CMR: a,b,c,d không đồng thời bằng không.[r]
(1)ứng dụng định lý Lagrăng Cho m > vµ a b c Chøng minh r»ng ax2 + bx + c = cã m m1 m nghiÖm thuéc (0 ; 1) a.x m b.x m c.x m HD: XÐt hµm sè f (x) m2 m1 m Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = lu«n cã nghiÖm a,b,c,d R HD: XÐt hµm sè F(x) a b c Cos7 x Sin 5x Cos 3x d.Sinx ¸p dông §L Lagr¨ng Gi¶i PT: 2000x + 2002x = 2.2001 HD: XÐt hµm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagr¨ng (2000; 2001) cho f’() = Cho a - b + c = Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) Chứng minh F(x) = có hai nghiÖm th× f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (a; b).” CM: Gäi , lµ hai nghiÖm cña PT F(x) = Ta cã F() =F() = Theo §L Lagr¨ng x0 (; ) cho f(x0) = F’(x0) = F () F ( ) 0 Gi¶i: XÐt hµm sè: F(x) a.Sinx b.Sin 3x c.Sin 5x C/M: F(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; .Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; Cho a,b,c tho¶ m·n a b c Chứng minh đồ thị hàm số y = a.x4 + bx2 + c luôn cắt trục hoành ít điểm có hoành độ thuộc (0 ; 1) CMR: a,b,c tuú ý PT sau lu«n cã nghiÖm (0; 2) a.Cos3x + b.Cos2x + c.Cosx + Sinx = CMR: a,b,c,d không đồng thời không PT sau luôn có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2) Chøng minh r»ng PT: f’’(x) = lu«n cã nghiÖm GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx 10.Cho ®a thøc P(x) cã n nghiÖm ph©n biÖt x1;x2; xn CMR P' ' (x1 ) P' ' (x ) P' ' (x n ) 0 P(x1 ) P(x ) P(x n ) 1 b, 0 P' (x1 ) P' (x ) P' (x n ) a, 11.Cho hàm số f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3) CMR phương trình f’(x) = có nghiệm ph©n biÖt 12.Cho hµm sè f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e Chøng minh PT f’’(x) = cã nghiÖm ph©n biÖt 13.Cho m>0; n> vµ f(x) = + xm(x - 1)m CMR PT f’(x) = cã nghiÖm x (0; 1) Lop12.net (2) 14.Cho 2b + 3c = CMR phương trình: aCos2x + b.Cosx + c = luôn có nghiệm thuéc (0; ) 15.Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiÖm CMR: a.f(x)2 + b.f(x) + c = v« nghiÖm 16.Cho < b < a CMR ab a ab ln a b b 17.Cho f(x) xác định trên R và f’’(x) x R Chứng minh a,b R(a < b) f(a) f(b) ab th× f( ) 2 18.Chøng minh r»ng: ln(1 + x) < x; x > ab ab tga tgb 19.CMR: 0 < b < a < 2 cos b cos a 20.Cho a < b < c CMR: 3a a b c a b c2 ab bc ca a b c a b c2 ab bc ca c HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x1; x2 cho a< x1 < b < x2 <c =>? 21.Cho n Z ; CMR: x n x ; x (0;1) ne HD: §Æt f(x) = lnx 22.CMR a) |sin a - sin b| |a - b| a,b R b) sin x < x x > c) ex > x + x > d) tg x > x x ( 0; /2) x 1 ) (1 )x e) (1 x 1 x xCos 1; x f) (x 1)Cos x 1 x 23.Cho f(x) liªn tôc trªn a ; b vµ f’(x) = x (a; b) CMR: f(x) 24.Cho f(x) khả vi trên a ; b và f’(x) = có đúng nghiệm x0 a; b CMR: f(x)= kh«ng thÓ cã qu¸ hai nghiÖm ph©n biÖt 25.Cho x> vµ a> CMR: xa - 1> a(x - 1) 26.Cho < a< b; n> 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n bn-1(b - a) x y 16z 27.Cho x, y, z tho¶ m·n x + y + z > T×m GTLN, GTNN cña P (x y z)3 HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sö x + y + z = (x y)3 3 GTLN: x y (1 z)3 f(z) (1 z)3 64.z 4 3 GTNN: x y z (x y z)3 15.z 16 28.C 29.C 30.C Lop12.net (3) 31.C 32.C 33.C Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức x3 x x5 CMR: x sin x x ; x 3! ! 5! HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x) 2x CMR: Sinx ; x (0; ) Sinx HD: §Æt f(x) = x CMR: 2Sinx 2tgx 2x 1 ; x (0; ) HD: §Æt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x x2 x2 x4 CMR: Cosx ; x 2! 2! ! 1 CMR: ; x (0; ) Sin x x x CMR: e x; x x2 xn CMR: e x x ; x 0;n Z 2! n! x CMR: x e x x ; x 0;1 2 e x x4 CMR: x 1 x ; x 0;1 1 x 2(x 1) 10.CMR: ln(1 x) x; x 2(x 1) ; x 11.CMR: ln x x 1 12.CMR: ln(1 x ) ln x; x x x 13.CMR: ln(1 x) x ; x pq 14.CMR: x (p q)(x p x q ); x 1;p q 0,p q 15.CMR: log x (x 1) log(x 1) (x 2); x 1 ln(a b ) ln(a b ); 0; y x 17.CMR: ln ln 4; 0 x 1; y 1;x y y x 1 y x 16 Cho a, b > CMR: Lop12.net (4) xy xy x> y> ln x ln y x 1 19.CMR: ln x ; x x 18.CMR: 20.CMR: tg n x cot g n x n Cos2 2x; x (0; );n N x 1 21.CMR: 22.Sinx 2tgx 2 ; x (0; ) 22.CMR: SinA SinB SinC tgA tgB tgC 2; ABC 23.CMR: (SinA SinB SinC) (tgA tgB tgC) ; ABC nhän 3 24.CMR: tg55 1, 25.CMR: 4.tg50.tg90 3.tg60.tg100 26.CMR: Sin 200 20 1 27.CMR: n n 2; (0; );n Z Sinx Sinx x 32 x2 Sinx 3! 28.Cho x1 x CMR : x3 Sinx1 x1 3! Sinx 29.CMR: Cosx; x (0; ) x 30.CMR: (e x)ex (e x)e x ; e x bx b ax a 31.CMR: ; a,b,x 0;a b bx b 32.CMR: ln n ln(n 1).ln(n 1); 2 n N y.Sinx 5 33.CMR: Cos(x y) ; x,y 0;x 2y x.Siny ab ab ; a,b 0;a b 34.CMR: ab ln a ln b 35.CMR: 20062007 2007 2006 36.CMR: n n 1 (n 1)n ; 3 n Z 37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; x(0; /2) 38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); 0 < a < b < /2 A B C Cos Cos Cos 3; ABC 39.CMR: A B C Lop12.net (5) 40.CMR: Nếu x và > thì x .x Từ đó c/m a3 b3 c3 a b c b3 c3 a3 b c a 41.C 42.C 43.C 44.C Lop12.net (6)