Một số phương pháp tính giới hạn và ước lượng trong các dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn

NGUYỄN XUÂN THỦYMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUY

NGUYỄN XUÂN THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN

VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN XUÂN THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN

VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

Mở đầu ii

Chương 1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 1

1.1 Các tính chất của dãy số 1

1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa 1

1.1.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 3

1.1.3 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 3

1.2 Một số định lý về giới hạn của dãy số 4

1.3 Dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình 5

1.3.1 Phép chuyển các đại lượng trung bình cộng 5

1.3.2 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân 6

1.3.3 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình điều hoà 8

1.3.4 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc hai 9

Chương 2 Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn 11

2.1 Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 11

2.2 Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 14

2.3 Một số bài toán khác liên quan 19

Chương 3 Giới hạn của dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản và các dạng toán liên quan 21

3.1 Giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản 21

3.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình 41

3.3 Định lý về giới hạn tương đương và áp dụng 47

3.4 Sử dụng tích phân để tính giới hạn của dãy 50

Kết luận 62

Tài liệu tham khảo 63

MỞ ĐẦU

Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quantrọng của đại số và giải tích toán học Đối với học sinh phổ thông, những kháiniệm dãy số thường khó hình dung về cấu trúc đại số trên tập các dãy số,đặc biệt là các phép tính đối với các dãy có chứa tham số, các phép biến đổidãy và đại số các dãy, Có nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đềnày liên quan đến các kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT và các kỳ thi olympicsinh viên

Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng

để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của giải tíchtoán học

Các bài toán về tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị

và xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ítnhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng

Các bài toán về dãy số đã được đề cập ở các giáo trình cơ bản về giải tíchtoán học và một số tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên toán bậctrung học phổ thông

Luận văn Một số phương pháp tính giới hạn và ước lượng trong các dãy

số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhằm cung cấp một số kiến thức cơ bản vềdãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàncộng tính và nhân tính Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán vềdãy số theo dạng cũng như phương pháp giải

Nội dung của Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương

Chương 1 Một số tính chất cơ bản của dãy số

Nội dung của chương này nhằm trình bày định nghĩa các dãy số đặc biệt vàcác tính chất liên quan Đồng thời trình bày một số bài toán áp dụng liênquan đến cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất đặc biệt của chúng Trìnhbày tính chất của các dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản.Chương 2 Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn.Chương này nhằm giới thiệu một số bài toán về xác định dãy tuần hoàn vàphản tuần hoàn cộng tính Nêu một số tính chất cơ bản của dãy số và cácbài toán xác định các dãy số liên quan đến các hàm sơ cấp ở phổ thông.Chương 3 Các bài toán về xác định giới hạn của dãy số

Chương này nhằm khảo sát về giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình cơbản, về giới hạn của các dãy số xác định bởi dãy các phương trình và trìnhbày định lý về giới hạn tương đương và áp dụng và sử dụng tích phân đểtính giới hạn.

Em xin được gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến GS TSKH NGND NguyễnVăn Mậu – người thầy đã luôn đồng hành cùng em trong suốt quá trìnhnghiên cứu Tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc để em cóthể hoàn thành được bài luận văn này

Em cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trongkhoa Toán – Tin - Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy,hướng dẫn, động viên em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin được cám ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điềukiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành mọi công việc, nhiệm vụ của mình.Trong quá trình làm việc do thời gian và năng lực cá nhân còn hạn chếnên luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết Em xin được lắng nghenhững ý kiến đóng góp của quý thầy cô để em có thể hoàn thiện hơn bảnluận văn của mình

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2014

Tác giả: Nguyễn Xuân Thủy

CHƯƠNG 1

Một số tính chất cơ bản của dãy số

1.1 Các tính chất của dãy số

1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa

Định nghĩa 1.1 (Cấp số cộng) Dãy số {un} thỏa mãn điều kiện: un+1 =

un+ d với mọi số tự nhiên n và d là một hằng số cho trước được gọi là mộtcấp số cộng, d được gọi là công sai

* un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng {un} Nếu cho trước

Giải Giả sử dãy {un} có công sai d > 0 và x là một số chính phương trongdãy vàx = m2 Khi đó: (m + kd)2 = m2+2mkd+k2d2 = x+d 2mk + k2d
.Điều này chứng tỏ trong dãy có vô hạn số chính phương

Bài toán 1.2 Cho các số dương u1, u2, un (2 ≤ n ∈ N) lập thành cấp

số cộng với công sai d > 0 Chứng minh rằng: 1

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài toán 1.3 Cho các số dương u1, u2, un lập thành cấp số cộng Tínhtổng: S = 1

Định nghĩa 1.2 (Cấp số nhân) Dãy số{un}thỏa mãn điều kiện un = un−1q

với qlà hằng số cho trước và 1 ≤ n ∈ N, được gọi là cấp số nhân, q được gọi

Định nghĩa 1.3 (Cấp số điều hòa) Dãy số {un} , (un 6= 0, ∀n ∈ N) thỏamãn điều kiện un = 2un−1.un+1

un−1 + un+1 được gọi là cấp số điều hòa.

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng dãy số {un} lập thành một dãy số điều hòakhi và chỉ khi dãy đã cho thỏa mãn điều kiện un+1 = 1

Vậy dãy số {un} lập thành một cấp số điều hòa

1.1.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.4 Dãy số {un} được gọi là dãy tuần hoàn (cộng tính) nếutồn tại số nguyên dương l sao cho: un+l = un, ∀n ∈ N.

Số nguyên dương l bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ cơ

sở của dãy

Định nghĩa 1.5 Dãy số {un} được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) nếutồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = −un, ∀n ∈ N.

Nhận xét 1.2

- Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đã cho là dãy hằng

- Dãy tuần hoàn chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng:

un = 1

2

h

α + β + (α − β) (−1)n+1i, α, β ∈ R

1.1.3 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.6 Dãy số {un} được gọi là dãy số tuần hoàn nhân tính nếutồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho usn = un, ∀n ∈ N.

Số nguyên dương s bé nhất để dãy {un} thỏa mãn điều kiện trên đượcgọi là chu kỳ cơ sở của dãy

Nhận xét 1.3 Một dãy phản tuần hoàn cộng tính chu kỳr thì sẽ tuần hoàncộng tính chu kỳ 2r.

Định nghĩa 1.7 Dãy số {un} được gọi là dãy số phản tuần hoàn nhân tínhnếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho: usn = −un, ∀n ∈ N

Nhận xét 1.4 Mọi dãy {un} phản tuần hoàn chu kỳ r đều có dạng un =1

2(vn− vn+r), với vn+2r = vn

1.2 Một số định lý về giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.8 Dãy {un} được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim

n→∞un = a,nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được số n0 sao cho với mọi n ≥ n0

và lim

n→∞xn = a; lim

n→∞yn = b Khi đó:

* Dãy {−xn} hội tụ và lim

Định lý 1.6 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lý 1.7 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ

Định lý 1.8 (Định lý Bolzano – Veierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn rút

ra được một dãy con hội tụ

Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0

cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có

|xn− xm| < ε

1.3 Dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình

Dưới đây ta xét một số bài toán chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơbản trong chương trình phổ thông

1.3.1 Phép chuyển các đại lượng trung bình cộng

Bài toán 1.5 Xác định dãy số {un}, sao cho

u



m + n2

Giải Đặt u(1) = α, u(2) = β Ta có

u(2) = u



3 + 12



= u(3) + u(1)

Suy ra

u(3) = 2u(2) − u(1) = 2β − α

Tiếp tục quá trình như vậy, ta có

u(3) = u



4 + 22



= u(4) + u(2)

Suy ra

u(4) = 2u(3) − u(2) = 2(2β − α) − β = 3β − 2α

Bằng phương pháp quy nạp, ta có kết quả sau

u(n) = (n − 1)β − (n − 2)α, ∀n ∈ N∗

Vậy



u(n) = (β − α)n + 2α − β, ∀n ∈ N∗.u(1) = α, u(2) = β

Đặt α = a + b, β = 2a + b thì a = β − α và b = 2α − β Do đó, nghiệm củaphương trình (1.1) là un = an + b với a, b tuỳ ý

1.3.2 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân

Bài toán 1.6 Xác định dãy số {un}, sao cho

u



m + n2

u(n) = u



n + n2



=

q

u(1)u(2n − 1) = 0, ∀n ∈ N∗

Vậy u(n) ≡ 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1.2).

b) Nếu α > 0 và β = 0 thì

u(n) = u



2 + 2n − 22

là nghiệm của phương trình (1.2)

c) Xét trường hợp α > 0 và β > 0 Giả sử tồn tại n0 > 3 sao cho



=

q

u(n0)u(n0 − 2) = 0

Chọn n0 = 3 thì u(n0 − 1) = u(2) = 0, hay β = 0, mâu thuẫn

Do đó, ta có thể giả thiết rằng u(n) > 0, với mọi n ∈ N∗

Khi đó

u(2) = u



3 + 12



β2α



βα



= 2u(m)u(n)u(m) + u(n), ∀m, n,

m + n

2 ∈ N∗ (1.3)Giải Ta có

u



m + n2



= 2u(m)u(n)u(m) + u(n),

hay

u



m + n2



1u(m) +

1u(n)

Đặt 1

u(n) = vn, thì phương trình đã cho tương đương với

v

m + n2

1.3.4 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc haiBài toán 1.8 Xác định dãy số {un}, sao cho

u



m + n2

u(n) = u



n + n2

CHƯƠNG 2

Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản

tuần hoàn

2.1 Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Trong phần này ta xét một số dạng toán về dãy hàm tuần hoàn và phảntuần hoàn cộng tính

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng dãy{un} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2 khi

* Ngược lại, dãy {un} tuần hoàn cộng tính với chu kỳ 2

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng dãy{un} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 khi

2 (α − β) sin

2nπ

3 ,

∀α, β, γ ∈ R

* Ngược lại, dãy {un} tuần hoàn cộng tính với chu kỳ 3.

Bài toán 2.3 Cho k ∈ Q\C Chứng minh rằng dãy số {un} xác định theocông thức

là một dãy số tuần hoàn

Giải Theo kết quả Bài toán 2.3, khi |k| > 2 và |k| ≤ 2, k = p

q với(p, q) = 1, 2 ≤ q ∈ C∗ thì dãy {un} không là dãy tuần hoàn

Xét |k| ≤ 2 và k ∈ C.

+) Với k = 2 thì {un} là một cấp số cộng với công sai bằng -2 nên {un}

không là dãy tuần hoàn

+) Với k = 1 thì {un} là dãy tuần hoàn chu kỳ 6:

Giải Giả sử un+r = −un, ∀n ∈ N Khi đó, ta thấy ngay rằng dãy {un}

tuần hoàn chu kỳ 2r và

un = 1

2(un− un+r),

Ngược lại, ta thấy mọi dãy un = 1

2(vn − vn+r) đều là dãy phản tuần hoànchu kỳ r

Bài toán 2.6 Cho f (x) là một đa thức với degf = k ≥ 1, f (x) ∈ C ứng

với mọi x ∈ C Ký hiệu r(k) = min{2s|s ∈ N∗, 2s > k} Chứng minh rằngdãy số {(−1)f (k)} (k = 1, 2, ) là dãy tuần hoàn với chu kỳ r(k)

Giải Ta có k!f (x) ∈ C[x] Biểu diễn f (x) dưới dạng

f (x) = a0 + a1



x1



+ · · · + ak



xk



,

trong đó



xk



−



xi



−



xi

chia hết cho 2, điều phải chứng minh

2.2 Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 2.1 Dãy số {vn} được gọi là dãy hàm tuần hoàn nhân tính nếutồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

vsn = vn, ∀n ∈ N

Số nguyên dương s(s > 1) nhỏ nhất để dãy {vn} tuần hoàn nhân tính đượcgọi là chu kỳ cơ sở của dãy

Định nghĩa 2.2 Dãy số {vn} được gọi là dãy hàm phản tuần hoàn nhântính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

Giải Giả sử dãy {un} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2

+) Với n lẻ un nhận giá trị tùy ý

Bài toán 2.10 Xác định dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

uan = cun + d, ∀n, a ∈N, a 6∈ {0, 1, −1}, c, d ∈R, c 6= 0 (3.2.4)

Giải Nếu c = 1, ta có uan = un + d Khi n = 0 thì u0 = u0 + d Suy ra

d = 0 và khi đó uan = un, nên dãy {un} là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ

1 − c + n

loga|c|sn khi n 6= 0

trong đó sn là dãy phản tuần hoàn nhân tính tùy ý sao cho san = −sn.Bài toán 2.11 Xác định dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

u2n+1 = −3un−1 + 2, ∀n ∈ N∗, (3.2.5)

Giải Đặt un = 1

2 + vn, từ (3.2.5) ta được1

2.3 Một số bài toán khác liên quan

Bài toán 2.12 Dãy số xn xác định bởi x0 = 2, x1 = 1 và xn+1 = xn− xn−1

a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn

b) Tìm công thức tổng quát cho xn

Vậy dãy tuần hoàn với chu kỳ 6

b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta đến các dãy sốcos(nξ)

ta thấy các dãy số cosnπ

3)n là một số nguyên không chia hết cho 13.

Do x0 = 2, x1 = 14 nên xn là nguyên với mọi n dương Mặt khác, nếu gọi rn

là số dư trong phép chia xn cho13 thì ta có rn+1 = rn − rn−1(mod 13) Ápdụng Bài toán trên ta thấy dãy số dư là 2,1,-1(tức là 12),-2,1,2, tuần hoàn

và không có số dư nào bằng 0

CHƯƠNG 3

Giới hạn của dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản

và các dạng toán liên quan

3.1 Giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản

Trong mục này ta sẽ khảo sát sự hội tụ của các dãy số trung bình cơ bản.Định lí Toeplitz sau đây là cơ sở để xét sự hội tụ của các dãy số trung bình

Sử dụng các bất đẳng thức này và các điều kiện 1) và 2) của định lí tađược

n(n = 1, 2, ), thì Pnk và xn thoả mãn các điều kiện

của Định lí Toeplitz, trong đó

Bài toán 3.2 Chứng minh rằng nếu dãy {yn} hội tụ và yn > 0, (n =

1, 2, ) thì dãy các trung bình điều hoà

Bài toán 3.4 Các dãy số {un} và {vn} đựơc xác định như sau



Vậy các công thức tính un và vn đúng khi n = 2

Giả sử công thức đã đúng khi n = k Thế thì

uk+1 = uk + vk

12



Như vậy các công thức đúng khi n = k + 1 Theo nguyên lí qui nạp ta suy

ra rằng các công thức ấy đúng cho mọi số nguyên dương n

Từ kết quả bài toán trên ta có bài toán sau

Bài toán 3.5 Các dãy số {un} và {vn} đựơc xác định như sau

Giải Khi n > 2, ta có

21

Suy ra unvn = u1v1 = ab, với mọi n

Mặt khác, vì u1 = a > 0, v1 = b > 0, nên phép qui nạp theo n chứng tỏrằng un > 0 và bn > 0 Hơn nữa, ta có

Bài toán 3.7 Các dãy số {un} và {vn} được xác định như sau

Chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau

Giải Theo giả thiết un > 0, vn > 0 với mọi n áp dụng bất đẳng thứcCauchy ta có

un−1 + vn−1

2 > √un−1vn−1, (n > 2) ⇒ un > vn, (n > 2)

Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn

sinα2

vn = b sin α

2 sinα2

sinα2

, ta có

b sin α

b√

1 − cos2αarccos a

b

=b

,

vn = b

2n−1 sinh αsinh α

Theo kết quả Bài toán 3.5 ta có

xn = 1

a +

23



1

b − 1a



1

b − 1a





1 + 12.4n−1



2a + b3ab .

Chứng minh rằng giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau

Giải Theo giả thiết bài toán ta suy ra

Giải Theo giả thiết bài toán ta suy ra

vn−1.

Bằng quy nạp ta chứng minh được

un = bα12α231 α241 α22n−51 α22n−41

vn = bα12α231 α241 α22n−31 ,khi n> 2

( 1

22)n−2− 11

22n−3 = 2

3− 13.22n−3

22n−4 = 2

3+

13.22n−4

Bài 3.2 Xác định dãy {un} thoả mãn điều kiện

Tìm số hạng tổng quát un của dãy

Bài 3.8 Cho dãy số {un} thoả mãn điều kiện

Bài 3.9 Cho dãy số {un} thoả mãn điều kiện

2 thì dãy số {un} thoả mãn đề bài, sau đó chứng minh dãy số đó là

dãy số duy nhất thoả mãn điều kiện bài toán

Bài 3.11 Cho dãy số {un} xác định như sau

u1 = 20, u2 = 100 và un+1 = 4un+ 5un−1− 1976, n = 2, 3,

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số của dãy chia hết cho 1996

Phương pháp giải: Đặt un = 1996αn + βn, ∀n ∈ N∗, trong đó αn, βn ∈

C và

06 βn 6 1995

Xét cặp dãy số:

(β1, β2), (β2, β3), , (βn, βn+1),

Vì dãy số đã cho là vô hạn, mà các số βi là hữu hạn nên phải tồn tại hai số

tự nhiên k, m sao cho (βk, βk+1) = (βm, βm+1), giả sử m > k

Chứng minh được 5um−k = 1996(αm−k+2 − 4αm−k+1) + 1996

Từ đó suy ra um−k chia hết cho 1996

Bài 3.12 Dãy số {un} xác định như sau

un = (2 +

√3)n − (2 −√3)n