bài giảng hàm số và giới hạn của dãy số thực

Giá trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp Añược gọi là cận trên ñúng của A và ký hiệu là supA,supremum của AĐịnh nghĩa Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp Añược gọi

Nội dung -

0.1 – Giới hạn của dãy số thực

0.2 – Giới hạn của hàm số

0.2 – Giới hạn của hàm số

0.3 – Liên tục của hàm số

Giá trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp Añược gọi là cận trên ñúng của A và ký hiệu là supA,(supremum của A)

Định nghĩa

Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp Añược gọi là cận dưới ñúng của A và ký hiệu là infA,(infimum của A)

Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên ñúng

Nguyên lý supremum

Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới ñúng

(infimum của A)

I Giới hạn của dãy số thực -

Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập

Số ñược gọi là giới hạn của dãy số , nếu

→∞

Số không là giới hạn của dãy số , nếu

Số a không là giới hạn của dãy ( )u n , nếu tồn tại số

Số a không là giới hạn của dãy ( )u n , nếu tồn tại sốdương ε > 0 ñể với mọi số tự nhiên n tìm ñược số tự

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Ta nói tiến ñến (hoặc: nhận làm giới hạn)khi và chỉ khi:

Nếu dãy hội tụ ñến hai số a và b, thì a = b.

n n

n n

Tính chất của giới hạn

Ta cóñều hội tụ

Nếu các dãy ( ) ( )u n , v n hội tụ và ( )u n → a v,( )n → b , thì

Ta cóñều hội tụ

Ta nói dãy bị chặn trên, nếu

Ta nói dãy ( )u n bị chặn dưới, nếu

Ta nói dãy bị chặn dưới, nếu

Ta nói dãy là dãy tăng, nếu

Ta nói dãy ( )u là dãy giảm, nếu

Một dãy tăng hay dãy giảm ñược gọi chung là dãy

Cho 3 dãy sao cho

v →→+∞ a

Vậy

n u

11

n n

→∞

=

++

Ví dụ

5lim

a b

Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Mệnh ñề 4 (ñịnh lý Weierstrass)

Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Cho ( )u n tăng và bị chặn trên

Tập S = {u u, , } khác rỗng và bị chặn trên

Tập S = {u u1, 2, } khác rỗng và bị chặn trên

Theo nguyên lý Supremum, có supS = a.

Theo ñịnh nghĩa của supS: ∀ > ∃ε 0, n0 (a − ≤ε u n0 ≤ a)

Chứng tỏ dãy truy hồi

Ví dụ

( )u n ,u1 = 2;u n+ 1 = 2 + u n

là dãy tăng và bị chặn trên

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

Dùng qui nạp, chứng tỏ u n < 2

u + = + u < + =

Giả sử ∀ ≤n k u: n < 2 Khi ñó với n = +k 1

Vậy dãy bị chặn trên

là dãy giảm và bị chặn dưới.

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

→∞

+

Định nghĩa (dãy con)

Cho dãy ( ) {u n = u u1, 2, ,u n, }

kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải

của nó ñược lấy từ dãy ( )u n theo một cách chọn bất

Dãy con của dãy ( )u n là một dãy ( )u n k mà các phần tử

kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải

Nếu dãy có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó

Chú ý

Thường sử dụng mệnh ñề 5 ñể chứng tỏ không tồn tại

giới hạn của dãy:

1/ Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì

không tồn tại giới hạn của dãy ban ñầu

2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban ñầu cũngphân kỳ

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k

Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau

Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1

Vậy dãy ñã cho không có giới hạn

n e

Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy

3 2

sin( !)lim

HD Dùng ñịnh lý kẹp.

Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy

2

3 1 2

2

3lim

5

n

n

n n

Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy

3 ( 1)lim

1

n

n

n n

Bài tập.

21) lim n 3n 4n

1

5 2 3 54) lim

lg

n

n n

= −

16

=

2 3

311) lim

n n

( 2 )

1) l

n n

→∞

++

3

2

722) lim

2

23) lim n n − n +

12

2

5

4

n n

n n

n n

→∞

++

2

log ( 3)25) lim

1/ 3

n

n n

→∞

+

−

45

2 1)

2

n n

1

n n

1

n n n

= −

2

n n n

n

n n

2

arctan8)

12

( 1)

n n

=

1

=

1 11) u =13;u n+ = 12 + u n

V) CMR không tồn tại các giới hạn lim sin , lim cos