T rong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả tổng quát cho một bài toán giới hạn của dãy số dạng trung bình và các ứng dụng của nó trong các bài toán tính giới hạn dãy số.. Tuy nh[r]
(1)GIỚI HẠN CỦA MỘT DÃY SỐ DẠNG TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG
Võ Quốc Bá Cẩn
Trong viết này, chúng tơi trình bày kết quảtổng quát cho toán giới hạn dãy số dạng trung bình ứng dụng tốn tính giới hạn dãy số
1 Lời dẫn
Trong trình tự học rèn luyện, hẳn nhiều bạn làm quen với toán sau:
Cho dãy số (un) bị chặn thỏa mãn
un+2≤
un+1+ un
2 , ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (un) hội tụ.
Bài 1.
Đây toán thú vị đặc trưng cho phương pháp sử dụng dãy phụ (dãy số max − min) để tìm giới hạn dãy số Tuy nhiên, dừng lại ta chưa thể thấy hết nét đặc sắc
Một toán hay hay nên ta ứng dụng cho tốn khác Nhưng tốn1q cụ thể (giống trường hợp riêng) nên muốn làm điều này, ta cần mở rộng toán Cụ thể, ta thử thêm nhiều số hạng thay có un+1và un, đồng thời thử thay
các hệ số 12, 12 số khác xem sao?
Kết thu thật bất ngờ! Sử dụng phương pháp dãy phụ max − min, ta chứng minh kết tổng quát cho toán1như sau:
Cho k số nguyên dương α1, α2, , αk
là số thực dương có tổng bằng1 Xét dãy số (un) bị chặn thỏa mãn tính chất:
un+k ≤ α1un+ α2un+1+ · · · + αkun+k−1
với n ∈ N∗ Chứng minh (un) hội tụ.
Bài (Tổng quát hóa bài1).
2 Lời giải toán tổng quát
Đặt An = max{un, un+1, , un+k−1} Khi đó, dễ
thấy (An) bị chặn và:
An≥ α1un+ α2un+1+ · · · + αkun+k−1≥ un+k (∗)
với n = 1, 2, Do vậy, ta có
An= max{un, un+1, , un+k−1, un+k}
≥ max{un+1, un+2, , un+k−1, un+k}
= An+1
Kết cho thấy (An) dãy giảm bị chặn
dưới Và thế, hội tụ số A Theo tính chất giới hạn dãy số, với ε > 0, tồn số tự nhiên n0đủ lớn để:
A− ε < An< A + ε, ∀n ≥ n0 (1)
Ta chứng minh dãy (un) hội tụ A Từ (1),
ta suy un≤ An< A + ε, ∀n ≥ n0
Đặt K = maxn2−α1
α1 , ,
2−αk
αk o
Ta chứng minh
(2)Nếu un≥ A − ε bất đẳng thức (2) hiển nhiên
do K > Giả sử có số n ≥ n0+ k − mà un< A − ε
Khi đó, số un+1, , un+k−1phải có
một số lớn A − ε (do (1)) Gọi số un+m
Khi đó, với ý n + m − k ≥ n0, ta có
un+m−k, , un+m−1< A + ε
Sử dụng đánh giá này, ta thu
un+m≤ k
∑
i=1, i6=k+1−m
αiun+m−k+i−1+ αk+1−mun
< (1 − αk+1−m)(A + ε) + αk+1−mun
Từ suy
un>
un+m− (1 − αk+1−m)(A + ε)
αk+1−m
> A− ε − (1 − αk+1−m)(A + ε)
αk+1−m
= A −2 − αk+1−m
αk+1−m
ε ≥ A − Kε
Như vậy, bất đẳng thức (2) thỏa mãn với n ≥ n1= n0+ k − Từ đây, ta suy
A− Kε < un< A + ε < A + Kε, ∀n ≥ n1
Đặt ε0= Kε Khi đó, bất đẳng thức viết lại thành A − ε0< un< A + ε0, hay
|un− A| < ε0, ∀n ≥ n1
Từ đây, sử dụng định nghĩa giới hạn, ta suy dãy (un) hội tụ A Bài toán chứng minh
Nhận xét Một mấu chốt toán
là đánh giá (∗) Có thể thấy dãy (un) bị
chặn ta thay đổi giả thiết thành α1+ α2+ · · · + αk < Lúc này, bất đẳng thức (∗)
vẫn Do đó, lý luận đảm bảo Kết toán lời giải giữ tính đắn Ngồi ra, dễ thấy lúc lim un=
Đây ý quan trọng để ta ứng dụng kết tốn tổng qt cho tốn phía sau
Ngoài ra, cần ý kết tốn khơng cịn ta thay giả thiết αidương thành
không âm Thật vậy, chẳng hạn ta xét trường hợp k = α1= 1, α2= Khi đó, (un) thỏa mãn
un+2≤ un, ∀n ∈ N∗
Lúc này, ta chọn u2n = u2n−1= 2, ∀n ∈ N∗
thì dãy phân kỳ
3 Một số toán ứng dụng
Xét dãy (un) xác định u1= u2= và:
un+2=2un+1+ un
5 , ∀n ∈ N
∗.
Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó.
Bài 3.
Lời giải Từ giả thiết, dễ thấy un> 0, ∀n ∈ N∗ Do
đó, sử dụng kết tốn tổng quát2trong trường hợp: dãy bị chặn 0, k = 2, α1=15, α2= 25
và α1+ α2< 1, ta thu lim un=
Cho dãy (un) thỏa mãn u1, u2, u3∈ (0, 1) và:
un+3= u
2
n+2+ u2n
3 , ∀n ∈ N
∗.
Tìmlim un
Bài 4.
Lời giải Từ giả thiết, dễ thấy < un< 1, ∀n ∈ N∗
Sử dụng kết này, ta thu
un+3<un+2+ un <
un+2+ un+1+ un
3 , ∀n ∈ N
∗.
Đến đây, sử dụng kết toán trường hợp: dãy bị chặn dưới, k = 3, α1= α2= α3= 13 và
α1+ α2+ α3= 1, ta dễ thấy unhội tụ
Bây giờ, đặt lim un= A, ta dễ thấy ≤ A ≤ Chuyển
phương trình sai phân đề sang giới hạn, ta A= 23A2 Từ suy A = (do A ≤ 1)
Vậy giới hạn cần tìm
Cho dãy số dương (un) thỏa mãn
un+3=
√
un+ un+2, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó.
(3)Lời giải Trước hết, ta chứng minh tồn số
tự nhiên n0 để un0 ≥ Thật vậy, giả sử un< với n ∈ N∗ Khi đó, từ cơng thức dãy, ta có
√
un+ un+2= un+3< 1, ∀n ∈ N∗
Từ suy
un+3=√un+ un+2> un+ un+2> un+2, ∀n ∈ N∗
Điều chứng tỏ (un) dãy tăng kể từ số hạng thứ
ba trở Dãy (un) tăng bị chặn nên tồn
tại lim un= A với < A ≤ Tuy nhiên, chuyển
phương trình đề sang giới hạn, ta lại thu A= ∨ A = không thỏa mãn < A ≤
Như vậy, phải tồn n0∈ N∗sao cho un0 ≥ Khi đó, dễ thấy un0+3, un0+4, un0+5> Do ta cần tìm giới hạn dãy (un) nên khơng tính tổng qt,
ta xem dãy ba số hạng trở Nghĩa là, ta giả sử u1, u2, u3>
Đến đây, lại sử dụng công thức truy hồi dãy, ta suy un> 1, ∀n ∈ N∗ Từ đó, ta có
|un+3− 2| =
√
un+ un+2−
=
|un+ un+2− 4|
√
un+ un+2+
≤ |un− 2| + |un+2− 2|
3 , ∀n ∈ N
∗.
Đặt vn= |un− 2| Khi đó, ta có vn≥ 0, ∀n ∈ N∗và:
vn+3≤
vn+ vn+2
3 ≤
1 3vn+
1
6vn+1+ 3vn+2
Sử dụng kết toán tổng quát2trong trường hợp: dãy bị chặn 0, k = 3, α1= 13, α2=16,
α3= 13 và α1+ α2+ α3< 1, ta thu
lim vn=
Từ suy lim un=
Cho dãy số (un) thỏa mãn u1, u2∈ (0, 1) và:
un+2=1 5u
3
n+1+
4 √
un, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy số (un) có giới hạn hữu
hạn tìm giới hạn đó.
Bài (Hà Nội, 2013).
Lời giải Từ công thức truy hồi dãy (un), ta dễ
dàng suy < un< 1, ∀n ∈ N∗ Điều cho phép
ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM sau:
1 5· u
3
n+1+
4 5·
3 √
un≥ q
u3n+1· (√3u
n)4= u
3
n+1u
4 15
n
Từ suy
un+2≥ u
3
n+1u
4 15
n , ∀n ∈ N∗
Lấy logarith nepe hai vế đặt vn= − ln un, ta có
vn+2≤
5vn+1+
15vn, ∀n ∈ N
∗.
Do < un< nên vn> 0, ∀n ∈ N∗ Từ đây, sử dụng
kết toán tổng quát2trong trường hợp: dãy
bị chặn bởi0, k = 2, α1= 35, α2=154 và
α1+ α2=
13 15 < 1,
ta có lim vn= Từ đây, ta dễ thấy lim un=
Cho dãy số thực (an) xác định bởi:
a1= 3, a2=
2
an+1=
1 2+
an
3 + a2n−1
6 , ∀n = 2, 3,
Chứng minh dãy (an) có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó.
Bài (Trường Đông TH miền Nam, 2013).
Lời giải Từ giả thiết, dễ thấy < an< 1, ∀n ∈ N∗
Đặt vn= − an, ta có
1 − an+2=
1 − an+1
3 +
1 − a2n ,
suy
vn+2=
3vn+1+ + an
6 vn<
3vn+1+ 3vn
Do 13+13 < (vn) bị chặn nên theo
(4)Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1= 1, x2= 2014 và:
xn+2=q3 x2
n+1xn, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó.
Bài (TP HCM, 2014).
Lời giải Từ giả thiết, ta dễ thấy xn≥ 1, ∀n ∈ N∗
Lấy logarith nepe hai vế phương trình sai phân đề đặt vn= ln xn, ta có v1= 0, v2= ln 2014 và:
vn+2=
2
3vn+1+
3vn, ∀n ∈ N
∗.
Sử dụng kết toán tổng quát2trong trường hợp: dãy bị chặn dưới, k = 2, α1 = 23, α2 = 13 và
α1+ α2= 1, ta có (vn) hội tụ Mặt khác, ta dễ thấy
3vn+2+ vn+1= 3vn+1+ vn= · · · = 3v2+ v1
Do lim vn= 3v24+v1 =34ln 2014 Với kết này,
ta dễ dàng tìm lim xn= 2014
3
Tìm tất đơn ánh f : N∗→ N∗thỏa mãn
f f(n) ≤ f(n) + n
2 , ∀n ∈ N
∗
Bài (Romanian TST, 2004).
Lời giải Cố định n đặt:
u0= n, um= fm(n) = f f (n) (m lần f )
Từ giả thiết, ta chứng minh quy nạp rằng:
um+2≤ um+1+ um
2 , ∀m ∈ N
Ngoài ra, dễ thấy dãy (um) bị chặn nên
theo kết toán 2, dãy hội tụ có giới hạn A Từ đó, theo định nghĩa giới hạn, với < ε < 12, tồn m0∈ N∗đủ lớn cho
|um− A| < ε, ∀m ∈ N∗, m ≥ m0
Với kết này, ta có
|um0+1− um0| ≤ |um0+1− A| + |um0− A| < 2ε <
Vì |um0+1− um0| số tự nhiên nên từ bất đẳng thức trên, ta suy |um0+1− um0| = 0, tức
um0= um0+1⇔ fm0(n) = fm0 f(n)
Mặt khác, f đơn ánh nên dễ thấy fm0(n) đơn ánh Từ kết hợp với đẳng thức trên, ta suy f(n) = n với n ∈ N∗ Thử lại, ta dễ thấy hàm số f(n) = n, ∀n ∈ N∗thỏa mãn yêu cầu toán
Dãy (xn) xác định x1= 45, x2=109 và:
xn+2=
√
xn+1+
√
xn, ∀n ∈ N∗
Tìmlim xn
Bài 10 (Bắc Ninh, 2014).
Lời giải Từ giả thiết, ta dễ dàng chứng minh được
xn> 1, ∀n ≥ Gọi a > nghiệm dương phương trình a4= a + Khi đó, ta có
|xn+2− a6| =
√
xn+1+
√ xn− a6
=
√
xn+1− a3 +
√
xn− a2 ≤
√
xn+1− a3
+
√
xn− a2
= |xn+1− a
6|
√
xn+1+ a3
+ |xn− a
6|
3 p
x2 n+ a23
√
xn+ a4
≤
2|xn+1− a
6| +1
3|xn− a
6|, ∀n ≥ 3.
Đặt vn= |xn− a6|, ta có vn≥ 0, ∀n ∈ N∗và:
vn+2≤
1
2vn+1+
3vn, ∀n ≥
Sử dụng kết toán2trong trường hợp: dãy bị
chặn bởi0, k = 2, α1=12, α2=13, α1+ α2< 1,
ta có lim vn= Từ suy lim xn= a6
Cho bốn số thực dương a, b, A, B Xét dãy số thực (xn) xác định x1= a, x2= b và:
xn+2= Aq3 x2 n+1+ B
3 q
x2
n, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó.
(5)Lời giải Để cho lý luận biến đổi thuận
tiện, ta đặt xn= (A + B)3unvà α = A+BA , β =A+BB
Khi đó, ta có α + β = và:
un+2= α
q
u2n+1+ βq3 u2
n, ∀n ∈ N∗
Đặt M = min{u1, u2, 1} Ta chứng minh
xn≥ M, ∀n ∈ N∗
Ta chứng minh quy nạp theo n Dễ thấy khẳng định với n = 1, Giả sử khẳng định với n= k (k ≥ 2) Khi đó, theo giả thiết quy nạp, ta có
uk+1= α
q
u2k+ βq3 u2k−1
≥ α√3M2+ β√3 M2
= √
M2≥ M.
Do đó, khẳng định với n = k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có khẳng định với n
Bây giờ, đặt vn= |un− 1|, ta có
|un+2− 1| = α
q
u2n+1−
+ β q
u2 n−
= α (un+1+ 1)|un+1− 1| u
4
n+1+ u
2
n+1+
+β (un+ 1)|un− 1| u
4
n+ u
2
n+
≤ α (un+1+ 1)|un+1− 1| 2un+1+
+β (un+ 1)|un− 1| 2un+
Do f (t) = 2t+1t+1 nghịch biến R+nên ta dễ thấy:
un+1+
2un+1+
, un+ 2un+
≤ M+
2M + < 1, ∀n ∈ N
∗.
Do đó, từ bất đẳng thức trên, ta suy
vn+2≤ α1vn+ α2vn+1, ∀n = 1, 2,
trong α1 = β (M+1)2M+1 , α2= α (M+1)2M+1 Đến đây, sử
dụng kết toán tổng quát2trong trường hợp:
dãy bị chặn bởi 0, k = 2, α1+ α2< 1, ta thu
được lim vn= Từ suy lim xn= (A + B)3
4 Bài tập tự luyện
Bài (Chọn đội tuyển Việt Nam, 1991) Dãy số
(xn) xác định x1= x4= 1, x2= x3= và:
xn+4=
√
xnxn+1xn+2xn+3, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn
tìm giới hạn
Bài (THTT, 2010) Cho a, b ∈ (0, 1) Dãy số
(un) xác định sau: u0= a, u1= b
un+2= 2010u
4
n+1+
2009 2010 √
un, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn
tìm giới hạn
Bài Cho dãy (xn) thỏa mãn x1= x2= x3=12 và:
xn+3=
1 18x
3
n+2+
1 18x
2
n+1+
8 √
xn, ∀n ∈ N∗
Tìm lim xn
Bài Cho dãy số dương (un) thỏa mãn
un+2=
√ un+1+
√
un, ∀n ∈ N∗
Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn
tìm giới hạn
Bài Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1> 0, x2> và:
xn+2=
xn+1+ xn+
, ∀n ∈ N∗
... Cho dãy số dương (un) thỏa mãnun+2=
√ un+1+
√
un, ∀n ∈ N∗
Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn
tìm giới hạn
Bài Cho dãy số (xn)... 1991) Dãy số< /b>
(xn) xác định x1= x4= 1, x2= x3= và:
xn+4=
√
xnxn+1xn+2xn+3, ∀n = 1, 2,
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn
tìm giới hạn. ..
Chứng minh dãy số (un) có giới hạn hữu
hạn tìm giới hạn đó.
Bài (Hà Nội, 2013).
Lời giải Từ công thức truy hồi dãy (un), ta