phương pháp giải các dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau toán 7

A ĐẶT VẤN ĐỀ Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học vào tập thực tiễn Trong có đổi dạy học mơn tốn, Trong trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Q trình giải tốn đặc biệt giải tốn hình học q trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tịi vận dụng kiến thức vào thực tế Thơng qua việc giải tốn thực chất hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện kĩ mơn tốn Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn giáo viên cần cho HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại điều qn, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Các phương pháp thường quy tắc, quy trình nói chung phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm đốn Học sinh cần rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm vững phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân từ học sinh thấy niềm vui học tập Là giáo viên toán trình tự học bồi dưỡng thường xuyên đổi phương pháp dạy học thân nhận thấy yêu cầu phù hợp thiết thực Trong q trình dạy học giải tốn giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát phân tích mối quan hệ kiến thức học tốn để từ học tìm cho phương pháp giải vấn đề Chỉ q trình giải tốn tiềm sáng tạo học sinh bộc lộ phát huy, em có thói quen nhìn nhận kiện góc độ khác nhau, biết đặt nhiều giả thuyết phải lý giải vấn đề, biết đề xuất nhữnh giải pháp khác sử lý tình Về khách quan cho thấy lực học tốn học sinh cịn nhiều thiếu xót đặc biệt q trình vận dụng kiến thức học vào tập thực tiễn Tỷ lệ học sinh yếu cao em ln có cảm giác học hình khó học đại số Tình trạng phổ biến học sinh làm tốn khơng chịu nghiên cứu kĩ tốn, không chịu khai thác huy động kiến thức để làm tốn Trong q trình giải suy luận thiếu luẩn quẩn Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện … Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ ý nghĩa việc dạy giải toán Hầu hết giáo viên chưa cho học sinh làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, ý đến số lượng chất lượng Trong trình dạy học giải tốn giáo viên quan tâm đến việc rèn luyện thao tác tư phương pháp suy luận Thông thường giáo viên thường giải đến đâu vấn đáp giải thích cho học sinh đến đó, khơng mà nhiều giáo viên coi việc giải xong toán kết thúc hoạt động Giáo viên chưa thấy trình giải tốn giúp cho học sinh có phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà bổ xung nguồn kiến thức phong phú mà tiết dạy lý thuyết khơng thể có Trong q trình cơng tác thân tơi khơng ngừng học tập nghiên cứu vận dụng lý luận đổi vào thực tế giảng dạy Qua trình tập huấn, cộng tác đồng nghiệp đạo ban giám hiệu nhà trường tiến hành nghiên cứu vận dụng quan điểm vào cơng tác giảng dạy thấy có hiệu Nên tơi định nghiên cứu đề tài:Phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác số dạng toán dãy tỉ số - Toán tập - Ở Trường THCS Võ Lao Chính tơi phân cơng giảng dạy lớp lớp dạy đa số em có học lực trung bình trở lên tốn tơi đưa có số dành cho học sinh có lực trung bình yếu, cịn phần lớn tốn nâng cao đưa thêm vào tiết luyên tập dành cho học sinh có lực học Nhằm nâng cao khả tư mở rộng kiến thức cho học sinh giúp em hiểu sâu sắc phương pháp giải dạng toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Quan niệm vấn đề dạy học giải toán Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung bản: + Tìm tịi lời giải tốn ( đường lối ) + Trình bày lời giải ( Diễn đạt ) Trong trình giảng dạy hai nội dung nhiều lúc tiến hành đồng thời nhiều tách thành hai trình Do thực hành cần phân biệt hai nội dung độc lập với vì: Giải tốn có đường lối kết trình bao gồm nhiều khâu đích cuối người làm tốn song dù trình thứ yếu lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo thao tác chưa có đường lối chưa có lời giải toán Mặt khác khâu thực thao tác có phương hướng giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật khơng chứa đựng yếu tố sáng tạo giai đoạn tìm tịi lời giải.Chỉ q trình tìm tịi lời giải học sinh có hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận, khả phán đoán lập luận chứng minh, khả phát kiến thức mới, vấn đề … Mặt khác có đường lối việc trình bày, diễn đạt dễ dàng, lôgic, trật tự, khoa học Rèn luyện cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ xác từ phát triển tư lơgic ngơn ngữ xác Giúp học sinh tự tin hơn, chủ động Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thơng qua giải tốn a Tính linh hoạt biểu mặt sau: + Kĩ thay đổi phương hướng giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện, biết tìm phương pháp để giải vấn đề + Kĩ xác lập phụ thuộc kiến thức theo trật tự ngược lại với cách học + Kĩ nhìn vấn đề theo nhiều quan điểm khác b Tính độc lập biểu hiện: + Kĩ tự thấy vấn đề cần giải quyết, tự giải đáp vấn đề khơng tìm lời giải có sẵn, khơng dựa vào ý nghĩ người khác + Có khả đánh giá ý nghĩ người khác tự đánh giá ý nghĩ thân c Tính sáng tạo biểu hiện: + Tự biết tìm phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát kiến thức từ vấn đề + Tự phát vấn đề đặt vấn đề ( Biết khai thác phát triển toán, biết vận dụng toán vào vấn đề khác, biết tự mở rrộng kiến thức) Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh phẩm chất trên: + Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả dự đốn suy luận có lý, dự đốn thơng qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, để học sinh tự phát vấn đề + Ngồi việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp cần đưa tập có cách giải riêng + Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác tốn Việc tìm nhiều lời giải khác toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác mở đường cho sáng tạo phong phú + Rèn luyện cho học sinh khả nhanh chóng chuyển từ tư thuận sang tư nghịch + Dưa nhiều tốn khơng theo mẫu Sau đay tơi xin đưa số tốn minh hoạ cơng việc cần làm giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán Tuy nhiên thực tế việc giải dạng toán khai thác tìm tịi lời giải cho dạng tốn cần phải tường minh chặt chẽ cho dù có nhiều hướng khai thác khác Yêu cầu lời giải: - Lời giải khơng có sai lầm - Lập luận phải có xác - Lời giải phải đầy đủ Ngồi u cầu nói dạy học luyện tập yêu cầu lời giải phải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày phải rõ ràng hợp lý.Từ yêu cầu đạt ta chuyển sang hướng khai thác toán sâu cách giải để tìm phương án tối ưu cho tốn hay Sau tơi xin đưa phương pháp tìm tịi lời giải tốn: + Tìm hiểu nội dung: - Bài tốn cho biết ? u cầu gì? - Dạng tốn nào? - Kiến thức cần có gì? + Xây dựng chương trình giải: Tức rõ bước cần tiến hành Bước gì? Bước giải vấn đề gì? + Thực chương trình giải: Trình bày theo bước Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn + Kiểm tra nghiên cứu lời giải: + Sau tiến hành khai thác tốn từ toán xuất phát để toán tương tự Để khai thác tốn xuất phát địi hỏi học sinh phải tự giải tốn này, học sinh cần đọc kĩ đề bài, xác, tìm hiểu u cầu đề, vận dụng kiến thức học từ lớp cho phù hợp với để giải Để đạt điều em phải nắm vững định nghĩa, tính chất, trình bày lời giải logíc để có lời giải nhanh ngắn gọn có đủ thời gian khai thác toán sâu Chính q trình hướng dẫn học sinh giải tốn học sinh phải đóng vai trị chủ đạo q trình làm bài, từ phân tích cách giải khác tìm hướng cho toán sinh động Khi hướng dẫn học sinh giải dạng tập tách phần: Nội dung toán phương pháp giải Ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải Khai thác cách giải để chọn phương án tối ưu Phát triển thành toán sở tốn có sẵn từ dễ khó CHƯƠNG II THỰC TRẠNG VỀ VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TOÁN 7-TẬP I Ở TRƯỜNG THCS VÕ LAO I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG Thuận lợi Giáo viên trang bị đầy đủ kiến thức phương pháp giảng dạy Được quan tâm giúp đỡ BGH nhà trường, tổ khối chuyên môn tạo điều kiện giúp đỡ bảo để thân nâng cao tay nghề Hàng tháng tổ thường xuyên mở chuyên đề triển khai thực đến giáo viên tổ Đặc biệt trực tiếp dạy chủ nhiệm em nên tơi có điều kiện tiếp xúc trao đổi với em Qua tơi thấy đa số em có khả chứng minh khai thác số toán dạng tốn liên đến đường thẳng đồ thị Về phía nhà trường có đầy đủ sở vật chất phục vụ cho việc dạy học, có phịng học để phù đạo cho học sinh yếu kém,bồi dưỡng học sinh giỏi giúp em luyện tập nhiều dạng tốn để nhớ kiến thức cách có hệ thống Học sinh phần đa có ý thức học tập Phụ huynh quan tâm đến việc học tập em mình, có tổ chức giúp đỡ học sinh nghèo, học sinh có hồn cảch đặc biệt khó khăn Khó khăn Bên cạnh thuận lợi cịn khơng khó khăn: Đội ngũ giáo viên tổ có tuổi đời cơng tác cịn trẻ nên phương pháp giảng dạy nhiều hạn chế, kinh nghiệm công tác giảng dạy giáo dục học sinh Các em học sinh chủ yếu em người dân tộc thiểu số Điều kiện kinh tế cịn gặp nhiều khó khăn, chưa quan tâm nhiều đến em việc học nhà em lười học đặc biệt việc làm tập nhà chưa đầy đủ Mặt khác số học sinh chưa thấy tầm quan trọng việc học dẫn đến ý thức học em chưa cao Khả nhận thức học sinh hạn chế chưa đồng Một số em nghỉ học nhiều, lười học dẫn đến bị rỗng kiến thức từ lớp Trong lớp học có nhiều đối tượng học sinh khác nên việc truyền thụ đầy đủ kiến thức tiết dạy giáo viên đến học sinh khó khăn II THỰC TRẠNG CỤ THỂ Trong trình giảng dạy số dạng toán dãy tỉ số lớp thấy khả ghi nhớ kiến thức học sinh cịn hạn chế, chưa có hệ thống, chưa biết trình bày chứng minh, phân tích lời giải, khai thác cho toán dẫn đến việc vận dụng kiến thức vào làm tập cịn chậm Trình bày khơng có logíc, kĩ lập luận chứng minh cịn hạn chế, hay sai sót nhầm lẫn, diễn đạt thiếu mạch lạc, lập luận thiếu cứ, trình bày tốn xuất phất từ đâu, đặc biệt tiết luyện tập Quá trình giảng dạy lớp sau phần lí thuyết phần ví dụ trình bày phân tích chi tiết nhằm giúp em học sinh hiểu ý tưởng chất tốn, sở em hồn tồn vận dụng sáng tạo vào tốn có nội dung tương tự Thế qua thực tế giảng dạy nhận thấy phần lớn cá em không nắm vững tính chất, dấu hiệu nhận biết thuộc lí thuyết khơng biết vận dụng vào tập đặc biệt vận dụng kiến thức liên quan yếu, trình bày lời giải cịn hạn chế, chưa logic khoa học, xác Trước đưa phương pháp hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tơi tiến hành khảo sát học sinh thu kết sau: TS Năm học H Giỏi TS % Khá TS TB % TS Yếu % TS Kém % TS % S 2014 - 2015 34 0 12 36 18 52 Qua kết khảo sát học sinh năm học nhận thấy 58% học sinh có điểm yếu giải dạng tập Nên thiết nghĩ để kết trì cuối năm chất lượng học sinh thấp không đảm bảo Hơn dạng toán dãy tỉ số em sử dụng thường xuyên suốt trình học tập học lên lớp 8, lớp Để chất lượng học sinh nâng lên trách nhiệm người giáo viên trực tiếp giảng dạy Từ thân tơi tìm ngun nhân học sinh lại học yếu đến vậy? Yếu chỗ nào? Yếu dạng tốn nào? Vì lại yếu? Thường xuyên quan tâm đến điều kiện học tâp em, tác động đồng đến đối tượng học sinh lớp Thì có sở để phụ đạo bồi dưỡng học sinh cho phù hợp Bên cạnh học sinh phải xác định động học tập, chăm thường xuyên học làm nhà Mặt khác cần có ủng hộ nhiệt tình phụ huynh học sinh, quan tâm sát nhà trường III NGUYÊN NHÂN DẪN ĐẾN HỌC SINH KHÔNG KHAI THÁC ĐƯỢC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃU TỈ SỐ BẰNG NHAU Giáo viên giảng dạy truyền thụ đủ nội dung kiến thức, vận dụng phương pháp Tuy nhiên việc kết hợp phương pháp chưa phù hợp đến đối tượng học sinh Là giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp trường nhận thấy phần đông học sinh không khai thác số dạng toán dãy tỉ số với nhiều lí khác nhau: - Học sinh khơng nắm khơng vận dụng tính chất, dãy tỉ số - Kỹ vận dụng lý thuyết vào giải tập, vận dụng kiến thức liên quan, cách trình bày lời giải tốn cịn hạn chế Để giúp 58% học sinh chưa đạt mức trung bình có kết mong muốn kinh nghiệm tích luỹ tơi xin đưa số giải pháp hướng dẫn học sinh giải khai thác số dạng toán đồ thị đường thẳng nàynhư sau CHƯƠNG III BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP - Để tiết dạy 2nhẹ nhàng thoải mải cho học sinh giúp em nắm học tốt khai thác dạng toán dãy tỉ số - Thì trước hết em phải có kiến thức, phải nắm vững phương pháp giải dạng toán - Phải nắm mục đích u cầu đề Tơi thử kiểm tra hai tiết dạy hai lớp: Lớp có tinh thần tự giác cao biết hiểu học hỏi coi trước tiếp thu học em cảm nhận tiết học tốt hơn, hiểu nắm rõ học Cịn lớp có tinh thần học tập yếu, việc em tiếp thu khó khăn, mơ hồ Nên quan điểm tơi việc truyền thụ kiến thức cho em vấn đề quan trọng việc em nắm kiến thức lại quan trọng Kiến thức em vừa nghe có hiểu khơng việc áp dụng nào? Khi đưa toán mà giáo viên cần vạch hướng đắn cho học sinh Đa số giáo viên dạy theo số lượng tập, tìm kết song, không phân biệt dạng tốn cho em, khơng khai thác xem tốn có cách giải, khơng hiểu học sinh có nắm hay khơng Giáo viên phải vạch rõ nội dung học giúp học sinh hiểu sâu bài, chi tiết nhỏ, thơng qua việc phân tích đề đưa đến hướng giải cách đắn Mục tiêu dạy dạng tốn củng cố lí thuyết rèn luyện kỹ cho học sinh Qua thực tế giảng dạy khảo sát học sinh kết thu học sinh mắc nhiều vận dụng lí thuyết vào giải tập cách trình bầy lời giải Để giải dạng tập địi hỏi học sinh cần phải theo trình tự bước sau: - Tìm hiểu nội dung toán - Chỉ rõ bước cần tiến hành - Trình bày theo bước Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn - Kiểm xem lời giải có sai lầm khơng Sau tơi xin đưa số ví dụ cụ thể: A LÍ THUYẾT I Tỷ lệ thức Định nghĩa a c = b d Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Các số hạng a d gọi ngoại tỉ, b d gọi trung tỉ Tính chất - Tính chất (tính chất bản) a c = b d Nếu ad = bc - Tính chất (tính chất hốn vị) Nếu ad = bc a, b, c, d khác ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a II Tính chất dãy tỉ số nhau: Tính chất - Từ tỉ lệ thức a c = b d a c a+c a−c = = = ( b ≠ ±d ) b d b+d b−d ta suy a c e = = b d f - Mở rộng: Từ dãy tỉ số Ta suy Chú ý: a c e a+c+e a −c+e = = = = = b d f b+d + f b−d + f (giả thiết tỉ số có nghĩa) - Khi nói ba số x; y; z tỉ lệ với ba số a; b; c tức ta có x y z = = a b c hay x:y:z = a:b:c a b c = = - Khi có dãy tỉ số ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 - Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c = b d suy a c e = = b d f Từ k1a k2c a c a c  a c = (k1 , k2 ≠ 0)  ÷ =  ÷ = ; k = k ( k ≠ ) ; b d k1b k d b d  b d suy 3 c e a  c   e  a c e a  ÷ = ÷ = ÷ = × × ;  ÷ = × b d   f  b d f b d f B CÁC DẠNG TỐN Dạng1: Tìm số hạng chưa biết Phương pháp: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức 10 - Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * * m1 x + m2 y + m3 z = e n1 x + n2 y + n3 z = f n1 x + n2 y + n3 z = f * *x.y.z = g - Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: + + + + + x y y z = ; = a1 a2 a3 a4 x a1 y a3 = ; = y a2 z a4 a2 x = a1 y; a4 y = a3 z b1 x = b2 y = b3 z b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y = = a b c x − b1 y2 − b2 z3 − b3 = = a1 a2 a3 + - Thay đổi hai điều kiện Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số a c = b d Để Chứng minh tỷ lệ thức : Ta có số phương pháp sau : Phương pháp : Chứng tỏ : ad= bc a c ; b d Phương Pháp : Chứng tỏ tỷ số có giá trị đề cho trước tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung tỷ số tỷ lệ thức cho k từ tính giá trị tỷ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k Phương pháp 3: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để biến đổi tỷ số vế trái (VT) thành vế phải (VP), tỷ số VP thành VT biến đổi VT=C, VT=C suy VT=VP Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chât dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh a c = b d Bài tập 1: Cho a, b, c, d khác từ tỷ lệ thức: Bài giải : suy tỷ lệ thức: a −b c − d = a c 21 ? Bài tốn u cầu (HSY) c ( a-b ) =ac-bc (1) ? Có cách để chứng minh tỉ - Cách 1: Xét tích + lệ thức.(HSK) a ( c-d ) =ac-ad (2) ? Nêu cách chứng minh.(HSK) + a c - Yêu cầu học sinh lên bảng làm = ⇒ ad=bc (3) b d Từ Từ (1), (2), (3) suy (a-b)c= a(c- d) a-b c-d ? Còn cách khác không.(HSG) = a c (VT= VT =A) suy a c ? Áp dụng kiến thức để cm.(HSK) = =k ⇒ a =bk b d c =dk - Cách 2: Đặt - Yêu cầu học sinh lên bảng làm Ta có: + ? Cịn cách khác cách trên.(HSG) ? Nêu cách làm.(HSG) ? áp dụng kiến thức để cm.(HSG) ? Nêu cách khác (HSG) - Yêu cầu học sinh lên bảng làm ? Cịn cách khác khơng (HSG) ? Nêu cách chứng minh.(HSG) ? áp dụng kiến thức để cm.(HSK) a-b bk-b b ( k-1) k-1 = = = ,(b ≠ 0) (1) a bk bk k + c-d dk-d d ( k-1) k-1 = = = ,(d ≠ 0) (2) c dk dk k a-b c-d = a c Từ (1) (2) suy ra: a c b d = ⇒ = b d a c - Cách 3: Từ a-b a b b d c-d = - =1- =1- = a a a a c c Ta có: a-b c-d = a c Do đó: - Cách 4: Từ: a c a b a-b = ⇒ = = (t/c) b d c d c-d ⇒ a a-b a-b c-d = ⇒ = c c-d a c -Cách 5: Từ: 22 a c b d = ⇒ = b d a c b d ⇒ 1- =1a c a-b c-d ⇒ = a c a c = b d Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức lệ thức sau: ta suy tỉ a±b c±d a+b c+d = ; = b d a c (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ thức) Bài tập 2: chứng minh a = bc ? Bài tốn u cầu gì(HSY) ? Nêu cách chứng minh(HSG) - Yêu cầu học sinh lên bảng làm ? Nêu cách làm khác(HSK) ? áp dụng kiến thức để chứng minh.(HSK) - Yêu cầu học sinh lên bảng làm a+b c+a = a −b c −a Bài giải: - Cách 1: Từ : (*) (với a ≠ b, a ≠ c ) a b a+b a−b = = = c a c+a c−a a+b c+a ⇒ = a −b c −a a = bc ⇒ a c = = k ⇒ a = b.k b a c = a.k - Cách 2: Đặt Ta có: a + b bk + b b ( k + 1) k + (1) = = = , ( b ≠ 0) a − b bk − b b ( k − 1) k − c + a ak + a a ( k + 1) k + = = = ( a ≠ ) ,(2) c − a ak − a a ( k − 1) k − ? Nêu cách làm khác.(HSG) (VT= VP) ? áp dụng kiến thức để chứng minh.(HSK) - yêu cầu học sinh lên bảng giải ? Nhận xét cách cách giải (HSTB) a+b c+a = a −b c−a Từ (1) (2) suy ra: - Cách 3: Ta có a + b a ( a + b) VT = = a − b a ( a − b) a + ab bc + ab = = ( do, a = bc ) a − ab bc − ab b( c + a) c + a = = ( a, b ≠ ) = VP b( c − a) c − a 23 Nhận xét: Ngược lại từ a +b c +a = a −b c −b a+b c+a = a −b c −b Do đó: a +b c + a = a −b c −b ta suy a2 = bc Từ ta có tốn cho chứng minh số a, b, c khác từ số a, b, c có số dùng lần, lập thành tỉ lệ thức Bài tập 3: Cho a c = b d a 2012 + c 2012 ( a + c ) = b 2012 + d 2012 (b + d ) 2012 2012 Chứng minh rằng: Bài giải: ? Bài toán yêu cầu gì(HSY) a c = = k (k ≠ 0) b d ⇒ a = k.b c = k.d § Ỉt ? Nêu cách làm chứng minh.(HSK) ? áp dụng kiến thức để chứng minh.(HSG) a 2012 + c2012 (kb)2012 + (kd)2012 = b 2012 + d 2012 b 2012 + d 2012 k 2012 b 2012 + k 2012 d 2012 = b 2012 + d 2012 k 2012 (.b 2012 + d 2012 ) = = k 2012 (1) b 2012 + d 2012 Ta cã : - GV hướng dẫn học sinh làm (a + c)2012 (kb + kd)2012 = (b + d)2012 (b + d)2012 [k(b + d)]2012 k 2012 (b + d)2012 = = = k 2012 (2) 2012 2012 (b + d) (b + d) ? Nhận xét toán so với Từ (1) (2) 2012 làm.(HSTB) suy ra: Bài tập 4: Cho a b = c d a 2012 + c 2012 ( a + c ) = b 2012 + d 2012 (b + d )2012 Chứng minh rằng: 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d Bài giải: ? Bài tốn u cầu gì.(HSY) - Cách 1: ta có ? Nêu cách làm chứng minh.(HSTB) ? áp dụng kiến thức để chứng 24 minh.(HSK) a b - Yêu cầu học sinh lên bảng làm ⇒ c d b d 5a 3b 5a + 3b = = 5c 3d 5c + 3d 5a 3b 5a − 3b = = 5c 3d 5c − 3d = ⇔ a c 5a + 3b 5c + 3d ? Còn cách khác không(HSG) Từ (1) (2) (Đpcm) - Cách 2: Đặt ? nêu cách làm.(HSK) ? áp dụng kiến thức để chứng minh.(HSK) - Yêu cầu học sinh lên bảng thực ? Nhận xét cách giải trên.(HSTB) a b + + Bài tập 5: Cho = c d (1) (2) = 5a − 3b 5c − 3d c = k ⇒ a = kb d c=kd = 5a + 3b 5kb + 3b b ( 5k + 3) b = = = ;(1) 5c + 3d 5kd + 3d d ( 5k + 3) d 5a − 3b 5kb − 3b b ( 5k − 3) b = = = ;(2) 5c − 3d 5kd − 3d d ( 5k − ) d 5a + 3b 5c + 3d Từ (1) (2) (Đpcm) a b = a + b2 c2 + d Chứng minh: = 5a − 3b 5c − 3d ab cd = Bài giải: ? Đối với toán ta chứng minh - Cách 1: nào.(HSTB) a b ? Nêu cách làm.(HSK) - Yêu cầu học sinh lên bảng làm ? Còn cách khác.(HSG) ⇒ c d = a2 c2 ⇒ b2 = d a2 + b2 c2 + d Vậy: - Cách 2: Đặt a c = = ab cd = ab cd b d = a2 + b2 c2 + d (Đpcm) ? Nêu cách làm.(HSG) 25 ? áp dụng kiến thức để chứng minh.(HSK) - Yêu cầu học sinh lên bảng cm a c = =k b d ⇒ a = b.k c=d.k + a + b2 c2 + d = = ?Nhận xét cách chứng minh + (HSTB) b2k + b2 d 2k + d b ( k + 1) d ( k + 1) = b2 (1) d2 ab b.k b b = = (2) cd d k d d a + b2 c2 + d = ab cd Từ (1) (2) : (Đpcm) Nhận xét: Bài có khó chút Học sinh làm để xuất ab cd a2 b2; Nhưng bù lại em biết tạo từ tỉ lệ thức cho Chỉ cần gợi ý chút xíu em làm thơi! Em so sánh: a a b b ; c c d d ab cd ? Tổng kết: Với dạng tập này, em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí, kết hợp với mối quan hệ khác mà cho để đến điều phải chứng minh Lưu ý học sinh sử dụng tính chất dãy tỉ số phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu Có nhiều cách để chứng minh tỉ lệ thức cần lựa chọn cách phù hợp với khả mức độ nhận thức người học cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày Mặt khác, q trình chứng minh phải ln hướng điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng khơng cần thiết, có lại khơng tới đích cần đến Dạng : Toán chia tỉ lệ Phương pháp giải Bước 1:Dùng chữ để biểu diễn đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số điều kiện Bước 3:Tìm số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận Bài tập 1: Số viên bi ba bạn Nam, Minh, Hoàng tỉ lệ với số 2; 4; Cả ba bạn có tất 99 viên bi Tính tổng số viên bi Minh Hoàng Bài giải: ? Bài tốn cho biết gì(HSY) Gọi số viên bi ba bạn Nam, Minh, >0 ? u cầu gì.(HSY) Hồng a,b,c (a,b,c ) Lúc a, b, c tỷ lệ 26 ? áp dụng kiến thức để làm (HSTB) a b c = = với 2; 4; nên ta có tỷ lệ thức: Và a+b+c=99 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a + b + c 99 = = = = =9 + + 11 - Yêu cầu học sinh lên làm Từ suy a = ⇒ a = 18 b + = ⇒ b = 36 c + = ⇒ c = 45 + ? Nhận xét cách giải.(HSTB) Thử lại giá ta thấy thoả mãn Vậy số viên bi Minh Hoàng là: 54 viên Bài tập 2: : Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009.Biết tỉ số số thứ số thứ hai ,giữa số thứ hai số thứ Tìm ba số Bài giải: ? Bài tốn cho biết gì.(HSY) Gọi số phải tìm a,b,c Theo ta có ? u cầu gì.(HSY) a a = ; = ? Nêu cách giải toán a + b + c = −1009 b c trên(HSK) Ta có: ? Có áp dụng tính a a b a b = ⇒ = ⇒ = ; (1) chất không.(HSTB) b 3 a a c = ⇒ = ; (2) c 9 ? áp dụng kiến thức để làm (HSTB) Từ (1) (2): a b c = = = k ⇒ a = 4k b=6k c=9k - Yêu cầu học sinh lên bảng giải a + b3 + c = −1009 Thaya=4k; b=6k;c=9k vào ? Có giá trị k(HSY) 27 64k + 216k + 729k = −1009 1009k = −1009 ? Nhận xét cách giải (HSTB) k = −1 k = −1 Với k=-1 thay vào a=4k;b=6k;c=9k ta a=-4 , b=-6, c=- Vậy số cần tìm là: -4;-6;-9 Bài tập 3: Có đội A; B; C có tất 130 người trồng Biết số người đội A; B; C trồng theo thứ tự 2; 3; Biết số đội trồng Hỏi đội có người trồng cây? Bài giải: ? Bài tốn cho biết gì.(HSY) + Gọi số người trồng đội A; B; C ∈ ? Yêu cầu gì.(HSY) là: x; y; z (người), đk: x; y; z N* + Theo ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z = = 12 12 12 ⇒ x y z = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ? áp dụng kiến thức để làm.(HSTB) x y z x + y + z 130 = = = = = 10 6 + + 13 Suy : x = 10 ⇒ x = 60 y + = 10 ⇒ y = 40 z + = 10 ⇒ z = 30 + - Yêu cầu học sinh lên làm Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng theo thứ tự 60; 40; 30 ? Nhận xét.(HSTB) Bài tập 4: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba Bài giải: ? toán cho biết gì.(HSY) + Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z ? Yêu cầu Theo ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z = ; = ⇒ = ; = y z 10 28 ? áp dụng làm(HSTB) kiến thức để - Yêu cầu học sinh lên bảng làm ? Nhận xét x y z = = =k 10 18 ⇒ x = 10.k y = 18.k z = 7.k hay BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 Nên k = thay vào x=10k ; y=18k ; z=7k ta : x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương x = 50; y = 90; z = 35 Bài tập 5: Có ba tủ sách đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 từ tủ thứ sang tủ thứ số sách tủ thứ 1, thứ 2, thứ tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi trước chuyển tủ có sách ? Bài giải: ? Bài tốn cho biết gì.(HSY) Gọi số sách tủ 1, tủ 2, tủ lúc ? yêu cầu ∈ N* đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c a, b, c < 2250) Thì sau chuyển ,ta có: Tủ 1: a -100 (quyển) Tủ 2: b (quyển) Tủ 3: c + 100 (quyển) ? áp dụng kiến thức để làm(HSK) a − 100 b 16 15 Theo đề ta có : = = a + b + c = 2250 áp dụng tính chất dãy tỉ số a − 100 b 16 15 = - Yêu cầu học sinh lên bảng làm c + 100 14 = = =50 Suy : + + ? Nhận xét cách giải.(HSTB) a − 100 + b + c + 100 16 + 15 + 14 2250 45 = ? Các giá trị tìm có thỏa mãm khơng.(HSTB) c + 100 14 + a − 100 16 =50 ⇒ ⇒ b 15 =50 c + 100 14 =50 a -100 = 50.16 a = 800 + 100 = 900 (t/m) ⇒ ⇒ b = 50.15 = 750 (t/m) c + 100 = 50.14 29 ⇒ c = 700 - 100 = 600 (t/m) Vậy: Trước chuyển thì: Tủ có : 900 sách Tủ có : 750 sách Tủ có : 600 sách ˆ C ˆ B ˆ A Bài tập 6: Cho tam giác ABC có Â tỉ lệ với 15, = Tính góc tam giác ABC Bài giải: ˆ ˆ ˆ ˆ ? Bài toán cho biết gì.(HSY) A B C A ? Yêu cầu 15 * Theo ta có = = ? nêu cách làm.(HSK) ˆ ˆ ˆ A B C ˆ B 15 12 ˆ C 1800 ? áp dụng kiến thức để Hay : = = mà Â + + = làm(HSTB) (Tổng góc tam giác) Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: ˆ A = ˆ ˆ B C 15 12 = = ˆ ˆ ˆ A + B + C 1800 + 15 + 12 30 = ?Tam giác tam giác Suy ra: ˆ A (HSTB) + ? Nhận xét + + = 60 ⇒ ˆ B 15 60 ⇒ = Â= ˆ B ˆ C ˆ 12 60 ⇒ C = 60 60 = = 60 = = 60 180 15 = 12 = 900 720 Vậy góc tam giác ABC : Â = ˆ B 90 ˆ C 72 180 , = , = Bài tập 7: Một toán cổ có tên “chia dê” làm đau đầu khơng người muốn tìm đáp số, với tính chất dãy tỉ số tốn trở nên đơn giản Một người dân Arập sinh người trai, lúc lâm chung người cha nói : “sau ta đi, lại 17 dê, cha dành cho cả, cho thứ 30 cho út Các chia mà đê dê sống, không bán dê để chia tiền, không giết thịt để chia thịt.” Sau người cha qua đời, tìm hết cách không làm theo lời trăn trối cha Em giúp người ông cụ Bài giải: ?Bài tốn u cầu gì.(HSY) Gọi số dê mà anh em họ chia là: a, b, c (con) ∈ (a, b, c N* a, b, c < 17) ? Theo giả thiết ta lập tỉ lệ thức Khi đó, theo ta có: nào.(HSTB) ? áp dụng kiến thức để làm(HSK) a b c = = 1 a + b + c = 17 áp dụng tính chất dãy tỉ số a b c a + b + c 17 = = = = = 18 1 1 1 17 + + 9 18 - Yêu cầu học sinh lên bảng giải Suy ra: + ? Các giá trị tìm có thỏa mãn không.(HSTB) + a = 18 ⇒ a = 18 = 2 b = 18 ⇒ b = 18 = 3 (t/m) (t/m) c = 18 ⇒ c = 18 = 9 + (t/m) Như vậy: Số dê chia Nhận xét.(HSTB) lời trăn trối ông cụ: Con số dê con; Con thứ Bài tập 8: Một ô tô từ A → → út số dê số dê B đươc 60,9 km Hai sau, ô tô thứ hai từ A B với vận tốc 40,6 km Hỏi ô tô thứ từ A Biết xe ô tô thứ hai đến muộn ô tô thứ → B 31 Bài giải: ? Bài tốn u cầu gì.(HSY) ? Theo giả thiết ta lập tỉ lẹ thức nào.(HSTB) → Gọi thời gian ô tô thứ từ A B : x (h) (Đ/k x>0) ô tô thứ xuất phát sau 2h lại tới B muộn 7h nên thời gian ô tô thứ từ A → B : x -2 + = x + (h) Vì quãng đường từ A ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5) B nên x+5 60,9 x 40, ? áp dụng kiến thức để làm(HSTB) → = Ta có: áp dụng tính chất dãy tỉ số x+5 60,9 x 40, - yêu cầu học sinh lên bảng giải = = x+5− x 60,9 − 40, 20,3 = = 50 203 Suy ra: ? Nhận xét x 40, = ⇒ x= 50 203 50 203 40,6 = 50 406 203 10 → = 10 (t/m) Vậy ô tô thứ từ A B 10 Nhận xét: Đây dạng tập khó học sinh, khơng học sinh trung bình mà học sinh khá-giỏi, khó cơng đoạn chuyển tốn lời văn dạng biểu thức Giáo viên cần dẫn dắt em thật tỉ mỉ bước, từ phân tích đầu để tìm yếu tố cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ biết dạng ẩn(Ví dụ như: quãng đường = vận tốc.thời gian tổng góc tam giác 180 ), đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện đơn vị Đặc biệt kết luận cho phải xác theo yêu cầu Dạng 5: Tính giá trị biểu thức Đây loại tập khó, địi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức kĩ biết tổng hợp tri thức phương pháp học Khả quan sát dự đoán sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với suy luận logic, sáng tạo Làm dạng tập này, học sinh cần đến xúc tác giáo viên em gặp bế tắc Những lúc giáo viên cần gợi mở hướng cho học sinh câu hỏi mở Bài tập 1: Cho x, y, z thoả mãn: x y z = = với x, y, z khác 32 Tính: P = x− y+z x + 2y − z Bài giải : - Cách 1: ? Bài tốn u cầu gì.(HSY) x y z = = ? nêu cách làm.(HSK) Đặt = k (k khác 0) x = 2k , y = 5k , z = 7k ? Ta áp dụng kiến thức để giải.(HSK) Khi đó: P = - Yêu cầu học sinh lên làm Vậy: P = - Cách 2: 2k − 5k + 7k 4k = = 2k + 10k − 7k 5k 5 x y z x− y+z x− y+z = = = = 2−5+ ? Còn cách khác khơng.(HSG) Ta có: suy x - y + z = 2x ? áp dụng kiến thức để giải.(HSTB) Ta có: x 2y z x + 2y − z x + 2y − z = = = = 10 + 10 − suy x + 2y - z = -Yêu cầu học sinh lên làm Do đó: P = ? Nhận xét cách giải Bài tập 2: Cho tỉ số Vậy: P = a b+c ; b c+a ; 5x 2x 4x = = 5x 5x 5 c a+b Tìm giá trị tỉ số Bài giải: ? Bài tốn cho biết gì.(HSY) ? u cầu ? áp dụng kiến thức để giải (HSK) a b c = = b+c c+a a+b Cách 1: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta 33 có: ? Với giá trị biểu thức a b c = = b+c c+a a +b a+b+c a+b+c = = ( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b) ( a + b + c ) Học sinh thường bỏ quên điều kiện a+b+c= chưa.(HSK) mà rút gọn ln điều dẫn đến tìm thiếu giá trị ? Cần phải xét thêm điều kiện Để giải toán giáo viên hướng khơng.(HSK) dẫn học sinh làm sau: Có: a b+c = b c+a = c a +b a+b+c a +b+c = (b + c) + (c + a ) + ( a + b) 2(a + b + c) = + Nếu a + b +c ≠ ? Nếu a + b +c = sao.(HSTB) ? Khi giá trị biểu thức có khơng.(HSK) a b+c = b c+a = (*) c a+b a+b+c (b + c) + (c + a ) + (a + b) = = + Nếu a + b +c = b + c = -a ; c + a = -b ; a + b = -c Khi đó: a b+c = a = −1 −a ; b b = = −1 c + a −b ; c c = = −1 a + b −c ? Nhận xét cách làm Hoặc: a b+c = b c+a = c a+b Vậy: + Nếu a + b +c ≠ c a +b = = c = −1 −c a b+c = b c+a = + Nếu a + b +c = a b+c = b c+a = 34 c a +b Bài tập 3: Cho biểu thức: P = −1 = x+ y y+ z z+t t + x + + + z +t t + x x+ y y+ z Tìm giá trị biểu thức P biết: x y z t = = = y+ z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z Bài giải: Ta có: ? Bài tốn u cầu (HSY) ? Nêu cách làm x y z t +1 = +1 = +1 = +1 ? Có thấy giống tốn y + z + t z+t + x t+x+ y x+ y+z làm chưa.(HSTB) Hay: ? Nêu cách làm (HSG) x+ y+ z +t x+ y+ z +t x+ y + z+t x+ y+ z +t - Yêu cầu học sinh lên làm y + z +t = z +t + x = t+x+ y = x+ y+z + Nếu x + y + z + t ≠ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z hay x = y = z = t đó: P = + + +1 = + Nếu x + y + z + t = x + y = -(z + t) ; y + z = - (z + t) Khi đó: P = (- 1) + (- 1) + (- 1) +(-1) = -4 Vậy: + P = x + y + z + t ≠ + P = - x + y + z + t = Nhân xét: Dạng tập gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh suy luận logic tính phức tạp Nhưng với vai trị gợi mở giáo viên học sinh có cảm giác người khám phá điều thú vị, cảm xúc người chiến thắng Điều động lực kích thích em, gây hứng khởi cho em tiếp tục chinh phục - ? Nhận xét 35 ... triển thành toán sở tốn có sẵn từ dễ khó CHƯƠNG II THỰC TRẠNG VỀ VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TOÁN 7- TẬP I Ở TRƯỜNG THCS VÕ LAO I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG... học sinh biết cách giải toán liên quan đến khai thác giải số dạng toán dãy tỉ số Toán Tập Biết trình bày lời giải cho tốn có cứ, 9% học sinh chưa biết khai thác giải tập lý do: Các em khơng nắm... nhỏ vào phương pháp giảng dạy Phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác số dạng toán dãy tỉ số - Toán tập Ở Trường THCS Võ Lao Từ trang bị cho học sinh số kiến thức kĩ cần thiết giải toán , vận