Một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi

SỞ SỞ GD&ĐT GD&ĐT VĨNH VĨNH PHÚC PHÚC TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II II BÁO BÁO CÁO CÁO KẾT KẾT QUẢ QUẢ NGHIÊN NGHIÊN CỨU, CỨU, ỨNG ỨNG DỤNG DỤNG SÁNG SÁNG KIẾN KIẾN Tên Tên sángsáng kiến:kiến: MỘT MỘT SỐ SỐ BÀI BÀI TOÁN TOÁN VỀVỀ KHOẢNG CÁCH GIAN GIỚI HẠN CỦATRONG DÃY SỐKHÔNG TRUY HỒI Tác giả Phùng Thế Bằng Tácsáng giả kiến: sáng kiến: Phùng Thế Bằng Mã sáng kiến : 08.52 Mã sáng kiến : 08.52.01 Tam dƣơng năm 2018 Vĩnh phúc, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu 1.1 Lí chọn sáng kiến Trong chương trình tốn học THPT toán liên quan đến giới hạn dãy số mảng kiến thức hay khó, đặc biệt tốn chưa cho cơng thức số hạng tổng quát dãy Một kiểu dãy số dãy cho hệ thức truy hồi Đây dạng tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật; toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia quốc tế Trong trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi tìm tịi đúc kết rút số kỹ thuật tìm giới hạn tốn dạng Với mong muốn cung cấp công cụ gần gũi cho học sinh, đề tài “Một số toán giới hạn dãy số truy hồi ” cho ta phương pháp để giải phần vấn đề đặt dãy số cho hệ thức truy hồi Hi vọng đề tài cung cấp cho học sinh kiến thức bổ ích tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng phương pháp giải số dạng tốn liên quan tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI Tác giả sáng kiến - Họ tên: Phùng Thế Bằng - Địa chỉ: Trường THPT Tam Dương II - Tam Dương - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0912 911 921 - Email: phungthebang.gvtamduong2@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến: Phùng Thế Bằng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh khối 11 ôn thi HSG, thi THPT QG - Phạm vi nghiên cứu thuộc Chương III, IV mơn Tốn Đại số Giải tích 11 Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: 10/3/2017 Mô tả chất sáng kiến: Phần 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong nhiều năm giảng dạy nhận thấy học sinh cịn gặp nhiều khó khăn giải tập liên quan đến giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi, đặc biệt tốn mức độ vận dụng vận dụng cao Trong sách giáo khoa, sách tập dạng toán khơng nhiều thường xun xuất đề thi học sinh giỏi Các tài liệu tham khảo, loại tập đa dạng sử dụng nhiều phương pháp sai phân, xa lạ với học sinh phổ thông Phần NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I Dãy số Định nghĩa a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) u: n Đặt u n u n un gọi số hạng tổng quát dãy số un b) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, gọi dãy số hữu hạn c) Dãy số cho công thức truy hồi, tức là: + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng đứng trước nó) Ví dụ: Dãy Fibonaxi xác định u1 u2 un un un n Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn - Dãy số un gọi dãy số tăng với n ta có un un - Dãy số un gọi dãy số giảm với n ta có un un - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: n , un M - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: n , un m - Dãy số un gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M m cho : n Giới hạn dãy số ,m un M a) Dãy số có giới hạn - Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết : lim un lim un un Định lí 1: Cho hai dãy số un lim un với n lim Nếu un lim q n Định lí 2: Nếu q b) Dãy số có giới hạn hữu hạn - Ta nói dãy số un có giới hạn số thực L lim un số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Định lí 3: Giả sử lim un A, limvn lim un lim un lim A un L Khi L un ⟶𝐿 Dãy số có giới hạn L lim un ta viết : lim un B c số Khi đó: B ; lim un AB ; lim cun A (Nếu B B A B cA 0) Định lí 4:(Tổng cấp số nhân lùi vô hạn) Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q 2, , u1q n , có cơng bội q với q gọi cấp số nhân lùi vơ hạn Khi S u1 u1q u1q u1q n c Dãy số có giới hạn vơ cực - Ta nói dãy số un có giới hạn u1 q với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết : Lim un lim un hay un - Ta nói dãy số (un) có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, bé số âm Khi ta viết: Lim un lim un hay un Định lí 5: Nếu lim un lim un II Các dãy số đặc biệt Cấp số cộng u1 a) Định nghĩa: Dãy số un xác định a un un d, n ( a, d hai số thực cho trước) gọi cấp số cộng Trong đó: a số hạng đầu tiên, d công sai Đặc biệt d un dãy số tất số hạng gọi dãy số khơng đổi b) Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1, un ba số hạng liên tiếp cấp số cộng un nếu: un un un 2 Tính chất 2: Số hạng thứ n cấp số cộng un cho công thức: un u1 n d, n Tính chất 3: Tổng n số hạng (kí hiệu S n ) cấp số cộng un cho công thức: Sn u1 u2 n u un n 2u un n 1d Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy số un xác định u1 a un unq , n ( a, q hai số thực cho trước) gọi cấp số nhân Trong đó: a số hạng đầu tiên, q cơng bội b) Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1, un ba số hạng liên tiếp cấp số nhân un nếu: un2 un un Tính chất 2: Số hạng thứ n cấp số nhân un cho công thức: u1.q n un Tính chất 3: Tổng n số hạng (kí hiệu S n ) cấp số nhân un với công bội q cho công thức: Sn u1 u2 qn u1 q un Một số tổng đặc biệt Với số tự nhiên n ta có: n n a) n n n b) 12 22 32 n c) 13 23 33 2n n2 n n3 1 B NỘI DUNG Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định công thức tổng quát (CTTQ) dãy DẠNG 1: Cho dãy số un biết số Ta xét với trường hợp q u1 a un 1, q qun 0, d d, n , q, d xảy dấu ba trường hợp dãy cho CSC, dãy khơng đổi, CSN Ta đưa dãy CSN, cách đặt un c , thay vào hệ thức truy hồi dãy ta có: c q Ta chọn c cho q 1c c d d c qvn d q q 1c , d qvn nên CSN Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định sau: Tính lim un Giải: u1 un 2020 u 2019 n 2018, n Đặt un 2018 1 2019 v 2019 n 2019 v1.q n 1 2019 2019 2019 , ta có: u1 Ta có: 3un Đặt un u2 n 1 2019 un v n un 1 3 u1 3un n 2019 Do lim un 2un 1, n Suy Sn v1 un vn Khi đó: v , n n n suy un v2 vn 3 n Vậy l imSn =lim Giải: un 3 Suy dãy số CSN lùi vô hạn với công bội q 2019 un Tính lim Sn 2un 1 v Nên 2019 n Do Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định Đặt Sn 2018 v1 2019 CSN có cơng bội q un 3 n n v1 n 1, n n n 3 n n Do u1 DẠNG 2: Cho dãy số un biết số q + Nếu q 0;c a0 un qun cn d, n , q, c, d , từ hệ thức truy hồi ta có: u1 a u2 u1 c.1 d u u2 c.2 d un un c n d Cộng vế với vế hệ thức ta được: un a0 c.1 c.2 c n , ta đặt un + Nếu q qvn Chú ý: Nếu un a n qvn d a c d q qun vn Ta xác định a cho qa Khi n c 1d n 1d en f an, đó: q a cn n a0 an cn a c n qa a c q d Đây dạng cn dn e un qun cn dn làm tương tự Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định Hãy tính lim un n2 Giải: Ta có: u1 u2 u1 3.1 u u2 3.2 un un n Cộng vế với vế hệ thức ta được: u1 un un 3n n un 31 Do đó, lim un lim n2 n 3n 2n 7n 2n 3n n 2n 14 lim Ví dụ 4: Cho dãy số un xác định n 14 n2 u1 3n 7n 14 11 un 10un Hãy xác định số hạng tổng quát dãy tính lim un 9n n n 2018n Giải: Đặt un v1 9n 10 10 vn n 10 cơng bội q ta có lim un n n , ta có: n 9n DẠNG 3: Cho dãy số un biết số q + Nếu q 0;c 10vn 10.10n 10 , 10n lim 2018n 2018n un 10n un n Từ a0 rc n qun 10n n lim 1009 u1 CSN có n , q, c u1 un a0 un rc n n u1 u2 a0 u1 , ta làm sau: rc u u2 rc un un rc n Cộng vế với vế hệ thức ta được: un + Nếu c3 , ta đặt un c acn , thay vào hệ thức truy hồi ta có r c 10 1 c2 a0 q q cn cr c n a0 c Giải: Đặt un 3n 2 3n n un 3n cơng bội q đầu v1 Do lim un 3n 2vn 5.2n 5.2n lim 3n 3n , thay vào hệ thức truy hồi ta có: 3n u1 5.2n un lim DẠNG 4: Cho dãy số un biết CSN với số hạng n 3n a un cun , q dun n , q, c số Đặt un , thay vào hệ thức truy hồi ta có: c vn d q c q.vn d u1 a DẠNG 5: Cho dãy số un biết số Đặt un vn Ta xác định d un b q q v c n cun , dun d (quy dạng 1) c n , q,b, c, d , thay vào hệ thức truy hồi ta được: c b c q d d vn d q c b c q d q b d nghiệm phương trình: c q b c q d d vn (quy dạng 4) Ví dụ 7: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2014 - 2015) Cho dãy số  un  xác định 2014 u1 u2 un un , n 1,2,3, Tính lim bởi: u1 1, un 2015n un 12 Giải: , thay vào hệ thức truy hồi ta có: Đặt un vn 1 vn 1 u1 CSC với v1 un vn 1 với công sai d 1 n 1 n Do n 1 1 2014 u1 u2 un 1 n lim lim 2015n 2015n 2014.2.3 n n 2014 n 2014 lim lim 2015n.1.2 n 2015n 2015 u1 Ví dụ 8: Cho dãy số un xác định un un n un 2014 Hãy tìm lim 2n un Giải: Đặt un , thay vào hệ thức truy hồi ta có: vn Đặt yn với y1 v1 q yn 1 , ta có: yn 1 n 2 n Do lim un 1 lim 1 1 2vn yn 2yn , công bội n 2 2n 3.2n 2vn yn 1 1 un 3.2n 4 lim 3 n 2 13 yn CSN u1 Ví dụ 9: Cho dãy số un xác định un n un Hãy tìm lim un Đặt un Giải: , từ hệ thức truy hồi ta có: vn Ta xác định cho CSC, với số hạng đầu y1 yn n Do lim un 2 , đó: yn 1 1 yn vn 1 , ta có: yn đặt yn yn v1 yn 1 u1 yn Ta lại yn 1 công sai d n Khi un u1 1 yn , 2n 2n 1 Ví dụ 10: Cho dãy số un xác định un un un , n Tìm số hạng tổng quát un tính lim un Đặt un Giải: , từ hệ thức truy hồi ta có: vn vn 1 , chọn Ta xác định cho 5vn , đó: Ta lại đặt yn vn 14 vn yn , ta yn yn yn yn an lim un yn 1 , ta có: an số hạng đầu a1 an y1 2 15 5 1 a n v1 un 1 u1 3.5n 2n 5n a n 1 n 1 Tiếp tục đặt an 2 15 yn y n 3 n 3.5n 2n 5n lim 2yn yn an CSN có cơng bội q 15 2n 5n 3.5n 5n 4.2n Do 2n 5n n n BAI TẬP TỰ LUYỆN: Cho dãy số (un) xác định u1 un u n ĐS: limSn = -18 u Cho dãy số (un) xác định un 4un ĐS: lim un u1 ĐS: lim un Tính limun Tính lim un 22 n un un 1 n(n 1) , n Tính limun u1 Cho dãy số (un) xác định 1, n 22n Cho dãy số (un) xác định 6, n un ĐS: lim un un 15 n , n Tính limun , u1 Cho dãy số un xác định un un 3un , n Tìm số hạng tổng qt un tính lim 2n.un ĐS: un Cho dãy số un ; lim 2n.un 7.2n u1 xác định 2un un un ĐS: lim un , n Tính lim un Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn * Cơ sở lí thuyết: Định lí : Dãy số tăng bị chặn (hoặc giảm bị chặn dưới) có giới hạn hữu hạn Nhận xét : - Nếu dãy số un thỏa mãn điều kiện un lim un M , n tồn giới hạn lim un M ; dãy số un thỏa mãn điều kiện un hạn lim un lim un m, n tồn giới m - Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn lim un n lim un n Áp dụng tính chất trên, ta tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Sau ta xét số ví dụ minh họa u1 Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định un un un2 1 n Tính lim un Giải : Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 0, n 1, un bị chặn Xét hiệu un un un un2 un un3 un2 16 0, n , un giảm Khi dãy cho tồn giới hạn Ta đặt lim un a lim un a chuyển qua giới hạn hai vế hệ thức truy hồi ta được: a Vậy lim un a, a a2 a , 0 Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định u1 un u n 2018 , n un 1 Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn Giải: Ta dễ dàng chứng minh un u n Mặt khác ta lại có : un 0, n 2018 un 1 2 un 2018 un 2018 , un bị chặn n , ta có : un u n un 2018 un 2018 un2 2un un 0, un dãy bị giảm Do un giảm bị chặn nên dãy cho có giới hạn Đặt lim un a a 2018 Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi dãy ta a phương trình : a a 2018 a 2018 a a2 2018 Vậy lim un Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định a 2018 Do 2018 u1 un 2018 2 un , n Tính lim un Giải: Trước hết ta chứng minh dãy số un tăng bị chặn Chứng minh dãy ( un ) tăng quy nạp, tức un > un , n Khi n = ta có u2 u1 2 17 u1 Giả sử uk uk , uk un > un , n uk 2 uk uk Vậy Ta chứng minh dãy ( un ) Do un bị chặn bị chặn quy nạp, Khi n = ta có u1 Giả sử uk 2, k , uk uk 2 2 Vậy dãy số un bị chặn Do dãy số un có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un a , a 2 Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Hay a Vì a a2 a a a a un 2 Vậy lim un nên a lim Ví dụ : Cho dãy số un xác định bởi: u1 un un , Giải: bị chặn Dễ thấy un 0, n n Tính lim un Trước hết ta chứng minh un minh un 1, n Với n (1) Giả sử (1) với n n , ta có uk k uk k k (do un un un un 1, n , ta có uk Với , (1) ln với n Ta chứng minh un đơn điệu tăng Thật n un Ta chứng , ta có : un2 un un un un un un un a Từ hệ thức ) Vậy un tồn giới hạn hữu hạn Ta đặt lim un a truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Do a lim un lim un a a 18 a2 a a a u1 Ví dụ 5: Cho dãy số un xác định bởi: 2un un un 1 n , Tính lim un Giải: bị chặn Dễ thấy un Trước hết ta chứng minh un minh un 1, n (1) Giả sử (1) với n n , ta có uk 2uk uk k k 10 uk (do un un 2un un un 1, n lim un ), (1) un un un ) truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có 2un 1 4a lim un lim a un a a Với , ta có : un2 un un Vậy un tồn giới hạn hữu hạn Ta đặt lim un Do , ta có uk (do uk với n Ta chứng minh un đơn điệu tăng Thật n un Ta chứng Với n k 0, n a2 a a a 2 Từ hệ thức a a Nhận xét : Ta tính giới hạn cách sử dụng dạng mục Ví dụ 6: Cho dãy số un u1 xác định bởi: u2 un un un , n Chứng minh dãy số cho có giới hạn tính giới hạn Giải : Dễ thấy un 0, n Ta chứng minh un 19 un , (1) n Với n (1) Giả sử (1) với n Với n k , ta có uk uk uk uk Do dãy tăng nên un với n Ta lại có un un un un k k uk u1 un , ta có uk uk , (1) 1, n 4, n Vậy un tồn giới hạn hữu hạn Ta đặt lim un uk a a Từ hệ thức a a 0, n truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un Do lim un a lim un lim un a a2 a 4a Ví dụ 7: Cho dãy số un xác định u1 un 2un un Chứng minh dãy un có giới hạn tính giới hạn Giải: Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 Giả sử uk Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk Do ta có un un 1 un 2un Mặt khác ta có (vì un un 2un 2, n un un 1 uk 1 (u n un 2, n un 2un un un 0, k , ta chứng minh uk uk uk 2uk ) Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có un 1 2 un 2 1 ) Nên un dãy số giảm bị chặn 2, dãy un có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un Và ta có un a2 a , un 2un a lim un Vậy lim un a un lim 2un 20 a a2 2a Ví dụ 8: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2015-2016) Cho dãy số  xn  xác định bởi: x1  2016, xn1  xn2  xn  1, n  1, 2,3, a) Chứng minh dãy  xn  tăng lim xn   1 1     Tính lim yn xn   x1 x2 b) Với số nguyên dương n , đặt yn  2016  Giải: a) Ta có n xn x1 , xn xn2 xn xn xn xn dãy tăng 2016 Giả sử dãy bị chặn trên, dãy tồn giới hạn hữa hạn Đặt lim xn  a  a  2016 Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình: a a2 a a2 2a 1 (Vơ lí a  2016 ) Vậy  xn  a không bị chặn lim xn   b) Từ hệ thức truy hồi ta có: xn1  xn2  xn   xn1    xn  1 xn  xn xn1   xn 1    xn  1 xn xn  xn xn 1 Nên ta có 1  1 1 1  yn  2016       2016         xn  xn  xn1    x1 x2  x1  x2  x2  x3    1    2016      2016    x1  xn1    2015 xn1   Từ lim yn 2016 2015 Ví dụ 9: Cho dãy số un xác định Tính lim ( u1 u2 u2 u3 un ) un 21 u1 un 1 un 2019 un , n Giải: Từ hệ thức truy hồi ta có un un un 0, n 1(*) 2019 số tăng un u1 0, n Từ (*) suy 2019 un hay un un 2019 u1 u2 un u2 u3 u1 u2 Do lim un un un un , n 2019 un , dãy un dãy un un 1.un un un 1.un un un un u2 u3 2019 un un u1 un 2019 1 lim 2019 1 un 1 un Giả sử un bị chặn trên, dãy un có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un (Vì un 1, n a 1 ) Từ hệ thức truy hồi suy un a lim un lim( un ) 2019 Vậy un không bị chặn trên, tức lim un lim un Vây lim ( a u1 u2 u2 u3 a2 2019 a un ) un a (vơ lý) 2019 Ví dụ 10: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2013-2014) Cho dãy số x n xác định sau: x1 3, x n x n2 3x n 4, n 1,2, Chứng minh x n dãy đơn điệu tăng khơng bị chặn Tìm giới hạn dãy số yn yn xác định cơng thức: yn x1 1 x2 1 xn , n 1,2, Giải: Ta có n  xn x1  , xn1  xn  xn2  xn    xn      xn  dãy tăng 22 Giả sử dãy bị chặn trên, dãy tồn giới hạn hữa hạn Đặt lim xn  a  a  Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình: a a2 3a a2 4a (Vơ lí a  ) Vậy  xn  không a bị chặn lim xn   Từ hệ thức truy hồi ta có: xn1  xn2  3xn   xn1    xn  1 xn     1  xn1   xn  1 xn   1 1     xn  xn  xn  xn  xn1  Do yn x1 x2 1 x1 Khi lim yn x2 xn x3 2 1 xn 2 xn 1 xn 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho dãy un xác định un un un , n số cho có giới hạn tính giới hạn (ĐS: lim un Cho dãy un u1 xác định u2 un Chứng minh dãy 3) Chứng minh un un , n dãy số cho có giới hạn tính giới hạn 4) (ĐS: lim un Cho dãy ( un ) xác định Tính lim u1 u2 un u1 un 1 u n un (ĐS: 1) 23 2, n u1 Cho dãy ( un ) xác định Tính lim u1 u2 un un u2 (ĐS: lim u1 u1 u2 u1 u2 un un ( un 1 un u1 un 1)2 , n 1 1 un 1 2019 ) ( un 2 1), n 1 un u1 un 1) u2 1 u2 Cho dãy ( un ) xác định Tính lim 1, n 2019 1 un Cho dãy ( un ) xác định Tính lim un u1 u1 Cho dãy ( un ) xác định u1 1 un (ĐS: lim Tính lim ( un 7un 25), n 1 un C THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhà trường +) Nhóm thực nghiệm : Đội tuyển học sinh giỏi +) Lớp đối chứng : 11A1 Kết quả: Các học sinh đội tuyển HSG đa phần làm tập dạng này, cịn em khơng đội tuyển chưa tìm hiểu kỹ thuật giải tốn khó khăn khơng thể giải u cầu tốn Điều cho thấy học sinh nhóm thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu vận dụng kiến thức tốt Khả nhìn nhận giải toán tốt so với đối chứng 24 Những thông tin cần bảo mật: Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Mơn Tốn mơn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử học sinh, quan tâm nhà trường, em học sinh bậc phụ huynh Không cịn mơn học nhiều lĩnh vực khác áp dụng Đối với học sinh: Cần rèn luyện tư logic, nắm kỹ thuật giải để nhận dạng nhanh áp dụng vào giải tập Đối với giáo viên: Cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng tập, có phương pháp tập tự luyện Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chương trình cấu trúc đề thi Đối với nhà trường: Cho phép giáo viên linh hoạt việc thực phân phối chương trình chuyên đề Điều giúp giáo viên thuận tiện việc áp dụng dạy học kiểm tra đánh giá theo yêu cầu đổi 10 Đánh giá lợi ích thu đƣợc dự kiến thu đƣợc áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sau học xong chuyên đề em cảm thấy tự tin có khả giải số tốn tính giới hạn dãy số truy hồi 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Với kết đạt sáng kiến khẳng định tính khả thi, hiệu đề tài góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng Kết thực nghiệm cho thấy học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo học, phần lớn em làm tập phức tạp giải số về tính giới hạn dãy số truy hồi đề HSG, thi THPT QG 25 Đề tài rút số phương pháp tính tính giới hạn dãy số truy hồi Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải toán học sinh THPT Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho học sinh, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải toán giới hạn dãy số Với kinh nghiệm thân hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót nên tác giả mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT Tên tổ chức/cá nhân Lớp 11A1 Đội tuyển HSG toán 11 Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Tam Dương II – Tam Dương – Vĩnh Phúc Chương 3, mơn Đại số Giải tích 11 Tam Dương, ngày … tháng … năm 2019 Tam Dương, ngày 25 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) (Ký, ghi rõ họ tên) Phùng Thế Bằng 26 ... ℕ*, gọi dãy số hữu hạn c) Dãy số cho công thức truy hồi, tức là: + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng... dụ: Dãy Fibonaxi xác định u1 u2 un un un n Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn - Dãy số un gọi dãy số tăng với n ta có un un - Dãy số un gọi dãy số giảm với n ta có un un - Dãy số un gọi dãy. .. 1: Cho hai dãy số un lim un với n lim Nếu un lim q n Định lí 2: Nếu q b) Dãy số có giới hạn hữu hạn - Ta nói dãy số un có giới hạn số thực L lim un số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Định lí