Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt. Lý thuyết về giới hạn của hàm số. Tóm tắt lý thuyết 1. Giới hạn hữu hạn +) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K{x0}. f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} và xn → x0, ta có lim f(xn) =L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). f(x) = L khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 ,ta có lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn > a, xn → +∞ thì lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn < a, xn → -∞ thì lim f(xn) = L. 2. Giới hạn vô cực Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau: +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞), f(x) = -∞ khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn > a, xn → +∞ thì ta có lim f(xn) = -∞ +) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K{x0}. f(x) = +∞ và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} và xn → x0 thì ta có lim f(xn) = +∞. Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞. 3. Các giới hạn đặc biệt a) x = x0; b) c = c; c) c = c; d) = 0 (c là hằng số); e) xk = +∞, với k nguyên dương; f) xk = -∞, nếu k là số lẻ; g) xk = +∞ , nếu k là số chẵn. 4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. a) Nếu = L và g(x) = M thì: [f(x) + g(x)] = L + M; [f(x) - g(x) = L - M; [f(x) . g(x)] = L.M; = (nếu M ≠ 0). b) Nếu f(x) ≥ 0 và f(x) = L, thì L ≥ 0 và √f(x) = √L Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → -∞. Định lí 2. f(x) = L khi và chỉ khi f(x) = f(x) = L. 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x) b) Quy tắc tìm giới hạn của thương (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0 ).
Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt. Lý thuyết về giới hạn của hàm số. Tóm tắt lý thuyết 1. Giới hạn hữu hạn +) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta có lim f(xn) =L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). f(x) = L khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 ,ta có lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn > a, xn → +∞ thì lim f(xn) = L. +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a). f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (xn ) bất kì, xn < a, xn → -∞ thì lim f(xn) = L. 2. Giới hạn vô cực Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau: +) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞), bất kì, xn > a, xn → +∞ thì ta có lim f(xn) = -∞ f(x) = -∞ khi và chỉ khi với dãy số (xn) +) Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. f(x) = +∞ và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0 thì ta có lim f(xn) = +∞. Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞. 3. Các giới hạn đặc biệt a) x = x0; b) c = c; c) c = c; d) = 0 (c là hằng số); e) xk = +∞, với k nguyên dương; f) xk = -∞, nếu k là số lẻ; xk = +∞ , nếu k là số chẵn. g) 4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. a) Nếu = L và g(x) = M thì: • [f(x) + g(x)] = L + M; • [f(x) - g(x) = L - M; • [f(x) . g(x)] = L.M; • b) Nếu f(x) ≥ 0 và = (nếu M ≠ 0). f(x) = L, thì L ≥ 0 và √f(x) = √L Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → -∞. Định lí 2. f(x) = L khi và chỉ khi f(x) = f(x) = L. 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x) b) Quy tắc tìm giới hạn của thương (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0 ). ... Định lí f(x) = L f(x) = f(x) = L Quy tắc giới hạn vô cực a) Quy tắc giới hạn tích f(x).g(x) b) Quy tắc tìm giới hạn thương (Dấu g(x) xét khoảng K tính giới hạn, với x ≠ x0 ) ... chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác định K K{x0} f(x) = +∞ với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} xn → x0 ta có lim f(xn) = +∞ Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ -f(x) có giới hạn -∞ Các giới hạn đặc biệt... số); e) xk = +∞, với k nguyên dương; f) xk = -∞, k số lẻ; xk = +∞ , k số chẵn g) Định lí giới hạn hữu hạn Định lí a) Nếu = L g(x) = M thì: • [f(x) + g(x)] = L + M; • [f(x) - g(x) = L - M; • [f(x)