Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
290,08 KB
Nội dung
Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 MỘTSỐBÀITOÁNTÌMGIỚIHẠNDÃYTRUYHỒI Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Mộtsố kiến thức có liên quan. Định nghĩa 1 Dãysố n u được gọi là dãysố tăng nếu với mọi n ta có 1nn uu Dãysố n u được gọi là dãysố giảm nếu với mọi n ta có 1nn uu Định nghĩa 2 Dãysố n u được gọi là dãysố bị chặn trên nếu tồn tại mộtsố M sao cho , * n uM n Dãysố n u được gọi là dãysố bị chặn dưới nếu tồn tại mộtsố m sao cho , * n um n Dãysố n u được gọi là dãysố bị chặn nếu tồn tại mộtsố M và mộtsố m sao cho , * n mu M n Định lý 1: (Tiêu chuẩn Weierstrass) 1) Mộtdãysố đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2) Mộtdãysố tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 3) Mộtdãysố giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 2: (Nguyên lý kẹp) Cho ba dãysố ,, nn n uvw sao cho: 00 ,, lim lim lim nn n n n nn nn nnnnuvw va uwa Định lý 3: Nếu lim n n ua thì lim n n ua Định lý 4: Nếu 1q thì lim 0 n n q Định lý 5: Cho dãy n u xác định bởi công thức truyhồi 1 () nn ufu , trong đó () f x là hàm số liên tục. Khi đó, nếu n ua thì a là nghiệm của phương trình () f xx . Định lý 6: Cho dãysố n u với 1 ua là mộtsố thực cho trước và 1 () nn ufu . Khi đó 1) Nếu () f x là hàm số đồng biến và 12 x x thì n u là dãysố tăng. 2) Nếu ( ) f x là hàm số đồng biến và 12 x x thì n u là dãysố giảm. Định lý 7: Cho dãysố n u với 1 ua là mộtsố thực cho trước và 1 () nn ufu . Khi đó Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 2 1) Nếu ( ) f x là hàm số nghịch biến và 12 x x thì 2n u là dãysố tăng và 21n u là dãysố giảm. 2) Nếu ( ) f x là hàm số nghịch biến và 12 x x thì 2n u là dãysố giảm và 21n u là dãysố giảm. Định lý 8: (LAGRANGE) Nếu () f x là hàm số liên tục trên đoạn ;ab , có đạo hàm trong khoảng ;ab thì tồn tại ;cab sao cho () () '( ) f bfa fc ba hay ( ) ( ) '( )( ) f bfa fcba Hệ quả: Giả sử hàm số () f x có đạo hàm trên miền xác định D, thỏa mãn điều kiện '( ) 1 f xc với c là hằng số và phương trình ( ) f xx có nghiệm duy nhất thuộc D, khi đó dãysố n u ( 1,2, n ) xác định bởi 0 x D và 1 () nn ufu có giớihạn là khi n dần tới vô tận. Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 3 B. Các bài toán. Bàitoán 1 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 2 1 1 , 2 (1) 1 n n n u u un u Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Đây là dãytruyhồi dạng 1 () nn ufu Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0 n u , 1n , vậy n u bị chặn dưới. Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 3 1 21 0 11 nn nn n nn uu uu u uu , vậy n u giảm. Do n u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 0a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 2 0 1 a aa a Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 0 n n u Bàitoán 2 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 1 1 1 2011 , 2 (1) 2 nn n u uu n u Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0 n u , 1n Mặt khác ta lại có: 11 11 1 2011 1 2011 .2 . 2011 22 nn n nn uu u uu , vậy n u bị chặn dưới. Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 2 1 2011 1 2011 0 22 n nn n n nn u uu u u uu , vậy n u giảm. Do n u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 2011a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 1 2011 2011 2 aa a a Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 4 Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 2011 n n u Bàitoán 3 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 3 2 3 2, 2 (1) nn u uu n Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 3 2 2 n u , 1n Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 1 32 0 nn n n uu u u , vậy n u tăng. Do n u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 3 2 2 a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 32 2aa a Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 2 n n u Bàitoán 4 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 0 6 , 2 (1) nn u uun Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0 3 n u , 1n Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 22 2 1 60 nn nn uu uu (do 0 3 n u ) 1 0 nn uu , vậy n u tăng. Do n u tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 03a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 63aaa Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 3 n n u Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 5 Bàitoán 5 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 1 1 22 1 , 2 (1) 3 n n n u u un u Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0 2 n u , 1n Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 1 12 0 3 nn nn n uu uu u (do 0 2 n u ) 1 0 nn uu , vậy n u tăng. Do n u tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 02a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 22 1 2 3 a aa a Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 2 n n u Bàitoán 6 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 01 1 1 , 1 (1) 4 n nn u uu n Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Từ cách cho dãysố ta suy ra: 0 1 n u, 1n Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 1 1 1 1 1 22 nn nn uu uu 1 0 nn uu , vậy n u giảm. Do n u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 01a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 2 11 1210 42 aa a a Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và 1 lim 2 n n u Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 6 Bàitoán 7 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 2 11 1 2 , 2 (1) nnn u u uuun Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0 n u , 1n Xét tính đơn điệu của n u : Ta chứng minh 1 , 1, 2, nn uu n (2) bằng phương pháp quy nạp + Với 1n thì (2) đúng + Giả sử (2) đúng khi nk . Ta chứng minh (2) cũng đúng khi 1nk .Tức là chứng minh: 12kk uu Thật vậy: Theo công thức truyhồi xác định dãy thì 1112kkk kkk uuuuuu + Vậy (2) cũng đúng với 1nk. Theo nguyên lý quy nạp thì (2) đúng với mọi 1, 2, n Như thế n u tăng. Mặt khác khi 3n , ta có: 2 11 244 nn n nnnn uu u uuuu Do n u tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 04a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 24aaa Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 4 n n u Bàitoán tương tự Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 2 11 9 6 , 2 (1) nnn u u uuun Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Hướng dẫn Chứng minh dãy trên giảm và bị chặn dưới bởi 4. Kết quả lim 4 n n u . Bàitoán 8 (Các bàitoán về dãysố - Phan Huy Khải) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 1 1 , 2 (1) 3 n n u un u Chứng minh rằng dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n . Lời giải Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 7 Bằng quy nạp chứng minh được 35 2 n u với mọi 1,2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Xét tính đơn điệu của n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n , 2 1 31 1 0 33 nn nn n nn uu uu u uu 1 0 nn uu , vậy n u giảm. Do n u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 35 2 a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 2 135 310 32 aaaa a Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và 35 lim 2 n n u Bàitoán 9 (HSG Đồng Tháp năm 2009) Cho dãysố (u n ) xác định bởi 1 23 1 1 2 31 n1 22 nnn u uuu Chứng minh rằng dãysố (u n ) có giớihạn hữu hạn và tìmgiớihạncủadãy số. Lời giải Xét hàm số 23 31 () 22 f xxx với x0;1 , ta có 2 3 f'(x) 3x x 0 x 0;1 2 f(x) tăng trên 0;1 và 0f(x)1 x 0;1 Chứng minh: n u0;1,n1. Thật vậy: 1 1 u0;1 2 . Giả sử k u0;1,k1thì 23 k1 k k k1 k1 k 31 uuu 0u 1 u 0;1 22 0u 1 Vậy n u0;1,n1. Do f tăng nên nn1 fu fu cùng dấu với nn1 uu Suy ra: n1 n uu cùng dấu với nn1 uu . Lập luận tiếp tục ta đi đến n1 n uu cùng dấu với 21 uu Vì 21 n1n n1 n 51 3 uu 0u u0u u 16 2 16 n1 Suy ra n u là dãy giảm Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 8 Lại do 1 1 u 2 nên suy ra được n 1 u0; 2 Do n u giảm và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 1 0 2 a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: 23 a0 31 aaaa1 22 a2 Do 1 0a 2 nên a0. Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 0 n n u Bàitoán 10 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban) Cho dãysố (u n ) xác định bởi 1 1 2 2,n1 nn u uu Chứng minh rằng dãysố (u n ) có giớihạn hữu hạn và tìmgiớihạncủadãy số. Lời giải Bằng quy nạp chứng minh được 0 2 n u với mọi 1,2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Xét hàm số () 2 f xx với x0;2, ta có 1 f'(x) 0 x 0;2 4x2 x f(x) tăng trên 0;2 Vì 4 21 u222u, suy ra n u là dãy tăng Do n u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 02a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: a2a (2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm duy nhất 0; 2a (Bạn đọc tự chứng minh) Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n Bàitoán 11 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban) Cho dãysố (u n ) xác định bởi 1 2 1 2 2,n 1 n u n u u Chứng minh rằng dãysố (u n ) có giớihạn hữu hạn và tìm giớihạncủadãy số. Lời giải Bằng quy nạp chứng minh được 1 2 n u với mọi 1,2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 9 Xét hàm số 2 () 2 x fx với x1;2, ta có x 2 1 f'(x) .2 .ln2 0 x 1;2 2 f(x) tăng trên 1; 2 Vì 2 2 21 u2 2u, suy ra n u là dãy tăng Do n u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim n n ua thì 12a Chuyển qua giớihạn hệ thức (1) khi n ta có: a 2 2aa2 Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 2 n n u Bàitoán 12 (Các bàitoán về dãysố - Phan Huy Khải) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 2 1 1 3 1 1, 1 (1) 2 nn u uun Hãy tìm lim n n u . Lời giải Ta thấy với mọi 2n thì 1 0 n u . Giả sử rằng n u có giớihạn là a thì 10a và a là nghiệm của phương trình 22 1 122013 2 xxxx x . Do 10a nên chọn 13a Xét hiệu sau đây: 2 1 1 1 13 113 13 13 22 1 3 1 1 3 2 33 1 3 22 n nnn nn n n u uuu uu u 2 3 13 2 n u Như thế ta có: 1 3 013 2 n n u mà 3 lim 0 2 n n nên 11 1 lim 1 3 0 lim 1 3 0 lim lim 1 3 nnnn nn nn uuuu Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 1 3 n n u Chuyên đề BDHSG: Giớihạncủadãysố THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 10 Bàitoán 13 (Các bàitoán về dãysố - Phan Huy Khải) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 2 1 3 2 1 , 1 (1) 2 nn u u uu n Hãy tìm lim n n u . Lời giải Bằng quy nạp chứng minh được 1 2 n u với mọi 1, 2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Giả sử rằng n u có giớihạn là a thì 12a và a là nghiệm của phương trình 2 2 122 2 x xxx x . Do 12a nên chọn 2a Xét hiệu sau đây: 2 1 1 21 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 1 = 2 2 2 2 2 2 n nn nn nn nn u uu uu uu uu 11 1 223 2 2 2 222 nn n uu Như thế ta có: 1 1 23 02 2 22 n n u mà 1 23 lim 2 0 22 n n nên 11 1 lim 2 0 lim 2 0 lim lim 2 nnnn nn nn uuuu Vậy dãysố n u có giớihạn hữu hạn khi n và lim 2 n n u Bàitoán 14 (Các bàitoán về dãysố - Phan Huy Khải) Cho dãysố thực n u xác định bởi: 1 1 2 2011 3 , 1 (1) 1 n n n u u un u Hãy tìm lim n n u . Lời giải Bằng quy nạp chứng minh được 3 n u với mọi 1,2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Giả sử rằng n u có giớihạn là a thì 3a và a là nghiệm của phương trình [...]... 2 2 n n Vậy dãysố un có giớihạn hữu hạn khi n n TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các bàitoán về dãysố NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạndãysố & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Mộtsố chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Phạm Văn Nhâm Mộtsố lớp bàitoán về dãysố Luận văn thạc sĩ khoa học... lim un 1 a n n 0 nên n Vậy dãysố un có giớihạn hữu hạn khi n và lim un n 3 15 2 Bàitoán 15 (OLP TOÁN SINH VIÊN) u1 2011 Cho dãysố thực un xác định bởi: 1 2 un 1 2 ln 1 un 2012, n 1 Chứng minh rằng dãysố (un) có giớihạn hữu hạn (1) Lời giải 1 ln 1 x 2 2012 với x , f ( x) là hàm số liên tục trên và ta có 2 x x 1 f '( x) ... giớihạn là a thì và a là nghiệm của phương trình Xét hàm số f ( x) Giả sử rằng un 1 ln(1 x 2 ) 2012 (2) 2 Ta chứng minh (2) có nghiệm duy nhất Thậy vậy 1 1 x ln(1 x 2 ) 2012 g ( x) x 2012 ln(1 x 2 ) 0 (3) 2 2 2 x x 1 0, x Ta có: g ( x) là hàm số liên tục và g '( x) x2 1 Suy ra: g ( x) đồng biến trên x 11 Chuyên đề BDHSG: Giới hạncủadãysố THPT... thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010 [7] Tô Văn Ban Giải tích những bài tập nâng cao NXBGD 2005 [8] W.J.KACZKOR – M.T.NOWAW Đoàn Chi (Biên dịch) – GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính) Bài tập giải tích I – Số thực – Dãysố và chuổi số NXBĐHSP2003 [9] Jean - Maria Monier Giáo trình giải tích 1 NXBGD 1999 12 ...Chuyên đề BDHSG: Giới hạncủadãysố a 3 a a2 1 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp a 3 2 2 a2 2 a 2 3a 2 a 2 3a 3 0 a 1 a 2 3a 1 3 15 a 2 a 2 3a 3 Xét hàm số f ( x) 3 f '( x) Ta có: x x2 1 1 x 2 trên 1 3 3; , thì un 1 f (un ) và f (a) . Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TRUY HỒI Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến. dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho , * n uM n Dãy số n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho , * n um n Dãy số n u được gọi là dãy số. rằng dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Lời giải Bằng quy nạp chứng minh được 1 2 n u với mọi 1,2, n (Bạn đọc tự kiểm tra) Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy