Bài tập Ứng dụng định lý Lagrăng

CMR: a,b,c,d không đồng thời bằng không.[r]

ứng dụng định lý Lagrăng Cho m > vµ a b c    Chøng minh r»ng ax2 + bx + c = cã m m1 m nghiÖm thuéc (0 ; 1) a.x m  b.x m  c.x m HD: XÐt hµm sè f (x)    m2 m1 m Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = lu«n cã nghiÖm a,b,c,d  R HD: XÐt hµm sè F(x)  a b c Cos7 x  Sin 5x  Cos 3x  d.Sinx ¸p dông §L Lagr¨ng Gi¶i PT: 2000x + 2002x = 2.2001 HD: XÐt hµm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagr¨ng   (2000; 2001) cho f’() = Cho a - b + c = Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0;  HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) Chứng minh F(x) = có hai nghiÖm th× f(x) = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (a; b).” CM: Gäi ,  lµ hai nghiÖm cña PT F(x) = Ta cã F() =F() = Theo §L Lagr¨ng  x0  (; ) cho f(x0) = F’(x0) = F ()  F ( ) 0  Gi¶i: XÐt hµm sè: F(x)  a.Sinx  b.Sin 3x  c.Sin 5x C/M: F(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; .Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0;  Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0;  Cho a,b,c  tho¶ m·n a b c    Chứng minh đồ thị hàm số y = a.x4 + bx2 + c luôn cắt trục hoành ít điểm có hoành độ thuộc (0 ; 1) CMR: a,b,c tuú ý PT sau lu«n cã nghiÖm (0; 2) a.Cos3x + b.Cos2x + c.Cosx + Sinx = CMR: a,b,c,d không đồng thời không PT sau luôn có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2) Chøng minh r»ng PT: f’’(x) = lu«n cã nghiÖm GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx 10.Cho ®a thøc P(x) cã n nghiÖm ph©n biÖt x1;x2; xn CMR P' ' (x1 ) P' ' (x ) P' ' (x n )    0 P(x1 ) P(x ) P(x n ) 1 b,    0 P' (x1 ) P' (x ) P' (x n ) a, 11.Cho hàm số f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3) CMR phương trình f’(x) = có nghiệm ph©n biÖt 12.Cho hµm sè f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e Chøng minh PT f’’(x) = cã nghiÖm ph©n biÖt 13.Cho m>0; n> vµ f(x) = + xm(x - 1)m CMR PT f’(x) = cã nghiÖm x  (0; 1) Lop12.net 14.Cho 2b + 3c = CMR phương trình: aCos2x + b.Cosx + c = luôn có nghiệm thuéc (0;  ) 15.Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0) BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiÖm CMR: a.f(x)2 + b.f(x) + c = v« nghiÖm 16.Cho < b < a CMR ab a ab  ln  a b b 17.Cho f(x) xác định trên R và f’’(x)  x  R Chứng minh a,b  R(a < b) f(a)  f(b) ab th×  f( ) 2 18.Chøng minh r»ng: ln(1 + x) < x; x > ab ab   tga  tgb  19.CMR: 0 < b < a < 2 cos b cos a 20.Cho a < b < c CMR: 3a  a  b  c  a  b  c2  ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c2  ab  bc  ca  c HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x1; x2 cho a< x1 < b < x2 <c =>? 21.Cho n  Z  ; CMR: x n  x  ; x  (0;1) ne HD: §Æt f(x) = lnx 22.CMR a) |sin a - sin b|  |a - b| a,b  R b) sin x < x  x > c) ex > x +  x > d) tg x > x  x ( 0; /2) x 1 )  (1  )x e) (1  x 1 x    xCos  1; x  f) (x  1)Cos x 1 x 23.Cho f(x) liªn tôc trªn a ; b vµ f’(x) = x (a; b) CMR: f(x)  24.Cho f(x) khả vi trên a ; b và f’(x) = có đúng nghiệm x0 a; b CMR: f(x)= kh«ng thÓ cã qu¸ hai nghiÖm ph©n biÖt 25.Cho x> vµ a> CMR: xa - 1> a(x - 1) 26.Cho < a< b; n> 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n bn-1(b - a) x  y  16z 27.Cho x, y, z  tho¶ m·n x + y + z > T×m GTLN, GTNN cña P  (x  y  z)3 HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sö x + y + z = (x  y)3 3 GTLN: x  y   (1  z)3  f(z)  (1  z)3  64.z  4 3 GTNN: x  y  z  (x  y  z)3  15.z  16 28.C 29.C 30.C Lop12.net 31.C 32.C 33.C Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức x3 x x5 CMR: x   sin x  x   ; x  3! ! 5! HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x) 2x  CMR: Sinx  ; x  (0; )  Sinx HD: §Æt f(x) = x  CMR: 2Sinx  2tgx  2x 1 ; x  (0; ) HD: §Æt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x x2 x2 x4 CMR:   Cosx    ; x  2! 2! ! 1  CMR:    ; x  (0; ) Sin x x  x CMR: e   x; x  x2 xn CMR: e x   x    ; x  0;n  Z  2! n! x CMR:  x  e  x   x  ; x   0;1 2 e x x4 CMR:  x  1 x  ; x   0;1 1 x 2(x  1) 10.CMR: ln(1  x)  x; x  2(x  1) ; x  11.CMR: ln x  x 1 12.CMR: ln(1   x )   ln x; x  x x 13.CMR: ln(1  x)  x  ; x  pq 14.CMR: x   (p  q)(x p  x q ); x  1;p  q  0,p  q  15.CMR: log x (x  1)  log(x 1) (x  2); x  1 ln(a   b  )  ln(a   b );     0;    y x  17.CMR: ln  ln  4; 0  x  1;  y  1;x  y  y  x  1 y  x  16 Cho a, b > CMR: Lop12.net xy xy  x> y>  ln x  ln y x 1 19.CMR: ln x  ; x  x 18.CMR:  20.CMR: tg n x  cot g n x   n Cos2 2x; x  (0; );n  N x 1  21.CMR: 22.Sinx  2tgx  2 ; x  (0; ) 22.CMR: SinA  SinB  SinC  tgA  tgB  tgC  2; ABC 23.CMR: (SinA  SinB  SinC)  (tgA  tgB  tgC)  ; ABC nhän 3 24.CMR: tg55  1, 25.CMR: 4.tg50.tg90  3.tg60.tg100 26.CMR:  Sin 200  20 1  27.CMR: n n  2;  (0; );n  Z   Sinx  Sinx x 32 x2  Sinx 3! 28.Cho  x1  x  CMR :  x3 Sinx1 x1  3!   Sinx  29.CMR:   Cosx; x  (0; )   x  30.CMR: (e  x)ex  (e  x)e x ; e  x  bx b ax a 31.CMR:     ; a,b,x  0;a  b  bx b 32.CMR: ln n  ln(n  1).ln(n  1); 2  n  N y.Sinx 5 33.CMR: Cos(x  y)  ; x,y  0;x  2y  x.Siny ab ab  ; a,b  0;a  b 34.CMR: ab  ln a  ln b 35.CMR: 20062007  2007 2006 36.CMR: n n 1  (n  1)n ; 3  n  Z 37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; x(0; /2) 38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); 0 < a < b < /2 A B C  Cos  Cos  Cos    3; ABC 39.CMR: A B C Lop12.net 40.CMR: Nếu x  và  > thì x      .x Từ đó c/m a3 b3 c3 a b c      b3 c3 a3 b c a 41.C 42.C 43.C 44.C Lop12.net