Phân dạng bài toán tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Đại số Giải tích lớp 11 có phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng giới hạn dãy số Đây nội dung em học sinh THPT Việc tiếp cận nội dung khiến nhiều em cảm thấy khó, đặc biệt tốn liên quan đến tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Các em học sinh cảm thấy bỡ ngỡ đâu, giải toán tình hình diễn em đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn lớp 11 trường Do đó, hiệu học tập ôn thi em không cao Thực tế yêu cầu việc giảng dạy phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán với phương pháp sở rõ ràng Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm tơi muốn nêu cách định hướng việc tìm lời giải tốn Vì với trách nhiệm mình, tơi thấy cần phải xây dựng thành chun đề từ rèn luyện kĩ nhận dạng, nâng cao lực giải toán cho học sinh để em khơng cịn e ngại hay lúng túng gặp dạng tốn Qua q trình tích lũy tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phân dạng tốn tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng toán tốt hơn” 1.2 Mục đich nghiên cứu Nhằm hệ thống cho học sinh số dạng tốn tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi góp phần giúp em giải tốt toán dạng Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi, đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hố Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tốt kiến thức học giúp em hứng thú học toán Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi - Một số đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT địa bàn tỉnh Thanh Hoá - Một số đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp 11, lớp 12 tỉnh 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 - Đánh giá kết học tập, kết kì thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán học sinh lớp 11C1, 11C2 năm học 2018-2019 trường THPT Yên Định - Phân tích, đánh giá, tổng hợp dạng toán liên quan đến toán phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Đặc biệt tốn, dạng tốn liên quan đến tìm giới hạn dãy số kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm gần NỘI DUNG 2.1 Cơ sỏ lý luận a Một số kết thường dùng Tính chất cấp số nhân [1] Tính chất cấp số cộng [1] Các định lý giới hạn dãy số [1] Định lý dãy số bị chặn [1] Cho dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn điều kiện limv n =lmw n = a v n ≤ un ≤ w n , ∀n , limun = a [6] Định lí tính bị chặn dãy số [1] a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn” un un ≤ M , ∀n lim un Nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện tồn giới hạn lim un ≤ M un un ≥ m, ∀n ; dãy số ( ) thõa mãn điều kiện tồn giới hạn lim un lim un ≥ m [6] lim un = lim un+1 un n→+∞ n →+∞ Giả sử dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn [6] Trên cở sở phân tích, nhìn nhận đánh tơi đưa số phương pháp tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách xác định công thức số hạng tổng quát Dạng 2: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp Dạng 3: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy b Các ví dụ điển hình Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi cách xác định công thức số hạng tổng quát Phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi viết tơi trình bày kĩ thuật tìm cơng thức tổng qt dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy cho cấp số cộng cấp số nhân tổng hiệu cấp số cộng, cấp số nhân u1 = 1; u2 =  ( un ) un+ = 2un+1 − un + Cho dãy số xác định sau: Ví dụ 1: u lim n2 n →+∞ n Tính (HSG lớp 11 - Vĩnh Phúc 2013) Lời giải un+ − un+1 = un+1 − un + 1, n = 1, 2, { un+2 − un+1} Ta có suy lập thành cấp số un+ − un+1 = u2 − u1 + n.1 = n + cộng có cơng sai nên (1) un − u1 = un − un−1 + un−1 − un−2 + + u2 − u1 = n + n − + + Từ (1) ta n ( n + 1) ⇒ un = + + + n = n ( n + 1) un = lim = n →+∞ n n→+∞ 2n 2 ⇒ lim un = n →+∞ n 2 lim Vậy Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) a Tìm số hạng tổng qt b Tính lin( nun ) có un u1 = 16   15 ( n.un + 1) , ∀n ≥ un +1 + 14 = n +1  Thi HSG THPT Yên Định -2020 Lời giải a Ta có: un+1 + 14 = 15 ( n.un + 1) ⇔ ( un+1 + 14 ) ( n + 1) = 15 ( n.un + 1) n +1 ⇔ (n + 1)un+1 = 15nun − 14n + Đặt = n.un , ta có v1 = 16 (1) Khi (1) trở thành : vn+1 = 15vn − 14n + ⇔ vn+1 − (n + 1) = 15(vn − n) Đặt w n = − n (2) trở thành: ⇒ w n = 15n , w1 = 15 wn +1 = 15wn (2) , suy Từ ta có: ( wn ) cấp số nhân có 15n + n un = n w1 = 15, q = 15 lim(nun ) = lim(15 + n) = +∞ n b u1 =  un −  u = , ∀n ≥ n +  u + n  Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định un ≠ −4, ∀n ≥ a CMR u +1 = n un + b CMR dãy (vn) với CSN Tính limun ( Bài tập ĐS GT 11NC, NXBGD 2007) Lời giải un ≠ −4, ∀n ≥ a Ta chứng minh quy nạp u1 = ≠ −4 Khi n = ta có uk ≠ −4, ∀k ≥ uk +1 ≠ −4 Giả sử , ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại uk +1 = −4 , uk − = −4 ⇒ uk − = −4uk − 24 ⇒ uk = −4 uk + , trái với giả thiết quy nạp un ≠ −4, ∀n ≥ Vậy ∀n ≥ b Từ câu a suy xác định với un − +1 un+1 + un + 2(un + 1) +1 = = = = , ∀n un+1 + un − + 5(un + 4) un + Ta có Vậy (vn) cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = Suy n n 2 2 4. ÷ − 4. ÷ − 5  un = lim un = lim   n = −1 n 2 2 1−  ÷ 1−  ÷ 5 5 Nên Do u1 =  5un −  u = , n∈Ν * n +  u −  n Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định u +1 = n , ∀n ∈ Ν * un − Xét dãy số (vn) với a Chứng minh dãy số (vn) cấp số cộng lim un b Tính Lời giải u +1 v +1 = n ⇒ un = n un − − Ta có thay vào hệ thức truy hồi ta có v +1 n −3 vn+1 + − v + 2vn + v + 2vn + = ⇒ n = ⇒ n+1 = vn+1 − + − − 2vn + 4 − n 2 =  ÷ 5 +1 = + v1 = Hay Suy dãy số (vn) cấp số cộng có v = công sai d = Ta có = v1 + (n – 1)d = +3(n – 1) = 3n – 3n − + 3n un = = 3n − − 3n − Do Thử lại thấy dãy số thỏa mãn 3n un = n∈ N * 3n − Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) 3n lim un = lim = lim =1 3n − 3− n b u1 =  (u n ) :  un −1 un = + 5n.u , n ≥ limu n n −1  Ví dụ 5: Cho dãy số: Tìm Lời giải un −1 1 un = ⇔ = + 5n n un un −1 + u n −1 Ta có Vn = Đặt n n U n ⇒ = −1 + ⇔ − vn−1 = ⇒ = ( − −1 ) + ( −1 − −2 ) + + ( v2 − v1 ) + v1 21 ⇔ = 5n + 5n −1 + + 52 + = 5n − 4 ⇒ un = n 21 − 4 ⇒ limu n = Ví dụ 6: Tìm số hạng tổng quát dãy Tính lim ( n 2019 un ) ( un ) , biết  u1 =  un +1 = un , n ∈ ¥ * 2un +  HSG 11 – Tĩnh Gia – 2020 Lời giải un > 0, ∀n ∈ ¥ * Bằng phương pháp quy nạp suy un un+1 = ⇔ = +2 2un + un +1 un Khi v1 = = , n ∈ ¥ *  un vn+1 = 3vn + Đặt ta  x1 =  xn = +  xn+1 = 3xn Đặt ta xn = 3.3n −1 = 3n ⇒ = xn − = 3n − ⇒ un = Do n 3n = ( + ) > Cn2020 2020 = Ta có Suy 1 = n − n ( n − 1) ( n − 2019 ) 2020 n! 22020 = 2020!( n − 2020 ) ! 2020! 1 n n n yn = n < n < = = zn − − n ( n − 1) ( n − 2019 ) 22020 − 11 −  1 − 2019   ÷  ÷ n  2020 2020!  n  − 2020 2020! n 2019 Vì 2019 lim yn = lim zn = Ví dụ 7: Cho dãy số lim un Tính Dễ thấy lim n 2019 un = lim nên ( un ) xác định n 2019 3n − =0  u1 = ,n∈¥*  ( n + ) u + ( n + 1) u u = n 2u n n n +1 n +1  Lời giải (n + 2) n = − (n + 1) un+1 un un ≠ 0; ∀n ∈ N * Từ giả thiết ta có 1 = + un v1 = * n ∈¥ Với , đặt ta có 1 1 n2  2 2 ( n + )  vn+1 − ÷ = n  − ÷− (n + 1) ⇒ (n + 2) vn+1 = n ⇒ vn+1 = 4 4 ( n + 2)   ⇒ ( n + ) (n + 1) vn+1 = (n + 1)2 n 2vn Ta có dãy số a1 = 4v1 = an+1 = an ⇒ (an ) an = ⇒ = Do Vậy Đ ặt an = (n + 1) n 2vn cấp số cộng với công sai d =0 1 4(n + 1) n2 ⇒ u = = = n 16 − ( n + 1) n (n + 1)2 n − − (n + 1) n 4(n + 1) n lim un = lim = −4 16 − (n + 1) n2 Ví dụ 8: Cho dãy số hạng tổng quát ( un ) ( un ) thỏa mãn tính u1 = 1, u2 =  un + = 4un +1 − 3un + 2n + 1, ∀n ∈ ¥ * Tìm số u lim nn+1 ? Lời giải un+2 − un+1 + n + = ( un+1 − un + n + 1) Ta có = un+1 − un + n + 1, ∀n ∈ ¥ * Đặt v1 = u2 − u1 + =  ( ) vn+1 = 3vn , ∀n ∈ ¥ * Khi ta có dãy số với ( ) v1 = q=3 Suy cấp số nhân với công bội n −1 n−1 n n = v1.q = 3.3 = un+1 − un + n + = ∀n ∈ ¥ * Do suy Từ suy n −1 n −1 ( − 3n−1 ) n ( n − 1) k + ( n − 1) = ( uk +1 − uk + k + 1) = ∑ ⇔ un − u1 + ∑ 1− k =1 k =1 ⇔ un = n − n − n + 1) ( Do un  n2 n  lim n+1 = lim  − n+1 − n+1 + n+1 ÷ = 23 3  Ví dụ 9: Cho dãy số lim Tính ( un ) thỏa mãn: u1 = 2, u2 = 3, un+1 − 2un + un −1 = 1, n ≥ un n2 Lời giải Giả thiết un+1 − 2u n + un−1 = ⇔ ( un+1 − un ) − ( un − un−1 ) = Khi dãy đầu ( ) v1 = − với = un +1 − un un = vn−1 + + v1 + u1 = Do đó: lim Suy cấp số cộng có cơng sai d =1 số hạng n −1 [ 2v1 + (n − 2) d ] + u1 un = n2 Như vậy, việc xác định công thức tổng quát dãy số có ý nghĩa quan trọng , việc xác định công thức số hạng tổng quát giúp cho tốn trở nên quen thuộc Vì việc tính giới hạn dãy số trở nên dễ dàng nhiều Dạng 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp  u =   u = u + un , ∀n ≥ n  n+1 Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định a CMR: b CMR: ≤ un ≤ , ∀n un +1 ≤ , ∀n un Tính limun Bài tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007 Lời giải a Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh Với n = u1 = Thật vậy, ta có Do Giả sử 1 u k ≤ ⇒ u k ≤ uk 4 ≤ un , ∀n uk ≤ , ∀k ≥ Ta CM un ≤ , ∀n , ta chứng minh 3 uk ≤ = 4 16 uk +1 ≤ 1 3 uk +1 ≤ uk + uk = uk ≤ < 4 16 ≤ un ≤ , ∀n Vậy b Từ câu a suy un +1 1 = un + ≤ + = , ∀n un 4 n −1 < un = Do ta có un un −1 u 3 3 u1 ≤ .u1 =  ÷ , ∀n un −1 un− u1 4 4 4 n −1 Mà lim 3  ÷ 4 =0, nên theo ngun lí kẹp limun =  u =   u = u − 1, ∀n ≥  n+1 n Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định Tính limun ( Các tốn dãy số - Phan Huy Khải) L ời gi ải −1 < un < n≥2 Ta thấy với Giả sử (un) có giới hạn a a −1 = a ⇔ a = 1± -1 a CMR:  u =   u = un , ∀n ≥ n +1 n +1  b Tính limun ( BT ĐS GT 11 NC NXBGD 2007) Lời giải un > 0, ∀n a Dễ dàng chứng minh quy nạp un+1 1 = ≤ , ∀n ≥ un n +1 Từ hệ thức truy hồi ta có n un un −1 u2 1 1 1 < un = .u1 ≤ =  ÷ , ∀n ≥ un−1 un −2 u1 2 2 2 b Từ câu a) ta có Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = Dạng 3: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định u1 =  un+1 = + un , ∀n ≥ Tính lim Lời giải un Trước hết ta chứng minh dãy số ( ) tăng bị chặn un un+1 un , ∀n ≥ Chứng minh dãy ( ) tăng quy nạp, tức > Khi n = ta có u2 = + u1 = + > = u1 14 un uk +1 > uk uk + = + uk +1 > + uk = uk +1 un+1 un , ∀n ≥ Vậy > un Ta chứng minh dãy ( ) bị chặn Giả sử , un Nên ( ) bị chặn quy nạp, u1 = < Khi n = ta có uk +1 = + uk < + = uk < 2, ∀k ≥ Giả sử , Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử a≥ limun = a, lim un+1 = lim + un Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có  a = −1 a = + a ⇔ a2 = a + ⇔  a = Hay lim un = a≥ Vì nên a = Vậy Ví dụ 2: Cho dãy số thực Tìm giới hạn dãy số (un ) ( Sn ) xác định Sn = biết : u1 = 2019  * un + 2018un − 2020un +1 + = 0, (n ∈ N ) 1 + + + u1 + 2019 u2 + 2019 un + 2019 ( HSG – THPT Hà Trung 2020) Ta có : Lời giải u + 2018un − 2020un+1 + = n ⇔ un+1 = un2 + 2018un + 2020 un2 + 2018un − 2019 ⇔ un+1 − = 2020 ⇔ 2020(un+1 − 1) = (un − 1)(un + 2019) ⇒ 1 = − (*) un + 2019 un − un+1 − 15 Sn = Từ (*) suy : 1 1 − = − u1 − un+1 − 2018 un+1 − 2020(un +1 − un ) = ( un − 1) ≥ 0, ∀n ∈ N * ⇒ (un ) Từ hệ thức truy hồi ta có tăng * un ≥ 2019, ∀n ∈ N Do : (u n ) Do dãy số tăng nên có hai khả xảy : (un ) lim un = x ⇒ x ≥ 2019 tăng bị chặn : Giả sử Khi : x + 2018 x − 2020 x + = ⇔ x = (không thảo mãn)   lim un = +∞ ⇒ lim  ÷= u − (un )  n+1  tăng không bị chặn : Khi  1  lim Sn = lim  − ÷=  2018 un+1 −  2018 Do : ( xn ) x1 = 2019, xn +1 = xn2 − xn + 1, n = 1, Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi: Với số nguyên dương Ta có n , đặt 1 1 yn = 2019  + + + ÷ xn   x1 x2 Lời giải xn+1 − xn = xn2 − xn + = ( xn − 1) ≥ ⇒ xn+1 ≥ xn , ∀n ≥ Ta chứng minh quy nạp theo n xn > n + 1, ∀n ≥ n =1 n (n > 1) Thật vậy, (1) với Giả sử (1) với xn+1 = xn ( xn − 1) + > n( n + 1) + = n + n + > n + Vậy (1) với n Từ xn+1 - = xn ( xn - 1) Ta có Suy Tính ( xn ) tăng ngặt 1 1 = = xn+1 - xn ( xn - 1) xn - xn Từ 16 lim yn Do ( xn ) tăng (1) xn > n + 1, ∀n ≥ suy 1 = xn xn - xn+1 - lim xn = +∞ Do 1   1   yn = 2016  + + + ÷ = 2019  − − ÷ = 2019  ÷ xn   x1 x2  x1 − xn +1 −   2018 xn +1 −  lim xn = +∞ ⇒ lim Từ =0 xn Ví dụ 4: Cho dãy số ( un+1 un Tính lim Nhận xét un lim yn = Vậy ) xác định un > 0, ∀n 2019 2018 u1 = 30  un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ ( Đề thi HSG- 11 Quảng Bình năm 2010 – 2011) Lời giải ( kiểm tra chứng minh quy nạp) un+1 = 30un + 3un + 2011 > 30un > un = un , ∀n ≥ Hơn nữa, ta có un un un Nên dãy số ( ) dãy tăng Giả sử dãy ( ) bị chặn trên, ( ) có giới un hạn hữu hạn ta đặt lim = a ( a > 0) lim un +1 = lim 30un + 3un + 2011 ⇒ a = 30a + 3a + 2011 Ta có ⇒ a = 30a + 3a + 2011 ⇒ 29a + 3a + 2011 = Phương trình vơ nghiệm lim un = +∞ nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un) không bị chặn hay Mặt khác lim Do un+1 30un + 3un + 2011 2011 = = 30 + + un un un un un+1 2011 = 30 + lim + lim = 30 un un un 17 un u1 =   un + un , ∀n ≥ un+1 = 2010  Ví dụ 5: Cho dãy số ( ) xác định u u u ( + + + n ) u u3 un +1 Tính lim ( HSG -12 Quảng Bình năm 2010 – 2011) Lời giải un un+1 − un = > 0, ∀n ≥ 1(*) ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ 2010 Từ hệ thức truy hồi ta có , ⇒ un > u1 = > 0, ∀n ≥ dãy (un) dãy số tăng un +1 − un un un 1 2010 = = 2010( − ) un+1.un un+1.un un+1 un un+1 Từ (*) suy hay u u u 1 ⇒ + + + n = 2010( − ) = 2010(1 − ) u2 u3 un +1 u1 un +1 un+1 ( u1 u2 u + + + n ) = lim 2010.(1 − ) u u3 un+1 un+1 Do lim Giả sử (un) bị chặn trên, dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a un > 1, ∀n ≥ ⇒ a ≥ (Vì ) un lim un+1 = lim( + un ) 2010 Từ hệ thức truy hồi suy a2 a= +a⇒a=0 2010 Hay (vô lý) lim un = +∞ ⇒ lim un+1 = +∞ Vậy (un) không bị chặn, tức u u u ( + + + n ) = 2010 u2 u3 un+1 Vây lim Ví dụ 6: Cho dãy số (un) thỏa mãn:  u1 =  u = u − u + n  n+1 n (n ∈ N *) 18 Tìm  n lim ∑  k =1 u k    ( HSG – Hải Dương 12- năm 2014) Lời giải u n +1 − u n = Ta có: Nếu có số M: un (u n − 4u n + 4) ≥ 0, ∀n ⇒ ≤ Khi ta có: L = Ta có: ⇔ Dãy khơng giảm M với n, tồn limun = L Vì un L2 – L + u − 2u n + = 2u n +1 n ⇔ L = (Vô lý) ⇒ limun = (  n 1 1  ∑ lim = − ∑ u1 − u n +1 − ⇒ k =1 u k  k =1 u k n Ví dụ 7: Cho dãy số ( un ) u1 ⇒ L ≥ u1 +∞ 1 = ⇔ u n (u n − 2) = 2(u n +1 − 2) ⇔ u n (u n − 2) 2(u n +1 − 2) 1 1 1 − = ⇔ = − u n − u n u n +1 − u n u n − u n +1 − ∀n ∈ N * Do đó: ≥ ( un ) xác định    = ) =2 u1 − u1 =   un = − u + , ∀n ≥ n−1  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó? Lời giải un > −3 + , ∀n ≥ + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh ∀n ≥ 1: un+1 − un = − + Ta có + Dãy số ( un ) lim un = a Đặt u + 3un + 1 − un = − n