ung dung dinh ly lagrang tinh gioi han

ứng dụng định lý Lagrang vào tính giới hạn có dạng sau: Dãy ( ) n x xác định bằng công thức truy hồi 1 ( ) n n x f x + = , trong đó hàm số f khả vi và có đạo hàm trên miền xác định D thoả mãn: * '( ) k 1f x < với k là hằng số, * phơng trình ( )f x x= có nghiệm duy nhất = Dx a . Khi đó =lim n n x a . Thật vậy, ta có: + 1 = ( ) ( ) . n n x a f x f a Theo định lý Lagrang : ( ; ) n n x a sao cho + 1 ( ) ( )= '( )( ) n n n f x f a f x a + = = 1 1 0 a ( ) ( ) '( ) k . k . n n n n n n x f x f a f x a x a x a Do < = n 0 k 1 lim k 0 n nên + = 1 lim n n x a hay =lim . n n x a Ví dụ 6: Chứng minh dãy số 2007, 2007 + 1 2007 , 2007 + 1 1 2007+ 2007 , ., (2.1) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải: Dãy (2.1) đợc xác định bởi công thức truy hồi sau: + = = + 1 1 2007 1 2007 n n x x x hay + = = 1 1 2007 ( ). n n x x f x Trong đó, = + 1 ( ) 2007f x x . Bằng quy nạp ta có > =2007 2,3, . n x n Giả sử phơng trình =( )f x x có nghiệm x = . = + = 2 1 2007 2007 1 0 α α  = − + <  ⇒  = + + >  2 2 2007 2007 1 2007 2007 2007 1 2007. ⇒ =( )f x x cã nghiÖm duy nhÊt 2 2007 2007 1x α = = + + . Ta chøng minh 2 lim 2007 2007 1 n n x α →∞ = = + + XÐt hµm sè = + ≥ 1 ( ) 2007 , 2007f x x x , − = = ≤ = ∀ ≥ 2 2 2 1 1 1 '( ) k <1, 2007 2007 f x x x x Theo ®Þnh lý Lagrang ε α ∃ ∈( ; ) n n x sao cho α ε α + − − 1 ( ) ( )= '( )( ). n n n f x f f x α α ε α α + − − ⇒ ≤ − = − = − ≤ − 1 1 1 0 ( ) ( ) '( ) k n n n n n x f x f f x x α − ≤ ≤ − 1 1 . k . n x Do α + →∞ →∞ < < ⇒ = ⇒ = n 1 0 k 1 lim k 0 lim . n n n x Hay →∞ =lim . n n x a VËy →∞ = + + 2 lim 2007 2007 1 n n x . . ứng dụng định lý Lagrang vào tính giới hạn có dạng sau: Dãy ( ) n x xác định bằng công thức truy. =lim n n x a . Thật vậy, ta có: + 1 = ( ) ( ) . n n x a f x f a Theo định lý Lagrang : ( ; ) n n x a sao cho + 1 ( ) ( )= '( )( ) n n n f x f a