Một số bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua điểm trung gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA ĐIỂM TRUNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Lan Phương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học THANH HOÁ, NĂM 2021 MỤC LỤC 111Equation Chapter Section 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài - Từ đầu lớp 11trở trước : Học sinh làm việc với phần lớn hình phẳng Mỗi hình biểu diễn cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng kích thước hình vẽ giấy Mọi quan hệ đối tượng biểu diễn cách trực quan Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ hình phẳng khơng thể phản ánh trung thành quan hệ quan hệ vng góc, quan hệ nhau, đối tượng Đó khó khăn lớn học sinh - Sau giới thiệu quan hệ : Quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa hai khái niệm quan trọng “ Khoảng cách” “Góc” tốn liên quan đến hai khái niệm khai thác nhiều kỳ thi thi Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi Ngoài việc giải toán khoảng cách giúp ta giải tốn thể tích khối đa diện lớp 12 - Trong “ Khoảng cách” : Do yêu cầu thời lượng chương trình SGK hình học lớp 11 đưa khái niệm khoảng cách nêu lên mối liên hệ khái niệm ý cuối ví dụ khoảng cách Do đó, đứng trước tốn u cầu tình khoảng cách học sinh thường bối rối Từ dẫn đến học sinh có tâm lý ngại hình học khơng gian âm thầm bỏ học phần Trong “Khoảng cách” sách giáo khoa hình học 11 có đưa tốn khoảng cách: Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài tốn 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Tính khoảng cách dường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách mặt phẳng song song Bài tốn 4: Tính khoảng cách đường thẳng chéo hầu hết tốn khoảng cách giải Thực chất toán trên, trừ” toán 1”, toán quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Với tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, có tốn dễ dàng tính trực tiếp Nhưng có tốn khơng thể tính trực tiếp mà phải gián tiếp qua điểm trung gian Vì tơi thấy việc hệ thống “Một số tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thông qua điểm trung gian ” cần thiết bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học học sinh 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài - Xây dựng hệ thống tập thiết thực có hiệu - Góp phần nâng cao kỹ giải tốn liên quan đến khoảng cách cho giáo viên học sinh - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Toán cho học sinh, giúp em thấy đa dạng lời giải toán 1.3 Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : Nhiệm vụ : - Hệ thống lại kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng: Học sinh lớp 11 - Tài liệu : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11, Sách tâp, Sách giáo viên đề thi đại học, học sinh giỏi mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, đề thi - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo 1.4.2 Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thơng qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn Tốn mơn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn Tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người 2.1.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên em không tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải chắt lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh 2.1.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thơng minh, nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư tốn học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, q tải Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều khơng thể xem nhẹ Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua q trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà 2.2 Thực trạng vấn đề : Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy phần lớn học sinh trường THPT Hoằng Hóa học sinh THPT nói chung cịn lơ mơ hình học khơng gian Đặc biệt gặp tốn khoảng cách thường khơng định hình cách giải, lúng túng xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, mặt phẳng xác định hình chiếu lại khơng tính khoảng cách, khơng biết cách tìm mối liên hệ yếu tố biết tập với yếu tố cần tìm, tìm cách làm cịn dài, chưa kể đến việc chưa biết vẽ hình hay vẽ hình sai Mặt khác thời lượng dành cho phần lại nên học sinh khơng biết định hình cách làm đứng trước tốn Vì việc rèn luyện cho học sinh có kỹ biến đổi, biết quy lạ quen, biết vận dụng linh hoạt mảng kiến thức cần thiết 2.3 Nội dung lý thuyết : Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu O (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d (O,(α )) * Nhận xét - ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α )) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) ta sử dụng cách sau: +/ Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O (α) tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) (α) - Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) Khi d (O,(α )) = OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy + /Tính gián tiếp Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh A đường thẳng đến vị trí thuận lợi B, ta quy việc tính d (A,(P)) việc tính d (B,(P)) (Điểm B thường chân đường vng góc hình chóp ).Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) A,B ∈ ∆ d (A;(P)) = d (B;(P)) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) điểm C A, B ∈ ∆ (A, B không trùng với C) d (A;(P)) AC = d (B;(P)) BC d (A;(P)) = d (B;(P)) Đặc biệt, A trung điểm CB C trung điểm AB d (A;(P)) = d (B;(P)) CA CB Tỷ số tính theo đề Bài tốn áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc ·BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng E đến mặt phẳng (SBC) với E điểm cạnh AD Lời giải S a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH a ⇒ BD = a ⇒ BO = ; AC = a Ta có ∆ABD Trong tam giác vng OBC có: 1 13 a 39 E = + = ⇔ OK = 2 OK OB OC 3a 13 Trong tam giác vng SOK có: DB F H A BD K O C 1 16 a = + = ⇔ OH = 2 OH OS OK 3a a Vậy b) Cách 1: Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) d ( O, ( SBC ) ) = OH = Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) a ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH = Nhận xét : Đây cách làm truyền thống mà học sinh khó tư Tơi hướng dẫn cách tính gián tiếp, qua khoảng cách từ điểm O Cách Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) + Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C ⇒ d ( A,( SBC )) AC = =2 d (O,( SBC )) OC a Như làm theo cách 2, học sinh đau đầu tìm hình chiếu vng góc Ví dụ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( O, ( SBC ) ) = 2OH = d O, ( SBC ) ) Phân tích: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay việc tính ( ta tính d ( A, ( SBC ) ) d G, ( SAC ) ) , tương tự ta quy việc tính ( thông qua d E , ( SAC ) ) d B, ( SAC ) ) S việc tính ( hay ( Lời giải a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên: G H A D F E B O C d ( O, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) ) = OC = AC ⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )  AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ BC  Gọi H hình chiếu A SB ta có: Trong tam giác vng SAB có: 1 a = 2+ = ⇔ AH = 2 AH SA AB 3a 1 a ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH = 2 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác (SAB) Do EG ∩ ( SAB ) = S nên d ( G , ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) = GS 2 = ⇔ d ( G , ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) ES 3 Do EA ∩ ( SCB ) = B nên d ( E, ( SBC ) ) BE 1 = = ⇔ d ( E, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) d ( A, ( SAC ) ) BA 2 a ⇒ d (G,( SBC )) = d ( A, ( SBC ) ) = c) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG ∩ ( SAC ) = S nên d ( G , ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) = GS 2 = ⇔ d ( G , ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) ES 3  BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ ( SAC ) ; BE ∩ ( SAC ) = A  BO ⊥ SA  Ta có: 1 a ⇒ d ( E , ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) = BO = 2 a a ⇒ d ( G, ( SAC ) ) = × = Cả hai ý b c phải sử dụng gián tiếp qua điểm Nếu tính khoảng cách trực tiếp khó dựng chân đường vng góc xuống mặt phẳng tương ứng Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a; SA = 2a SA vng góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) Phân tích : Do GA ∩ ( SBC ) = M , nên thay việc tính d ( G, ( SBC ) ) d A, ( SBC ) ) ta tính ( , sử dụng tỉ số d ( G, ( SBC ) ) GM = d ( A, ( SBC ) ) AM d G, ( SBC ) ) , tính ( Giải: Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A lên SM; dễ chứng minh AH ⊥ (SBC) 1 1 = + 2= + 2 AM SA (2a) ( / 2) Ta có AH  Ta có AH = 2a 57 = d( A;( SBC ) ) = d A 19 AG ∩ ( SBC ) = { M } → d A AM = = = → d = d A = 2a 57 G d g GM 57 Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ Đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a ;AA’ = 2a Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) Phân tích : Ta thấy dễ dàng tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) (học sinh tự tính) kết d A = a Vì ta đổi điểm C’ điểm A cách dùng tỷ số d AI AC '∩ ( A ' BC ) = { I } → A = = → d A = dC ' = a dC ' C ' I Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC = 600 Mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Trên cạnh SC lấy điểm M cho MC = MS a/ Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) b/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB) Giải: a/ Phân tích: Do DC // (SAB) nên nên thay việc tính d ( D, ( SBA ) ) d C, ( SBA) ) ta tính ( HD: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )  SAD ⊥ ABC ( ) ( )  Ta có:  CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB ) Dựng Do: CD / / AB ⇒ CD / /( SAB) ⇒ d ( D, ( SAB)) = d (C , ( SAB)) Tam giác ABC cạnh a có CH đường cao nên a a CH = ⇒ d ( D, (SAB)) = 2 b/ Phân tích : d M, ( SBA ) ) d C, ( SBA) ) Do MC ∩ ( SBA ) = S , nên thay việc tính ( ta tính ( , d ( M, ( SBA ) ) SM = d ( C, ( SBA) ) SC d M, ( SBA ) ) sử dụng tỉ số , tính ( HD : d ( C; ( SAB ) ) CS = = d ( M ; ( SAB ) ) MS Do 2 a a ⇒ d ( M ; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = CH = = 3 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với BC = a 2, ABC = 600 Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) Phân tích : CD / / AB ⇒ d ( D; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = CK Do HD: Dựng SH ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Do CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SAB ) Dựng CK ⊥ AB , có CD / / AB ⇒ d ( D; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = CK Do 10 = BC sin 600 = a 3 a = 2 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC = 600 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Trên cạnh BC CD lấy hai điểm M N cho MB = MC NC = ND Gọi P giao điểm AC MN Tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SAB) Phân tích: Ta có : A = CP ∩ ( SAB) , ta sử dụng thuật toán rời điểm, ta rời điểm P đến d (P, ( SAB )) AP = d ( C , ( SAB )) AC suy d (P, (SAB )) điểm C, dùng tỉ số HD: CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB ) Dựng Giả sử MN cắt AD F theo định lý Talet ta có: DF ND MC a = = ⇒ DF = = MC NC 2 PA AF CA = = ⇒ = PC MC PA Khi 5 d ( P; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = CH 7 Do a 5a = = 14 Ví dụ 8: Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) B1 trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 60 a/Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a b/ Gọi M trung điểm B1C1.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A1BD) A1 D1 N Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy E d B ; ( A BD ) ) d C ; ( A1BD ) ) M việc tính ( 1 thành tính ( Bài giải B C 11 O H A D C1 a/ Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1 BD ) CB.CD a ⇒ d ( C ; ( A1BD ) ) = CH = = CB + CD Vậy d ( B1 ; ( A1 BD ) ) = a b/ + / Gọi N trung điểm CD, ta có : MN // B1C // A1D ⇒ d ( M; ( A1BD ) ) = d ( N; ( A1BD ) ) +/ Trong (B C CB) gọi E = BN ∩ B1C 1 NE NC BN 3 = = ⇒ = ⇒ d ( N ,( A1BD)) = d (E,( A1BD)) BE BB1 BE 2 Ta có: +/ Có : CE // A1D 3 3a ⇒ d ( N; ( A1 BD ) ) = d ( E; ( A1 BD ) ) = d ( C; ( A1BD ) ) = 2 3a d ( M; ( A1 BD ) ) = Vậy Ví dụ 9: : Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 Gọi H trung điểm BC a/ Tính khoảng cách từ C’ đến (ABC) b/ Gọi M trung điểm A’C’ Tính khoảng cách từ M đến (AA’H) Phân tích: A’// (ABC) nên ta trượt đỉnh C’ vị trí thuận lợi A’và quy việc tính Do C’ d ( C'; ( ABC ) ) d A'; ( ABC ) ) thành tính ( a ⇒ OA = AH = 3 a/ + O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + ∆AA ' O : A ' O = OA = a 12 Vậy d(C’,(ABC)) = a _A' _C' M b/ Ta có : CM ∩ ( A ' AH ) = A ' d(M,(A'AH)) A ' M ⇒ = = d (C ,(AA'H)) A ' C _B' _A + Có : CC’// (AA’H) ⇒ d ( C'; ( AA 'H ) ) = d (C ,( AA ' H )) 6_0_o _a _C O _ _H _B + Ta có : CH ⊥ AH a ⇒ CH ⊥ ( AA ' H ) ⇒ CH = d (C ,( AA ' H )) =  CH ⊥ A ' O a ⇒ d ( M; ( AA ' H ) ) = Ví dụ 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1/ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) 2/ Gọi G trọng tâm tam giác SBC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) a/ Phân tích: Do AB// (SCD) nên ta trượt đỉnh B vị trí thuận lợi A quy việc tính d ( B; ( SDC ) ) d A; ( SDC ) ) thành tính ( HD: Ta dựng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ AH ^ (SCD) Þ AH khoảng cách từ A đến (SCD) VSAD Þ S _ _H 1 1 = + = + = AH SA AD2 3a a 3a A _ a d(B, (SCD)) = Vậy _D _G _B b/ Phân tích: _o _60 _a _C 13 Trong câu ta phải sử trượt đỉnh G đỉnh B, trượt đỉnh B đỉnh d ( A; ( SDC ) ) d G; ( SDC ) ) , suy ( A, ta tính HD: Gọi M = BG Ç (SCD) d(G,(SCD)) GM Þ = = Þ d(G,(SCD)) = a d(B, (SCD)) BM Ví dụ 11: (Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam · giác vuông B, AC = 2a, ACB = 30 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = a Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích : d ( H , ( SAB) AH = d ( C , ( SAB ) AC Tính d (C , ( SAB )) Sử dụng thuật tốn rời điểm ta suy Lời giải * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ) ⇒ AB ⊥ (SHI ) ⇒ ( SAB) ⊥ (SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SAB) Do d ( H , (SAB ) = HK a BC = AC.cos ·ACB = 2a = a ⇒ HI = BC = 2 Ta có ⇒ HK = a HS HI = a 66 = 2 11 HS + HI 3a 2a + a d ( H , ( SAB) AH 2a 66 = = ⇒ d (C , ( SAB ) = 2d ( H , ( SAB) = 11 * Mặt khác ta có d (C , ( SAB) AC 14 Ví dụ 12: (Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 3a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Phân tích : Gọi H trung điểm AB, ta sử dụng thuật toán rời điểm A đến điểm d ( H ,( SBD ) BH = H, sử dụng tỉ số d ( A, ( SBD) BA Tính d ( A, ( SBD)) Lời giải * Tính d ( H , ( SBD)) Kẻ HI ⊥ BD( I ∈ BD) ⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SBD) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SBD) Do d ( H , ( SBD ) = HK + HD = AH + AD = a HI = AC = 4 + a2 a 9a 5a + a2 = ⇒ SH = SD − HD = − =a 4 ⇒ HK = a HS HI a = = 2 HS + HI a a2 + a d ( H , ( SBD) BH 2a = = ⇒ d ( A, ( SBD) = d ( H , ( SBD) = * Mặt khác ta có d ( A, ( SBD)) BA 15 Ví dụ 13: (Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) Phân tích : Gọi H trung điểm AB, ta sử dụng thuật toán rời điểm B đến điểm d ( H , ( ACC ' A ') AH = H, sử dụng tỉ số d ( B, ( ACC ' A ') AB Tính d ( B, ( ACC ' A ')) Lời giải * Tính d ( H , ( ACC ' A ')) Kẻ HI ⊥ AC ( I ∈ AC ) ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I Kẻ HK ⊥ A ' I ( K ∈ A ' I ) ⇒ HK ⊥ ( ACC ' A ') Do d ( H , ( ACC ' A ') = HK a a · HI = AH sin IAH = = 2 + a 3a A ' H = CH tan ·A ' CH = 3= 2 + ⇒ HK = HA '.HI HA '2 + HI = a 3a = 3a 13 26 3a 9a + 16 16 *Mặt khác ta có d ( H , ( ACC ' A ') AH 3a 13 = = ⇒ d ( B, ( ACC ' A ') = 2d ( H , ( ACC ' A ') = d ( B, ( ACC ' A ')) AB 13 Ví dụ 14: (Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông · A, ABC = 30 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích: Gọi H trung điểm CB,sử dụng thuật toán rời điểm, ta rời điểm C đến điểm d ( H , ( SAB) BH = H, dùng tỉ số d (C , ( SAB ) BC suy d (C , ( SAB)) Lời giải * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ) ⇒ AB ⊥ (SHI ) ⇒ ( SAB) ⊥ (SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SAB) Do d ( H , (SAB ) = HK + BC = a ⇒ SH = a a a AC = BC.sin ·ABC = a = ⇒ HI = AC = 2 + ⇒ HK = HS HI HS + HI = a a = a 39 26 3a a + 16 d ( H , ( SAB ) BH a 39 = = ⇒ d (C , ( SAB) = 2d ( H , ( SAB ) = 13 * Mặt khác ta có d (C , ( SAB)) BC Ví dụ 15: (Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD hình vng cạnh a Mặt SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a 17 Phân tích: + Do SA khơng vng góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H + Ta có AH // (SCD) sử dụng thuật toán rời điểm, ta suy d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) Tính d ( A, (SCD )) Lời giải * Tính d ( H , ( SCD )) Kẻ HI ⊥ CD( I ∈ CD ) ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ (SCD ) Do d ( H , (SCD ) = HK + HI = a + AB = a ⇒ HS = ⇒ HK = a a HS HI a 21 = = 2 HS + HI 3a a2 + * Mặt khác ta có a AH / /( SCD) ⇒ d ( A, SCD) = d ( H , ( SCD)) = a 21 18 2.4 Kết đạt Sau dạy xong cho học sinh lớp 11A3 làm kiểm tra để kiểm tra tính khả thi đề tài đối chiếu với kết kiểm tra trước học này, thu kết sau : Đề kiểm tra Bài 1: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang vng A D , có AD=CD=a, AB=2a, SA⊥(ABCD), E trung điểm AB a/ Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SCB) b/ Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SCB) SD = 3a , Bài : Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Trước học Tổng số học sinh 45 Điểm Giỏi (8-10) 8(17,8%) Điểm Khá (6,5-dưới 8) Điểm TB (5- 6) Điểm Yếu (3,5- 5) Điểm Kém (