Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ dãy số 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Một vài dãy số đặc biệt 3 Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm lượng giác siêu việt 10 10 16 22 24 28 28 35 37 42 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số 4.2 Một số dạng toán khác 46 46 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số 3.1 Sử dụng tính đơn điệu bị chặn để tính giới hạn 3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn dãy số 3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn dãy số 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng dãy số Mở đầu Dãy số phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng ngành đại số giải tích tốn học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáo khoa trung học phổ thơng, nội dung đề cập đến dãy số Vì học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số tham gia thi học sinh giỏi cấp Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán dãy số đề cập nhiều thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng; xác định dãy số tính giá trị tổng, tích; toán cực trị, xác định giới hạn dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số tốn liên quan Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Chương trình bày kiến thức liên quan đến dãy số Chương Một số phương pháp giải toán xác định dãy số Chương trình bày tốn liên quan đến xác định số hạng tổng quát dãy số sinh hàm sơ cấp hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ hàm số logarit Chương Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số Chương trình bày số phương pháp xác định giới hạn dãy số phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange xác định giới hạn dãy tổng Chương Các dạng toán khác liên quan đến dãy số Chương trình bày số tốn liên quan đến tính chất dãy số nguyên, dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn thầy, tới thầy Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành tạo điều kiện cho tác giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2016 Học viên Phùng Thị Thu Hà Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Trong chương này, tơi trình bày khái niệm dãy số gồm số định nghĩa định lý bản, vài dãy số đặc biệt số toán áp dụng 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số tự nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu u:M→R n → u(n) ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M Dãy số gọi vô hạn chúng có vơ hạn phần tử Dãy số gọi hữu hạn số phần tử dãy hữu hạn Phần tử ui gọi phần tử thứ i dãy 1.1.1 Dãy số đơn điệu Dãy (un ) gọi đơn điệu tăng un ≤ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi đơn điệu giảm un ≥ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi tăng thực un < un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi giảm thực un > un+1 , với n = 1, 2, Dãy đơn điệu tăng dãy đơn điệu giảm gọi chung dãy đơn điệu Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng dãy (xn + yn ) tăng • Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm dãy (xn + yn ) giảm • Nếu dãy (xn ) tăng dãy (−xn ) giảm, dãy (xn ) giảm dãy (−xn ) tăng • Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) tăng (giảm) dãy (xn yn ) tăng (giảm) • Một dãy số khơng tăng, khơng giảm Ví dụ dãy số (xn ) với xn = (−1)n , ∀n ∈ N 1.1.2 Dãy số bị chặn Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn nghĩa tồn số M số m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ 1.1.3 Dãy số Cauchy Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.1.4 Dãy số tuần hoàn Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy số tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N (1.1) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.2 a) Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy dãy b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l Tương tự, ta có định nghĩa dãy tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.3) Số nguyên dương s nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (1.4) Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a n dần tới vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε ) cho với n > N0 ta có |un − a| < ε lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε n→+∞ Ta nói dãy số (un ) dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un M ) cho với n > N0 ta có |un | > M lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M n→+∞ Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.2 (xem [5]) Giả sử tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a) lim (un + ) = lim un + lim = a + b n→+∞ n→+∞ n→+∞ b) lim (un − ) = lim un − lim = a − b n→+∞ n→+∞ n→+∞ c) lim (un ) = lim un lim = ab n→+∞ n→+∞ n→+∞ un = n→+∞ d) b = lim lim un a = lim b n→+∞ n→+∞ Định lý 1.3 Nếu un ≤ , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a ≤ b Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]) a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng bị chặn M tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≤ M n→+∞ b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm bị chặn m tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≥ m n→+∞ Nói ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim = lim wn = a lim un = a n→+∞ 1.3 n→+∞ n→+∞ Một vài dãy số đặc biệt 1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số cộng tồn d ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un + d u1 gọi số hạng đầu, d gọi công sai cấp số cộng Tính chất 1.1 Dãy số (un ) cấp số cộng với cơng sai d i) un = u1 + (n − 1)d với n = 1, 2, ; uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , , un−1 , un Ta có ii) uk = u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với k = 2, 3, , n − iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Ta có Sn = [2u1 + (n − 1)d]n (u1 + un )n = 2 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.7 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số nhân tồn q ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un q u1 gọi số hạng đầu, q gọi công bội cấp số nhân Tính chất 1.2 Dãy số (un ) cấp số nhân với cơng bội q i) un = u1 q n−1 với n = 1, 2, ; ii) u2k = uk−1 uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Khi q = ta có Sn = u1 (q n − 1) q−1 Nhận xét 1.4 Nếu |q| < (un ) gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo cơng thức S = u1 + u2 + u3 + · · · = u1 1−q 1.3.3 Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Dãy số (un ) (un = với n ∈ N) thỏa mãn điều kiện un = gọi cấp số điều hòa 2un−1 un+1 , ∀n ∈ N∗ un−1 + un+1 49 Chứng minh u2n + số phương với số nguyên dương n p+1 Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị u2 + u4 + u6 + = 1, = (2p − 1)2 , = (4p2 − 2p + 1)2 , p+1 p+1 p+1 Ta dự đoán u2n + = x2n , (xn ) dãy số xác định sau: p+1 x1 = 1, x2 = 2p − 1, · · · , xn+2 = 2pxn+1 − xn , n = 1, 2, Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp Ta có xn+2 xn − x2n+1 = (−1)n−1 (x3 x1 − x22 )2 = 2p − ⇒ xn+2 xn = x2n+1 + 2p − ⇒ (2pxn+1 − xn )xn = x2n+1 + 2p − ⇒ x2n+1 + x2n + 2p − = 2pxn xn+1 Suy x2n+2 = (2pxn+1 − xn )2 =4p2 x2n+1 − 4pxn+1 xn + x2n =4p2 x2n+1 − x2n+1 + x2n + 2p − + x2n = 4p2 − x2n+1 − x2n − 4p + Do u2n+2 + u2n + − − 4p + p+1 p+1 4p2 − u2n+2 − u2n + = p+1 u2n+4 + = p+1 4p2 − Suy u2n+4 + = x2n+2 p+1 Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau un+2 un − u2n+1 = (−1)n−1 u3 u1 − u22 = 2p2 − − p2 = p2 − ⇒ un+2 un = u2n+1 + p2 − 50 Ta có = = = un+2 + un + p+1 p+1 un+2 un + un+2 + un + (p + 1)2 u2n+1 + p2 − + 2pun+1 + (p + 1)2 u2n+1 + p p+1 Từ đẳng thức này, phương pháp quy nạp ta u2n + số phương p+1 với số nguyên dương n Bài toán 4.3 (China South East Mathematical 2011) Cho dãy số (un ) xác định sau  u1 = u2 = un+1 = 7un − un−1 , n = 2, 3, Chứng minh với số nguyên dương n ta có un + un+1 + số phương Bài giải Tính vài giá trị ta được: u1 + u2 + = 22 , u2 + u3 + = 32 , u3 + u4 + = 72 , u4 + u5 + = 182 Từ ta dự đốn un + un+1 + = x2n , dãy số (xn ) xác định sau: x1 = 2, x2 = 3, xn+1 = 3xn − xn−1 , n = 2, 3, Ta chứng minh dự đốn phương pháp quy nạp Ta có xn+1 xn−1 − x2n = ⇒ (3xn − xn−1 )xn−1 − x2n = ⇒ 3xn xn−1 = x2n−1 + x2n + = xn−1 + xn + xn + xn+1 + = xn+1 + 2xn + xn−1 + Theo công thức truy hồi dãy (xn ) ta được: x2n+1 = (3xn − xn−1 )2 = 9x2n + x2n−1 − 6xn xn−1 = 9(un + un+1 + 2) + un−1 + un + − 2(un+1 + 2un + un−1 + 9) = 7un+1 − un + 7un − un−1 + = un+2 + un+1 + Do x2n+1 = un+1 + un+2 + hay toán chứng minh 51 Bài toán 4.4 (Balkan MO 2002) Cho dãy số (un ) xác định sau:  u1 = 20, u2 = 30 un+2 = 3un+1 − un , n = 1, 2, Tìm tất số nguyên dương n cho + 5un un+1 số phương Bài giải Dễ thấy dãy (un ) dãy số tăng, suy với n ≥ ta có un + un+1 ≥ u4 + u5 > u3 + u4 = 250 (4.7) +) n ∈ {1, 2} khơng thỏa mãn + n = + 5u3 u4 = 2512 suy n = thỏa mãn +) n ≥ 4, theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: un+2 un = u2n+1 + (−1)n−1 (u3 u1 − u22 ) = u2n+1 + 500 ⇒ (3un+1 − un )un = u2n+1 + 500 ⇒ 3un+1 un = u2n+1 + u2n + 500 ⇒ 5un+1 un + = (un+1 + un )2 + 501 Giả sử + 5un un+1 số phương, + 5un un+1 = a2 , a ∈ N∗ Khi ta có (un+1 + un )2 + 501 = a2 ⇔ (a − un+1 − un )(a + un+1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167 Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1:  a + un + un+1 = 501 ⇔  a = 251 (mâu thuẫn với (4.7)) a − un − un+1 = un + un+1 = 250 Trường hợp 2:  a + un + un+1 = 167  a = 85 a − un − un+1 = ⇔ (mâu thuẫn với (4.7)) un + un+1 = 82 Do với n ≥ + 5un un+1 khơng phải số phương Vậy n = số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 4.5 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u1 = un+1 = 3un + 8u2n + 1, n ∈ N∗ 52 Chứng minh số hạng dãy số số nguyên Bài giải Từ giả thiết ta có 8u2n + ⇔ u2n+1 − 6un+1 un + u2n = un+1 − 3un = Thay n n + ta hệ:  u2 n+1 − 6un+1 un + u2n = u2 − 6un un−1 + u2 = n n−1 Trừ vế hai phương trình ta có u2n+1 − u2n−1 − 6un+1 un + 6un un−1 = ⇔ (un+1 − un−1 )(un+1 + un−1 − 6un ) = Suy un+1 = un−1 un+1 = 6un − un−1 Trường hợp un+1 = un−1 xảy Trường hợp un+1 = 6un − un−1 , xác định dãy (un ) sau: u1 = 1, u2 = 6, un+1 = 6un − un−1 , ∀n ≥ Do u1 , u2 ∈ Z nên từ công thức xác định dãy ta có un ∈ Z, ∀n ∈ N∗ Vậy số hạng dãy số số nguyên Bài toán 4.6 Cho dãy số (un ) thỏa mãn un+2 = un un+1 , n = 1, 2, 2un − un+1 Tìm điều kiện cần đủ u1 , u2 để dãy số có vơ số số hạng ngun Bài giải Trước hết ta chứng minh uk = với ∀k = 1, 2, uk uk+1 = 2uk − uk+1 = 0, suy 2uk+2 − uk+3 = 0, uk+4 khơng tồn Giả sử ∃k ∈ N∗ để uk = uk+2 = Tương tự, suy uk+3 Vậy uk = 0, ∀k ∈ N∗ Đặt = 1 , theo cách thiết lập dãy số, ta có vn+2 = , suy un un+2 vn+2 = 2un − un+1 = 2vn+1 − , n = 1, 2, un un+1 ⇔ vn+2 + = 2vn+1 , ∀n ∈ N∗ 53 Khi dãy (vn ) lập thành cấp số cộng với công sai d , nên un ∈ Z ∈ [−1; 1] Do tồn dãy vơ hạn un (un ) số nguyên khác dãy (vn ) có dãy mà phần tử Vì = thuộc [−1; 1] Điều xảy d = 0, d = ta thấy lim |vn | = lim |v1 + (n − 1) d| = +∞ n→+∞ n→+∞ nên ∃k0 để ∀k ≥ k0 |vk | > 1, điều khơng xảy Vậy d = 0, suy v1 = v2 = · · · = = hay u1 = u2 = · · · = un = Do điều kiện cần đủ để dãy (un ) có vơ số số hạng ngun u1 = u2 = a ∈ Z Bài toán 4.7 Cho dãy số (un ) xác định sau:  u0 = 1, u1 = 13 (4.8) un+2 = 14un+1 − un , n ≥ Chứng minh với số tự nhiên n, tồn số tự nhiên k, l cho un = k + (k + 1)2 , u2n = (l + 1)3 − l3 Bài giải Ta có un = k + (k + 1)2 = 2k + 2k + ⇔ 2un − = (2k + 1)2 u2n = (l + 1)3 − l3 = 3l2 + 3l + ⇔ 12u2n − = (6l + 3)2 Như toán quy chứng minh 2un − 1, 12u2n − số phương Trước hết ta có hệ thức sau un+2 un − u2n+1 = 12, ∀n ≥ Thật vậy, ta có un+2 + un un+1 + un−1 = un+1 un ⇒un (un+2 + un ) = un+1 (un+1 + un−1 ) ⇒un+2 un − u2n+1 = un+1 un−1 − u2n = · · · = u0 u2 − u21 = 12 Xét (2un+2 − 1)(2un − 1) = 4un+2 un − 2(un+2 + un ) + = 4(u2n+1 + 12) − 28un+1 + = (2un+1 + 7)2 54 Lại có (12u2n+2 − 3)(12u2n − 3) = 144(un+2 un )2 − 36(u2n+2 + u2n ) + = 144(un+2 un )2 − 36(un+2 + un )2 + 72un+2 un + = 144(un+2 un )2 − 36(14un+1 )2 + 72un+2 un + = 144(un+2 un )2 − 36.142 (un+2 un − 12)2 + 72un+2 un + = 144(un+2 un )2 − 36.194un+2 un + 2912 = (12un+2 un − 291)2 Vậy ta chứng minh 2un − 1, 12u2n − số phương Sau ta xét số tốn dãy số tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính Bài tốn 4.8 Xác định dãy (xn ) cho xn+3 = xn + 1, n = 0, 1, 2, Bài giải Đặt xn = n + yn Khi ta có yn+3 + n+3 n = + yn + 1, 3 hay yn+3 = yn , n = 0, 1, 2, Vậy nên    y = y3 = y6 =          a tùy ý với n = 3k, k ∈ N   y1 = y4 = y7 = ⇔ yn = b tùy ý với n = 3k + 1, k ∈ N     c tùy ý với n = 3k + 2, k ∈ N y2 = y5 = y8 = Do xn =  n  a + tùy ý với n = 3k, k ∈ N    n tùy ý với n = 3k + 1, k ∈ N n c+ tùy ý với n = 3k + 2, k ∈ N b+     Bài toán 4.9 Xác định dãy (xn ) cho xn+3 = 2xn , n = 0, 1, 2, Bài giải n Đặt xn = yn Khi ta có n+3 n yn+3 = 2(2 yn ), 55 hay yn+3 = yn , n = 0, 1, 2, Vậy nên    y = y3 = y6 =      a tùy ý với n = 3k, k ∈ N   y1 = y4 = y7 = ⇔ yn = b tùy ý với n = 3k + 1, k ∈ N     c tùy ý với n = 3k + 2, k ∈ N y2 = y5 = y8 =     n Do xn = yn ,    a tùy ý với n = 3k, k ∈ N   yn = b tùy ý với n = 3k + 1, k ∈ N     c tùy ý với n = 3k + 2, k ∈ N Bài toán 4.10 Xác định dãy (un ) thỏa mãn điều kiện u2n+1 = 3un , ∀n ∈ N (4.9) Bài giải Đặt n + = m, m = 1, 2, Khi ta viết (4.9) dạng u2m−1 = 3um−1 , ∀m ∈ N∗ hay v2m = 3vm , ∀m ∈ N∗ với vm = um−1 , ∀m ∈ N∗ Từ (4.10) ta có v0 = Đặt vm = mlog2 ym , m ∈ N∗ Khi (4.10) có dạng y2m = ym , m ∈ N∗ Vậy (ym ) dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi đó, ta có   tùy ý với n lẻ yn =  y với n có dạng 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N 2k+1 Từ suy um = vm+1 = mlog2 ym+1 , với   tùy ý với n lẻ yn =  y m ∗ 2k+1 với n có dạng (2k + 1), m ∈ N , k ∈ N (4.10) 56 Bài toán 4.11 Xác định dãy (un ) thỏa mãn điều kiện u2n+1 = −3un + 4, ∀n ∈ N (4.11) Bài giải Đặt n + = m, m = 1, 2, Khi ta viết (4.11) dạng u2m−1 = −3um−1 + 4, ∀m ∈ N∗ hay v2m = −3vm + 4, ∀m ∈ N∗ (4.12) với vm = um−1 , ∀m ∈ N∗ Đặt vm = + xm , m ∈ N∗ Khi (4.12) có dạng x2m = −3xm , m ∈ N∗ Đặt xm = mlog2 ym , m ∈ N∗ Khi (4.13) có dạng y2m = −ym , m ∈ N∗ Vậy (ym ) dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ Khi đó, ta có    tùy ý với n lẻ ,   yn = −y2k+1 với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N,     y 2m ∗ 2k+1 với n có dạng (2k + 1), m ∈ N , k ∈ N Từ suy um = vm+1 = + (m + 1)log2 ym+1 , với yn =    tùy ý với n lẻ ,   −y2k+1 với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N,     y 2m ∗ 2k+1 với n có dạng (2k + 1), m ∈ N , k ∈ N (4.13) 57 4.2 Một số dạng toán khác Bài toán 4.12 Cho dãy (un ) xác định bởi:   u =2    u1 =     un+1 5 = un (u2n−1 − 2) − , ∀n ∈ N∗ (4.14) 22 − (−1)n , ∀n ∈ N∗ Chứng minh [un ] = (Ở đây, ta kí hiệu [un ] số nguyên lớn khơng vượt q un ) Bài giải Ta có u2 = + u3 = u2 (u21 − 1) − + u4 = 23 + 23 2+ 2 = 2+ 2 − = 25 + 2+ 2 − = 23 + 23 25 Ta chứng minh quy nạp un = 2an + 2−an với an = 2n − (−1n ) , ∀n ≥ Thật vậy, từ (4.14), ta có un+1 = 2an + 2−an 2an−1 + 2−an−1 − − + = 2an +2an−1 + 2−an −2an−1 + 22an−1 −an + 2an −2an−1 − − 2−1 Dễ thấy   an + 2an−1 = an+1  2an−1 − an = (−1)n un+1 = 2an+1 + 2−an+1 Vì un = Mà 2n −(−1)n 2n −(−1)n + 2n −(−1)n ∈ Z+ < , ∀n ≥ 1 2n −(−1)n < nên [un ] = 22 −(−1)n , ∀n ≥ Bài toán 4.13 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2016) a) Cho dãy (an ) xác định an = ln(2n2 + 1) − ln(n2 + n + 1), với n = 1, 2, Chứng minh có hữu hạn số n cho {an } < 58 b) Cho dãy (bn ) xác định bn = ln(2n2 + 1) + ln(n2 + n + 1), với n = 1, 2, 2016 Trong {x} ký hiệu phần lẻ số thực x : {x} = x − [x] Chứng minh tồn vô hạn số n cho {bn } < Bài giải a) Dễ thấy ≤ 2n2 + < với n = 1, 2, Từ suy ≤ an < ln < n2 + n + [an ] = Với kết này, ta có {an } = an lim {an } = lim an = lim ln n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2n2 + = ln n2 + n + 1 với n ≥ n0 1992 Bây giờ, có vơ hạn số n để {an } < , ta chọn n1 > n0 số Do đó, tồn n0 ∈ N∗ để {an } = ln − Khi đó, theo lý luận trên, ta có 1 > {an1 } > ln − , 1992 hay 1 > ln − 1992 2 Mâu thuẫn chứng tỏ có hữu hạn số n cho {an } < b) Dễ thấy dãy (bn ) tăng lim bn = +∞ Ngoài ra, ta có n→+∞ lim (bn − bn−1 ) = lim ln n→+∞ n→+∞ (2n2 + 1)(n2 + n + 1) = (2n2 − 4n + 3)(n2 − n + 1) Khi đó, ta thấy tồn 2016 lim (bn − bn−1 ) = nên tồn Trở lại toán, giả sử tồn hữu hạn n để {bn } < n0 ∈ N∗ để {bn } ≥ với n ≥ n0 Do 2016 n→+∞ n1 ∈ N∗ đủ lớn để bn − bn−1 < 2016 với n ≥ n1 Vì dãy (bn ) tăng dần tới vô hạn nên tồn vô số số n > max{n0 , n1 } để [bn ] − [bn−1 ] = Xét số n thế, từ bất đẳng thức trên, ta suy [bn ] − [bn−1 ] + {bn } − {bn−1 } < hay {bn−1 } > {bn } + 2015 2016 , 2016 59 2015 nên {bn−1 } > Mâu thuẫn chứng tỏ tồn vô hạn số n 2016 cho {bn } < 2016 Do {bn } ≥ Bài toán 4.14 (TST Việt Nam 2011) Cho dãy số (un ) xác định sau:   u0 = 1, u1 = (4.15) u2  un+2 = + n+1 , n ≥ un Chứng minh un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n (Ở đây, ta kí hiệu [un ] số ngun lớn khơng vượt un ) Bài giải Ta thử dự đoán (un ) dãy tuyến tính dạng un+2 = pun+1 + qun + r với n ≥ Theo cơng thức truy hồi ta tính u2 = 10, u3 = 34, u4 = 116 Từ un+2 = pun+1 + qun + r ta có hệ    3p + q + r = 10   ⇔ 10p + 3q + r = 34    34p + 10q + r = 116    p=4   q = −2    r = Do un+2 = 4un+1 − 2un , ∀n ≥ (1) Ta chứng minh dãy (un ) thỏa mãn công thức truy hồi (1) hai cách Cách Ta chứng minh quy nạp công thức truy hồi (1) Từ đẳng thức un+2 = + u2n+1 , quy nạp ta suy un+1 > 2un , ∀n ≥ nên un un > 2un−1 > · · · > 2n u0 = 2n , ∀n ≥ Dễ thấy (1) với n = Giả sử (1) đến n = k ≥ tức uk+2 = 4uk+1 − 2un ⇒ uk+1 + 2uk−1 uk+2 + 2uk = uk+1 uk ⇒ uk+2 uk − u2k+1 = 2(uk+1 uk−1 − u2k ) = · · · = 2k Ta có uk+2 uk − u2k+1 = 2(uk+1 uk−1 − u2k ) ⇒ ⇒ 2u2k uk+2 uk − uk+1 = 2uk−1 − uk+1 uk+1 4u2k uk+2 2uk − 2uk+1 = 4uk−1 − uk+1 uk+1 (2) 60 ⇒ 4u2k uk+2 (4uk+1 − uk+2 ) − 2uk+1 = 4uk−1 − uk+1 uk+1 ⇒ 4uk+2 − 2uk+1 u2k+2 u2k+2 4(uk+1 uk−1 − u2k ) 4u2k = + 4uk−1 − = + uk+1 uk+1 uk+1 uk+1 2 k−1 k+1 u u 4.2 = k+2 + = k+2 + uk+1 uk+1 uk+1 uk+1 Kết hợp với (2) ta được: u2k+2 u2 < 4uk+2 − 2uk+1 < k+2 + uk+1 uk+1 ⇒ 4uk+2 − 2uk+1 u2k+2 u2k+2 = + = uk+3 +1 = uk+1 uk+1 Do (1) với n = k + Vậy đẳng thức (1) với n ≥ Từ (1) suy un+2 = 4un+1 − 2un ⇒ un+2 + 2un un+1 + 2un−1 = ⇒ un+2 un − u2n+1 = 2(un+1 un−1 − u2n ) = · · · = 2n un+1 un hay un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n Cách Ta xây dựng dãy (xn ) thỏa mãn x0 = 1, x1 = xn+2 = 4xn+1 − 2xn , ∀n ≥ Từ cách xây dựng dãy (xn ) ta được: xn+1 + 2xn−1 xn+2 + 2xn = ⇒ xn+2 xn + 2x2n = x2n+1 + 2xn+1 xn−1 xn+1 xn ⇒ xn+2 xn − x2n+1 = 2(xn+1 xn−1 − x2n ) = · · · = 2n (x2 x0 − x21 ) = 2n ⇒ xn+2 = x2n+1 2n + xn xn Bằng quy nạp dễ thấy dãy (xn ) dãy tăng xn = 4xn−1 − 2xn−2 > 2xn−1 > 22 xn−2 > · · · > 2n x1 = 2n Suy x2 x2 x2n+1 2n < xn+2 = n+1 + < n+1 + xn xn xn xn ⇒ xn+2 x2n+1 x2n+1 = +1 =1+ , ∀n ≥ xn xn Vậy dãy (xn ) dãy thỏa mãn x0 = 1, x1 = xn+2 = + Do ta un = xn , ∀n ≥ Vậy un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n x2n+1 , ∀n ≥ xn 61 Bài toán 4.15 Cho dãy số (un ) xác định sau:  u0 = 0, u1 =  un+2 − 3un+1 + un = (−1)n+1 , ∀n ≥ (4.16) Chứng minh với số tự nhiên n, un số phương Bài giải Ta có u2 = 1; u3 = 4; u4 = 9; u5 = 25 Do u0 = F02 ; u1 = F12 ; u2 = F22 ; u3 = F32 ; u4 = F42 ; u5 = F52 , (Fn ) dãy Fibonacci Từ ta có định hướng chứng minh un = Fn2 quy nạp theo n Giả sử uk = Fk2 với k ≤ n Như 2 un = Fn2 ; un−1 = Fn−1 ; un−2 = Fn−2 Từ giả thiết ta có un+1 − 3un + un−1 = 2.(−1)n un − 3un−1 + un−2 = 2.(−1)n−1 Cộng hai đẳng thức ta un+1 − 2un − 2un−1 + un−2 = 0, n ≥ Từ suy 2 un+1 = 2Fn2 + 2Fn−1 − Fn−2 = (Fn + Fn−1 )2 + (Fn − Fn−1 )2 − Fn−2 2 2 = Fn+1 + Fn−2 − Fn−2 = Fn+1 Vậy un = Fn2 , ∀n ≥ (điều phải chứng minh) 62 Kết luận Luận văn ”Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp” trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số tính chất dãy số dạng tốn liên quan Trình bày dạng toán xác định dãy số sinh hàm hữu tỷ (đa thức, phân thức hữu tỷ), hàm vô tỷ, hàm lượng giác hàm siêu việt Trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số Trình bày đề tốn thi học sinh giỏi nước, Olympic khu vực quốc tế liên quan đến dãy số Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Tài Chung (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2009), Chuyên đề số học dãy số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2007), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [8] Radulescu.T-L.T, Radulescu.V.D, Andreescu.T (2009), Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer Sciences+Business Media [9] Paulo Ney de Sausa, Jorge- Nume Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer ... Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm. .. dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số toán liên quan... hạng tổng quát dãy số sinh hàm sơ cấp hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ hàm số logarit Chương Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số Chương trình bày số phương pháp