Một số phương pháp tính giới hạn và ước

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN XUÂN THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HỒN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN XUÂN THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i Mục lục Mở đầu ii Chương Một số tính chất dãy số 1.1 Các tính chất dãy số 1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân cấp số điều hòa 1.1.2 Dãy tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 1.1.3 Dãy tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính 1.2 Một số định lý giới hạn dãy số 1.3 Dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình 1.3.1 Phép chuyển đại lượng trung bình cộng 1.3.2 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân 1.3.3 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình điều hồ 1.3.4 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc hai Chương Các toán xác định dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn 11 2.1 Xác định dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính 11 2.2 Xác định dãy tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính 14 2.3 Một số toán khác liên quan 19 Chương Giới hạn dãy số sinh trung bình dạng tốn liên quan 21 3.1 Giới hạn dãy số sinh trung bình 21 3.2 Về dãy số xác định dãy phương trình 41 3.3 Định lý giới hạn tương đương áp dụng 47 3.4 Sử dụng tích phân để tính giới hạn dãy 50 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii MỞ ĐẦU Chuyên đề dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học Đối với học sinh phổ thơng, khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số tập dãy số, đặc biệt phép tính dãy có chứa tham số, phép biến đổi dãy đại số dãy, Có nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chuyên đề liên quan đến kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT kỳ thi olympic sinh viên Dãy số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực giải tích tốn học Các tốn tính giá trị tổng, tích tốn cực trị xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến đặc trưng dãy tương ứng Các toán dãy số đề cập giáo trình giải tích tốn học số tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Luận văn Một số phương pháp tính giới hạn ước lượng dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn nhằm cung cấp số kiến thức dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số tuần hoàn, phản tuần hồn cộng tính nhân tính Đồng thời cho phân loại số dạng toán dãy số theo dạng phương pháp giải Nội dung Luận văn gồm phần mở đầu ba chương Chương Một số tính chất dãy số Nội dung chương nhằm trình bày định nghĩa dãy số đặc biệt tính chất liên quan Đồng thời trình bày số tốn áp dụng liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân tính chất đặc biệt chúng Trình bày tính chất dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương Các tốn xác định dãy số tuần hồn phản tuần hoàn Chương nhằm giới thiệu số tốn xác định dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính Nêu số tính chất dãy số toán xác định dãy số liên quan đến hàm sơ cấp phổ thơng Chương Các tốn xác định giới hạn dãy số iii Chương nhằm khảo sát giới hạn dãy số sinh trung bình bản, giới hạn dãy số xác định dãy phương trình trình bày định lý giới hạn tương đương áp dụng sử dụng tích phân để tính giới hạn Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến GS TSKH NGND Nguyễn Văn Mậu – người thầy ln đồng hành em suốt q trình nghiên cứu Tận tình bảo, hướng dẫn giải đáp thắc mắc để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cám ơn đến thầy cô, đặc biệt thầy khoa Tốn – Tin - Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên giảng dạy, hướng dẫn, động viên em suốt trình học tập nghiên cứu Xin cám ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành cơng việc, nhiệm vụ Trong q trình làm việc thời gian lực cá nhân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết Em xin lắng nghe ý kiến đóng góp q thầy để em hồn thiện luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2014 Tác giả: Nguyễn Xuân Thủy CHƯƠNG Một số tính chất dãy số 1.1 Các tính chất dãy số 1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân cấp số điều hòa Định nghĩa 1.1 (Cấp số cộng) Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện: un+1 = un + d với số tự nhiên n d số cho trước gọi cấp số cộng, d gọi công sai * un gọi số hạng tổng quát cấp số cộng {un } Nếu cho trước n ta có cấp số cộng hữu hạn * Nếu d = ta có dãy số mà u0 = u1 = Khi dãy {un } gọi dãy * Ký hiệu: Sn = u0 + u1 + · · · + un gọi tổng n số hạng cấp số cộng Nhận xét 1.1 Nếu {un } cấp số cộng cơng sai d, ta có: * un = u1 + (n − 1)d, * 2uk = uk−1 + uk+1, ∀k ≥ 2, n(n − 1)d (u1 + un )n * Sn = nu1 + = 2 Bài toán 1.1 Cho {un } cấp số cộng mà số hạng số ngun dương Giả sử dãy có số phương Chứng minh dãy có vơ hạn số phương Giải Giả sử dãy {un } có cơng sai d > x số phương dãy x = m2 Khi đó: (m + kd)2 = m2 +2mkd+k d2 = x+d 2mk + k d Điều chứng tỏ dãy có vơ hạn số phương Bài toán 1.2 Cho số dương u1 , u2 , un (2 ≤ n ∈ N) lập thành cấp 1 số cộng với công sai d > Chứng minh rằng: √ √ +√ √ + u1 + u2 u2 + u3 n−1 ··· + √ √ =√ √ un−1 + un u1 + un Giải Nhận xét √ = √ uk + uk+1 1) cộng theo vế ta được: √ uk+1 − d √ uk , Cho k = 1, 2, (n− √ √ √ √ √ √ [( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + · · · + ( un − un−1 )] d √ √ un − u1 n−1 = ( un − u1 ) = √ √ =√ √ =VP d d un + u1 u1 + un VT = Vậy toán chứng minh Bài toán 1.3 Cho số dương u1 , u2 , un lập thành cấp số cộng Tính 1 tổng: S = + + ··· + u1 u2 u2 u3 un−1 un 1 1 = − , cho k = 1, 2, , (n− uk uk+1 d uk uk+1 1) vào đẳng thức cộng vế với vế ta được: Giải Nhận xét d = d S= Vậy S = 1 1 − + − u1 u2 u2 u3 1 n−1 − = u1 un u1 un + ··· + un−1 − un n−1 u1 un Định nghĩa 1.2 (Cấp số nhân) Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un = un−1 q với q số cho trước ≤ n ∈ N, gọi cấp số nhân, q gọi công bội * un gọi số hạng tổng quát cấp số nhân Nếu cho trước n ta có cấp số nhân hữu hạn * Nếu cấp số nhân có q = có dạng: u0 ; 0; 0; ; 0; * Nếu cấp số nhân có q = có dạng: u0 ; u0 ; ; u0 ; * Ta ln có: un = u1 q n−1 (2 ≤ n ∈ N) * Ta ln có: u2k = uk−1 uk+1 ∀k ≥ − qn * Ta ln có: Sn = u1 + u2 + · · · + un = u1 1−q Định nghĩa 1.3 (Cấp số điều hòa) Dãy số {un } , (un = 0, ∀n ∈ N) thỏa 2un−1 un+1 mãn điều kiện un = gọi cấp số điều hịa un−1 + un+1 Bài tốn 1.4 Chứng minh dãy số {un } lập thành dãy số điều hòa dãy cho thỏa mãn điều kiện un+1 = − un un−1 un un−1 ⇔ un (un−1 + un+1 ) = ⇔ un+1 = Giải Ta có: un+1 = 2un−1 − un − un un−1 2un−1 un+1 2un−1 un+1 ⇔ un = un−1 + un+1 Vậy dãy số {un } lập thành cấp số điều hịa 1.1.2 Dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.4 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho: un+l = un , ∀n ∈ N Số nguyên dương l bé thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ sở dãy Định nghĩa 1.5 Dãy số {un } gọi phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N Nhận xét 1.2 - Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy cho dãy - Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy có dạng: α + β + (α − β) (−1)n+1 , α, β ∈ R un = 1.1.3 Dãy tuần hồn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.6 Dãy số {un } gọi dãy số tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = un, ∀n ∈ N Số nguyên dương s bé để dãy {un } thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Một dãy phản tuần hồn cộng tính chu kỳ r tuần hồn cộng tính chu kỳ 2r Định nghĩa 1.7 Dãy số {un } gọi dãy số phản tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho: usn = −un , ∀n ∈ N Nhận xét 1.4 Mọi dãy {un } phản tuần hồn chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ), với vn+2r = 1.2 Một số định lý giới hạn dãy số Định nghĩa 1.8 Dãy {un } gọi hội tụ a, ký hiệu lim un = a, n→∞ với ε > cho trước tùy ý, tìm số n0 cho với n ≥ n0 có |un − a| < ε, tức là: lim un = a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |un − a| < ε n→∞ Định lý 1.1 (Tính giới hạn) Giới hạn dãy hội tụ Định lý 1.2 (Tính thứ tự dãy hội tụ) Cho lim xn = l a ∈ R Khi n→∞ - Nếu a > l ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a > xn - Nếu a < n ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a < xn Định lý 1.3 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim xn = l n→∞ a ∈ R - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 ⇒ xn ≥ a l ≥ a - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a l ≤ a Định lý 1.4 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số {xn } , {yn } , {zn } thỏa mãn: • ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn • Các dãy {yn } , {zn } hội tụ đến l Khi dãy {xn } hội tụ lim xn = l n→∞ Định lý 1.5 (Tính chất đại số dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ {xn } , {yn } lim xn = a; lim yn = b Khi đó: n→∞ n→∞ * Dãy {−xn } hội tụ lim (−xn ) = −a n→∞ * Dãy {|xn |} hội tụ lim |xn | = |a| n→∞ * Dãy {xn + yn } hội tụ lim (xn + yn ) = a + b n→∞ * Dãy {xn − yn } hội tụ lim (xn − yn ) = a − b n→∞ * Dãy {kxn } hội tụ lim (kxn ) = ka n→∞ * Dãy {xn yn } hội tụ lim (xn yn ) = a.b n→∞ * Với b = dãy và: lim n→∞ yn = lim n→∞ xn yn xác định từ số hội tụ xn yn xác định từ số hội tụ b * Với b = dãy và: yn a = b Định lý 1.6 Mọi dãy hội tụ bị chặn Định lý 1.7 Mọi dãy đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.8 (Định lý Bolzano – Veierstrass) Từ dãy bị chặn rút dãy hội tụ Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy {xn } hội tụ ∀ε > cho trước tùy ý, tìm số n0 cho với m, n ≥ n0 có |xn − xm | < ε 1.3 Dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình Dưới ta xét số tốn chuyển tiếp đại lượng trung bình chương trình phổ thơng 1.3.1 Phép chuyển đại lượng trung bình cộng Bài tốn 1.5 Xác định dãy số {un }, cho u m+n = u(m) + u(n) m+n , ∀m, n, ∈ N∗ 2 (1.1) 49 Bài toán 3.20 Cho dãy số thực tăng {un } có tính chất lim un = +∞ n→+∞ Chứng minh tồn k ∈ N cho u1 u2 uk + + ··· + < k − 2007 u2 u3 uk+1 (ta giả sử u1 > 0) Giải Ta sử dụng biến đổi tương đương sau u1 u2 uk k− + + ··· + > 2007 ⇔ u2 u3 uk+1 k 1− i=1 ui > 2007 ui+1 ui < Do {un } dãy tăng nên < − ui+1 ui , suy < ci < Mặt khác, ta có Đặt ci = − ui+1 n n (1 − ci ) = i=1 i=1 u1 ui = ui+1 un+1 n tiến dần tới n → +∞ Vậy nên ci = +∞ (Từ 2)⇒ 3) Do ∃k ∈ N i=1 để k ui 1− = ui+1 i=1 k ci > 2007 i=1 Bài toán 3.21 Cho dãy số {an } dương có tính chất lim an = +∞ Chứng n→+∞ minh tồn k ∈ N cho k i=1 Giải Đặt ci = 2007 > 263 a1 + a2 + · · · + ai Vì > nên < ci < a1 + a2 + · · · + − ci = a1 + a2 + · · · + ai−1 , với i ≥ a1 + a2 + · · · + 50 Suy n (1 − ci ) = i=2 a1 a1 + a2 + · · · + an tiến dần tới n → +∞ ci = +∞ hay ∃k ∈ N để Vì > lim an = +∞, nên n→+∞ 263 2007 n n ci > i=1 i=1 , điều phải chứng minh 3.4 Sử dụng tích phân để tính giới hạn dãy Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định: Nếu hàm f (x) khả tích đoạn [a, b], với phép phân hoạch (Π) đoạn [a, b] cách chọn điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, , n) ta ln có b n f (ξi )(xi − xi−1 ), f (x)dx = lim d→0 a i=1 d = max (xi − xi−1 ) 1≤i≤n Như biểu thức dấu giới hạn tổng tích phân hàm f (x) [a, b] ứng với phép phân hoạch [a, b] Như vậy, để tính giới hạn tổng thơng qua tích phân xác định, ta tiến hành theo trình tự sau Biến đổi tổng dấu giới hạn biểu thức dạng b−a Sn = n n f a+i i=1 b−a , n b sau chọn hàm f (x) thích hợp tính tích phân f (x)dx a Bài toán 3.22 Cho cặp số dương m, p cho đa thức P (x) = a0 xm+1 + a1 xm + · · · + am x, a0 = 51 Lập dãy số {vn } sau pn = P k=0 , n = 1, 2, n+k Tính limn→∞ Giải Với i ≥ 2, pn P n+k k=0 Xét hàm số f (x) = Khi pn i pn + ni 1+x k n n f k=1 tổng tích phân f (x) đoạn [0,1] Đặt pn n+k Sn = k=0 pn k 1 Sn = + f n k=1 n n Do p lim Sn = lim + n→∞ n→∞ n f (x)dx = ln(1 + p) Từ đó, suy lim = am ln(1 + p) n→∞ Bài tốn 3.23 Tính   1/n 22/n 2n/n   lim  + + ··· + · 1 n→∞ n+1 n+ n+ n 52 Giải Ta có 21/n 22/n 2n/n + + ··· + 1 n+1 n+ n+ n n n 2i/n 2i/n = = · 1 n i=1 n + i=1 1+ i ni x Ta thấy hàm số f (x) = liên tục đoạn [0, 1], nên khả tích đoạn Do i i−1 i 2n 2n 22 , 1+ ni i−1 i , nên tồn ξ đọan n n Vậy, giới hạn cần tìm Sn = 1 · ln 2t dt = lim Sn = n→∞ Bài tốn 3.24 Tính   lim  n→∞  n+ + n+  · 6n −  n+ + Giải Đặt   Sn =   n+ + n+ +  · 6n −  n+ Ta phân tích Sn sau Sn = n = i=1 n+ + n+ 1 = n n + 6i−4 + n + 6n−4 n i=1 · + 6i−4 3n 53 liên tục [0, 2] nên khả tích 1+x đoạn Bằng phép phân hoạch đoạn [0, 2] điểm chia Nhận xét rằng, hàm số f (x) = xi = chọn 2i (i = 1, 2, , n) n = xi−1 + xi ∈ [xi−1 , xi ], k = 2, 3 2(i − 1) 2i 6i − (k) ξi = + = , n 3n 3n (k) ξi ta thu n i=1 f (ξi )(xi − xi−1 ) = n n · + 6i−4 3n i=1 Đây tổng tích phân f (x) đọan [0, 2] Theo định nghĩa tích phân xác định, lim Sn = n→∞ 2 1 dx = ln(x + 1) = ln 1+x Bài toán 3.25 Cho a, b ∈ Q cho f (x) > 0, liên tục [a, b] Tính n lim Pn = n→∞ b−a n (k) f (ξi ) i=1 Giải Lấy logarit hai vế, ta ln Pn = b−a (k) [ln f (ξ1 ) + · · · + f (ξn(k) )] n b−a = n n (k) g(ξi , g(x) = ln f (x) i=1 Từ suy Pn = e b−a n n i=1 (k) g(ξi ) Do g(x) khả tích [a, b], nên b lim Pn = ea n→∞ ln f (x)dx 54 Bài toán 3.26 Tính lim n→∞ 28 15n − 2+ ··· + 5n 5n 2+ 5n n Giải Lấy logarit hai vế ta nhận ln Pn = n n ln + i=1 15i − 12 5n Đặt Sn = ln Pn Ta chia đoạn [2, 5] thành n phần với điểm chia xi = + i chọn ξi = (4/5)xi−1 + (1/5)xi ∈ [xi−1 , xi ] Suy n ξi ∈ [xi−1 , xi ] Xét hàm f (x) = ln x liên tục [2, 5] nên khả tích đoạn Do ln tdt = ln − ln − lim Sn = n→∞ Vậy lim Pn = e5 ln 5−2 ln 2−3 n→∞ Tiếp theo, ta sử dụng tích phân phần Nội dung phương pháp thiết lập dãy truy hồi phù hợp, sau tính tích phân Bài toán 3.27 Xét dãy số {xn } xác định theo công thức xn = (n + 1)un un+1 , n ∈ N, π sinn xdx, n ∈ N∗ un = Tính lim xn n→∞ 55 Giải Sử dụng cơng thức tích phân phần, ta thu π un = − cos x sinn−1 x π (n − 1) sinn−2 x cos2 xdx + π (n − 1) sinn−2 x(1 − sin2 x)dx = = (n − 1)(un−1 − un ) Từ suy un+2 = n+1 un , n ∈ N n+2 Từ đó, ta nhận xn+1 = (n + 2)un+1 un+2 n+1 = (n + 2)un+1 un n+2 = (n + 1)un+1 un = xn π π Vậy nên xn = x0 = lim xn = n→∞ 2 Bài toán 3.28 Xét dãy số {In } xác định sau n In = xn−1 + dx, ; n ∈ N∗ n x +1 n−1 Chứng minh dãy số {In } có giới hạn Giải Ta có xn−1 + > 0, ∀x ∈ [n − 1, n], xn + nên suy In > 0, n ∈ N∗ Vậy dãy {In } bị chặn Ta chứng minh In−1 ≥ In với n ≥ 2, tức dãy {In } dãy đơn điệu giảm Thật vậy, ta có In−1 ≥ In 56 tương đương với n−1 xn−2 + dx ≥ xn−1 + n−2 hay n n xn−1 + xn + n−1 (x − 1)n−2 + dx ≥ (x − 1)n−1 + n xn−1 + xn + n−1 n−1 Vậy, ta cần chứng minh xn−1 + (x − 1)n−2 + ≥ n , ∀x ∈ [n − 1, n], (x − 1)n−1 + x +1 hay (x − 1)n−2 + (xn + 1) ≥ (x − 1)n−1 + (xn−1 + 1) (1) Ta có (1) ⇔ xn (x − 1)n−2 + xn + (x − 1)n−2 + ≥ xn−1 (x − 1)n−1 + xn−1 + (x − 1)n−1 + ⇔ xn−1 (x − 1)n−2 x − (x − 1) + (x − 1)n−2 − (x − 1) + xn−1 (x − 1) ≥ ⇔ xn−1 (x − 1)n−2 + (2 − x)(x − 1)n−2 + xn−1 (x − 1) ≥ ⇔ (x − 1)n−2 (xn−1 − x + 2) + xn−1 (x − 1) ≥ Điều hiển nhiên, với x ∈ [n − 1, n] n ≥ 2, (x − 1)n−2 (xn−1 − x + 2) + xn−1 (x − 1) ≥ Vậy, {In } dãy đơn điệu giảm bị chặn (bởi 0) Suy ra, tồn lim In n→∞ Bài tốn 3.29 Tính π lim 2n cosn x cos nxdx n→∞ Giải Đặt π xn = 2n cosn x cos nxdx 57 Đặt cosn x = u, cos nxdx = dv Theo cơng thức tích phân phần, ta có π xn = 2n cosn x sin x n π cosn−1 x sin x sin nxdx + π 2n = cosn−1 x[cos(n − 1)x + cos(n + 1)x]dx π 2n 2n 2n = un−1 − un + 2 cosn−1 x sin x + sin nxdx n 2n 2n = un−1 − un + un 2 Vậy nên 2n 2n 2n 2n π xn = un−1 = un−2 = · · · = n−1 u1 = n−1 2 Do lim 2n n→∞ π = π 2n−1 Bài toán 3.30 Chứng minh bất đẳng thức √ xn − xdx < √ , n ∈ N (n + 1) n + Giải Ký hiệu In = √ xn − xdx Đặt n u =x √ ⇒ dv = − xdx du = nxn−1 dx, √ v = − (1 − x) − x 58 áp dụng cơng thức tích phân phần, ta nhận 1 √ 2 In = − xn (1 − x) − x + n 3 √ (1 − x)xn−1 − xdx Suy In = n x √ n−1 1 − xdx − √ xn − xdx , từ đó, ta có 2n In−1 eqno(1) In = n(In−1 − In ) ⇒ In = 2n + Từ (1), ta có In = 2n.2(n − 1).2(n − 2) 2.2.2.1 I0 (2n + 3)(2n + 1)(2n − 1) 7.5 Do I0 = √ − xdx = , nên 2n+1 n! In = 1.3.5.7 (2n + 3) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có 2n + = (n + 2) + (n + 1) > (n + 2)(n + 1), 2n + = (n + 1) + n > n(n + 1) 2n − = n + (n − 1) > n(n − 1) √ = + > 4.3 √ = + > 3.2 √ = + > 2.1 59 Nhân bất đẳng thức này, vế với vế, ta thu √ (2n + 3)(2n + 1)(2n − 1) 7.5.3 > 2n+1 n!(n + 1) n + Suy √ 2n+1 n! In < n+1 n!(n + 1) n + 2, hay In < 1 √ √ < (n + 1) n + (n + 1) n + Bài toán 3.31 Chứng minh bất đẳng thức π eπ − x2 xe cos nxdx Giải Ký hiệu π xex cos nxdx Jn = Ta thấy π π 2 xex cos nxdx xex cos nx dx Do x π , nên ta có 2 xex cos nx = xex | cos nx| Do π π x2 x2 x2 xe cos nx dx xex e d e eπ − = Suy |Jn | eπ − Bài toán 3.32 Chứng minh bất đẳng thức π x2 e sin nxdx 2eπ , n ∈ N n 60 Giải Ký hiệu π ex sin nxdx In = Đặt  du = 2xex2 dx u = ex , ⇒ v = sin nxdx v = − cos nx n Theo cơng thức tích phân phần, ta có π In = − ex cos nx n π + n xex cos nxdx π 2 = − (−1)n eπ − + n n xex cos nxdx (1) π xex cos nxdx, Đặt Jn = π π 2 xex cos nxdx xex cos nx dx Do x π , nên ta có 2 xex cos nx = xex | cos nx| Do π π 2 x2 x xe cos nx dx xex x2 e d e eπ − = 0 Suy |Jn | eπ − (2) Theo từ (1), ta có nIn − 2Jn = − (−1)n eπ hay − (−1)n eπ + 2Jn In = n 61 từ − (−1)n eπ + 2Jn In = n n π2 2Jn − (−1) e + n n π2 1+e + |Jn | n n Thay (2) vào (3), ta thu |In | 2eπ n (3) 62 Kết luận Luận văn “Một số phương pháp tính giới hạn ước lượng dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn” giải vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số dạng tốn liên quan đến dãy số đặc biệt: cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hoà, khái niệm tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính Tiếp theo, xét số lớp toán xác định dãy số Cuối cùng, luận văn trình bày dạng tốn liên quan đến dãy số đặc biệt: tốn ước lượng tổng tích, tính giới hạn số dãy số, tính chất dãy phi tuyến Do lực cá nhân hạn chế, thời gian không nhiều nên cố gắng nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu, song luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô, bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 63 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1998, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc: Dãy số áp dụng, NXB Giáo Dục, 2009 [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Số phức áp dụng, NXB Giáo Dục, 2010 [5] Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo Dục ... Luận văn Một số phương pháp tính giới hạn ước lượng dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn nhằm cung cấp số kiến thức dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính nhân tính. .. HỌC NGUYỄN XUÂN THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HỒN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người... Chương nhằm khảo sát giới hạn dãy số sinh trung bình bản, giới hạn dãy số xác định dãy phương trình trình bày định lý giới hạn tương đương áp dụng sử dụng tích phân để tính giới hạn Em xin gửi lời