GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢN G TRUNG BÌNH

Mục lục Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . 2 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . 2 0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI L ƯỢN G TRUNG BÌNH NGUYỄN TÀI CHUNG GV TH PT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình đã xuất hiện rải rác trong các kì thi học sinh giỏi. Bài viết này nhằm trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống các bài toán về giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình. 0.1 Giới hạn của các dãy số si nh bởi các đại lượng trung bình Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình bậc r của n số dương a 1 , a 2 , . . . , a n là biểu thức xác định bởi: ∆ r (a 1 , a 2 , . . . , a n ) =  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n  1 r , nếu r = 0, và ∆ 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) := lim r→0 ∆ r (a 1 , a 2 , . . . , a n ) Chú ý 1. Đặc biệt khi r = 1 ta có trung bình cộng, khi r = −1 ta có trung bình điều hòa, khi r = 2 ta có trung bình bình phương (ha y còn gọi là trung bình toàn phương). Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu a 1 , a 2 , . . . , a n là những số dương khác 1 thì ∆ 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) = n √ a 1 a 2 . . . a n . (*) Do đó khi r = 0, ta có trung bình nhân. Còn (∗) được chứng minh như sau: Ta có ln [∆ 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n )] = ln  lim r→0 ∆ r (a 1 , a 2 , . . . , a n )  = ln  lim r→0  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n  1 r  = lim r→0  ln  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n  1 r  = l im r→0     ln  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n  r     Lopitan = lim r→0       a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n   a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n      = l im r→0      a r 1 ln a 1 + a r 2 ln a 2 + ··· + a r n ln a n n  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n     = ln ( a 1 a 2 . . . a n ) n 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. = ln  (a 1 a 2 . . . a n ) 1 n  . Do đó ∆ 0 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) = n √ a 1 a 2 . . . a n . Nhận xét 2. Theo nhận xét 1, trang 2 ta có ngay: Với a > 0, b > 0 thì lim m→∞  a 1 m + b 1 m 2  m = √ ab. Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau (không sử dụng quy tắc Lôpitan): Ta có ln √ ab m = ln(ab ) 1 2m = ln  a 1 2m b 1 2m  ≤ ln  a 1 m + b 1 m 2  = ln  1 2  a 1 m − 1  + 1 2  b 1 m − 1  + 1  < 1 2  a 1 m − 1  + 1 2  b 1 m − 1  . Vậy ln √ ab ≤ ln  a 1 m + b 1 m 2  m ≤ 1 2  m  a 1 m −1  + m  b 1 m − 1  , ∀m = 1, 2, . . . Từ đây, cho m → +∞ ta được lim m→∞ ln  a 1 m + b 1 m 2  m = ln √ ab ⇒ lim m→∞  a 1 m + b 1 m 2  m = √ ab. Nhận xét 3. Ta chứng minh được kết quả: Dãy ∆ r (a 1 , a 2 , , a n ) =  a r 1 + a r 2 + ··· + a r n n  1 r là sắp được theo r như là một hàm đồng biến của hàm số biến r ∈ R. Kết quả này rất quan trọng, nó định hướng cho ta trong quá trình so sánh các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình. Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của các dã y số thường là bằng nhau và thường thì ta tìm được số hạng tổng quát của các dãy số đó. 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 3 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. 0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số Bài toán 1 (Cộng cùng-nhân cùng). Cho dãy số (x n ) +∞ n=1 và (y n ) +∞ n=1 được xác định như sau x 1 = a > 0, y 1 = b > 0, x n = x n−1 + y n−1 2 , y n = √ x n−1 y n−1 . Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và lim n→∞ x n = lim n→∞ y n . Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì x n > 0, y n > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x n+1 = x n + y n 2 ≥ √ x n y n = y n+1 ⇒ x n ≥ y n , ∀n = 2, 3, . . . Suy ra y n+1 = √ x n y n ≥ √ y n y n = y n , ∀n = 1, 2, . . . Vậy y n ≥ y n−1 ≥ ··· ≥ y 2 = √ ab. Tương tự ta có x n+1 ≤ x n ≤ ··· ≤ x 2 = a + b 2 . Vậy nên √ ab ≤ y 2 ≤ y 3 ≤ ··· ≤ y n ≤ x n ≤ ··· ≤ x 3 ≤ x 2 = a + b 2 . Suy ra dãy số (x n ) giảm, bị chặn dưới bởi √ ab, còn dãy (y n ) tăng và bị chặn trên bởi a + b 2 . Do đó chúng hội tụ. Đặt lim n→+∞ x n = α, lim n→+∞ x n = β. Khi đó từ giả thiế t x n+1 = x n + y n 2 , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được α = α + β 2 ⇔ α = β. Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim n→+∞ x n = lim n→+∞ x n . Bài toán 2 (Cộng cùng-điều hòa cùng). Cho hai số dương a, b. Xét các dãy số (a n ) +∞ n=1 và (b n ) +∞ n=1 như sau a 1 = a, b 1 = b, a n+1 = a n + b n 2 , b n+1 = 2 1 a n + 1 b n , ∀n = 1, 2, Tìm lim n→∞ a n và lim n→∞ b n . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 4 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Giải. Cách 1. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . , ta có a n > 0, b n > 0, b n+1 = 2 1 a n + 1 b n = 2a n b n a n + b n . Vì vậy a n+1 b n+1 = a n + b n 2 . 2a n b n a n + b n = a n b n , ∀n = 1, 2, . . . Suy ra a n b n = ··· = a 1 b 1 = ab, ∀n = 1, 2, . . . Ta có √ a n − √ b n √ a n + √ b n = a n − √ a n b n a n + √ a n b n = a n−1 + b n−1 2 − √ a n b n a n−1 + b n−1 2 + √ a n b n = a n−1 + b n−1 − 2 √ a n b n a n−1 + b n−1 + 2 √ a n b n = a n−1 + b n−1 − 2  a n−1 b n−1 a n−1 + b n−1 + 2  a n−1 b n−1 =  √ a n−1 −  b n−1 √ a n−1 +  b n−1  2 . Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng √ a n − √ b n √ a n + √ b n =  √ a 1 − √ b 1 √ a 1 + √ b 1  2 n−1 =  √ a − √ b √ a + √ b  2 n−1 , ∀n = 1, 2, . . . Vậy lim n→∞ √ a n − √ b n √ a n + √ b n = lim n→∞  √ a − √ b √ a + √ b  2 n−1 = 0  do      √ a − √ b √ a + √ b      < 1  . Theo trên suy ra √ a n − √ b n √ a n + √ b n = a n − √ ab a n + √ ab ⇒ lim n→∞ a n − √ ab a n + √ ab = 0. Đặt a n − √ ab a n + √ ab = x n ⇔ a n x n + √ abx n = a n − √ ab ⇔ a n = √ ab(x n + 1) 1 − x n . Khi đó lim n→+∞ a n = lim n→+∞ √ ab(x n + 1) 1 − x n = √ ab (do lim n→+∞ x n = 0). 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 5 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Vậy lim n→∞ b n = lim n→∞ ab a n = ab √ ab = √ ab. Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có b n+1 = 2 1 a n + 1 b n ≤ 2 2  1 a n . 1 b n =  a n b n ≤ a n + b n 2 = a n+1 , ∀n = 1, 2, . . . Với mọi n = 2, 3, . . . ta có a n+1 = a n + b n 2 ≤ a n + a n 2 = a n , b n+1 ≥ b n ⇔ 2a n b n a n + b n ≥ b n ⇔ a n b n ≥ b 2 n ⇔ a n ≥ b n (đúng). Hay ta viết lại 2ab a + b = b 2 ≤ ··· ≤ b n ≤ b n+1 ≤ a n+1 ≤ a n ≤ ··· ≤ a 2 = a + b 2 . Vậy kể từ số hạng thứ hai trở đi dãy số (a n ) +∞ n=1 giảm và bị chặn dưới bởi số 2ab a + b nên có giới hạn, dãy số (b n ) +∞ n=1 tăng và bị chặn trên bởi số a + b 2 nên có giới hạn. Đặt lim n→∞ a n = α, lim n→∞ b n = β. Khi đó từ giả thiế t a n+1 = a n + b n 2 , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được α = α + β 2 ⇔ α = β. Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim n→∞ a n = lim n→∞ b n . Từ lim n→∞ (a n b n ) = lim n→∞ (ab) = ab ta có lim n→∞ a n . lim n→∞ b n = ab. Do đó αβ = ab, mà α = β ≥ 0 nên suy ra α = β = √ ab. Vậy lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = √ ab. Bài toán 3 (Nhân cùng-điều hòa cùng). Cho các dãy số (a n ) +∞ n=1 , (b n ) +∞ n=1 xác định như sau a 1 = a > 0, b 1 = b > 0, a n+1 = 2 1 a n + 1 b n , b n+1 =  a n b n (∀n = 1, 2, . . .) Chứng minh hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 6 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có 1 a n+1 = 1 a n + 1 b n 2 , 1 b n+1 =  1 a n . 1 b n , ∀n = 1, 2, . . . Đặt 1 a n = x n , 1 b n = y n . Khi đó x 1 = 1 a > 0, y 1 = 1 b > 0 và x n+1 = x n + y n 2 , y n+1 = √ x n y n , ∀n = 1, 2, . . . Vậy theo bài toán 1 suy ra hai dãy (x n ), (y n ) hội tụ và lim n→+∞ x n = lim n→+∞ y n . Do đó hai dãy (a n ), (b n ) hội tụ và lim n→+∞ a n = lim n→+∞ b n . Bài toán 4 (Trung bình bậc r cùng-nhân cùng). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét hai d ãy số (x n ) +∞ n=1 và (y n ) +∞ n=1 như sau x 1 = a, y 1 = b, x n+1 =  x r n + y r n 2  1 r , y n+1 = √ x n y n . Chứng minh rằng hai dãy số đã cho hội tụ và lim n→∞ x n = lim n→∞ y n . Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì x n > 0, y n > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x n+1 =  x r n + y r n 2  1 r ≥   x r n .y r n  1 r = √ x n y n = y n+1 , ∀n = 1, 2, . . . Suy ra y n+1 = √ x n y n ≥ √ y n y n = y n , ∀n = 2, 3, . . . Vậy y n ≥ y n−1 ≥ ··· ≥ y 2 = √ ab. Tương tự ta có x n+1 =  x r n + y r n 2  1 r ≤  x r n + x r n 2  1 r = x n , ∀n = 2, 3, . . . Suy ra x n+1 ≤ x n ≤ ··· ≤ x 2 =  a r + b r 2  1 r . Vậy nên √ ab ≤ y 2 ≤ y 3 ≤ ··· ≤ y n ≤ x n ≤ ··· ≤ x 3 ≤ x 2 =  a r + b r 2  1 r . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 7 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Suy ra dãy số (x n ) giảm, bị chặn dưới bởi √ ab còn dãy (y n ) tăng và bị chặn trê n bởi  a r + b r 2  1 r . Do đó chúng hội tụ. Đặt lim n→∞ x n = α, lim n→∞ y n = β. Khi đó từ giả thiế t x n+1 =  x r n + y r n 2  1 r , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được. α =  α r + β r 2  1 r ⇔ α r = α r + β r 2 ⇔ α r = β r ⇔ α = β. Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim n→∞ x n = lim n→∞ y n . 0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số Bài toán 5 (Cộng cùng-cộng lệch). Cho trước a, b ∈ R. Xét ha i dãy (u n ) +∞ n=1 và (b n ) +∞ n=1 như sau: u 1 = a, v 1 = b, u n+1 = u n + v n 2 , v n+1 = u n+1 + v n 2 Tìm lim n→∞ u n , lim n→∞ v n . Giải. Ta có u n+1 = u n + v n 2 , v n+1 = u n + 3v n 4 , ∀n = 1, 2, . . . Suy ra với mọi n = 1, 2, . . . , ta có u n+1 + λv n+1 = u n + v n 2 + λ u n + 3v n 4 =  1 2 + λ 4  u n +  1 2 + 3λ 4  v n . Ta chọn λ sao cho 1 2 + 3λ 4 = λ  1 2 + λ 4  ⇔ λ 2 − λ − 2 = 0 ⇔  λ = −1 λ = 2. Vậy với λ ∈ {−1, 2}, ta có: u n+1 + λv n+1 =  1 2 + λ 4  (u n + λv n ) , ∀n = 1, 2, . . . Đặt u n + λv n = x n , suy ra x n+1 =  1 2 + λ 4  x n , ∀n = 1, 2, . . . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 8 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Vậy dãy số (x n ) +∞ n=1 tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu x 1 = a + λb, công bội q = 1 2 + λ 4 . Do đó x n = (a + λb)  1 2 + λ 4  n−1 , ∀n = 1, 2, . . . Lần lượt lấy λ = −1, λ = 2 ta được:  u n − v n = (a −b) . 1 4 n−1 u n + 2v n = a + 2b ⇔      u n = 1 3 (a + 2b) + (a − b) . 2 3 . 1 4 n−1 v n = 1 3  a + 2b − (a − b) . 1 4 n−1  Suy ra lim n→∞ u n = lim n→∞ v n = 1 3 (a + 2b) . Bài toán 6 (Nhân cùng-nhân lệch). Cho trước hai s ố dương a và b. Xét hai dãy số (u n ) , (v n ) như sau: u 1 = a, v 1 = b, u n+1 = √ u n v n , v n+1 = √ u n+1 v n (∀n = 1, 2, . . . ) Hãy tìm lim n→∞ u n và lim n→∞ v n . Hướng dẫn. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . ta có u n > 0 và v n > 0. Gọi x n = ln u n , y n = ln v n (∀n = 1, 2, . . .). Khi đó x 1 = ln a, y 1 = ln b và với mọi n = 1, 2, . . . , ta có x n+1 = ln u n + ln v n 2 = x n + y n 2 , y n+1 = ln u n+1 + ln v n 2 = x n+1 + y n 2 . Theo bài tập 5 ta có lim n→∞ x n = lim n→∞ y n = ln a + 2 ln b 3 = ln ab 2 3 = ln  ab 2  1 3 . Vì hàm số mũ liên tục nên suy ra lim n→∞ u n = lim n→∞ v n = lim n→∞ e ln u n = lim n→∞ e x n = e lim n→∞ x n = e ln ( ab 2 ) 1 3 =  ab 2  1 3 . Bài toán 7 (Điều hòa cùng-điều hòa lệch). Cho tr ước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (u n ) , (v n ) như sau: u 1 = a, v 1 = b, u n+1 = 2 1 u n + 1 v n , v n+1 = 2 1 u n+1 + 1 v n (∀n = 1, 2, . . . ) Hãy tìm lim n→∞ u n và lim n→∞ v n . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 9 Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có 1 u n+1 = 1 u n + 1 v n 2 , 1 v n+1 = 1 u n+1 + 1 v n 2 , ∀n = 1, 2, . . . Vậy đặt 1 u n = x n , 1 v n = y n . Khi đó x 1 = 1 a > 0, y 1 = 1 b > 0, x n+1 = x n + y n 2 , y n+1 = x n+1 + y n 2 . Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 5. Bài toán 8 (Trung bình bậc r cùng-trung bì nh bậc r lệch). Cho trước hai số dương a, b và cho trước r = 0. Xét hai dãy số (u n ) , (v n ) như sau: u 1 = a, v 1 = b, u n+1 =  u r n + v r n 2  1 r , v n+1 =  u r n+1 + v r n 2  1 r Hãy tìm lim n→∞ u n và lim n→∞ v n . Hướng dẫn. Dễ thấy rằng với mọi n = 1, 2, . . . ta có u n > 0, v n > 0. Với mọi n = 1, 2, . . . , và với mọi λ ∈ R, ta có: u r n+1 + λv r n+1 = u r n + v r n 2 + λ u r n+1 + v r n 2 = u r n + v r n 2 + λ u r n + v r n 2 + v r n 2 = u r n + v r n 2 + λ u r n + 3v r n 4 =  1 2 + λ 4  u r n +  1 2 + 3λ 4  v r n . Tương tự như bài tập 5, ta chứng minh được lim n→∞ u r n = lim n→∞ v r n = a + 2b 3 . Do đó và vì hàm số f(x) = x 1 r liên tục trên (0; +∞) nên lim n→∞ u n = lim n→∞ v n = lim n→∞ (v r n ) 1 r =  lim n→∞ v r n  1 r =  a + 2b 3  1 r . Chú ý 2. Hàm sin hypebôlic và hàm cos hypebôlic lần lượt là hàm sinh x = e x −e −x 2 , cosh x = e x + e −x 2 . 0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 10 [...]... các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 15 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Bài toán 14 (Điều hoà cùng-cộng lệch) Cho trước hai số dương a và b Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = 2 1 1 + a n bn , bn+1 = an+1 + bn 2 Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau Giải Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi... hai số dương a và b Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = a n + bn , bn+1 = 2 2 1 an+1 1 + bn Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau Hướng dẫn Đặt 1 1 = xn , = yn Ta đươc an bn xn+1 = 2 xn+1 + yn , yn+1 = 1 1 2 + xn yn Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 17 Chương 0 Nguyễn... n→∞ Trường hợp 2.2: a > b Khi đó a r < br ⇒ 0 < ar < 1 br Do đó đặt ar π = cos v 0 < v < r b 2 Tương tự như trường hợp 1.2, ta chứng minh được sin v lim an = lim bn = b n→∞ n→∞ v 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 1 r 20 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai ar ar Trường hợp 2.3: a < b Khi đó r > 1 G i α là số để r = cosh α Tương tự như trường b b hợp... Chứng minh rằng các dãy số này hội tụ và tính giới hạn của chúng Giải Dễ thấy với mọi n = 1, 2, thì xn > 0, yn > 0, zn > 0, tn > 0 G i M = ar + br + cr + dr Khi đó với mọi n = 1, 2, , ta có r r r r r r xr + yn+1 + zn+1 + tr = xr + yn + zn + tr = · · · = xr + y1 + z1 + tr = M n+1 n+1 n n 1 1 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 26 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT... xn−1 + yn−1 + zn−1 + gn−1 xn + yn + zn + gn = 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 24 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Sử dụng liên tiếp các kết quả trên ta thu được: xn + yn + zn + gn = xn−1 + yn−1 + zn−1 + gn−1 = · · · = a + b + c + d (1) Đặt M = a + b + c + d, khi đó từ (1) ta có zn−1 + gn−1 + xn−1 gn−1 + xn−1 + yn−1 + 3 3 2(a + b + c + d) xn−1... 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 23 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Do đó r r zn + xr xr + yn 1 xr M xr n r r + n = (xr + yn + zn ) + n = + n 2 2 2 n 2 2 2 r xn xr M M ⇒ M − xr = + ⇒ xr = − n + n+1 n+1 2 2 2 2 r r yn+1 + zn+1 = Đặt xr = gn Khi đó n 1 M gn+1 = − gn + , ∀n = 1, 2, 2 2 Bởi vậy bằng quy nạp ta chứng minh được: M Do đó lim gn... 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 12 Chương 0 Nguyễn Tài Chung b2 = a 2 b1 = GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai b2 cosh2 α α α α cosh2 2 = b cosh cosh 2 , 2 2 2 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: α α α α an = b cosh cosh 2 cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, 2 2 2 2 α α α α bn = b cosh cosh 2 cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, 2 2 2 2 sinh 2x (với sinh. .. Tương tự ta chứng minh được n→∞ 3 a+b+c a+b+c lim yn = , lim zn = n→∞ n→∞ 3 3 xn − Bài toán 19 Cho 3 số dương a, b, c Lập 3 dãy (un )+∞ , (vn )+∞ ,(wn )+∞ theo quy luật sau: n=1 n=1 n=1 u1 = a, v1 = b, w1 = c và un+1 = √ √ √ vn wn , vn = wn un , wn+1 = un vn , ∀n = 1, 2, 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 22 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai... và chúng có cùng một giới hạn Giải Dễ thấy với mọi n ∈ N thì un > 0, vn > 0, wn > 0 Theo các bất đẳng thức √ a1 + a2 + · · · + an n ≥ n a1 a2 an ≥ , ∀a1, a2, , an > 0 1 1 1 n + + ··· + a1 a2 an 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 27 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai suy ra u1 ≥ v1 ≥ w1 Bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra (*) un ≥ vn ≥ wn , ∀n... λ 2α − λ = Trường hợp 1: 4α = λ Khi đó λ λ − λ = − < 0, n→∞ 2 2 điều này mâu thuẫn với trên Vậy trường hợp (1) không thể xảy ra (ta lý luận cách khác là lim vn = 2α − λ = từ 4α = λ suy ra mâu thuẫn với λ > 0, λ ≤ α) Trường hợp 2: λ = α Khi đó lim vn = 2α − λ = α n→∞ 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 29 Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Do đó lim