1 DAY SO VA GIOI HAN CUA DAY SO nguyễn hữu hiếu

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số tăng với n ta có un  un1 Dãy số  un  gọi dãy số giảm với n ta có un  un1 Định nghĩa Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un  M , n  * un  m, n  * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m  un  M , n  * Định lý a Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ b Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí a Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới  b Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới  Định lý a Nếu dãy  un  hội tụ đến a dãy trích từ  un  hội tụ đến a b  un  hội tụ đến a   u2n   u2 n1  hội tụ đến a Định lý a Nếu lim un  un  0, n  n  b Nếu lim un   un  0, n  n  n  u n lim 0 n  u n lim Định lý 5.(Định lý kẹp giới hạn) Nếu với n  n0 ta có un  xn  lim un  lim  a lim xn  a Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn  u1  a Bài tốn Chứng minh dãy số  un  xác định  có giới hạn hữu hạn  un  f  un1  ; n  tìm giới hạn ( f  x  hàm số liên tục) Phương pháp giải a) Dãy  xn  bị chặn Nếu f  x  hàm số tăng  a; b dãy  xn  đơn điệu hội tụ đến L nghiệm phương trình f  x   x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn b) Nếu f  x  hàm số nghịch biến dãy  x2 n  ;  x2 n1  dãy  xn  ngược chiều biến thiên Nhận xét: Nếu dãy  x2n  hội tụ đến L , dãy  x2 n 1  hội tụ đến K : Với L  K dãy  xn  khơng có giới hạn; Với L  K dãy  xn  có giới hạn L II BÀI TẬP CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u1 Bài Cho dãy số (u n ) xác định công thức un 2un 3 ; (n un2 * ) Chứng minh dãy số có giới hạn Tính lim un ? Lời giải Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un n 0; * Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: un 1 2un Do đó: un Mặt khác: un un2 1 u n * 3; n un2 un2 3 ; n * u n un un2 un un2 un 3 un2 3 un un2 un Vậy (un ) dãy số giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử, lim un Kết luận lim un a a Ta có: a a2 a a2 a 3 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn u0   Bài Chứng minh dãy số  có giới hạn tìm giới hạn 1 un   u ; n  1, 2,3 n 1  3x n , xn a) x n : x1 2x n b) x n : x1 2; xn c) xn : xn d) x n : x1 13; xn e) x n : x1 ;x n n! 2n 1 !! 1 ;n xn N 12 xn x n x n2 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f) u1 un un x1 xn g) xn xn : xn xn : xn x1 j) xn : xn 10x n 2x n 13 ,n xn 20 ,n 1, 1 x n 2014 ,n xn 1 u n n u k) x n : x1 ;x n l) x n : x1 0; xn m) x n : x1 1; x n n) x n : x1 1; x o) x n : x1 p) x n : x1 f x 3 x minh un 3x n 1 x1 i) ,n 0; x x1 h) 3un 2un GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ,n 3xn xn ; n 2; n 2x n xn 2; xn ;x n ;x n x n 1 1 ;n xn xn ; n 3x n ; n x ; n Hướng dẫn: Xét hàm số n x , x 0;1 , f ' x 0; x 0;1 từ suy f x tăng 0;1 Chứng f un & un un dấu, 0;1 quy nạp Do f x tăng nên f un dấu với u2 16 u1 q) x n : x1 2; xn r) x n : x1 2; xn s) x n : x1 1982; x n 2 ;n un Từ suy un dãy giảm bị chặn xn ; n HD: Xét hàm số f x x ;x 0;2 x HD: Xét hàm số f x ;n 3x n 22 ; x HD: Xét hàm số f x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 1;2 3x ;x 0;1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x n : x1 t) 1; x n 1 ;n xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ BÀI TỐN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  u1  Bài Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  u  u , n  n n  n 1 Tìm giới hạn sau: (1)  1  lim      n  u  u2  un 1    Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un1  un  un2    un  tăng Tính tổng: un 1  un2  un   1 1    un 1 un  un  1 un un  1 1   un  un un 1 (n  1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1     2 u1  u2  un1  un1  Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n  n   1       lim   Vì từ (2) ta suy ra: lim   2 n  u  n  u  u  u n 1 n 1       1     Vậy lim  2 n  u  u2  un 1      u1  Bài Cho dãy số thực  un  xác định bởi:   un 1  un  un  1, n  Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 Tìm giới hạn sau: lim      n  u un   u1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu n     un  Từ hệ thức (1) ta suy , un1  un   un  1  , vậy  un  tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1 un 1   un  un  1     un 1  un  un  1 un  un  1   un un  un 1  (n  1, 2, )   Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1      u1 u1 un un 1   Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a2  a   a2  2a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n un1  0 1  1  Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim 1   1 n  u un  n  un 1    u1 1 1 Vậy lim        n  u un   u1 u1   Bài Cho dãy số un xác định  un 1   un2  un   , n  1; 2;3    a) Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn ; n , n  1, 2,3 Tính lim Sn k 1 uk  b) Đặt Sn   Bài (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x1  2012; xn1  xn2  5xn  với n nguyên dương a) Chứng minh  xn  dãy số tăng; b) Chứng minh  xn  khơng có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy  yn  xác định yn   Tìm lim yn k 1 xk  Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy  xn  xác định Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: xn1  xn  x  5xn   xn  ( xn  3)2  n  Do x1  2012  nên xn1  xn  suy dãy cho dãy tăng b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn  a(a  2012) Từ công thức truy hồi xn1  xn2  5xn  Lấy giới hạn vế, ta được: a  a2  5a   a  (khơng thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn c) Ta có: 1   xn  xn  xn1  n 1 1      x1  xn1  2009 xn1  k 1 xn  Do đó, ta có: yn   2009 u1 Mà limxn   nên limyn  Bài Cho dãy số un un n u1u2u3 un 1 1, 2, Đặt Sn ;n k Tìm lim Sn n uk Lời giải Ta có un un un 1 un 1 u1u2 un (n un , n un n u1 Sn un k 1 un uk 1 un n u1 1); un un un un un k uk Kết hợp với giả thiết suy Sn u1u2 un 1; n 1 uk un 1 , suy 1 u1 un 1 u2 un 1 1 un 1 Ta có u2   u1 ; u3   u1u2   u1 1  u1    u1  un   u1  u1u2 un  1  u1  Mặt khác un un 1 un u1u2 un n 1 un u1u2 un u1 Bài Cho dãy số x n : x1 u1 n 1, xn 2n hay un tăng nên 1 lim un n xn xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy xn lim Sn xn n Tính lim n n i 1 xi Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x xn xn (xn với n  1, 2, xn 1)(xn 2)(xn xn2 xn xn 3) 3xn xn2 3xn xn2 3xn (1) Từ suy xn xn2 1 3xn xn 1 Từ (1) xk xi xk2 3xk xi 3.3k 3xk xn xi i 1 (vì (2) xn n 3n Suy a a a 1)(a a 1 xn 1 xn 1 xn 1 1 xn 1 (2) 3n ) với cách khác: Dễ thấy x n dãy tăng, giả sử lim xn a(a xn 3k Ta chứng minh lim xn Nên ta có a x1 1 Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn Nên lim yn 1 xn = n i 1 xn xn n Do yn 2)(a a 3) a (a 1) 1 hay a 6a 10a 6a Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a  Vậy lim xn Bài Xét dãy số xn ; n n Đặt Sn 1, 2, 3, xác định x1 1, 2, 3, 1 x1 1 (x n 1) với Tìm lim Sn n xn x2 x n Lời giải Ta tổng qt hóa tốn sau: Cho dãy un thỏa mãn u1 un n Ta chứng minh Sn a un2 1 b c )un b c c2 u1 c2 c )un b c ui i (b c un c Thật vậy Ta có un Từ un2 (b un 1 c un suy un c un c un2 b Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy un (b c )un b c b un bc c un c (un b)(un b c c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Khai triển ước lượng u1 b u1 u2 c u2 c b u2 c u3 c …………………… un b un c un c 1 Do Sn u1 c un c Từ vận dụng vào toán với b =1, c = - ta có Sn x1 Mà x n 1 1 x n – xn a2 > 2) Thì 2a xn 1 xn 1 N * nên dãy x n dãy tăng Giả sử lim xn >0 n n a (a suy a = Vô lý Vậy lim xn Do lim Sn n n Nhận xét Trong tốn tổng qt ta thay giá trị a, b, c khác để toán Chẳng hạn: (2x n 1)2012 Bài Cho dãy số x n xác định bởi: x1 = 1; x n x n Với n số nguyên 2012 (2x1 1)2011 (2x 1)2011 (2x 1)2011 (2x n 1)2011 dương Đặt un Tìm lim un 2x 2x 2x 2x n 1 Lời giải Ta có x n Suy n i 1 2x n 2(x n 2x n (2x i 1)2011 2x i 1 Mặt khác: xn (2x n 1)2012 , n 2012 – xn 1 (2x n n 1006 – xn i 1 xn ) 1)(2x n 2x i 1 1) 1 2x i 1 (2x n 1)2011 1006(2x n 1) 1006 nên dãy (xn) dãy số tăng n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 2x1 1 2x n 1 Nếu (xn) bị chặn limxn tồn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt lim xn a hay lim xn a suy lim (a a 2x n 1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1)2012 2012 a (vô lý) Suy x n không bị chặn =0 Suy lim un n 1006 u1   Bài Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  Tìm giới hạn sau: un2 u   u ,  n   n 1 n 2012  u u u  lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu un2  , vậy  un  tăng 2012 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u2 un 1  n  un  un2  2012  un 1  un  2012 u  u  u  n  2012 n 1 n un 1 un un 1 n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy  , un 1  un   1 un   2012    un 1  un un 1   n  1, 2,  (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1  u u1 u2      n  2012     2012 1   u2 u3 un1  u1 un1   un1   (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a2 a  a  a  (vô lý) 2012 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n   n u u  u   Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim 2012 1    2012 n  u un1  n  u3  un1  Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  u u u  Vậy lim     n   2012 n  u un 1   u3 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  u1   Bài 10 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2011un u  , n   n 1 2012   u un  u sau: lim      n  u  u3  un 1    (1) Tìm giới hạn Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy u  u  1  , un 1  un  n n  , vậy  un  tăng 2012 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2  2011un  un2  2012un  2012un 1  un  un  1  2012  un 1  un  2012  u  1   un  1  un  2012    n  1, 2, (*) un   2012 n 1     un 1   un1  1 un  1 un1   un  un 1   un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được:  un u1 u      2012 1   u2  u3  un1   un1    (2) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a(a  1)  a  a(a  1)   a   a  (vô lý) 2012 không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un1  1    lim n  n  n un1  0   u  un  u   lim 2012 1  Vì từ (2) ta suy ra: lim        2012 n  u  u3  un1   n   un1     u un  u Vậy lim       2012  n  u  u  u  n 1   Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  u1   Bài 11 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  un 1  4un 1  un 1 , n   n  1  hạn sau: lim      n  u un   u2 Tìm giới (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n   Xét tính đơn điệu un  un 1   un  : Từ hệ thức (1) ta suy un21  xn 1  un 1  un 1  un21  xn 1  un 1  2un 1 un21  xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng  Tính tổng: un  un1   2un1 un21  xn1  un1  un2   un  1 un1  1   un2 un1 un (n  1,2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1         (2) u1 u2 un u1 u1 un un Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  a  4a  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n    n 0 un  1   1 Vì từ (2) ta suy ra: lim       lim     n  u un  n  un   u2  1  Vậy lim        n  u un   u2  u1  2012 Bài 12 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:   un  2011un  2013un 1   0, n    1    giới hạn sau: lim   n  u  2012 u2  2012 un  2012   Lời giải Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 11 (1) Tìm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2012 , n   Xét tính đơn điệu    u  1  n    un  tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u  2011un  un2  2011un  2013un 1    un 1  n 2013 u  2011un   un 1   n 1 2013  u  1 un  2012   un 1   n 2013 1    (n=1,2, ) un  2012 un  un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1        u1  2012 u2  2012 un  2012 u  un1  2011 un1  un 1  un   un  : Từ hệ thức (1) ta suy (*) Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  2012 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a2  2011a  2012a    a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n un1  0 Vì từ (2) ta suy ra:    1 1  lim      lim     n  u  2012 n  u2  2012 un  2012    2011 un1   2011   1 1      Vậy lim   n  u  2012 u2  2012 un  2012  2011  1  u1  2012 Bài 13 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  2012u  u , n  n n  n 1  u u u  sau: lim     n  n  u un 1   u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  , n  Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 12 Tìm giới hạn (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  Xét tính đơn điệu GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  un  : Từ hệ thức (1) ta suy un1  un  2012un2    un  tăng  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2012un2  un 1  un   2012un2 un 1  un u 1    n     unun 1 unun 1 un 1 2012  un un 1  Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2  1   1      n              u2 u3 un 1 2012  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2, )    2012   2012  un 1  Do  un  dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass,  un  tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2012a2  a  a  (vô lý) không bị chặn trên,  un  tăng không bị chặn nên: lim un    lim un1    lim n  n n 0 un1    u u u   Vì từ (2) ta suy ra: lim     n   lim  2012     n  u un 1  n  2012  un 1    u3  u u u  Vậy lim     n   n  u un1   u3  u1   Bài 14 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  Tìm giới hạn sau: un2  2009un  u  ,  n   n 1 2012   u  u2  u 1  lim     n  n  u  u3  un 1    Lời giải  Biến đổi un1  u  2009un  (u  1)(un  2)  un 1  un  n 2012 2012 n ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n  u n Do {u n } khơng bị chặn hay lim u n = +  hay lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 13 (*) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un)  un  1 = 2012 ( ) (*) un 1  un  un 1   Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: n Sn =  Vậy lim S n = 2012 ui  1 = 2012 ( 1) un 1  i 1  u i 1  Bài 15 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x1  xn1  số nguyên dương n, đặt yn  Lời giải Do xn1   n x i 1 i xn3  xn  với n  1,2, Với xn2  xn  Tìm lim yn 4 ( x  4)( xn  2) (1) xn2  xn  n x1  nên qui nạp chứng minh (x n  2)2 xn1  xn    ( xn ) dãy tăng (2) xn  xn  Giả sử dãy ( xn ) bị chặn  a  để xn  với n  lim xn  a a  2a   a  4a    a  (loại) a a6 Do đó: lim xn   (3) 1 1 1     Từ (1) suy :  xn1  xn  xn  xn  xn  xn1  n 1  1 (4)  yn   xn1  i 1 xi  Từ (3) (4) suy : lim yn  2017  x   Bài 16 Cho dãy số ( xn ) xác định sau   x  x2  5x  ;  n  n n  n1 n nguyên dương n, đặt un   Tính lim un k 1 xk  a Khi Với số * Lời giải 9 Khi f ( x)  x  x  x   x  x  2 Vậy hàm số có điểm bất động x  3  Ta có xn1  xn2  xn   xn1    xn    xn  1 2 2  1 1 1 1     Từ suy    xn  3 xn  x  x  xn1  xn    xn  1 xn  n n 1  2 2 2   Xét hàm số f ( x)  x  x  Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 14 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1     3 x  1007 k 1 k x1  xn1  xn1  2 2017 Chứng minh dãy tăng Do x1  nên qui nạp chứng minh xn  với 2 n * Xét hiệu xn1  xn   xn  3   n  *  ( xn ) dãy tăng  Chứng minh dãy  xn  không bị chặn un   Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a  để lim xn  a Khi  a  a  (khơng thỏa mãn) Do : lim xn   2 Vậy lim un  1007 Bài 17 (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:  x1   xn4   x   n1 x3  x  ; n  n n  n Với số nguyên dương n, đặt yn   Tính lim yn k 1 xk  2a  5a  Lời giải x4  x4   x  x   Khi f ( x )  x x3  x  x3  x  Vậy hàm số có điểm bất động x  xn3  3  xn  3  xn4   xn1   + Ta có xn1  xn3  xn  xn  xn  + Xét hàm số f ( x)  xn3  3   xn  3  1     xn1   xn3  3  xn  3  xn  3  xn3  3 1   x  xn  xn1  n 1 1    1  yn   x1  xn1  xn1  k 1 xk   n + Chứng minh dãy tăng Do x1  nên qui nạp chứng minh xn  với n   xn  3 xn1  xn  0  xn    xn2  xn  3 Xét hiệu  ( xn ) dãy tăng + Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a  để lim xn  a Khi Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 15 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn a 9  a  a  (không thỏa mãn) a a6 Do : lim xn   Vậy lim yn  Bài 18 (HSG BP 12-13) Cho dãy số (un ) xác định: 2013 un2 (2 9un ) u1 2un 1(2 5un ), n u1 u1 Xét dãy số u2 u2 un Tìm un lim Lời giải Ta có un Khi un2 Đặt x n 9un un n x1 xn 0; n 2un 1 9un 5un un 2 un2 1 5un un un2 10 un Khi ta có dãy x n xác định bởi: 2013 x n2 5x n n Chứng minh x n dãy tăng: Xét hiệu: xn xn2 xn Do x1 2013 5xn xn xn nên xn xn suy dãy x n dãy tăng Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn : Giả sử x n bị chặn, dãy tăng bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn Từ công thức truy hồi xn xn2 5xn a, a 2013 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 5a a (không thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn Ta có: u1 u1 Mà un un xn 2 u1 xn Do đó, ta có: 2 un 2 x1 xn n 1 xn x1 3 xn 2013 xn 1005 Bài 19 (Quảng Ngãi) Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện: a1  2,   an   an1   24 Mà lim xn nên lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 16 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Tính S2012  GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1    a1 a2 a2012 HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy an  Đặt tn  4an1   an1   3an1   an 3an1 1 1 (t1  )  tn  tn1   tn   (tn1  ) an 2 2 3 Đặt un  tn  (u1  1)  un  un1  Sn  2[( )n  1] 2 2012 Cho n  2012 , ta có S2012  2[( )  1]  1006  u1  Bài 20 Cho dãy số (un ) thỏa mãn:  u  u  u  n  n1 n u1   Bài 21 Cho dãy số:  un2015  un  u   n1 u 2014  u  n n  n   n 1  Tìm lim   u   k 1 k  * (n  N * ) * a) Chứng minh un  1, n  N (un ) dãy số tăng n b) Tìm lim u i 1 2014 i 2 Bài 22 Cho dãy số un thỏa mãn u1  2017; un1  un Bài 23 Cho dãy số x n : x1 1, Bài 24 Cho dãy số x n : x1 Bài 25 Cho dãy số x n n xn xn 3, xn 1   n un  ; n  1, 2,3 Tính lim  x n2014 n i 1 Tìm lim n xn n xác định x1 12, x n Tìm lim n xn 1 n n ,x 24 n Bài 26 Cho dãy số x n xác định x1 x1 x2 x 22014 x3 n x n x n dãy số tăng khơng bị chặn Tìm lim Sn x12014 x2 k n xk k x n2014 xn 1 xk Chứng minh xn ui  1 n n 2x n2 1, n xn Đặt xn Tính lim Sn n Bài 27 Cho dãy số x n xác định x n : x1 Bài 28 Cho dãy số x n : x1 1; x n x n2 1 xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 17 ,n ;x n Tìm lim x n n Tìm lim n xn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước ;x n Bài 29 Cho dãy số x n : x n : x1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn x n x1 Bài 30 (HSG QG 2012) Cho dãy số x n : x1 Bài 31 Cho dãy số x n : xn 3n 1 Tìm lim x n n Tìm lim x n n 2012 x n3 xn x1 Bài 32 Cho dãy số x n : n xn ,n 4n x n2 3x n Tìm lim x n 3x n n 2012 xn 2012 Tìm nlim x n xn x n Bài 33 Cho dãy số un xác định u1 2014 un un2 2un Tính nlim un HD: Chứng minh dãy un giảm bị chặn Bài 34 Cho un : u1 un un2 un Bài 35 Cho dãy số un thỏa mãn un Bài 37 Cho dãy số x n xác định u1 2 u2 n n u 4un u1 thỏa mãn 1 u1 un Bài 36 Cho dãy số un Đặt Sn un Tìm lim n k un uk n u n u1 un un Tìm lim n k 1 uk un2 2014 2013 ;n 2014 1, a) Chứng minh un dãy số tăng b) Với n v1 v2 1, n N , đặt 2014 , n un un 1 Chứng minh 1, Bài 38 Cho dãy số un xác định u1 a) n2 ; n 1, 2013 Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn b) Đặt Sn un n i ui un Tính lim Sn n 2013 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 18 Tìm lim Sn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u1 Bài 39 Cho dãy số un : u u1 16 ;n 1 Tính lim n n u 7un 13 ;n 2014 2013 un2 2un ;n Bài 42 Cho dãy số x n : x1 n n n 1, x1 Bài 43 Cho dãy số un xác định u1 x2 xn 10 xn Tính lim Tìm lim n i 1 xn n n un ui ,n ui i 2, un n i n 2 Đặt lim Đặt lim 2n 1; x n 1, ui i 20 un un 2un u1 Bài 41 Cho dãy số un n n un Bài 40 Cho dãy số un : GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ui HD Bước Chứng minh lim un n n Bước Tính i n , tính lim n ui i 1 ui Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu x Bài 44 Cho dãy số x n : x n 2014x n2 Bài 45 Cho dãy số x n : x1 lim n x1 1 x2 Bài 46 Cho dãy số x n : x1 3, xn xn a 3xn 1, xn 4n un ; wn xn xn Tìm xn2 Tìm lim n Bài 47 Cho dãy số x n xác định n x2 x3 1 xn2 1 xn x1 x2 Tính lim x0 x1 x2 1; x n x2 1 x3 xn 1 xn xn 1 Đặt u1u2 un Hãy tính lim ; lim wn Bài 48 Cho dãy số x n : x1 Bài 49 Cho dãy số x n : x1 8, x n 2009, x n Bài 50 Cho dãy số thực an : a1 Bài 51 Cho dãy số x n : x1 x n 2, x n n 2009x n2 an x n n xn ;n an i x n2 xi Tính lim n n 2009 x i2 n i x i2 an Chứng minh lim n n Đặt Sn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 19 25 Tính lim 2009x n 1;an 7x n k 1 xk n Tính Sn ; lim Sn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước xn Bài 52 Cho dãy số x n : x1 ,x n Bài 53 Cho dãy số x n : x1 a 1, xn Bài 54 Cho dãy số x n : x1 a 0, xn lim n 1 x1 x2 1 2n Bài 55 Cho dãy số x n : x1 1, x n Bài 56 Cho dãy số (un ) u1 21 ,u 10 n xn xn2 xn 1n xn2 xn n x n2 n 2014 xn un un2 n b) Đặt x n k uk k x k Tính lim Sn n Tìm lim n x1 x2 xn x2 x3 xn xn 1 Tìm n x1 x2 Tìm lim n 8un Bài 57 Cho dãy số un xác định u1 a) Chứng minh un n Đặt Sn xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2008, un , n un2 n * lim n i i u 20072 ; n 4013un 2007 ; tính lim x n n 2006 Bài 58 (HSG BP 11-12) Cho dãy số un xác định u1 n u 2013 2011un 2013un n Tìm lim n u1 2012 Bài 59 to be continued Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 20 u2 2012 un 2012 ... có x n Suy n i 1 2x n 2(x n 2x n (2x i 1) 2 011 2x i 1 Mặt khác: xn (2x n 1) 2 012 , n 2 012 – xn 1 (2x n n 10 06 – xn i 1 xn ) 1) (2x n 2x i 1 1) 1 2x i 1 (2x n 1) 2 011 10 06(2x n 1) 10 06 nên dãy (xn)... hồi (1) ta suy u  2 011 un  un2  2 011 un  2 013 un 1    un 1  n 2 013 u  2 011 un   un 1   n 1 2 013  u  1  un  2 012   un 1   n 2 013 1    (n =1, 2, ) un  2 012 un  un 1  Thay... un un 1 un 1 u1u2 un (n un , n un n u1 Sn un k 1 un uk 1 un n u1 1) ; un un un un un k uk Kết hợp với giả thiết suy Sn u1u2 un 1; n 1 uk un 1 , suy 1 u1 un 1 u2 un 1 1 un 1 Ta có u2   u1 ; u3