BT (đầy đủ) về giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐA.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I... Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông đó để tạo nên một hình vuông nhỏ hơn.. Từ hình vuông nhỏ hơn này, người

Trang 1

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

A.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Một số giới hạn đặc biệt

limC =C

n =

g ( 1)

lim k n 0 (k 0)

n

-= >

g glimq n =0 (khi q <1)

II Nguyên lý kẹp

 Nếu limn n,0 0

n

v

ìï £ " ³ ïïí

ïïî thì limu = n 0

 Nếu limn n limn, 0

ìï £ £ " ³ ïïí

ïïî thì limu n =a

III Một số tổng hữu hạn

2

n n

S = + + +L + =n +

2

( 1)(2 1)

6

3

( 1)

4

n n

1l 1 3 5 (2 1)

S = + + +L + n- =n

Bài 1: Tính các giới hạn sau đây:

1)lim2 1

n n

+

2 2

lim 5

- +

3

lim

5 7

4)lim5 1

3

n n

2 4

lim

n

2

4 5 lim

+

7)lim6 33 2 1

2

2 2

lim

5

n

2

lim

5

n

-+

10)lim 355 74 3 11

3

3 2

1 lim

2 2

lim

n

+

2

lim

3 2

n

-

3

3 2

lim n n

2 1 lim

3

n n

-+

2

lim n n n

n

2

lim

5 1

n n

2 1 3 2 1 lim

1) 2

2

lim

2

lim

1

n n

+

2 3

2 1 lim

1

- +

4)

2

2 lim

2 1

n n

3 1 lim

( 1)

n

n n

-+

Trang 2

1)lim( 1)(2 1)

(3 2)( 3)

2 3

(3 1)(5 3) lim

(2 1)( 1)

2 3

(2 1) (4 ) lim

(3 5)

n

-+

( ) ( )

2 2

lim

5

(2 1) ( 3) lim

2( 5)

n

( ) ( ) ( )

4

1 7 2 lim

2 1

n

+

7)lim(2 1)( 3)

( 1)( 2)

5

(2 3 ) ( 1) lim

1 4

n n n

( 1)(2 1) lim

(3 2)( 5)

10)

2 4

(5 2)(2 1) lim

(3 1)

( 1) (3 7) lim

(2 3)

(2 3)(5 2) lim

2

2 lim

1 3

n

1 lim

1

n n

+

3 3 lim

2

n

+ +

2

lim

+

3 6 7 3 5 8 lim

12

n

1

n

+

7)lim 3 4

2 1

n

lim

3 2

n

lim

3 2

n

+

10)lim 2 1 2

2 1

n

+

n

1 lim

1

+ +

-13)

2 2

lim

1 1

n n

+ +

2 2

lim

2 1 lim

n

- -+

16)lim 2

1

n

5

lim

n

-Bài 6: Tính các giới hạn sau đây:

1) ( )1

lim 2

2

n

æ - ö÷

2 3

( 1) limn n

n

4)lim 22 ( 1) 1

2 ( 1)

n n

n

+ +

-Bài 7: Tính các giới hạn sau đây:

1)lim ! ( 1)!

2( 1)! 7 !

( 2)! ( 1)!

lim ( 2)! 5( 3!)

( 2)! ( 1)! lim

( 1)! ( 2)!

4)lim ! ( 3)!

3 ( 2)! !

1)lim 4

2.3 4

n

3 1 lim

n n

+

3 2.5 lim

7 3.5

n

-+

4)lim 4 5

2 3.5

( 3) 5 lim

( 3) 5

n+ n+

3.2 2.3 lim

4 3

n

+ - + +

Trang 3

7) 1

lim

+

1 3 lim

5 4

n n

+

lim 2.3 4.9

+ - -+

10)lim4.3 7 1

2.5 7

+ +

1 2 lim

1 2

n n

+

( 2) lim

n n

-+

13)lim3 4 1

2.4 2

2 5.3 2.5 lim

1 3 4.5

5.2 3 lim

n+ n+

1)lim 3( n- -1 2n- 1) 2)lim( n2+ + -n 1 n) 3)lim( n2- n+ -3 n) 4)lim( n2+ + -n 2 n+1) 5)lim( n+ -3 n- 5) 6)lim( n+ -1 n n) 7)limn n( 2+ -5 n) 8)limn n2( - n2+1) 9)lim 1

n+ - n+

10)lim 2( n+ -3 n+1) 11)limn n( 2+ -1 n) 12)lim a n( + - n)

13)lim n3( n3+ -1 n3- 1) 14) lim næçççè + n+ n - nö÷÷÷ø 15)

1 lim

4 3

1

+ +

2 lim( n + -n n) 18)lim (n n3 3+n2- n)

3n+ -2 2n+1 20)

lim

3

n

2 lim( n + -n n)

22) lim n n( + -1 n) 23)lim( n2+4n+ -5 n+2)

1)lim(n+31- n3) 2)lim(3n3+n2- 3n3+1) 3)lim n(3 2- n3+n)

4)limæçççè3(1+n)2- 3(n- 1)2ö÷÷÷ø 5)lim(3n3+n2- n2+3 )n 6)

3 3 3 3 2

lim

2

7)lim( n2+2n+ -3 3n2- n3)

1)lim1 2 2 n

n

2

2 4 (2 ) lim

+ -L

3)lim12 322 2

n

2 2

1 2 lim

n

+ L

5)lim 13 23 3

(2 3)( 1)

n

2

1 2 3 lim

n

+ + L

Trang 4

2

lim

-+ -+

2

1

lim

1

n

æö æö÷ ÷ æö÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷ +ççè ø è ø÷+çç ÷+ +ççè ø÷

æö æö÷ ÷ æö÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷ +ççè ø è ø÷+çç ÷+ +ççè ø÷

L

1.2 2.3 n n( 1)

lim 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)

2.4 4.6 2 (2n n 2)

3

lim

(7 2)

n n

+ L

1.3 2.4 3.5 n n( 2)

2 2

lim

n n

L L

15)lim 2 3 2

1 2 3

n

+

1 2 3 lim

n

æ+ + + + ö÷

L

4

2.1 3.2 ( 1)

n

- + - + + -

-+ L

Bài 11: Tính các giới hạn sau đây: (dùng nguyên lý kẹp)

1)lim sin3 1

4

n n

lim

1

n

3sin 4cos lim

2 1

n

+ +

4)lim .sin22

1

n n n

3 2.sin( !) lim

1

1 lim

n n

7)limsin

5

n

cos3 lim

1

n

sin3

4

n n

10)lim 32sin( 3 1)

2

3.7 cos( 1) lim

7

n n n

- + 12)lim( 1) 2 cos1

5

n n n n

+

-13)lim sinn 2n+2cos2n 14)limn1! 15)lim( 1)

2 1

n n

-16)

2

2 ( 1) lim

1 2

n n n

-

( 1) 1 lim

n

5.2 cos4 lim

2

n n n

2

3 4sin

n

lim

n n

n

+

4sin 7cos 2

lim

n

+

1

lim

1

n A

n

=

+

L L

B

n

éæç öæ÷ç öæ÷ç ö æ÷ ç ö÷ù

= êççè - ÷øèçç - øè÷çç - ÷ø èçç - ÷øú

C

n

éæç öæ÷ç ö æ÷ ç ö÷ù

= êçç - ÷÷çç - ÷÷ çç - ÷÷ú

lim

n D

n

ç

2

lim

n E

n

-=

é+ + + - ù

L L

1 3 5 2 1 lim

2 4 6 2

n F

n

= ççè × × L ÷ø

Trang 5

2 2 2

lim

H

1 2 lim ( 2)!

n G

n

+

=

+

2 3

lim

n

lim

n

J = éêê + + + + ùúú

K = + q+ q +L +nq - , với q <1

lim 1 3 5 (2 1) n

L = éê+ q+ q + + n- q - ùú

M = + q+ q +L +n q- , với q <1 2 2 2 2

3

N

n

O

éæç öæ÷ç ö æ÷ ç ö÷ù

= êççè - ÷øèçç - ÷ çç - ÷÷ú

lim

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)

P

1

1 lim

n k

Q

=

å

2

1.5 2.6 3.7 ( 4) lim

( 1)

n n R

n n

=

-L

3

1.2 2.3 3.4 ( 1) lim

2

n n S

=

-L

3 3 3 3

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) lim

T

n

=

L L

B.TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

I Định nghĩa

CSN lùi vô hạn là cấp số nhân (vô hạn) ( )u có công bội q thoả mãn n

điều kiện

1

q <

II Công thức

Cho ( )u là một CSN lùi vô hạn Khi đó, n

1

u

q

Bài 13: Tính các tổng vô hạn sau đây:

1

8 4 2 1

2k

L L là một CSN

2

1

2 1

2k

B = + +L + - +L biết rằng 2;1; ; 12;

2

k-L L là một CSN

1

3 2

n n

C = + + +L + - +L biết rằng

1

3;2; ; ; ;

n

n-L L là một CSN

5

D = + + +L + +L biết rằng 5; 5 5; ; ; 5 ;

2 2 L 2n L là một CSN

2

2 1 2 2 +

- - L là một CSN

Trang 6

2 sin sin sinn

F = a+ a+L + a+L biết rằng ( )

2 k k

p

1 1

2 2

Bài 14: Cho a <1,b< và 1 A = + +1 a a2+L ;B = + +1 b b2+L Tính tổng sau đây theo

A,B:

2 2 1

S = +ab a b+ +L

Bài 15: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội bằng 2

3 Tìm số hạng tổng quát của CSN đó

Bài 16: Viết dạng khai triển của một CSN lùi vô hạn biết nó có tổng bằng 32 và số hạng

thứ hai bằng 8

Bài 17: Tổng của một CSN lùi vô hạn bằng 5

3, còn tổng của 3 số hạng đầu của nó bằng 39

25 Tìm số hạng đầu và công bội của CSN đó.

Bài 18: Tìm số hạng đầu và công bội của một CSN lùi vô hạn biết rằng CSN đó có tổng

bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 3

4 và số hạng đầu là một số dương

Bài 19: Tìm số hạng đầu và công bội của một CSN lùi vô hạn biết rằng số hạng thứ hai là

12

5 và tổng của CSN này là 15.

Bài 20: Cho hai dãy số 1

1

10 ( ) :

3, 5

n

u

+

ìï = ïïï

15 ( ) :

4

-Chứng minh rằng ( )v là một CSN lùi vô hạn Từ đó tính lim n v và lim n u n

Bài 21: Cho dãy số

1 1

1

6

n

u

+

ìï =

ïî

a) Chứng minh rằng với mọi nÎ ¥ ta có * u ¹ - n 4

b) Chứng minh rằng dãy số ( ) : 1

4

n

u

+

= + là một CSN lùi vô hạn Từ đó tính limu n

Bài 22: Cho dãy số 1

1

3 ( ) :

n

u u

ìï = ïí

ïî

a) Chứng minh rằng ( ) :v n v n =u n - là một CSN lùi vô hạn.1

b) Tính limu n

Bài 23: Chứng minh rằng, với 0;

4

aÎ çæ öççè ø ta cóp÷÷÷

1 tan tan tan ( 1) tan

2sin

÷

ç + ÷ ç

Trang 7

Bài 24: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

34,121212

a = (chu kỳ 12) b =0,1111 (chu kỳ 1)

15,2131313

c = (chu kỳ 13) d = - 1,50111 (chu kỳ 1)

Bài 25: Cho một hình vuông cạnh bằng a Người ta nối trung điểm các cạnh của hình

vuông đó để tạo nên một hình vuông nhỏ hơn Từ hình vuông nhỏ hơn này, người ta lại thực hiện công việc như trên để tạo ra thêm một hình vuông nhỏ hơn nữa và cứ thực hiện hoài như thế (sau mỗi lần vẽ ra được một hình vuông nhỏ, ta lập lại cách làm đã thực hiện) Tính tổng diện tích tất cả các hình vuông đó

C.GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Định lý Weierstrass

Một dãy số tăng đồng thời bị chặn trên hoặc giảm đồng thời bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

Bài 26: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn

n

u

1

n

u

n

= + + +L +

Bài 27: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn và tính giới hạn đó

a) 1

1

0

2

u

ìï =

ïïï

1 1

0

2

n

u

+

ìï >

ïî

1

10 ( ) :

3, 5

n

u

+

ìï = ïïï

ïïïî ¥ .CMR, ( )u là dãy số giảm và bị chặn Từ đó n tính limu n

Bài 29: Cho hai dãy số 1

1

10 ( ) :

3, 5

n

u

+

ìï = ïïï

15 ( ) :

4

-Chứng minh rằng ( )v là một CSN lùi vô hạn Từ đó tính lim n v và lim n u n

1 1

1

6

n

u

+

ìï =

ïî Chứng minh rằng ( )u là một dãy số giảm và bị chặn Từ đó tính lim n u n

1 1

1

6

n

u

+

ìï =

ïî

a) Chứng minh rằng với mọi nÎ ¥ ta có * u ¹ - n 4

b) Chứng minh rằng dãy số ( ) : 1

4

n

u

+

= + là một CSN lùi vô hạn Từ đó tính limu n

1

3 ( ) :

n

u u

ìï = ïïí

ïïî CMR, ( )u là một dãy số giảm và bị chặn Từ n

đó tính limu n

Trang 8

1

1 ( ) :

n

u u

ìï = ïïí

1 1

2

n n

u

u + - < - với mọi nỴ ¥ Từ đĩ* tính limu n

1 1

1

n

u

+

ìï =

ïỵ

CMR, ( )u là dãy số tăng và bị chặn Từ đĩ n

tính limu n

dấu căn

n

u u =1444444442444444443a+ a+L + a a>

Chứng minh rằng ( )u là một dãy số tăng và bị chặn Từ đĩ tính lim n u n

Bài 36: Cho ha dãy số ( ),( )u n v thoả mãn n

và

2

ïïï

ïïïỵ

a) Chứng minh rằng với mọi n, u n ³ v n, từ đĩ suy ra ( ),( )u n v đều cĩ giới hạn n

b) Chứng minh rằng hai dãy số đã cho cĩ cùng giới hạn

1

1 2 ( ) :

1

n

n n

u

n

+

ìïï = ïïï íï

ïỵ

CMR, ( )u là dãy số giảm và bị chặn Từ đĩ n

tính limu n

1

3 ( ) :

n

u u

ìï = ïí

ïỵ Chứng minh rằng ( )u là một dãy số giảm và bị chặn Từ đĩ tính lim n u n

Trang 9

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ Bài 1: Tính các giới hạn sau đây:

1)lim 53 4 2 2

+ -

2 lim( 2- n +3n- 19) 3) 5 4

3 2 lim

4)lim 3( n3- 7n+11) 5) 3

2

lim 2

+

lim

1

n n

3 2

lim

4

n

+ 9) lim(n- 1)(3n+7)

10)lim( 4- n2+3n+1) 11)_lim(n2- n5+1)

1)lim3- 8n3+n2- n+3 2)lim 1 2n n3 + - 3 3)lim3 9n +8n2- 7

4)lim 2n4- n2+ +n 2 5)lim 6 4 1

1

n

+ + + 6)lim( n2- n+ +3 n)

7) lim(n n- 2 n+1) 8)lim(3n2+ -7 2 )n 9)lim(- n2+n n +1)

10)lim 2 7n3 - 2+n3 11)lim 5n2+ -n 1

1) lim 2.3n- n+2 2) lim(2n- 3 )n 3)lim(2n4- n+5n - 2)

4) lim(2n+cos )n 5)lim( 1 2 3sin2 5)

3 2

1 lim

1

n n

-+ -+

7)lim22 5 2

3 5.4

+ + + 8) lim 4éêën + -( 2)nùúû 9) lim(3n - 5 )n

10)lim(3.2n - 5n+1+10)

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	752,5 KB