BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ doc

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.. Một số định lý về giới hạn của dãy số.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp... Câu b theo bài ra ta có:.

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới

hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số

hạng nào đó trở đi Kí

hiệu:

 lim un 0 hay un 0 khi n +

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un ) có giới hạn

là a hay (u n ) dần tới a khi n dần tới vô cực

c) Lim(u n )=c (c là hằng số) => Lim(u n )=limc=c

3 Một số định lý về giới hạn của dãy số

a) Định lý 1: Cho dãy số (un ),(v n ) và (w n ) có :

* n

v u n w n n  và

lim v n lim w n  a lim u a

b) Định lý 2: Nếu lim(un )=a , lim(v n )=b thì:

q





5 Dãy số dần tới vô cực:

a) Ta nói dãy số (u n ) dần tới vô cực

u n   khi n dần tới vơ cực

n  nếu un lớn hơn một số dương bất

kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu: lim(u n )= hay u n   khi n  b) Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là  khi

n  nếu lim u n  .Ký hiệu: lim(un)= hay un  khi n 

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Giới hạn của dãy số (u n ) với  

 

n

P n u

Q n



với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P

là a 0 , hệ số cao nhất của Q là b 0 thì chia tử số

và mẫu số cho nk để đi đến kết quả :

o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho n k

để đi đến kết quả :lim(u n )=

2 Giới hạn của dãy số dạng:  

 

n

f n u

g n

 , f

và g là các biển thức chứa căn

o Chia tử và mẫu cho n k

với k chọn thích hợp

o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

Ta có:

13

2 2

5 2 3

n

n n

5 2 3

n

n n

1 (

) 5 2 3 (

3 3

3 2 3







n n

n n n

=lim

2

3 2 1

5 2 3

3

3 2

1 14

2 1

2 1

n

Tính

lim(n-1

7 3

) giải

Giải

Tính lim 2 3

4

n n n

n n

n n n

n n n

2 2

2 2

1

) 1

)(

1 (

n n n

n n n

2 2

1

) (

1

1

1 1

n

n u

n n



Giải

n

u n





Giải

Giải

n





Giải

Ta có :

1

2 3

3

1 sin cos1

10

Nghĩa là 0 1

4

k u

2

n n

u

u    c) Tìm limu n

Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n =1 ta có :u1 10 1 (đúng) Giả sử (1) đúng với n  k k 1Nghĩa là 1

k

u  Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k+1, hayu k11

Thật vậy ta có :

u   u màu  nên u  Vậy (1) luôn đúng với mọi n

Câu b) theo bài ra ta có:

Gọi  v n là dãy số xác định bởiv n u n 18

a) CMR  v n là cấp số nhân lùi vô hạn

n

n n

nên v u

n n

Kiểm tra với n=1, ta có u1 2 đúng với bài

Giải Dãy số vô hạn 2 2 1 1 1

22

Theo bài ra ta có : 1 32 1 

1

u S

q

Mặt khác u2 u q1 8 u1 8

q

    thế vào (1)

n n

Ta có :

3

1 1lim 2n n 1 limn n 2

n n

lim  n n n1Giải

Ta có :

2

1 1lim n n n 1 lim n 1

2 15

n n n



Giải

2 2

11lim

Ta có :

2 1lim

2 3 3

1

n n

3 2 5





n

n n

Giải

Ta có :lim

1 4

3 2 5





n

n n

=lim

) 5

1 ) 5

4 ((

5

) ) 5

3 (

2 1 ( 5

n n n

n n

n

5

1 )

5

4

(

) 5

3 (

n n



Giải

n n

2 3 2 5

x

x x

1

x

x x





Giải

2 1

x

x x







Giải

3

2 2.3 2 8lim

2 1 2.3 1 7

x

x x

2lim

4

x

x x





Giải

2lim

4

x

x x

2lim

2

x

x x





Giải

Ta có :

Ta có :

3 3

1lim





Giải

Ta có :

2 2

2

1 11

x

x

x x

x

x

x x

Tính

2

1lim





Giải

1lim

1lim

lim

11

x

x x

2 13

x

x x





Giải

Ta có :

2

32

Tính

2

3 1lim

1

141

1lim

21

2 3lim

2lim

8lim

x

x x



 

Giải

Ta có :

x

x x





Giải

Tính

1

1lim

3 2

x

x x





 Giải



 

Tính

2

2lim

7 3

x

x x





 Giải

1

x

x x



 



Ta có :

 

Giải

7 3

x

x x

x x



 Giải

Tính

3

1lim

4lim

1lim

3

x

x x







Giải

3

x

x x

2

x

x x







Giải

2

x

x x

2

x

x x







Giải

x

x x



 



Giải

2

x

x x



 



Giải

3

x

x x



 



Giải

3

x

x x



 



Giải

Ta có : 3x    9 0 x 3Nên

Ta có : x 1 0  x 1Nên

Ta có : x 1 0  x 1Nên

Ta có :

Tính

0

2lim