Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số

Định nghĩa: a Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.. Giới hạn của dãy số un[r]

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là n dần tới vô cực, un có thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim u  hay u n  n  + n  n  b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  a   Kí hiệu: n lim  un   a hay u n  a n  +  Chú ý: lim  un   lim  un  n 1  , lim k  , n  n n n b) lim q  với q  *  lim(un)=  hay un   n   c) Định lý:  o Nếu : lim  un   un  ,n   un lim    lim  wn   a  lim  un   a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un   lim un lim  a.b ;b  P  n Q n với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P là a0, hệ số cao Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đến kết : lim  un   a0 b0 Giới hạn dãy số dạng: un  *  thì o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  lim  un    lim  un   lim    a  b un lim  un  a   ,  n  lim   b * 0 un Giới hạn dãy số (un) với un  c) Lim(un)=c (c là số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :  un  wn n  * và  kỳ, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n   b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  n   lim  un    Ký hiệu: B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   lim  n    un lớn số dương bất o Nếu : lim  un    thì lim Một vài giới hạn đặc biệt u1 1 q Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un    n dần tới vơ cực lim n a) lim lim Sn  lim  lim un  lim  un   a ,  un  ,a   Tổng cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com f n ,f gn và g là các biển thức chứa o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )  n n 3 2 n 3 =lim Bài tập DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Tính các giới hạn sau :  2n  3n3   Tính lim    n n  Giải Ta có : 2n  Tính lim n Ta có :  2n n3  n  3   n n   2n  3n3   n lim    lim 3 n2  3 n  n n  n  3 3 n  n 1  n   2n  n lim  lim  2 n n 3n  Tính lim 2n  Giải Ta có: 1  n3   3n  n lim  lim   1 2n   n   n  3n2  2n  Tính lim 7n  n  Giải Ta có   n3  3  lim n 1 n 4n  n  Tính lim  2n Giải Ta có 1   n2     4n  n  n n  lim  lim  2  2n  2 n   2 n  3n2  2n  5 3  2 3n2  2n  n n n 3 lim  lim lim 7n  n  7n  n  7  n n n 3n  2n  Tính lim  2n 3n   n Tính lim  2n Giải Ta có : 3n   n  lim  2n 1 1 n2  3   n n n  lim  0 2 n2 Giải Ta có 3n  2n  Ta có : lim =lim  2n n n  2n n 3 lim  3) n n n (  2) n n (3  Tính lim BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com 4n   n  2n BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) giải 2n Ta có : 2n n n lim  lim  0 1 n  n  1  2 n   n n 1    4n   n n2 lim =lim =lim  n n   2n  2n 2  3n   n  1  Tính lim  1 1  n n  Giải 2 n   1 5 n    1   2  3n   n  1  n   n  27 lim  lim   n   4n 1  n   Tính lim n   4 3n  n  Giải n   4n n2   4n n lim  lim  3n  3n  n 1  1 n lim   3 3 n Tính lim(n- n  3n  ) n 1 giải Ta có :  n  3n   (n  n)  (n  3n  7) lim  n   n  n 1   2n  n  2  lim  lim n 1 1 n 2  Tính lim 2n n n2  n  Tính lim n  2n  2  n  1 Giải Ta có :  2 n 1    n  2n   n n 1 lim  lim 2  1  n  1 2n     n 2n  n  Tính lim 2n  n  Giải Ta có : 4  n2     2n  n  n n  lim  lim    1 2n  n  n 2  n n n5  n  Tính lim n  2n  Giải Ta có : Giải 1  n5     n  n 1  n n  1 lim  lim 1 n  2n   n5      n n  BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n 5.2n  3n 5.2n  3n   3n  lim n1 n1  lim n Tính lim     n 3 2.2  3.3n         n  n Giải     1  3  Ta có :    1  lim n n n n  2    n  3n   3       lim     n   lim       0  3                n cos n   3n  4n  Tính lim    Tính lim n n2   n  1 Giải Giải Ta có : Ta có n cos n  cos n  n n    lim    lim   1  n 3  3   1    n n          3n  4n   Vì lim n  lim  1 n n  2n    1 1 cos n cos n 1 cos n 4n 1          mà lim  nên lim 0  2 4  n n n n n   5.2n  cos5n Tính lim 2n Giải Ta có : cos5n   2n   n  5.2  cos5n  lim  lim  5 n n 2 7.2n  4n Tính lim n 2.3  4n Giải Ta có :   4n  n  1 n n 7.2  2  1 lim n  lim n n 2.3   3  4n     1     n Tính lim( n   n  n ) Giải Ta có : lim( n   n  n ) =lim 5.2  2n1  3n1 n Tính lim  n cos5n  Tính lim    n3   Giải Ta có :  n cos5n  cos5n   lim     lim   5 n n     Vì cos5n cos5n 1 cos5n   mà lim  nên lim 0 n n n n n n Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com ( n   n  n )( n   n  n ) n2 1  n2  n BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) (n  1)  (n  n) 2n  2n  =lim  lim  lim n 1  n  n   n  2n   n n      n 1   =lim n n   n 1  n  n 2 1 n n  lim  1  =lim 11 1 2 1  1 1  1 n n n n Tính lim  n2  n  n2  Giải Ta có : lim  n2  n  n2    lim  Tính lim n   n2  n  n2  n2  n  n2   1 n 1   n 1  n  lim  lim 2  1 n  n  n 1 n 1  1 n n   n  2n   n Giải lim  n2  2n   n   lim  lim  n2  2n   n n2   n2  Giải Ta có : n2  n  n2  Tính lim   lim n   lim      lim  lim  n  2n   n n  2n   n n2  2n   n   n n2   n2    n2   n2    n2   n2   n2   n2  n  n  1   n    n2   n2  3n   n 1  1  n n    lim  3n n2   n2  n  n   4n  Tính lim n3 Giải Ta có n2  2n   n lim   lim  lim BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com n  n   4n  n3 n  n   4n   n  3   n  n   4n  n  n   4n  n  n    4n    n  3  n  n   4n     BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 3n  n   lim sau đây có giới hạn :  n   n  n   4n    1   n  3    n n    lim  3  1  2 n 1         n n n   n  Tính lim n  n2   n2  lim n   lim  n   n   lim  n n2    n2   n2   n2  3n n  n2   n2  n2   n2    lim 3n n2   n2   lim    n 1  1  n n   Tính lim Giải lim   lim  n2  n n2  n       n   n   n    n  n  n    3  n  2   lim 3  n  n  n2 n2  n  2   n 3  n  n  n2  n  2 un  n  2  n  n  n 3 0  1  n2 Giải Ta có : n n  1   1 mà lim  1  nên lim  1  n2 n n n2 un  n! Giải Ta có 1 1  mà lim  nên lim  n! n n n!  cos n un  2n  Giải Ta có : 1  cos n2   cos n2 vì  nên   n  n n n   n  1  cos n2 mà lim  nên lim 0 n 2n   n  n  n2  lim  n2n  lim sin n n n 1 Giải Ta có : sin n sin n sin n    n n n n 1 n n 1 sin n mà lim  nên lim 0 n n n 1  Giải Ta có : un  5n un  n 1 Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n n  cos5n n 1 5n 5n        n n n n  n  1 n 3n  3n   n  cos5n n mà lim  nên lim 0  5 5n n n n  n mà lim   nên lim   3n    un  n  sin 2n un  n2  n Giải n  sin 2n n 1   n n n  n  1 n un n  n sin n  cos n 23 n 1 sin n  cos n 23 n 1 un   1 2n1  n 2n1 n n 1  n  n  cos5n n n n n2   n  n2   n     n 1  n  n 1  n  n 1  n 1 n  n 1 n 1  2       n 1  n n  n n 2 n  1 1 1  n1  n1  n1  n1  n1  n 3 2 Giải Ta có :  n2   n2  n2   n un  n   n Giải Ta có : 3n1  1 1 mà lim    nên lim n1  n1  2 un    1  3     n n n Giải Ta có :  1  n2   n   1 sin n  cos n   3 mà lim    nên lim 0 23 n 1 n n  n2   n n2   n n2  n   2n n Mà lim  nên lim2 n2   n  n Giải Ta có :  1 n2   n Giải Ta có : n  sin 2n mà lim  nên lim 0 n n n  1   n    2 Mà lim    nên lim n   n  n Tìm giới hạn dãy số  un  với 1 un     n3  n3  n3  n Giải Ta có số hạng tổng quát là : 1 n uk     k  1,2, , n  n3  k n3  n3  Nên BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n   uk   u  u1  n n3  3   mà lim  nên lim uk  u3  u2    u1 n     Cho dãy số  un  xác định  n 1 n 1   1 3 3 u   un  un1    u1    4 4 4 4   u n u  u  n Mà n  n1 CMR n 1 1 3 lim    a)  un  1 4 4  lim un  u b) n1  un Cho dãy số  un  xác định Từ đó suy lim un  u1  10 Giải  Câu a) SD phương pháp quy nạp un1  un 1 Với n = ta có  u1   (đúng) CMR 4 a) un  , n 1 Giả sử (1) đúng với n  k  u 1 b) un1   n Nghĩa là  uk  (đúng) c) Tìm lim u n Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng Giải với n= k +1 Câu a) SD phương pháp quy nạp Thật vậy, ta có : Với n =1 ta có : u1  10  1(đúng) uk 1  1 uk 1  uk      uk    Giả sử (1) đúng với n  k  k  1 Nghĩa là 16 16   16 uk  1 Vì  uk  nên  uk 1   Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng 16 với n= k+1, hay uk 1  Vậy (1) luôn đúng với n Thật ta có : Câu b) uk 1  uk màuk  nên uk 1  Ta có : Vậy (1) luôn đúng với n un un1 un  1 Câu b) theo bài ta có:   un     (ĐPCM) un un 4 Vậy un1  un Từ đó suy BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 2 un1  un un1  un   un1  18  un  12 3 un  un   un1   un    vn1  un  12 un  Mặt khác un   18 u  un   n  2 un  Vậy vn1    18  12  3 Câu c) Vậy   là CSN lùi vô hạn với công bội Đặt  un   v1  10   và vn1  un1  q Theo câu b ta có : Câu b) vn1  2 Vì vn1  Nên Vậy   v  v v    v1   2  2  1  v3  v2    v1 v3  v2    v1           n 1 n 1 n 1 n 1   2 2 1 1   vn  vn1    v1    vn  vn1    v1  13   2 2 3 3   Mà Mà n 1 n 1 2 1  lim9    nên lim   lim  un  1  lim13   nên lim  2 3  lim un   lim un  18 Cho dãy số xác định Cho dãy số  un  xác định u1    u1  5 un  u    n  1 n    un1  un  Tính lim un Giải Gọi   là dãy số xác định  un  18 Ta nhận xét a) CMR   là cấp số nhân lùi vô hạn 17 u1  2, u2  , u3  , u4  , u5  b) Tìm lim un 16 Giải n 1 1 Câu a) theo bài ta có: Dự đoán un  n1 1 Ta chứng minh dự đoán quy nạp    BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Kiểm tra với n=1, ta có u1  đúng với bài n Suy un  đúng với n  cho n 1 - Giả sử (1) đúng với n  k  k  1 Nghĩa là n n  lim 1 Vậy lim un  lim n 1  1 2k 1  n 1   uk  k 1  n 1 - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) Tính tổng S       k 1 2 đúng với n = k+1.hay uk 1  k Giải 1 - Thật ta có: Dãy số vô hạn      là k 1 1 2  k 1 k k  u 1 2.2   CSN lùi vô hạn với công bội uk 1  k    k k 1 2 2.2 2 q     1  n 1  2    2n1  2n1   1 Vậy lim un  lim n1  lim u 2 2 2n1 Do đó S    1 q 1 1 Cho dãy số  un  xác định  n 1 1  1 u1  Tính tổng S  1,  , ,  , ,    ,   2 un1  n    Giải  un  n1 1 1   Tính lim un Dãy số vô hạn 1,  , ,  , ,    ,  2 Giải 1 Là CSN lùi vô hạn với q   Nhận xét u1  , u2  , u3  , u4  2 u n Nên S    Dự đoán un  1 1 q 1 n 1 Ta chứng minh dự đoán quy nạp - Với n=1, ta có : u1  (đúng) Tìm dạng tổng quát CSN lùi vô hạn  un  Biết tổng nó 32 và u2  - Giả sử (1) đúng với n  k  k  1 Giải k u Nghĩa là uk  Theo bài ta có : S   32 1 k 1 1 q - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) k 1 Mặt khác u2  u1q   u1  vào (1) đúng với n = k+1 Hay uk 1  q k2 - Thật theo bài ta có: 1 k 1 uk 1     uk  k k 2 k 1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) ta có Ta có 1 lim n2  n   lim x     q n n  32  4q  4q    q   u1  16 1 q 1 số hạng tổng quát là un  16   2 n 1 Tính lim 2n3  n2  Giải Ta có : lim 2n3  n   lim n n   1    n n3  Tính lim n2  n n  Giải Ta có :  1 lim n2  n n   lim  n  1      n n    DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC Tính lim(2n3+3n-1) giải Ta có lim(2n +3n-1)=lim n (2+  )=+  n n 3 Tính lim(-2n2+n n -n+4) Giải Ta có : lim(-2n2+n n -n+4) =limn2(-2+ n   )   n n2 Tính lim 5n  n3 Giải Ta có :   lim 5n  n3  lim n       n   3n  n3 Tính lim 2n  15 Giải Ta có :   n3   1 3n  n n    lim  lim 2n  15  15  n3    n  n Vì    lim  n  1  1     lim   15   và  15    n n3  n n3 n  n  11 Tính lim 3n  n  Giải Ta có : Tính lim n2  n  Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải  11  n 1    Ta có : n  n  11  n n    lim  lim  n3  n     3n  n  lim  n    lim n2     n  n 1    n n   2   11  n3     n n  lim   n  n    lim       1 vì  3 n   3 lim    và    n  n  n n3 n n3 Vì 2 Tính lim( n   n  n )   2 lim 1  n  n3    Giải    2  Ta có :lim( n   n  n ) lim     và   1   n n3  n n3 =limn(    )   n n 1  Tính lim  2n   n  Giải Ta có : 1   1 lim  2n    lim2n 1    n  n n     3n3  5n  Tính lim n2  Giải Ta có : 1  n3     3n  5n  n n  lim  lim    4 n 4 3 n   3 n n  Vì   1 lim   n  n3        lim     và     n n3  n n3   Tính lim  n   n 1  n3  2n  Tính lim 2n  n  Giải n3  2n  1  3 n  2n  n n   lim  lim n  lim 1 2n  n  2n  n    n n n3 n3 Vì   1 lim 1  n  n3        lim      và      n n n3  n n3 n 2   Tính lim  n   n 1  Giải  n3  n   lim  n   lim  n 1 n 1   2 n3     n n   lim    1 3 n   3 n  n Vì BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )   2 lim n   2n  lim       n n3      n   2n  n   2n  1 1   lim   và    lim   n n3  n n n   2n   2n  11  3n  n    2n  1 n2  Tính lim  lim  lim 3 n  7n2  n   2n  n   2n  Giải Ta có : 2  n 1       n       2n  11  3n   lim    n  n   lim  lim     1 2 3 n  2  2 4 n  7n2   4 n n n   n n n n Vì vì         lim   1    1  lim   n  n    6     n        1 1  7 lim lim     và    0    và    4   n n n n n n n2 n4  n3 n n n3 n n  n  2.3 n Tính lim n 1 n (1  2.( ) n ) n  2.3 n Ta có :lim n =lim 4 1 n (( ) n  n ) 5  2.( ) n   =lim ( )n  n 5 (vìlim(1+2.( ) n )  >0,lim(( ) n  n )  5 n và ( )  n  ) 5 Giải Ta có :  n   2n   Tính lim Giải Tính lim     n 1  n Giải Ta có : lim  lim n 1  n  n 1  n n 1  n    n 1  n  lim n    1   n 1 n n    lim Tính lim  2n  4n1  1 Giải Ta có :  n 4n  lim    1  lim    1   n n  1  n 1  lim               Vì BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com n 1  n n n 1  BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Tính lim un lim 4n    1 n n Với un            n lim                    Giải Ta có : n 2 Tính lim Vì là số nhỏ n số n  2.2 n Giải Nên Ta có : 1 1 un       n  n  n n n n n n 1  n  5n    Mà lim n    lim un   lim  lim   n n  2.2   2 5n  n  2.   5    2n  3n  Tính lim Vì n  2n Giải   2 lim      5n   n   3n  n  1   n 2n        n n  lim  lim 2     n n lim   n2  n 2      và n  2.   n   5n 5      n        3 3   lim n   3n    n  2n1  3.5n  lim  Vì     1 n Tính lim n n    3.2  7.4 n n  n Giải  n     lim  n      và n     Ta có : 3      n   2 5n  2.    n   5  2n1  3.5n   lim  lim   n n 3.2n  7.4n   2 4 5n  3.   7.    5     Vì    n 1 lim  2.    n   3    5  n n n n   2 4  2 4 lim  3.   7.    và 3.   7.              BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 1 lim   x 3 x  3 Tính lim x 3 x3 x 1 Giải Ta có : lim x 3 Tính lim x 3 Giải lim x 3 x3 0 x 1 x2 2x  x  2.3    x  2.3  x2  x  Tính lim x 3 x2 Giải Ta có : x  x  32  2.3  lim  0 x3 x2 3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Tính các giới hạn sau : Tính lim x2  x2    x2    Tính lim x 2  x2   2  x2   Giải lim x 4 x2   Giải Ta có : lim Tính lim   1   x       3 x 1 Tính lim x 3 x  Giải x2  x  4 Giải Ta có : lim  x      x 4  2 x    và  x     x    lim x 4 x2   Nên lim x 4  x  4 Tính lim x 2 Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com x2  x  2 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 lim  x     Tính lim  x 2 x  x   2  x    và  x     x   lim Giải x 2 Ta có : x2 Nên lim   1 x 2   x  2 x 1 x x 0 lim  lim x5 x  x  x  Tính lim 1 2 x 3 x  x  3 Giải 1  lim  x    2  lim  1 Tính  2  x3 x 0 x  x 1   2  x  3  va  x  3   x  3 lim Giải x 3 Ta có : x5 Nên lim   1 1   x2    x 3 lim   1  lim   x  3  x 0 x x    x 0 x  x   x 1 Tính lim  x2 1 x 2  lim 2  lim  1  x  2 x 0 x x  x 0 x  Giải Ta có : x  1  x  x     lim  x3  1   2    7  Tính lim  x2 x x5   2 Giải x    và  x     x     xlim 2 Ta có : x3  x  11  x  x   Nên lim   x 2 lim  x  2 x  x5  Tính lim   x3  x  x  1    x x 1      x  x x  2 Giải  lim  x  1 Ta có : 5 x    lim   x3  x  x  1  x  x  x  11  x  x   1  Tính lim  lim   x  1       x x6  x  x   x x Giải Ta có : x  11  x  x   Tính lim  x  x  1 lim x x  x6  Giải    Ta có : x 1     1 x  x x  2  1  lim  lim  x  x  1  lim x 1      x   x  x   x x  x 1    x  BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Ta có : x2  Tính lim x  x  lim x  x  x  x  Giải x  x2  x  x  x2  x  Ta có :  lim 1 x  x  x2  x  x 1 1 2 x 1 x  lim x 1 lim  lim x   x  x  1 x 1 x  x  x  x   1  lim  lim 1 x 1   x  x  1 x x  x2  x  x  x  x 1  x x  1 x2  x 1   Tính lim x   x x2  lim  x   Giải 1  x    2  Ta có : x x   1 x 2  2 2 x2  x x  2 lim  lim  lim Tính lim x  x  x  x  x  x2   x  x x 1   x Giải  x         Tính lim x  x  x  x  lim x     1  lim x  x  x   lim  x  x    x  x  x x    1  lim x 1       x  x x    Tính lim x  x  3x  x x    Tính lim x  x  x  x  x2   x2   lim  2 x 1    x  lim x   x 1  1 x x  Tính lim x Giải Ta có :  Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com x2  x  x2   x2   x2  x2  x   x2  2  lim Giải Ta có :   x2  x  x2  x     lim x  x  3x   lim  x  x    x  x  x x     lim x 1       x  x x   x2  x  x2    lim Giải Ta có :   x  x2 x 1  x 1 x x  x2  x  x2      BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 1  lim x  x  x  x3     x  2x  x  x x   lim  lim 2 2 x  x  x  x    x x  x 2 x x  x 2 x 3     lim x x   x  x2   x2  1   x2  x   x2  2 x2 x x  lim  lim lim 0 2 x  x  x    x 1  x  x 3    x 1  x 1 x x  x x   2 x 1   2x  1  x Tính lim x  lim  x  x  3x  x  2   x 1  1  Giải x x   Ta có : 1  x x   1 x 2x   x lim x  lim  Tính lim x  3x  x  x 2 x 0  x x3    1 x x  x  Giải Ta có : 2x  Tính lim x 1 x  x2  1 x  x  lim x  lim Giải lim  1 x 0 x 0  x x 0 x  Ta có : 1 x x 3  x   2x  x lim  lim    2x  x  x  Tính lim 2 x  x   x x 2 x Giải Ta có : x4  x2  3  x   Tính lim x  2x  x   x3  1  x  1 lim  lim  x   x x    Giải x   3 x  Ta có : 2x  x  1 1  Tính lim x 1    x  x  x  x  x 1  x x  1 lim  lim Giải x   x  1  x  1 x x4 1  13 1   Ta có :  x  x       BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải 3x  Tính lim Ta có : x  x2   2x x2  2x   x  1 x  3 Giải lim  lim x 1 x  x  x 1 1  1   x  1  x   x3   2  3x  x  lim  lim x  x3 x   x x x   x  lim   x  1 x 1  1 x2 2 x   Ta có 2    x3   x  x2 x  Tính lim  lim 3 x 1 x   x2   x  1  2 Giải x   Ta có : 14  x x2  x   x  1 x   Tính lim lim  lim x  x  x 1 x 1 x 1  x  1 x  1 x 1 Giải x2  14   lim   x  1 x   1 x 1 x  14  x  x  lim  lim x  x  x  x x  x  1  x 1  x Tính lim x 0 x  14  Giải x   1 x   x  x  x  3  lim   x    x   lim  lim  3 x    x 0 x0 x 1    x x x   GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH   VÀ 0 GIỚI HẠN MỘT BÊN x3 Tính lim x 3 x  x  Giải Ta có : x3 x3 lim  lim x 3 x  x  x 3  x  1 x   1    x  3 x 3 x   lim x2  x  Tính lim x 1 x  x  x3  Tính lim x 2 x  11x  18 Giải Ta có :  x  2  x2  2x  4 x3  lim  lim x 2 x  11x  18 x 2  x   x    lim x 2 x  x  12   x   x9 11  x  3 Tính lim x 0 Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com x  27 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x  3  27  x3  x  27 x  27  27 lim  lim x 0 x 0 x2   x2   x x x2   lim  lim x  x  x  27  x 2 x 2 x2  x  2 x2    lim  27  x   x 0 x x2    x   x    lim  lim x 2 x3  x  x  x   x   x2  x   x    Tính lim x 3 x  13 x  x  x2 Ta có :  lim    x  2  x 2 x2   x3  x  x  lim x 3 x  13 x  x   x  3  x  x  1 x  x  11 x 1  lim  lim  x 3 x  x  x     x3 x2  x  17 Tính lim x 1 x32 x  Giải Ta có :   x 1 x    Tính lim  x 1  x 1  x lim  lim 1 x   x 1 x   x1 x   x   Giải Ta có : x 1 x   x 1 x      lim  lim   x 1 x 1 x    lim    lim  x 1 x 1   x1  x x 1   x  x  x  x  x                x  x2   x2  x    lim  lim  x 1   x  x  x  x 1  x  x  x           x  1 x    lim x   1 x   lim   x 1  x  1  x  x    x1  x  x2 Tính lim x 5 x5 x Giải Ta có : x5 lim  lim x5 x  x5 x 2  x x  2            x3 2   x  1 x1 x 1 2 x Tính lim x 2 x7 3 Giải Ta có : x 2 x         lim lim x 5 3 x2 Tính lim    lim  x  5 2 x  lim x   x 2 2  x Tính lim x 1 Ta có : Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Lop10.com x 7 3 x7 3 x2 x 2  2  x x32 x 1 x7 3    lim x 2   x7 3   x    6