BT (đầy đủ) về giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ A.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Một số giới hạn đặc biệt limC C=g 1 lim 0 n =g lim 0 ( 0) k C k n = >g ( 1) lim 0 ( 0) n k k n - = >g khi lim 0 ( 1) n q q= <g II. Nguyên lý kẹp  Nếu 0 , lim 0 n n n u v n n v ì ï £ " ³ ï ï í ï = ï ï î thì lim 0 n u =  Nếu 0 , lim lim n n n n n s u v n n s v a ì ï £ £ " ³ ï ï í ï = = ï ï î thì lim n u a= III. Một số tổng hữu hạn  1 ( 1) 1 2 3 2 n n S n + = + + + + =L  2 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n n n S n + + = + + + + =L  2 2 3 3 3 3 3 ( 1) 1 2 3 4 n n S n + = + + + + =L  2 1 1 3 5 (2 1) l S n n= + + + + - =L Bài 1: Tính các giới hạn sau đây: 1) 2 1 lim 3 2 n n + + 2) 2 2 1 2 lim 5 n n n n - + + 3) 3 2 3 2 4 3 3 lim 5 7 n n n n n - + + - + 4) 5 1 lim 3 n n - + 5) 2 4 2 2 lim 3 5 n n n - + + + 6) 2 3 2 4 5 lim 3 7 n n n n + - + + 7) 3 3 6 2 1 lim 2 n n n n - + - 8) 2 2 7 3 2 lim 5 n n n - + + 9) 2 6 5 2 3 lim 5 n n n - + 10) 5 3 5 4 3 7 11 lim 3 n n n n n - + - + - 11) 3 2 3 2 1 lim 2 2 n n n n n + - + + + 12) 2 2 3 5 lim 3 4 n n n - + + 13) 2 2 4 1 lim 3 2 n n n - - + 14) 3 3 2 2 3 1 lim n n n n - + + 15) 2 1 lim 3 n n - + Bài 2: Tính các giới hạn sau đây: 1) 3 2 2 ( 5) ( 7) lim n n n n + - + 2) 3 2 2 2 1 5 lim 5 1 2 3 n n n n æ ö - ÷ ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ÷ +ç + è ø 3) 2 2 1 3 1 lim 2 1 6 1 n n n n æ ö + + ÷ ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø + + Bài 3: Tính các giới hạn sau đây: 1) 2 2 2 3 lim 2 n n n n n + + + - 2) 2 2 3 lim 1 n n n n + + - 3) 2 3 2 1 lim 1 n n n n n - + - + 4) 2 2 lim 2 1 n n n n+ - 5) 3 1 lim ( 1) n n n - + Dương Phước Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 4: Tính các giới hạn sau đây: 1) ( 1)(2 1) lim (3 2)( 3) n n n n + - + + 2) 2 3 (3 1)(5 3) lim (2 1)( 1) n n n n + + - + 3) 2 3 (2 1) (4 ) lim (3 5) n n n + - + 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 4 7 lim 3 4 5 1 n n n n - + - + 5) 3 2 5 (2 1) ( 3) lim 2( 5) n n n - + + 6) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 7 2 lim 2 1 n n n - + + 7) (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n + + + + 8) 3 2 5 (2 3 ) ( 1) lim 1 4 n n n - + - 9) ( 1)(2 1) lim (3 2)( 5) n n n n + - - + 10) 2 4 3 6 (5 2)(2 1) lim (3 1) n n n n + + - 11) 2 7 4 7 ( 1) (3 7) lim (2 3) n n n n + + + 12) 2 3 4 5 (2 3)(5 2) lim 1 3 5 n n n n + + + + Bài 5: Tính các giới hạn sau đây: 1) 2 2 2 lim 1 3 n n n - - 2) 1 lim 1 n n + + 3) 3 3 lim 2 n n n + + 4) 4 2 2 3 2 lim 2 3 n n n n + - - + 5) 3 6 3 7 5 8 lim 12 n n n n - - + + 6) lim 1 n n n n + + + 7) 3 4 lim 2 1 n n n n + + + 8) 2 1 1 lim 3 2 n n n + - + + 9) 2 1 1 lim 3 2 n n n + - + + 10) 2 1 2 lim 2 1 n n n + - + 11) 2 2 3 1 4 lim n n n + - + 12) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + - + - 13) 3 3 3 2 2 2 3 1 lim 1 1 n n n n n n + + - + - 14) 2 2 2 1 lim 2 3 1 n n n n n n + - + + + 15) 2 1 lim 3 1 n n n - - + 16) 2 lim 1 n n + 17) ( ) ( ) 5 5 2 2 5 1 1 lim n n n n n - - + + - Bài 6: Tính các giới hạn sau đây: 1) ( ) 1 lim 2 2 n n æ ö ÷ - ç ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ + ç ÷ è ø 2) 2 3 ( 1) lim n n n + - 3) ( 1) 2 lim n n - + 4) 2 2 1 ( 1) lim 2 ( 1) n n n n + + - + - Bài 7: Tính các giới hạn sau đây: 1) ! ( 1)! lim 2( 1)! 7 ! n n n n + + + + 2) ( 2)! ( 1)! lim ( 2)! 5( 3!) n n n n + + + + - + 3) ( 2)! ( 1)! lim ( 1)! ( 2)! n n n n + + + + - + 4) ! ( 3)! lim 3 ( 2)! ! n n n n n + + + + Bài 8: Tính các giới hạn sau đây: 1) 4 lim 2.3 4 n n n + 2) 2 3 1 lim 2 2 n n + + 3) 3 2.5 lim 7 3.5 n n n - + 4) 4 5 lim 2 3.5 n n n n - + 5) 1 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5 n n n n+ + - + - + 6) 1 1 3.2 2.3 lim 4 3 n n n + + - + Dương Phước Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 7) 1 1 2 2 5 lim 2 5 n n n n + + + + - 8) 1 3 lim 5 4 n n + - 9) 2 1 5 7 lim 2.3 4.9 n n n n + - - + 10) 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + 11) 1 2 lim 1 2 n n + - 12) 3 ( 2) lim 3 4 n n - + 13) 3 4 1 lim 2.4 2 n n n n - + + 14) 2 5.3 2.5 lim 1 3 4.5 n n n n n + - + + 15) 1 1 5.2 3 lim 2 3 1 n n n n+ + - + + Bài 9: Tính các giới hạn sau đây: 1) ( ) lim 3 1 2 1n n- - - 2) ( ) 2 lim 1n n n+ + - 3) ( ) 2 lim 3n n n- + - 4) ( ) 2 lim 2 1n n n+ + - + 5) ( ) lim 3 5n n+ - - 6) ( ) lim 1n n n+ - 7) ( ) 2 lim 5n n n+ - 8) ( ) 2 2 lim 1n n n- + 9) 1 lim 2 1n n+ - + 10) ( ) lim 2 3 1n n+ - + 11) ( ) 2 lim 1n n n+ - 12) ( ) lim a n n+ - 13) ( ) 3 3 3 lim 1 1n n n+ - - 14) lim n n n n æ ö ÷ ç + + - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 15) 2 2 1 lim 2 4n n+ - + 16) 2 4 3 1 lim n n n n n + + + - 17) 2 lim( )n n n+ - 18) 3 3 2 lim ( )n n n n+ - 19) 1 lim 3 2 2 1n n+ - + 20) 2 2 1 4 2 lim 3 n n n n + - - - + 21) 2 lim( )n n n+ - 22) lim ( 1 )n n n+ - 23) 2 lim( 4 5 2)n n n+ + - + Bài 9: Tính các giới hạn sau đây: 1) ( ) 3 3 lim 1n n+ - 2) 3 3 3 2 3 lim( 1)n n n+ - + 3) ( ) 3 2 3 lim n n n- + 4) ( ) ( ) 2 2 3 3 lim 1 1n n æ ö ÷ ç + - - ÷ ç ÷ ç è ø 5) 3 3 2 2 lim( 3 )n n n n+ - + 6) 2 2 3 3 3 3 2 2 3 lim 2 n n n n n n + - + + - + 7) ( ) 3 2 2 3 lim 2 3n n n n+ + - - Bài 10: Tính các giới hạn sau đây: 1) 2 1 2 lim n n + + +L 2) 2 2 4 (2 ) lim 3 2 n n n n + + + + - L 3) 2 2 2 3 1 2 lim 3 2 n n n + + + + + L 4) 3 3 3 2 2 1 2 lim ( ) n n n + + + + L 5) 3 3 3 1 2 lim (2 3)( 1) n n n + + + + - L 6) 2 1 2 3 lim 3 1 n n n + + + + + + L Dương Phước Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 7) 2 1 3 5 (2 1) lim 2 1 n n n n + + + + - + + L 8) 2 2 2 2 2 1 3 3 3 lim 1 1 1 1 5 5 5 n n æö æö æö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ + + + + ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æö æö æö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ + + + + ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø L L 9) 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1)n n é ù ê ú + + + ê ú + ë û L 10) 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n é ù ê ú + + + ê ú - + ë û L 11) 1 1 1 lim 2.4 4.6 2 (2 2)n n é ù ê ú + + + ê ú + ë û L 12) 2 2 2 2 3 1 2 3 lim (7 2) n n + + + + + L 13) 1 1 1 1 lim 1.3 2.4 3.5 ( 2)n n æ ö ÷ ç ÷ + + + + ç ÷ ç ÷ ç + è ø L 14) 2 2 1 2 2 2 lim 1 5 5 5 n n + + + + + + + + L L 15) 2 3 2 lim 1 2 3 n n n + - + + + +L 16) 1 2 3 lim 2 2 n n n æ ö + + + + ÷ ç ÷ - ç ÷ ÷ ç è ø + L 17) 2 2 2 4 2.1 3.2 ( 1) lim n n n + + + +L 18) 1 2 3 4 (2 1) 2 lim 2 1 n n n - + - + + - - + L Bài 11: Tính các giới hạn sau đây: (dùng nguyên lý kẹp) 1) sin3 lim 1 4 n n æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø 2) ( ) 1 cos lim 1 n n n - + 3) 3sin 4cos lim 2 1 n n n + + 4) 2 .sin2 lim 1 n n n æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø + 5) 3 2 .sin( !) lim 1 n n n + 6) 1 lim n n 7) sin lim 5 n n + 8) cos3 lim 1 n n + 9) sin3 lim 1 4 n n æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç è ø 10) 3 3 2sin( 1) lim 2 n n n n n + + + 11) 3.7 cos( 1) lim 7 n n n- + 12) 1 ( 1) .2 .cos lim 5 n n n n + - 13) 2 2 lim sin 2cos n n n+ 14) 1 lim !n 15) ( 1) lim 2 1 n n - - 16) 2 2 ( 1) lim 1 2 n n n - - + 17) 1 ( 1) 1 lim 2 3 n n n+ é ù - ê ú - ê ú ë û 18) 5.2 cos4 lim 2 n n n- 19) 2 2 3 4sin lim n n n + 20) 2 ( 1) lim 4 3 n n n + - + 21) 4sin 7cos 2 lim 5 4 n n n - + + Bài 12: Tính các giới hạn sau đây: 1 1 1 1 2 3 lim 1 1 1 1 2 3 1 n A n + + + + = + + + + + L L 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 2 3 4 B n é ù æ öæ öæ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ê ú ÷ ÷ ÷ ÷ = - - - - ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ê ú è øè øè ø è ø ë û L 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 1 2 3 C n é ù æ öæ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ê ú ÷ ÷ ÷ = - - - ç ç ç ÷ ÷ ÷ ê ú ç ç ç ÷ ÷ ÷ è øè ø è ø ë û L 3 3 3 3 3 3 2 1 3 1 1 lim 2 1 3 1 1 n D n æ ö - - - ÷ ç ÷ ç = × ÷ ç ÷ ç è ø + + + L 3 3 3 2 1 4 (3 2) lim 1 4 (3 2) n E n + + + - = é ù + + + - ë û L L 1 3 5 2 1 lim 2 4 6 2 n F n æ ö - ÷ ç ÷ = × × ç ÷ ç è ø L Dương Phước Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 H n n n n æ ö ÷ ç ÷ = + + + ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø + + + L 1 2 lim ( 2)! n G n + = + 2 3 1 3 5 2 1 lim 2 2 2 2 n n I é ù - ê ú = + + + + ê ú ë û L 2 3 1 2 3 lim 3 3 3 3 n n J é ù ê ú = + + + + ê ú ë û L 2 1 lim(1 2 3 ) n K q q nq - = + + + +L , với 1q < 2 1 lim 1 3 5 (2 1) n L q q n q - é ù = + + + + - ê ú ë û L , với 1q < 2 2 1 lim(1 4 9 ) n M q q n q - = + + + +L , với 1q < 2 2 2 2 3 1 3 5 (2 1) lim n N n + + + + - = L ( ) ( ) 2 2 2 lim 1 1 1 2.3 3.4 1 2 O n n é ù æ öæ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ê ú ÷ ÷ ÷ = - - - ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ê ú ç ÷è øè ø ç è ø + + ê ú ë û L 1 1 1 lim 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) P n n n é ù ê ú = + + + ê ú + + ë û L 1 1 lim ( 1) 1 n k Q k k k k = = + + + å 2 1.5 2.6 3.7 ( 4) lim ( 1) n n R n n + + + + + = - L 3 1.2 2.3 3.4 ( 1) lim 2 n n S n n + + + + + = - L 3 3 3 3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) lim 1 2 3 n n n T n + + + + + + = + + + + L L B.TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN I. Định nghĩa CSN lùi vô hạn là cấp số nhân (vô hạn) ( ) n u có công bội q thoả mãn điều kiện 1q < II. Công thức Cho ( ) n u là một CSN lùi vô hạn. Khi đó, 1 1 2 1 n u S u u u q = + + + + = - L L Bài 13: Tính các tổng vô hạn sau đây: 1 8 4 2 1 2 k A = + + + + + +L L biết rằng 1 8;4;2;1; ; ; 2 k L L là một CSN 2 1 2 1 2 k B - = + + + +L L biết rằng 2 1 2;1; ; ; 2 k- L L là một CSN 1 4 2 3 2 3 3 n n C - = + + + + +L L biết rằng 1 4 2 3;2; ; ; ; 3 3 n n- L L là một CSN 5 5 5 5 2 2 2 n D = + + + + +L L biết rằng 5 5 5 5; ; ; ; ; 2 2 2 n L L là một CSN 2 1 1 1 2 2 1 2 2 E + = + + + - - L biết rằng 2 1 1 1 ; ; ; 2 2 1 2 2 + - - L là một CSN Dương Phước Sang GII HN CA DY S 2 sin sin sin n F a a a= + + + +L L bit rng ( ) 2 k k p a pạ + ẻ  1 1 2 2 1 2 2 G = - + - + - L bit rng 1 1 2 ; 2 ; 1; ; ; 2 2 - - L l mt CSN Bi 14: Cho 1, 1a b< < v 2 2 1 ; 1A a a B b b= + + + = + + +L L . Tớnh tng sau õy theo A,B: 2 2 1S ab a b= + + +L Bi 15: Mt cp s nhõn lựi vụ hn cú tng bng 3 v cụng bi bng 2 3 . Tỡm s hng tng quỏt ca CSN ú. Bi 16: Vit dng khai trin ca mt CSN lựi vụ hn bit nú cú tng bng 32 v s hng th hai bng 8. Bi 17: Tng ca mt CSN lựi vụ hn bng 5 3 , cũn tng ca 3 s hng u ca nú bng 39 25 . Tỡm s hng u v cụng bi ca CSN ú. Bi 18: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng CSN ú cú tng bng 12, hiu ca s hng u v s hng th hai l 3 4 v s hng u l mt s dng. Bi 19: Tỡm s hng u v cụng bi ca mt CSN lựi vụ hn bit rng s hng th hai l 12 5 v tng ca CSN ny l 15. Bi 20: Cho hai dóy s 1 1 10 ( ): 3, 5 n n n u u u u n * + ỡ ù = ù ù ù ớ ù = + ẻ ù ù ù ợ Ơ v 15 ( ) : 4 n n n v v u= - Chng minh rng ( ) n v l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh lim n v v lim n u Bi 21: Cho dóy s 1 1 1 ( ): 4 , 1 6 n n n n u u u u n u + ỡ ù = ù ù ù - ớ ù = ù ù + ù ợ a) Chng minh rng vi mi n * ẻ Ơ ta cú 4 n u ạ - b) Chng minh rng dóy s 1 ( ) : 4 n n n n u v v u + = + l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh lim n u Bi 22: Cho dóy s 1 1 3 ( ): 2 1, 1 n n n u u u u n + ỡ ù = ù ớ ù = + ù ợ a) Chng minh rng ( ) : 1 n n n v v u= - l mt CSN lựi vụ hn. b) Tớnh lim n u Bi 23: Chng minh rng, vi 0; 4 a p ổ ử ữ ỗ ữ ẻ ỗ ữ ỗ ố ứ ta cú 2 3 2cos 1 tan tan tan ( 1) tan 2sin 4 n n a a a a a a p - + - + + - + = ổ ử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ố ứ L L Dng Phc Sang GII HN CA DY S Bi 24: Vit cỏc s thp phõn vụ hn tun hon sau õy di dng phõn s 34,121212 a = (chu k 12) 0,1111 b = (chu k 1) 15,2131313 c = (chu k 13) 1,50111 d = - (chu k 1) Bi 25: Cho mt hỡnh vuụng cnh bng a. Ngi ta ni trung im cỏc cnh ca hỡnh vuụng ú to nờn mt hỡnh vuụng nh hn. T hỡnh vuụng nh hn ny, ngi ta li thc hin cụng vic nh trờn to ra thờm mt hỡnh vuụng nh hn na v c thc hin hoi nh th (sau mi ln v ra c mt hỡnh vuụng nh, ta lp li cỏch lm ó thc hin). Tớnh tng din tớch tt c cỏc hỡnh vuụng ú. C.GII HN CA DY CHO BI CễNG THC TRUY HI nh lý Weierstrass Mt dóy s tng ng thi b chn trờn hoc gim ng thi b chn di thỡ cú gii hn hu hn. Bi 26: Chng minh rng cỏc dóy s sau õy cú gii hn a) 1 1 1 1 2 n u n n n n = + + + + + + L b) 2 2 2 1 1 1 1 2 3 n u n = + + + +L Bi 27: Chng minh rng cỏc dóy s sau õy cú gii hn v tớnh gii hn ú a) 1 1 0 1 4, 1 2 n n u u u n + ỡ ù = ù ù ù ớ ù = + ù ù ù ợ b) 1 1 0 1 1 2 n n n u u u u + ỡ ù > ù ù ù ổ ử ớ ữ ỗ ữ ù = + ỗ ữ ù ỗ ữ ỗ ù ố ứ ù ợ Bi 28: Cho dóy s 1 1 10 ( ): 3, 5 n n n u u u u n * + ỡ ù = ù ù ù ớ ù = + ẻ ù ù ù ợ Ơ .CMR, ( ) n u l dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Bi 29: Cho hai dóy s 1 1 10 ( ): 3, 5 n n n u u u u n * + ỡ ù = ù ù ù ớ ù = + ẻ ù ù ù ợ Ơ v 15 ( ) : 4 n n n v v u= - Chng minh rng ( ) n v l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh lim n v v lim n u Bi 30: Cho dóy s 1 1 1 ( ): 4 , 1 6 n n n n u u u u n u + ỡ ù = ù ù ù - ớ ù = ù ù + ù ợ Chng minh rng ( ) n u l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Bi 31: Cho dóy s 1 1 1 ( ): 4 , 1 6 n n n n u u u u n u + ỡ ù = ù ù ù - ớ ù = ù ù + ù ợ a) Chng minh rng vi mi n * ẻ Ơ ta cú 4 n u ạ - b) Chng minh rng dóy s 1 ( ) : 4 n n n n u v v u + = + l mt CSN lựi vụ hn. T ú tớnh lim n u Bi 32: Cho dóy s 1 1 3 ( ): , 1 n n n u u u u n + ỡ ù = ù ù ớ ù = ù ù ợ . CMR, ( ) n u l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Dng Phc Sang GII HN CA DY S Bi 33: Cho dóy s 1 1 1 ( ): , 1 n n n u u u u n + ỡ ù = ù ù ớ ù = ù ù ợ . CMR, 1 1 1 2 n n u u + - - < vi mi n * ẻ Ơ . T ú tớnh lim n u Bi 34: Cho dóy s 1 1 1 ( ): 2 1 , 1 1 n n n n u u u u n u + ỡ ù = ù ù ù + ớ ù = ù ù + ù ợ . CMR, ( ) n u l dóy s tng v b chn. T ú tớnh lim n u Bi 35: Cho dóy s daỏu caờn ( ): , 0 n n n u u a a a a= + + + >L 1444444442444444443 Chng minh rng ( ) n u l mt dóy s tng v b chn. T ú tớnh lim n u Bi 36: Cho ha dóy s ( ),( ) n n u v tho món vaứ 1 1 1 1 ; ( , 0 ) ; . , 1 2 n n n n n n u a v b a b a b u v u v u v n + + ỡ ù = = > ạ ù ù ù ớ + ù = = ù ù ù ợ a) Chng minh rng vi mi n, n n u v , t ú suy ra ( ),( ) n n u v u cú gii hn b) Chng minh rng hai dóy s ó cho cú cựng gii hn. Bi 37: Cho dóy s 1 1 1 2 ( ): , 1 1 n n n u u u u n n + ỡ ù ù = ù ù ù ớ ù ù = ù ù + ù ợ . CMR, ( ) n u l dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Bi 38: Cho dóy s 1 1 3 ( ): 2 1, 1 n n n u u u u n + ỡ ù = ù ớ ù = + ù ợ Chng minh rng ( ) n u l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Dng Phc Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ Bài 1: Tính các giới hạn sau đây: 1) 5 4 3 2 2 lim 4 6 9 n n n n n + - - + + 2) 2 lim( 2 3 19)n n- + - 3) 5 4 3 2 3 2 lim 4 6 9 n n n n n + - - + + 4) ( ) 3 lim 3 7 11n n- + 5) 3 2 3 2 1 lim 2 n n n n + - - 6) lim(3 2)n - 7) 2 2 lim 1 n n æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ÷ ç è ø + 8) 3 2 3 5 1 lim 4 n n n - + + 9) lim( 1)(3 7)n n- + 10) 2 lim( 4 3 1)n n- + + 11)_ 2 5 lim( 1)n n- + Bài 2: Tính các giới hạn sau đây: 1) 3 3 2 lim 8 3n n n- + - + 2) 3 3 lim 1 2n n+ - 3) 3 9 2 lim 8 7n n+ - 4) 4 2 lim 2 2n n n- + + 5) 4 6 1 lim 1 n n n + + + 6) ( ) 2 lim 3n n n- + + 7) lim( 2 1)n n n- + 8) 3 2 lim( 7 2 )n n+ - 9) 2 lim( 1)n n n- + + 10) 3 2 3 lim 2 7n n- + 11) 2 lim 5 1n n+ - Bài 3: Tính các giới hạn sau đây: 1) lim 2.3 2 n n- + 2) lim(2 3 ) n n - 3) 4 lim(2 5 2) n n n- + - 4) lim(2 cos )n n+ 5) 2 1 lim( 3sin2 5) 2 n n- - + 6) 3 2 3 2 2 1 lim 1 n n n n n - + + 7) 2 2 2 5 lim 3 5.4 n n n n + + + 8) lim 4 ( 2) n n é ù + - ê ú ë û 9) lim(3 5 ) n n - 10) 1 lim(3.2 5 10) n n+ - + Dương Phước Sang . GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ A.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Một số giới hạn đặc biệt limC C=g 1 lim 0 n =g lim 0 ( 0) k C k n =. ) n u l mt dóy s gim v b chn. T ú tớnh lim n u Dng Phc Sang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ Bài 1: Tính các giới hạn sau đây: 1) 5 4 3 2 2 lim 4 6 9 n n n n n + - - + + 2) 2 lim(. + L L B.TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN I. Định nghĩa CSN lùi vô hạn là cấp số nhân (vô hạn) ( ) n u có công bội q thoả mãn điều kiện 1q < II. Công thức Cho ( ) n u là một CSN lùi vô hạn. Khi đó, 1 1