[r]
(1)Giới hạn dãy số hàm số Dạng
Đ ặc điểm : Là phân thức
Cách làm :
Nếu bậc tử bậc mẫu ta chia tử mẫu cho bậc lớn nhất
VD1 :
2
2
2
x x 2 x
2
2
x ( )
2x x x x x
lim lim lim
2
3x x (3 ) 3
x x
Nếu bậc tử > bậc mẫu ta dặt bậc lớn tử bậc lớn nhất mẫu sau rút gọn.
VD2 :
2
2 n (1 22) 22
n n n
lim lim lim n
1
n n(1 ) 1
n n
2
2
n n
vì limn ; lim lim
1 n
1 n
Chú ý :
Nếu tử, mẫu có thức phải đưa bậc lớn ra ngoài trước.
VD3 :
2
x x x
2
2x 2x 2x
lim lim lim
3
9x x x 9 x x 9 x
x x
(ghi : x : x x ; x : x x)
x x
2
1
x(2 ) (2 ) 1
x x
lim lim
2
3
x 9
x x
Nếu có dạng :
n n
n n
.a + b + lim
p.c +q.d + ta xem a, b, c, d số lớn nhất thi ta chia tử mẫu cho số đó. VD4 :
n
n n
n n
3
2
4
2.3 3.4
lim lim
4
1 1
4
(2) Dạng
Đặc điểm : (Một biểu thức) – thức ; căn thức – (Một biểu thức) ; thức – thức
Mà hệ số bậc lớn thức phải bình phương hệ số bậc lớn
VD1 :
2
x
lim(2n 4n 1); lim [ 9x (3x 2)]
Cách làm : Nhân lượng liên hợp (để đưa dạng ) VD2 :
2
2
2
x x
2
2
x x
x x
2
x
[ 9x (3x 2)][ 9x (3x 2)] lim [ 9x (3x 2)]= lim
9x (3x 2)
9x (3x 2) 12x
lim lim
9x (3x 2) 9x (3x 2) x(12 )
12x x
lim lim
3
x (3x 2) x[ (3 )]
x
x x
1 12
x lim
2
2
3
9 (3 )
x x
Chú ý : Nếu khơng có dạng ta đặt bậc lớn làm nhân tử chung Rồi xét
VD3 :
3
2
1
lim( n n 2) lim[n ( )]
n n
3
2
1
vì lim(n ) ; lim( ) lim( n n 2)
n n
VD4 :
2
2
x x x
4
lim 2x 5x lim 2x x lim x
x x
2
x x x
4
vì lim x ; lim 5 lim 2x 5x x
(3) Dạng 0 0
Đ ặc điểm : Là hàm số phân thức, x số (-4, 2, 0, )
Cách làm :
Nếu tử, mẫu khơng chứa thức ta phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn nhân tử giống nhau.
VD1 :
2
3 2
x x x
1 3(x 1)(x )
3x 2x 3 3x
lim lim lim
x 4x (x 1)(x x 3) x x
Nếu tử, mẫu có chứa thức ta nhân lượng liên hợp Rồi chuyển dạng trên
VD2 : x x x
2x ( 2x 1)( 2x 1) 2x
lim lim lim
4x (4x 8)( 2x 1) (4x 8)( 2x 1)
x x
2(x 2) 1
lim lim
4 4(x 2)( 2x 1) 2( 2x 1)
Chú ý : Trong trình giải tử, mẫu có bậc ta biến đổi
2
1
ax bx c a(x x )(x x ) Nếu tử, mẫu từ bậc trở lên ta dùng sơ
đồ hookne (Như VD1 thầy làm) Chú ý đẳng thức
2 3
A B ; A B Dạng : Giới hạn bên
Đ ặc điểm : Là hàm số phân thức, x số (4 , , , )
Cách làm :
Nếu biểu thức khơng có dấu giá trị tuyệt đối ta làm
như sau : - Tình lim (TỬ)
- Tính lim (MẪU) = 0
- Xét mẫu
VD1 : x
2x lim
1 x
x x
vì lim(2x 1) 0; lim (1 x) 0; x (x 1) x
Vậy x
2x lim
1 x
Nếu biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu để phá trị tuyệt đối trước giải
VD2 : x 2 x 2 x x
x x 2 x 2 1 1
lim lim lim lim
(x 2)(x 3) (x 3)
x x x x
(4)Hàm số liên tục
Dạng : Liên tục điểm x0
Cách làm :
Nếu biểu thức có dấu , ta làm sau : - Tính f(x0) (thay vào cho có dấu =)
- Tính x xlim f(x) 0 . (biểu thức chứa dấu )
- Dựa vào kết để kết luận
VD1 : Xét tính liên tục hàm số f(x) điểm x0 =
2
x khi x 2 f(x) x 2
3x x
Ta có : f(2) = 3.2 – =
2
x x x x
x
x (x 2)(x 2)
limf(x) lim lim lim(x 2)
x x
Vì f(2) limf(x)
Vậy hàm số f(x) liên tục điểm x0 =
Nếu biểu thức có dấu , hay , ta làm sau : - Tính f(x0) (thay vào cho có dấu =)
- Tính x x 0
lim f(x)
. (biểu thức chứa dấu >)
- Tính x x 0
lim f(x)
. (biểu thức chứa dấu <)
- Dựa vào kết để kết luận
VD2 : Xét tính liên tục hàm số f(x) điểm x0 =
2x x f(x)
3x x
Ta có : f(2) = 3.2 – =
x x
x x
x x
lim f(x) lim 2x lim f(x) lim (3x 2) Vì f(2) lim f(x) lim f(x)
(5) Dạng : Liên tục TXĐ
Cách làm :
Nếu biểu thức có dấu , ta làm sau : - Hàm số f(x) liên tục với xx0
- Ta xét tính liên tục hàm số x = x0.
+ Tính f(x0) (thay vào cho có dấu =) + Tính x xlim f(x) 0 . (biểu thức chứa dấu ) + Dựa vào kết để kết luận
VD3 : Xét tính liên tục hàm số f(x) R
2 x
khi x f(x) x 2
3x x
Hàm số f(x) liên tục với x2 Ta xét tính liên tục hàm số x = 2 Ta có : f(2) = 3.2 – =
2
x x x x
x
x (x 2)(x 2)
limf(x) lim lim lim(x 2)
x x
Vì f(2) limf(x)
Hàm số f(x) liên tục điểm x0 = 2. Vậy hàm số f(x) liên tục R
Nếu biểu thức có dấu , hay , ta làm sau : - Hàm số f(x) liên tục với x > x0 x <x0.
- Ta xét tính liên tục hàm số x = x0. + Tính f(x0) (thay vào cho có dấu =)
+ Tính x x 0
lim f(x)
. (biểu thức chứa dấu >)
+ Tính x x 0
lim f(x)
. (biểu thức chứa dấu <) + Dựa vào kết để kết luận
VD4 : Xét tính liên tục hàm số f(x) R
2x x f(x)
3x x
Hàm số liên tục với x > x < Ta xét tính liên tục f(x) x = Ta có : f(2) = 3.2 – =
x x
x x
x x
lim f(x) lim 2x lim f(x) lim (3x 2) Vì f(2) lim f(x) lim f(x)
Hàm số f(x) không liên tục điểm x0 = 2.