bài giảng hàm số và giới hạn của dãy số thực

Nội dung - 0.1 – Giới hạn dãy số thực 0.2 – Giới hạn hàm số 0.3 – Liên tục hàm số Định nghĩa Giá trị nhỏ tập cận tập hợp A ñược gọi cận ñúng A ký hiệu supA, (supremum A) Giá trị lớn tập cận tập hợp A ñược gọi cận ñúng A ký hiệu infA, (infimum A) Nguyên lý supremum Tập khác rỗng bị chặn có cận Tập khác rỗng bị chặn có cận ñúng I Giới hạn dãy số thực -Định nghĩa Một dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u:N → R n ֏ u ( n) Thường dùng ký hiệu: ∞ un n =1 ( ) hay ñơn giản un ñược gọi số hạng thứ n dãy ( un ) Dãy số tập hợp vô hạn số thực ñược ñánh số theo thứ tự: {u1, u2 , , un , } Ví dụ:  (−1) n  ( un ) =    n +1  Ghi dạng tường minh, ta có n  −1 −1 ( −1)  ,  ( un ) =  , , , , n +1    Định nghĩa Số a ñược gọi giới hạn dãy số ( un ), ∀ε > 0, ∃n0 ( n > n0 ⇒ un − a < ε ) n→+∞ lim u = a u  →a Ký hiệu: n→+∞ n hay n Nếu giới hạn dãy hữu hạn, dãy ñược gọi dãy hội tụ Ngược lại, dãy ñược gọi dãy phân kỳ Ví dụ: n =1 Dùng ñịnh nghĩa chứng tỏ lim n →∞ n + ∀ε > n −1 < ε n +1 Chọn số tự nhiên n0 > Khi ⇔ ε −1 −1 1 n < n0 :| un − 1|= −1 = n + n0 + n +1 n ⇒ lim =1 n →∞ n + (theo định nghĩa) Số a khơng giới hạn dãy số ( ( un ), ∃ε > 0, ∀n0 ∈ N ∃n1 ≥ n0 & un1 − a ≥ ε ) Số a không giới hạn dãy ( un ) , tồn số dương ε > ñể với số tự nhiên n tìm số tự n1 ≥ n0 cho un − a ≥ ε Ví dụ: ∞ n 1  Chứng tỏ dãy  ( −1) +  khơng có giới hạn n  n =1  Chứng tỏ: | un − un +1 |> Thật vậy, hai số hạng kế nhau, có số hạng với số chẵn số hạng với số lẻ 1 u2 k = + >1 u2 k ±1 = −1 + < ⇒| un − un +1 |> 2k 2k ± 1  ∀a ∈ R Xét khoảng  a − , a +  2  Hai số hạng kế nằm khoảng Vậy không tồn giới hạn Định nghĩa Ta nói ( un ) tiến đến +∞ (hoặc: nhận +∞ làm giới hạn) khi: ∀A > 0, ∃n0 ∈ N ( n > n0 ⇒ un > A ) n→+∞ lim u = +∞ u  →+∞ Ký hiệu: n→+∞ n hay n Ta nói ( un ) tiến ñến −∞ (hoặc: nhận −∞ làm giới hạn) khi: ∀B < 0, ∃n0 ∈ N ( n > n0 ⇒ un < B ) n→+∞ lim u = −∞ u  →−∞ Ký hiệu: n→+∞ n hay n Mệnh đề (tính giới hạn) Nếu dãy ( un ) hội tụ đến hai số a b, a = b  lim un = a a −b n→+∞ Giả sử  a ≠ b Đặt ε = un = b  nlim →+∞ ∃na : ( ∀n > na ⇒ un − a < ε ) ⇒ Đặt n0 = Max {na , nb }  ∃nb : ( ∀n > nb ⇒ un − b < ε ) a − b = a − un + un − b ≤ u n − a + un − b ⇔ a − b < ε + ε = 2ε = | a − b | Mâu thuẫn Ví dụ Tìm giới hạn dãy   1 lim  + + + n →∞  ⋅ 2 ⋅ n ⋅ (n + 1)  1 HD Phân tích = − n(n + 1) n n + Ví dụ Tìm giới hạn dãy sin n − cos3 n lim n→∞ n HD Sử dụng định lý kẹp Ví dụ Tìm giới hạn dãy lim ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 2n n→∞ HD Phân tích, biến đổi số mũ Ví dụ Tìm giới hạn dãy lim n →∞ n ⋅ sin(n!) n +1 HD Dùng định lý kẹp Ví dụ Tìm giới hạn dãy  n2 +  lim    n →∞ n +   3n +1 HD Sử dụng giới hạn dãy số e Ví dụ Tìm giới hạn dãy lim n →∞ + + + + n 3n + n + n(n + 1) HD Sử dụng ñẳng thức + + + n = Ví dụ Tìm giới hạn dãy + (−1) n n lim n →∞ n +1 HD Tìm hai dãy Bài tập I) Tìm giới hạn sau: n 1) lim n 3n + 4n =4 n +1 =1 n →∞ 2) lim n →∞ 3) lim 2n + + 3n +3 2n + 3n n→∞ 4) lim n + (−1) = 27 ⋅ 2n − ⋅ 5n +1 n→∞ 100 ⋅ 2n 5) lim n + ⋅ 5n (−1) n 6n − 5n +1 n →∞ 5n − (−1) ⋅ n n +1 15 =− = 6) lim 2n + 3− n n →∞ 2− n 7) lim =0 − 3n ln(n − n + 1) n →∞ ln( n10 + n + 1) =  n2 n3  8) lim  −  = −1  n →∞ n + n +   9) lim (n + 1) − (n − 1) n →∞ ( n 10) lim n→∞ + 1) − (n − 1) lg 10n lg n =1 = +∞   = −1 11) lim  n −  n→∞  3/ n − 3/ n + 1/ n  12) n ( lim (n n→∞ 13) lim 2 ) − (n + 5n + ) − ( n + 3n + 2 n 98 ( − 10n + − (−1) n = −1 ) lg n + 2n cos n + n →∞ + lg(n + 1) 3 (−1)n + 1/ n n→∞ 1/ n 15) lim ) + 5n − ) + 3n − (2 + n)100 − n100 − 200 ⋅ n99 n →∞ 14) lim =2 = = 19800 16) lim n→∞ n ( n2 − − n ) n2 + − n n +1 − n 17) lim n →∞ = −2 21) lim n →∞ =0 n3 + − n n n3 + n − n n→∞ n + +  2008  20) lim   n →∞  n  n +1 n 5n + n+5 n n →∞ n2 + − n 18) lim 19) lim =0 n n3 + n 22) lim = n →∞ n n + n 3n = +∞ 23) lim n n →∞ =0 =1 24) lim n →∞ n n − 5n + n +1 n + 4n n + 5n = log (n + 3) =0 25) lim n→∞ n − 1/ =1 II) Cho un ≠ 1, lim un = Tìm nlim →∞ n→∞ 2un − = −1 a ) = un − b) = un − un2 − 1 = un2 + un − c) = =3 un − d ) = un2 − 3un + un2 − 1 =− lim un III) Tìm n →∞  2n −  1) un =   n +    n  2) un =   n +     n +1  3)   n+2 4) un = =0  3n − n +  5)un =  =0   2n + n +    ( n −1) /( n +1) =1 n sin n! 6) n n + n +1 (1− n ) /(1− n ) n n3 /(1− n ) n2 n! =1 =0 7) n! n 8) =0 n n arctan n n −2 =0 =0 IV) Tìm lim un n →∞ 1 1) un = + + + 1⋅ 3 ⋅ (2n − 1) ⋅ (2n + 1) =  1 = 2) un = + + +   n  1+ 3+ 2n − + 2n +  1 3) + + + 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) n 4) un = ∑ k =1 k ( k + 1) =1 = IV) Chứng tỏ dãy sau có giới hạn tìm giới hạn 1) u1 = 13; un +1 = 12 + un =4 2) u1 = k 5, un +1 = k 5un ; k ∈ N = k −1 3) u1 = k a , un +1 = k aun ; k ∈ N , a > = k −1 a 4) u1 = , un +1 = un − un2 = 3 1+ 5) u1 = 1, un +1 = + = un HD Xét hai dãy ( u2k ) ( u2 k −1 ) V) CMR không tồn giới hạn lim sin n, lim cos n n →∞ n →∞ ... tồn giới hạn dãy: 1/ Nếu tồn hai dãy có giới hạn khác nhau, khơng tồn giới hạn dãy ban ñầu 2/ Nếu tồn dãy phân kỳ, dãy ban đầu phân kỳ Ví dụ: ∞ n 2n +   Chứng tỏ dãy  ( −1) khơng có giới hạn. .. nghĩa Số a ñược gọi giới hạn dãy số ( un ), ∀ε > 0, ∃n0 ( n > n0 ⇒ un − a < ε ) n→+∞ lim u = a u  →a Ký hiệu: n→+∞ n hay n Nếu giới hạn dãy hữu hạn, dãy gọi dãy hội tụ Ngược lại, dãy gọi dãy. .. có cận Tập khác rỗng bị chặn có cận I Giới hạn dãy số thực -Định nghĩa Một dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u:N → R n ֏ u ( n) Thường dùng ký