Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số

Các định lý cơ bản về tạo hàm đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Bài viết trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ định lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ.

TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 31 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG MỘT SỐ B I TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Nguyễn Văn Hào1, Nguyễn Thị Thanh Hà2, Vũ Thị Ngọc Diệu1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Trường Đại học Cơng nghiệp Việt Trì Tóm tắt tắt: Trong báo này, chúng tơi trình bày số phương pháp xây dựng toán giới hạn hàm số từ định lý giá trị trung bình kỹ thuật tạo dựng hàm phụ Từ khóa: khóa Định lý giá trị trung bình, giới hạn dãy số, hàm số liên tục, hàm số khả vi Nhận ngày 10.7.2017; gửi phản biện, chỉnh sửa duyệt ñăng ngày 10.9.2017 Liê n hệ tá c giả : Nguyeች n Vă n Hà o; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com MỞ ĐẦU Các ñịnh lý đạo hàm đóng vai trị quan trọng Tốn học, nhiều lĩnh vực khoa học khác Điều ñó, người ta kể ñến số vấn ñề như: toán tồn nghiệm phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm phương trình tốn tử việc giải gần lý thuyết số, tốn tìm cực trị hàm số… Khởi nguồn ñịnh lý giá trị trung bình Định lý Rolle phát biểu sau: Định lý (Định lý Rolle): Giả sử hàm y = f (x ) liên tục ñoạn [a , b ] , khả vi khoảng (a , b ) thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b ) Khi đó, tồn số c ∈ (a , b ) cho f ′(c) = Theo khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh định lý Lagrange ñịnh lý Cauchy, thấy hai ñịnh lý ñó hệ ñịnh lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm phụ thỏa mãn giả thiết ñịnh Rolle tương ứng là: ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) − Và: ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) − f (b) − f (a ) (x − a ) b −a f (b) − f (a ) (g(x ) − g(a)) g(b) − g(a ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 32 NỘI Từ việc thiết lập hàm phụ đó, ta nhận hai định lý quan trọng sau: Định lý (Định lý Lagrange): Giả sử hàm số f (x ) hàm liên tục ñoạn [a , b ] khả vi khoảng (a , b ) Khi tồn số c ∈ (a , b ) cho: f ′(c) = f (b) − f (a ) b −a f (b) − f (a ) = f ′(c)(b − a ) Hay: Định lý (Định lý Cauchy): Giả sử hàm số f (x ) g (x ) liên tục ñoạn, khả vi khoảng (a , b ) g ′(x ) khác với giá trị x thuộc khoảng (a , b ) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a , b ) cho: f (b) − f (a ) f ′(x ) = b −a g ′(x ) Các kết chúng tơi khơng trình bày cách chứng minh đây, chi tiết thao khảo tài liệu [1] Một cách tổng quan, ta nói hai định lý Lagrange định lý Cauchynhận ñược từ việc kết hợp từ hàm f (x ) (mà gọi “hàm gốc”) liên tục ñoạn [a , b ] khả vi khoảng (a , b ) với ñiều kiện phụ để kết Theo ý tưởng đó, chúng tơi sử dụng số giới hạn số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc f (x ) để có toán giới hạn hàm số MỘT SỐ CÁCH XÂY DỰNG BÀI TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỪ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM 2.1 Các giới hạn hàm số biến số Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả, nhắc lại số giới hạn sau: e α(n ) − 1 lim = α(n )→ α(n ) α(n )  a    lim 1 + = ea  α(n )→∞  α(n )  tan α(n ) = α(n )→ α(n ) lim lim α(n )→ ln (1 + α(n )) α(n ) sin α(n ) =1 α(n )→ α(n ) lim =1 TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 33 2.2 Xây dựng số toán qua việc kết hợp hàm gốc với giới hạn Trong phần này, xây dựng số toán giới hạn dãy số cách thiết lập dãy hàm số thoả mãn giả thiết định lý Rolle Bài tốn Cho hàm số f (x ) khả vi ñoạn [a , b ] Giả sử f (a ) = f (b ) = ∞ { }n =1 khoảng f (x ) ≠ với x ∈ (a , b ) Chứng minh tồn dãy x n (a , b ) cho: f ′(x n ) lim n →∞ (n e = 2017 − 1)f (x n ) Để chứng minh toán này, xét hàm số: H n (x ) = e − 2017 x n f (x ); x ∈ (a, b) Đạo hàm H n (x ) là: 2017 − H n ′ (x ) = − e n =e − 2017 x n 2017 x n f (x ) + e − 2017 x n f ′(x )    f ′(x ) − 2017 f (x )   n  Từ giả thiết f (x ) khả vi ñoạn [a , b ] f (a ) = f (b ) = , suy H n (x ) thỏa mãn ñiều kiện định lý Rolle Do đó, tồn dãy {x n } ⊂ (a, b ) cho H n ′ (x n ) = Từ đó, ta có: f ′(x n ) f (x n ) = 2017 n Sử dụng giới hạn mục 2.1, thu ñược: lim n →∞ (n e f ′(x n ) − 1)f (x n ) = lim 2017 n →∞ (n e − 1)n = lim 2017 n →∞ n e −1 n = 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 34 Giữ nguyên hàm H n (x ) = e − 2017 x n NỘI f (x ) sử dụng giới hạn khác, nhận ñược toán sau: Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi [a , b ] thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b ) = Chứng minh rằng, f (x ) khơng đồng khoảng (a , b ) tồn dãy {x n } khoảng (a , b ) cho: n  f ′(x n )   = e 2017 lim 1 + n →∞  f (x n )   Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi [a , b ] f (a ) = f (b ) = Chứng minh { } f (x ) khơng đồng khoảng (a , b ) tồn dãy x n khoảng (a , b ) cho:   f ′(x n )  = 2017 lim n ln 1 +  n →∞  ( ) f x   n   Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi [a , b ] f (a ) = f (b ) = Chứng minh { } f (x ) khơng đồng khoảng (a , b ) tồn dãy x n khoảng (a , b ) cho:  f ′(x n )   lim n sin = 2017 n →∞  f (x n )   Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi [a , b ] f (a ) = f (b ) = Chứng minh { } f (x ) khơng đồng khoảng (a , b ) tồn dãy x n khoảng (a , b ) cho:  f ′(x n )  lim n tan  = 2017 n →∞ f ( x ) n   2.3 Một số hàm khác Ngồi hàm H n (x ) xét tốn mở đầu, ta lập hàm khác Tương ứng với hàm giới hạn bản, ta tốn sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 35 2.3.1 Xét hàm Dn1 (x ) =e − xα n f (x ) Hàm có đạo hàm là: xα xα − αx α −1 − n Dn1 (x ) = − e f (x ) + e n f ′(x ) n ′ ( ) =e − xα n   αx α −1  f ′(x ) − f (x )   n Khi hàm Dn1 (x ) thoả mãn ñiều kiện ñịnh lý Rolle nhận ñược từ giả thiết )′ = Điều ñó, tương ñương với: ( hàm gốc cho ta khẳng ñịnh Dn1 (x n ) f ′(x n ) x n α −1 f (x n ) = α n Từ đó, có tốn: Bài tốn Cho hàm f (x ) khả vi ñoạn [a , b ] giá trị hàm hai ñầu mút ñều Chứng minh f (x ) khơng đồng khoảng (a , b ) { } khoảng (a , b ) thỏa mãn: tồn dãy x n lim n →∞ (n e f ′(x n ) − 1)x n α −1 = α; f (x n ) n  f ′(x n )   α lim 1 +  = e ; α−1 n →∞   x n f (x n )   f ′(xn )    lim n ln 1 +  = α ; n →∞   x n α−1 f (x n )   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 36 NỘI  f ′(x n )   lim n sin  = α ; n →∞   x n α −1 f (x n )  f ′(x n )   lim n tan  = α n →∞   x n α −1 f (x n ) 2.3.2 Xét hàm x Dn2 (x ) = f (x ).cos n Đạo hàm hàm là: (H )′ = f ′(x )cos nx − n1 f (x ) sin nx (x ) n )′ = cho ta: ( Điều kiện Dn2 (x n ) f ′(x n ) f (x n ) = x tan n n n Từ đó, ta nhận tốn:  π    f (0) = f  π  = Khi đó,    4    π f (x ) khơng đồng khoảng 0;  tồn dãy {x n } khoảng   Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi  0; cho: lim n →∞ n f ′(xn ) xn f (xn ) = Tương tự vậy, ñối với hàm:  π x H n3 (x ) = f (x )cot ; với x ∈  0;  ,  4 n   nhận được: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 37  π  f (0) =  4   π f   = Khi    π f (x ) khơng đồng khoảng tồn dãy {x n } ⊂ 0;  cho:   Bài toán Cho hàm f (x ) khả vi  0; lim x n f ′(x n ) f (x n ) n →∞ = Kết thúc phần trình bày lời giải đầy đủ tốn sau: Bài tốn 10 Cho hàmsố f (x ) khả vi [a , b ] f (a ) = f (b ) = Giả sử f (x ) { } ⊂ (a,b) cho: khơng đồng (a , b ) Chứng minh tồn dãy x n lim x n f ′(x n ) n →∞ f (x n ) = −2017 Trong toán này, xét hàm phụ: Dn4 (x )  x 2017   = f (x )ln 1 +   n  Ta có: x 2016  ′ x 2017  n Dn4 (x ) = f ′(x )ln 1 +  + f (x ) 2017 n  x  1+ n ( ) 2017 Từ ñiều kiện hàm f (x ) thấy hàm Dn4 (x ) thỏa mãn ñiều kiện ∞ { }n =1 ⊂ (a,b) cho: ñịnh lý Rolle ñoạn [a , b ] Từ đó, suy tồn dãy x n (D (x ))′ = , tức là: n n 2017 2016 xn n =− 2017   2017   f (x n ) x x     n  ln 1 + n  1 + n   n   f ′(x n ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 38 NỘI Do đó:     2017 2017   x   n x n f ′(x n ) n  lim = lim − 2017  2017    n →∞ f (x ) n →∞   x     n  1 + x n  ln 1 + n    n   n         2017   x  n    2017 n  = −2017 = lim − ⋅ 2017  2017    n →∞   x      1 + x n  ln 1 + n     n  n       KẾT LUẬN Bằng việc sử dụng tính chất ñặc trưng hàm sơ cấp kỹ thuật tạo dựng hàm phụ, thấy ñược phương pháp vận dụng kết hợp giới hạn với định lý giá trị trung bình để có lớp toán giới hạn dãy số ñặc sắc TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội P Ahern, M Flores and W Rudin (1993), “An invariant volume-mean value property”, J Funct Anal 111, pp.380-397 W A Granville (2008), Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition) W J Kaczor, M T Nowak (2001), Problems in Mathematical Analysis II:Continuity and Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, pp.45-52 K Ramachandra (1995), Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg - New York-Tokyo APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM IN PROBLEMS OF SEQUENCE LIMIT Abstract: Abstract In this paper, we presented some methods of construction of sequence limit problems by mean - value theorems with technics of creation aid functions Keywords: Keywords volume-mean value theorem, sequence limit, continiuos function, differential function  ... sử dụng số giới hạn số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc f (x ) để có tốn giới hạn hàm số MỘT SỐ CÁCH XÂY DỰNG BÀI TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỪ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM 2.1 Các giới hạn hàm số. .. HỌC − SỐ 18/2017 33 2.2 Xây dựng số toán qua việc kết hợp hàm gốc với giới hạn Trong phần này, xây dựng số toán giới hạn dãy số cách thiết lập dãy hàm số thoả mãn giả thiết ñịnh lý Rolle Bài toán. .. Bằng việc sử dụng tính chất đặc trưng hàm sơ cấp kỹ thuật tạo dựng hàm phụ, thấy ñược phương pháp vận dụng kết hợp giới hạn với ñịnh lý giá trị trung bình để có lớp tốn giới hạn dãy số ñặc sắc