CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ GIỚI HẠN CỦA MOON.VN

Khĩa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của n

Trang 1

Khĩa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

1 Qui tắc cộng:

Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B Nếu phương án

A cĩ m cách thực hiện, phương án B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện

2 Qui tắc nhân:

Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện

và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đĩ cĩ m.n cách thực hiện

Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng Hỏi người

đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:

a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b) Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?

ĐS: a) 35 b) 29

Bài 3:

Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đĩ cĩ 7 nam và 4 nữ Từ hộ đồng quản trị đĩ, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đĩ phải cĩ ít nhất một người nam

Trang 2

Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi)

a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số?

b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số?

c) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

d) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5?

ĐS: a) 3125 b) 168 c) 20 d) 900 e) 180000

Bài 9:

Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số:

f) Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5?

ĐS: a) 25 b) 20 c) 15 d) 8 e) 120 f) 24

Bài 10:

Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số:

a) Khác nhau?

b) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300?

c) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5?

d) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn?

e) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ?

ĐS: a) 100 b) 60 c) 36 d) 52 e) 48

Bài 11:

a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?

b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500)

Trang 3

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

1 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1

Trong đó:

i là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực của số phức

b được gọi là phần ảo của số phức

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C

b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3

Tài liệu bài giảng:

01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 4

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Bài tập áp dụng:

Bài 1 Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:

5 z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) 6 z = (1 + i)2 – (1 – i)2

7 z = (2 + i)3 – (3 – i)3 8 z = (3 – 5i) + (2 + 4i)

Bài 2 Cho z=(2a 1− +) (3b+5 i) với a, b∈R Tìm các số a, b để:

Bài 3 Tìm các số thực x và y, biết:

1 (2x 1+ + = − +) 5i 4 (3y−2 i)

2 (x− 2)− = −4i 3 (y 1 i+ )

2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức z = a + bi (a b, ∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn

gọi là mặt phẳng phức)

Trong đó:

- Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a

- Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b

Ví dụ Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D

a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành

b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?

3 MODULE CỦA SỐ PHỨC

Khái niệm:

Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: z = a2+b2

Ví dụ: Tính module của các số phức sau

Trang 5

4 3i

− +

=+

2 i

−

=+

1 i

=

+

Trang 6

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 13) (3 2i 1 3i)( ) ( )

Trang 7

5 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

5.1 Phép cộng, trừ hai số phức

♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i

Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i

♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i

♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i

Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa ’ – bb ’ + (ab ’ + a ’ b)i

Trang 8

• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số

Ví dụ Thực hiện phép chia các số phức sau

4 3i

− +

=+

Trang 9

Trang 10

Trang 11

Vậy phần ảo của z bằng -10

Trang 12

Trang 13

10 i

−

=+

i z

i

−

=

− Tín mô-đun của số phức z+iz.

Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z= − +( 1 3 )i 2012+ +(1 3 )i 2012

Bài 5: Cho số phức z+ =1 i2013+i2012 Tìm z biết '' z = +z i z

Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

2

( )1

i

z + =+

Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

Trang 14

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 a)

Trang 15

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x4trong khai triển Niutơn của biểu thức P= +(1 2x+3x2 10)

=

Quy ước số hạng thứ i của khai triển là số hạng ứng với k= −i 1

Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển

9)21(8

3)21(16

1)1(

8

32

16

10 6 6

12 6 6

14 6

Trang 16

Ví dụ 5: Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

n x

)1(.42

3 22 11

11 0

11 2 11

k k

k

x C

x x

C x

x

Số hạng chứa x7 là số hạng ứng với k thỏa mãn 22−3k=7⇔k =5

Suy ra hệ số của x trong khai triển là 7 C115.(−2)5 =−14784

Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 1

k

k k

Trang 17

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Bài 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức 2 3

n

x x

Bài 4: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức: 4 (1+ +x 4x2 10)

Bài 5: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 6 2( )5 ( )7

x cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44 Tìm n

b) Cho biết trong khai triển 2 1

n x

−

khai triển chứa x4

Bài 13: Cho khai triển 1 0 1 1 1 ( 1) 1

khai triển là 5 Tìm số hạng chính giữa?

Trang 18

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Bài 14: Cho khai triển 3 0( )3

hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng n là số

nguyên dương thỏa mãn C n n+C n n−1+C n n−2 =79

Trang 19

Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:(1+x)n+nx(1+x)n−1=C n0+2C n1+3C x n2 2+ + + (n 1)C x n n n (2)

Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh

1

2013 2012 2011 0

(t −2t +t )dt

∫ =

Trang 20

Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:

k k

Trang 21

n

x x

n n

Trang 22

Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1 + 2x + 3x2)10

Bài 6: Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 + + 15(1 + x)15

Bài 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10

Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa

Trang 23

DẠNG 1 BÀI TỐN ĐẾM NGƯỜI, VẬT

Bài 1: Một bàn dài cĩ hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy cĩ 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh

trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nĩi trên Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

Lời giải:

1 Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ

Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ

Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B

Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…

Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách

Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đĩ Hỏi cĩ

bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng cĩ đủ cả 3 màu?

Lời giải:

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: 4

15

C = 1365

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 1

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645

Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu cĩ ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

1 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luơn ở cạnh nhau?

2 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhĩm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

Lời giải:

1

* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách

* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

2

* Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy có 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái

Vậy: có 12 + 12 = 24 cách

Bài 4: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đĩ xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng

1 Cĩ bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Cĩ bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 24

Lời giải:

Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0

1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}

Do đó: f có 3 cách chọn

a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)

b có 4 cách chọn (trừ a và f)

c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)

d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)

e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số

2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}

* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số

* Khi f ∈ {2, 4} thì:

f có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

e có 1 cách chọn

Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số

Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn

Bài 5: Một thầy giáo cĩ 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đĩ cĩ 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn

sách Hoạ Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc Hỏi cĩ bao nhiêu cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều cịn lại ít nhất một cuốn Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

1 Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự

Vậy số cách tặng là 6

9

A = 60480

2 Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách

Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: 6

12

A = 665280 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: 5

6

A 7 = 5040 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: 4 2

A A = 20160 Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: 3 3

A A = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

Bài 6: Cĩ 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đồn cơng tác 3 người cần cĩ cả

nam và nữ, cần cĩ cả nhà tốn học và nhà vật lí Hỏi cĩ bao nhiêu cách?

C C = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn

Bài 7: Một đội văn nghệ cĩ 20 người, trong đĩ cĩ 10 nam và 10 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao

cho:

1 Cĩ đúng 2 nam trong 5 người đĩ

2 Cĩ ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đĩ

Lời giải:

Trang 25

* 3 nam và 2 nữ: có 3 2

Bài 8: Cĩ 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng cĩ kích thước đơi một khác nhau

1 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ cĩ đúng 2 viên bi đỏ

2 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ số bi xanh bằng số bi đỏ

C cách chọn ra 4 viên bi còn lại

2 Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có 3 3

Bài 9: Cĩ 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5 Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các

thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm liền nhau

Lời giải:

Có 2 khả năng:

1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn → có 5!5! cách

2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ → có 5!5! cách

Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách

Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực cĩ 9 người Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở

địa điểm B, cịn 4 người thường trực tại đồn Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng?

Lời giải:

Có tất cả: 3 2 = 4 2 = 2 4

C C C C C C = 1260 cách

Bài 11: Một lớp học cĩ 20 học sinh, trong đĩ cĩ 2 cán bộ lớp Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội

sinh viên của trường sao cho trong 3 người đĩ cĩ ít nhất một cán bộ lớp

Lời giải:

Có 2 khả năng:

* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 1 2

2 18

C C = 324 cách

Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ cĩ bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ trống Hỏi:

1 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

Bài 13: Cho A là một hợp cĩ 20 phần tử

1 Cĩ bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Cĩ bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà cĩ số phần tử là số chẵn?

Lời giải:

Trang 26

1 Số tập con của A là: 0 + 1 + 2 + + 20

2 = 219 – 1

Bài 14: Một lớp cĩ 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm cơng tác “Mùa hè xanh”

Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đĩ phải cĩ ít nhất:

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

Lời giải:

1 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:

* 2 nam và 3 nữ: có 2 3

2 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:

* 1 nam và 4 nữ: có 1 4

Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp

B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy?

Lời giải:

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: 4

12

C = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

• Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh

⇒ Số cách chọn là: 2 1 1

5 4 3

C C C = 120

• Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:

5 4 3

C C C = 90

• Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:

5 4 3

C C C = 60 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:

120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách

Bài 16: Từ một nhĩm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho

cĩ ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn

15 10

C CSố cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: C C 3 10

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	2,05 MB