ R: i) f(u + v) = f(u) + f(v); ii) f(αu) = αf(u) Caùc điều kiện đònh nghóa thay điều kiện: f(αu + v) = αf(u) + f(v) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Ánh xạ tuyến tính Tập hợp tất ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm ký hiệu L(Rn , Rm ) Nếu f ∈ L(Rn , Rn ) T gọi toán tử tuyến tính Rn Tập hợp L(Rn , Rn ) viết ngắn gọn L(Rn ) Nhận xét Nếu f ∈ L(Rn , Rm ) i) f(0) = (vectơ bên trái thuộc Rn , vectơ bên phải thuộc Rm ); ii) ∀u ∈ Rn , f(−u) = −f(u) iii) ∀u1 , u2 , , um ∈ Rn vaø ∀α1 , α2 , , αn ∈ R, ta coù f(α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um ) = α1 f(u1 ) + α2 f(u2 ) + · · · + αm f(um ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chứng minh f(x, y, z) = (2x + y, x − 2y + z) ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R2 Giải Với u = (x, y, z), v = (x , y , z ) ∈ R3 vaø với α ∈ R ta có f(u + v) = f(x + x , y + y , z + z ) = (2(x + x ) + (y + y ), (x + x )−2(y + y ) + (z + z )) = (2x + y, x − 2y + z) + (2x + y , x − 2y + z ) = f(u) + f(v) f(αu) = f(αx, αy, αz) = (2αx + αy, αx − 2αy + αz) = α(2x + y, x − 2y + z) = αf(u) Do f ∈ L(R3 , R2 ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Dạng ma trận ánh xạ tuyến tính Mọi ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm có dạng: f(x1 , x2 , , xn ) = (a11 x1 +a12 x2 + +a1n xn , a21 x1 +a22 x2 + +a2n xn , , am1 x1 +am2 x2 + +amn xn )   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   Đặt A =    am1 am2 amn Ta gọi A dạng ma trận ánh xạ tuyến tính f Khi f biểu diễn dạng f(u) = Au (trong vectơ u f(u) viết dạng cột) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Dạng ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Xét ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (2x − y + 3z, −x + 4y − 5z) −1 f coù dạng ma trận A = −1 −5 Biểu diễn dạng cột f   x 2x − y + 3z = f y = −x + 4y − 5z z   x −1   y −1 −5 z    Ví dụ Nếu axtt f có dạng ma trận  −1 −4 f xác đònh f(x, y, z) = (2x + 3y + z, 4x − y + 2z, 3x + 2y − 4z) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Xác đònh axtt thông qua ảnh vectơ sở Đònh lý Cho B = {u1 , u2 , , un } sở Rn S = {v1 , v2 , , } tập hợp vectơ thuộc Rm Khi tồn ánh xạ tuyến tính f ∈ L(Rn , Rm ) cho: f(u1 ) = v1 , f(u2 ) = v2 , , f(un ) = PP xác đònh áxtt thông qua ảnh vectơ sở Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện trên, ta thực sau: Lấy u = (a1 , a2 , , an ) vectơ thuộc Rn Biểu diễn u dạng tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , un : u = α1 u1 + α2 u2 + + αn un (Giải pt để tìm α1 , α2 , , αn ) Khi ánh xạ f cần tìm là: f(u) = α1 v1 + α2 v2 + + αn Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Xác đònh axtt thông qua ảnh vectơ sở Ví dụ Tìm f ∈ L(R2 , R3 ) cho f(1, 1) = (1, 2, 3), f(1, 2) = (3, 2, 1) Giải Ta có S = {u1 = (1, 1), u2 = (1, 2)} laø sở R2 Với u = (a, b) ∈ R2 ta coù 1 a [u1 u2 |u ] = → b 2a − b −a + b α1 = 2a − b, α2 = −a + b suy ra, u = (2a − b)u1 + (−a + b)u2 Do u = α1 u1 + α2 u2 ⇔ Do f(u) = (2a − b)f(u1 ) + (−a + b)f(u2 ) = (2a − b)(1, 2, 3) + (−a + b)(3, 2, 1) = (2a − b, 4a − 2b, 6a − 3b) + (−3a + 3b, −2a + 2b, −a + b) = (−a + 2b, 2a, 5a − 2b) Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm laø f(a, b) = (−a + 2b, 2a, 5a − 2b) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rm * Đặt ker T = {u ∈ Rn |f(u) = 0} Khi ker T không gian Rn , gọi không gian nhân T dim ker T gọi số khuyết T, ký hiệu null(T) * Đặt ImT = {f(u)|u ∈ Rn } = f(Rn ) Khi ImT không gian Rm , gọi không gian ảnh T dim ImT gọi hạng T, ký hiệu rank(T) Đònh lý Nếu A dạng ma trận ánh xạ tuyến tính T ker T không gian nghiệm hệ AX = ImT không gian dòng ma trận A Đònh lý Cho axtt T : Rn → Rm Khi dim ImT + dim ker T = n Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 10 / 19 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z) Tìm sở ker f sở Imf Giải Ta có dạng ma trận f A = chuẩn hóa Ta coù A −−−−−→ 2 −3 −5 Do hệ AX = có vô số nghiệm xác đònh (x1 , x2 , x3 ) = (5t, −7t, t), t ∈ R Nghiệm hệ u = (5, −7, 1) Do tập hợp B = {u} sở ker f     2 đưa dạng 1 −−−−−−→ 0 −1 Ta có A = 1 bậc thang −3 0 Do tập hợp C = {(1, 2), (0, −1)} sở Imf Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 11 / 19 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho axtt f(x, y, z) = (x + y − z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 2z) Tìm sở ker f Imf   1 −1  Giải Dạng ma trận f A =  2   −5 chuaån hoùa  4 Ta coù A −−−−−→ 0 Do hệ AX = có vô số nghiệm xác đònh (x1 , x2 , x3 ) = (5t, −4t, t), t ∈ R Nghieäm hệ u = (5, −4, 1) Do tập hợ p B = {u}  sở ker  f  1 1 đưa dạng Ta có A =  3 −−−−−−→ 0 1 baäc thang −1 0 Do tập hợp C = {(1, 1, 2), (0, 1, 1)} sở Imf Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 12 / 19 Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Cho f ∈ L(Rn ) vaø B = {u1 , u2 , , un } sở Rn Đặt P = [f(u1 )]B [f(u2 )]B [f(un )]B Khi P gọi ma trận biểu diễn f theo sở B, ký hiệu P = [f]B Phương pháp tìm ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Để xác đònh [f]B ta thực sau: Tính f(u1 ), f(u2 ), , f(un ) Lấy u thuộc Rn , ta xác đònh [u]B Lần lượt thay u f(u1 ), f(u2 ), , f(un ) ta xác đònh [f(u1 )]B , [f(u2 )]B , , [f(un )]B Từ ta ma trận biểu diễn [f]B Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 13 / 19 Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Ví dụ Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) vaø B = {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} sở R2 Hãy xác đònh [f]B Giải Ta coù f(u1 ) = (4, 5), f(u2 ) = (11, 12) Với u = (a, b) ∈ R2 , ta có (u1 u2 |u ) = chuẩn hóa −−−−−→ neân [u]B = −5a + 3b 2a − b −5a + 3b 2a − b Do [f(u1 )]B = Vậy [f]B = a b , −5 , [f(u2 )]B = −19 10 −5 −19 10 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 14 / 19 Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Phương pháp thứ hai để xác đònh [f]B Tính f(u1 ), f(u2 ), , f(un ) Đặt A = (u1 u2 un |f(u1 ) f(u2 ) f(un ) ) Dùng thuật toán Gauss-Jordan để đưa A dạng ( In |P ) Khi P = [f]B Ví dụ Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) vaø B = {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} sở R2 Hãy xác đònh [T]B Giải Ta coù f(u1 ) = (4, 5), f(u2 ) = (11, 12) 11 Do (u1 u2 |f(u1 ) f(u2 ) ) = 5 12 −5 −19 chuẩn hóa −−−−−→ 10 −5 −19 Suy [f]B = 10 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 15 / 19 Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính Ví dụ Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) Xác đònh ma trận biểu diễn f theo sở tắc R2 Giải Cơ sở tắc R2 B = {ε1 = (1, 0), ε2 = (0, 1)} Ta coù f(ε1 ) = (2, −1), f(ε2 ) = (1, 3) neân [f]B = [f(ε1 )]B [f(ε2 )]B = −1 Nhaän xét Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f ∈ L(Rn ) theo sở tắc Rn dạng ma trận f Đònh lý Cho f ∈ L(Rn ) B sở Rn Với u ∈ Rn ta có [f(u)]B = [f]B [u]B Đònh lý Cho P ma trận chuyển từ sở B sang sở B Rn f ∈ L(Rn ) Khi ñoù: [f]B = P−1 [f]B P Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 16 / 19 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát Cho B = {u1 , u2 , , un } laø sở Rn , B = {v1 , v2 , , vm } sở Rm , T ∈ L(Rn , Rm ) Đặt A = [f(u1 )]B [f(u2 )]B [f(un )]B Ta nói A ma trận biểu diễn f theo cặp sở B, B , ký hiệu A = [f]B,B Phương pháp tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Để xác đònh [f]B,B ta thực sau: Tính f(u1 ), f(u2 ), , f(un ) Đặt M = (v1 v2 vm |f(u1 ) f(u2 ) f(un ) ) Dùng thuật toán Gauss-Jordan, đưa M dạng ( Im |A ) Khi A = [f]B,B Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 17 / 19 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát Ví dụ Cho f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) Haõy xác đònh [f]B,B , với B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)} sở R3 , B = {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} laø sở R2 Giải Ta có f(u1 ) = (3, −1), f(u2 ) = (1, 2), f(u3 ) = (0, 1) 3 Suy (u u |f(u1 ) f(u2 ) f(u3 ) ) = −1 chuẩn hóa −−−−−→ −18 −1 Do [f]B,B = Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) −18 −1 Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 18 / 19 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát Nhận xét Nếu f ∈ L(Rn ) [f]B = [f]B,B Nếu f ∈ L(Rn , Rm ) ma trận biểu diễn f theo cặp sở tắc (của Rn Rm ) dạng ma trận f Ví dụ Ma trận biểu diễn áxtt f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) theo cặp −1 sở tắc R3 R2 −1 Đònh lý Nếu B, B sở Rn Rm với f ∈ L(Rn , Rm ) với u ∈ Rn , ta có [f(u)]B = [f]B,B [u]B Đònh lý Cho B1 , B2 sở Rn , B1 , B2 sở Rm , f : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính Khi ñoù [f]B2 ,B2 = (B2 → B1 )[f]B1 ,B1 (B1 → B2 ) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) 19 / 19 ... 2b) Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm f(a, b) = (−a + 2b, 2a, 5a − 2b) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ tuyến tính T... Chapter Linear Mappings (Algebra B1) / 19 Ánh xạ tuyến tính Tập hợp tất ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm ký hiệu L(Rn , Rm ) Nếu f ∈ L(Rn , Rn ) T gọi toán tử tuyến tính Rn Tập hợp L(Rn , Rn ) viết ngắn... ảnh ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z) Tìm sở ker f sở Imf Giải Ta có dạng ma trận f A = chuẩn hóa Ta có A −−−−−→ 2 −3 −5 Do hệ AX = có vô số