Ứng dụng định lý Lagrange

ứng dụng định lý Lagrăng 1. Cho m > 0 và 0 m c 1m b 2m a =+ + + + Chứng minh rằng ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc (0 ; 1) HD: Xét hàm số m xc 1m xb 2m xa xf m1m2m . )( + + + + = ++ 2. Chứng minh rằng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = 0 luôn có nghiệm a,b,c,d R. HD: Xét hàm số Sinxdx3Cos 3 c x5Sin 5 b x7Cos 7 a xF .)( ++ = áp dụng ĐL Lagrăng. 3. Giải PT: 2000 x + 2002 x = 2.2001 HD: Xét hàm số f(t) = (t + 1) x - t x Theo ĐL Lagrăng (2000; 2001) sao cho f() = 0. 4. Cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; ]. HD: áp dụng Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) . Chứng minh nếu F(x) = 0 có hai nghiệm thì f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). CM: Gọi , là hai nghiệm của PT F(x) = 0. Ta có F() =F() = 0. Theo ĐL Lagrăng x 0 (; ) sao cho f(x 0 ) = F(x 0 ) = 0 FF = )()( Giải: Xét hàm số: x5Sincx3SinbSinxaxF .)( = C/M: F(x) = 0 có ít nhất 6 nghiệm thuộc [0; ].Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc [0; ]. Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; ]. 5. Cho a,b,c 0 thoả mãn 0 3 c 5 b 7 a =++ . Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = a.x 4 + bx 2 + c luôn cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ thuộc (0 ; 1). 6. CMR: a,b,c tuỳ ý. PT sau luôn có nghiệm trong (0; 2). a.Cos3x + b.Cos2x + c.Cosx + Sinx = 0. 7. CMR: a,b,c,d không đồng thời bằng không. PT sau luôn có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0. 8. Cho f(x) = Sinx.(2 x-1 - 1)(x - 2). Chứng minh rằng PT: f(x) = 0 luôn có nghiệm. 9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4 Cosx ) = 3.4 Cosx 10. Cho đa thức P(x) có n nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 ; . . . x n . CMR a, 0 xP xP xP xP xP xP n n 2 2 1 1 =+++ )( )('' )( )('' )( )('' b, 0 xP 1 xP 1 xP 1 n21 =+++ )(' )(')(' 11. Cho hàm số f(x) = (x 2 - 4)(x + 1)(x - 3). CMR phơng trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 12.Cho hàm số f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Với a<b<c<d<e. Chứng minh PT f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 13. Cho m>0; n> 0 và f(x) = 2 + x m (x - 1) m . CMR PT f(x) = 0 có nghiệm x (0; 1) 14. Cho 2b + 3c = 0. CMR phơng trình: aCos2x + b.Cosx + c = 0 luôn có nghiệm thuộc (0; 2 ). 15. Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a 0). Biết rằng f(x) = x vô nghiệm. CMR: a.[f(x)] 2 + b.[f(x)] + c = 0 vô nghiệm. 16. Cho 0 < b < a. CMR b ba b a a ba << ln 17. Cho f(x) xác định trên R và f(x) 0 x R Chứng minh rằng a,b R(a < b) thì f(a) f(b) a b f( ) + + 2 2 18. Chứng minh rằng: ln(1 + x) < x; x > 0 19. CMR: a b a b tga tgb cos b cos a < < 2 2 0 < b < a < 2 . 20. Cho a < b < c . CMR: a a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca c< + + + + < + + + + + < 2 2 2 2 2 2 3 3 HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x 1 ; x 2 sao cho a< x 1 < b < x 2 <c =>? 21. Cho n Z + ; CMR: n x . x ; x ( ; ) ne < 1 1 01 2 HD: Đặt f(x) = lnx 22. CMR a) |sin a - sin b| |a - b| a,b R b) sin x < x x > 0 c) e x > x + 1 x > 0 d) tg x > x x ( 0; /2) e) x x ( ) ( ) x x + + > + + 1 1 1 1 1 1 f) (x )Cos xCos ; x x x + > + 1 1 2 1 23. Cho f(x) liên tục trên [a ; b] và f(x) = 0 x (a; b) . CMR: f(x) 0. 24. Cho f(x) khả vi trên [a ; b] và f(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x 0 [a; b]. CMR: f(x)= 0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt. 25. Cho x> 1 và a> 1. CMR: x a - 1> a(x - 1) 26. Cho 0 < a< b; n> 1.CMR: n.a n-1 (b - a) < b n - a n < n. b n-1 (b - a) 27. Cho x, y, z 0 thoả mãn x + y + z > 0 Tìm GTLN, GTNN của x y z P (x y z) + + = + + 3 3 3 3 16 HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Giả sử x + y + z = 1 GTLN: (x y) x y ( z) f(z) ( z) .z + + = = + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 64 4 4 GTNN: x y z (x y z) .z+ + + + + 3 3 3 3 3 15 16 28.C 29.C 30.C 31.C 32.C 33.C Sö dông ®¹o hµm chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1. CMR: x x x x sinx x ; x ! ! ! − < < − + ∀ > 3 3 5 0 3 3 5 HD: ChuyÓn vÕ ®Æt f(x) tÝnh f’(x); f’’(x) 2. CMR: x Sinx ; x ( ; ) π > ∀ ∈ π 2 0 2 HD: §Æt f(x) = Sinx x 3. CMR: Sinx tgx x ; x ( ; ) + π + > ∀ ∈ 1 2 2 2 0 2 HD: §Æt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x 4. CMR: x x x Cosx ; x ! ! ! − < < − + ∀ ≠ 2 2 4 1 1 0 2 2 4 5. CMR: ; x ( ; ) Sin x x π < + − ∀ ∈ π 2 2 2 1 1 4 1 0 2 6. CMR: x e x; x> + ∀ >1 0 7. CMR: n x x x e x . ; x ;n Z ! n! + > + + + + ∀ > ∈ 2 1 0 2 8. CMR: [ ] 2 1 1 0 1 2 x x x e x ; x ; − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ 9. CMR: [ ] 2 4 1 1 0 1 1 2 1 x e x x x ; x ; x (x ) − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ + + 10. CMR: 1 0ln( x) x; x+ < ∀ > 11. CMR: 2 1 1 1 (x ) ln x ; x x − > ∀ > + 12. CMR: 2 1 1 1 0ln( x ) ln x; x x + + < + ∀ > 13. CMR: 2 1 0 2 x ln( x) x ; x+ > − ∀ > 14. CMR: 1 1 0 1 p q p q x (p q)(x x ); x ;p q ,p q + − > + − ∀ ≥ ≥ > − ≤ 15. CMR: 1 1 2 1 x (x ) log (x ) log (x ); x + + > + ∀ > 16. Cho a, b > 0. CMR: 1 1 0ln(a b ) ln(a b ); ; α α β β + > + ∀β > α > α β 17. CMR: 1 4 0 1 0 1 1 1 y x ln ln ; x ; y ;x y y x y x   − > ∀ < < < < ≠   − − −   18. CMR: 2 x y x y ln x ln y + − > − ∀ x> y> 0 19. CMR: 1 1 x ln x ; x x − < ∀ > 20. CMR: 2 2 2 2 0 2 n n tg x cot g x n .Cos x; x ( ; );n N π + ≥ + ∀ ∈ ∈ 21. CMR: 3 1 2 2 2 2 2 0 2 x .Sinx tgx ; x ( ; ) + π + > ∀ ∈ 22. CMR: 2SinA SinB SinC tgA tgB tgC ; ABC+ + + + + > π ∀V 23. CMR: 2 1 3 3 (SinA SinB SinC) (tgA tgB tgC) ; ABC+ + + + + > π ∀V nhän 24. CMR: 0 55 1 4tg ,> 25. CMR: 0 0 0 0 4 5 9 3 6 10.tg .tg .tg .tg< 26. CMR: 0 1 7 20 3 20 Sin< < 27. CMR: 1 1 2 0 2 1 1 n n ; ( ; );n Z Sinx Sinx + π + ≥ ∀∈ ∈ + − 28. Cho 3 2 2 2 1 2 3 1 1 1 3 0 6 3 x x Sinx ! x x .CMR : x Sinx x ! − < < < > − 29. CMR: 3 0 2 Sinx Cosx; x ( ; ) x π   > ∀ ∈  ÷   30. CMR: 0 e x e x (e x) (e x) ; e x − + + > − ∀ > > 31. CMR: 0 b x b a x a ; a,b,x ;a b b x b + +     > ∀ > ≠  ÷  ÷ +     32. CMR: 2 1 1 2ln n ln(n ).ln(n ); n N> + − ∀ ≤ ∈ 33. CMR: 5 0 2 4 y.Sinx Cos(x y) ; x,y ;x y x.Siny π + < ∀ > + < 34. CMR: 0 2 a b a b ab ; a,b ;a b lna ln b − + < < ∀ > ≠ − 35. CMR: 2007 2006 2006 2007> 36. CMR: 1 1 3 n n n (n ) ; n Z + ≥ + ∀ ≤ ∈ 37. CMR: x.Sin x + Cos x > 1; ∀x∈(0; π/2) 38. CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); ∀0 < a < b < π/2 39. CMR: 1 1 1 2 2 2 3 3 A B C Cos Cos Cos . ; ABC A B C + + + + + > ∀V 40. CMR: NÕu x ≥ 0 vµ α > 0 th× 1x .x α + α − ≥ α . Tõ ®ã c/m 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 41.C 42.C 43.C 44. C . ứng dụng định lý Lagrăng 1. Cho m > 0 và 0 m c 1m b 2m a =+ + + + Chứng minh rằng ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm. c = 0. Chứng minh rằng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; ]. HD: áp dụng Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) . Chứng minh