Chuyên đề này giới thiệu các dangk toán giới hạn của hàm số. Chuyên đề này giúp học sinh có thể hiểu sâu hơn về giới hạn của hàm số. Chuyên đề này có thể giúp học sinh tháo gỡ một số thắc mắt về toán.
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.TĨM TẮT LÍ THUYẾT: Giới hạn hữu hạn 1.Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c (c: số) x x0 x x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực 1.Giới hạn đặc biệt: k chẵn lim x k ; lim x k x x k lẻ lim x x ; x 0 x 1 lim lim x 0 x x 0 x 2.Định lí: Nếu lim f ( x ) L lim g( x ) thì: lim 2.Định lí: a) Nếu lim f ( x ) L lim g( x ) M x x0 x x0 thì: lim f ( x ) g( x ) L M x x0 lim f ( x ) g( x ) L M x x0 lim f ( x ).g( x ) L.M x x0 f (x) L (nếu M 0) x x0 g( x ) M b) Nếu f(x) lim f ( x ) L lim x x0 x x0 f (x) L c) Nếu lim f ( x ) L lim f ( x ) L x x0 x x0 x x0 lim f ( x )g( x ) Bảng sau: x x0 lim f ( x ) + + - lim f ( x ) lim f ( x ).g( x ) Nếu lim f ( x ) L lim g( x ) thì: x x0 x x0 x x0 L lim c 0 xk lim x 0 x lim c c ; lim x x0 f (x) Bảng sau: g( x ) lim f ( x ) + + - lim g( x ) Dấu g( x ) + + - f (x) g( x ) lim 3.Giới hạn bên: lim f ( x ) L * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: lim f ( x ) lim f ( x) L , – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định x x0 x x0 x x0 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN , Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO B.MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TỐN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: Vấn đề P( x ) x x0 Q( x ) lim P ( x0 ) = Q( x ) P ( x0 ) = Q( x ) Dạng tốn L , M 0, L M ,M0 M Phương pháp giải P( x ) P( x ) L Thế x vào : lim Q ( x ) x x Q( x ) M P( x0 ).Q( x0 ) 0. P( x ) P( x ) 0 : lim Q ( x ) x x Q( x ) Áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực: - Quy tắc - Quy tắc - Nhóm nhân tử chung: x x0 - Nhân thêm lượng liên hiệp - Thêm, bớt số hạng vắng - Ta thường sử dụng phương pháp dạng P( x0 ) Q( x0 ) - Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu P ( x0 ) L = ,L0 Q( x ) P ( x0 ) = Q( x ) P ( x0 ) = Q( x ) P ( x0 ) = Q( x ) L , M 0, L M ,M0 M Thế x vào Thế x vào P( x ) P( x ) L : lim Q ( x ) x x Q( x ) M P( x ) P( x ) 0 : lim Q ( x ) x x Q( x ) Áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực: P ( x0 ) L = ,L0 - Quy tắc P( x ) P( x ) Q( x ) - Quy tắc lim , lim x x0 Q( x ) x x0 Q( x ) - Nhóm nhân tử chung: x x0 P ( x0 ) = - Nhân thêm lượng liên hiệp Q( x ) - Thêm, bớt số hạng vắng - Ta thường sử dụng P( x0 ).Q( x0 ) 0. phương pháp dạng - Ta thường sử dụng phương pháp P( x0 ) Q( x0 ) nhân lượng liên hợp tử mẫu - Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x với lim p( x) , lim Q( x) - Nếu P(x), Q(x) có chứa có x x P( x ) thể chia tử mẫu cho luỹ thừa lim cao x nhân lượng liên x Q( x ) hợp - Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu - Tổng hợp phương pháp 0. s inx 1 Chú ý: Đối với hàm số lượng giác có dạng tương tự vận dụng cơng thức: lim x x GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Thế x vào Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO C.VÍ DỤ VẬN DỤNG: P( x ) P( x ) P( x) Vấn đề 1: lim lim , lim x x Q( x ) xx Q( x) x x0 Q( x ) 0 P ( x0 ) L , M 0, L Dạng 1: = Q( x0 ) M Phương pháp: Thế x vào P( x ) P( x ) L : lim Q ( x ) x x Q( x ) M Ví dụ 1: x 13 7 a) lim x 1 x 12 3 2 4 x 2 43 b) lim x 3 x 3 3 x 1 1 x 3 c) lim x 3 x 3 sin sin x 2 x x 4 23 2 x e) lim 2 x 3 x 5x 2.3 5.3 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: d) lim 1 x x x x 0 1 x a) lim x 0 d) 1 x x x 1 x lim x ( 1) x 1 x4 x i) lim x sin x 2 x 8 3 x 1 x 2 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim 3x 3x x 1 e) lim g) lim f) lim x 1 x4 x x 1 x2 x x 1 b) lim x 1 d) lim 3x x x 1 sin x 4 c) lim x x h) lim x 2 b) lim x ( 1) e) lim GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN x 2 3x x x 1 x2 x x 1 x2 2x x 1 x 1 x 0 sin x 4 c) lim x x ( ) f) lim x 1 x2 2x x 1 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 3x 3x x 1 x 8 3 x 2 h) lim Phương pháp: Thế x vào P( x ) P( x ) 0 : lim Q ( x ) x x Q( x ) M g) lim x 1 Dạng 2: x 2 P ( x0 ) , M = Q( x0 ) M i) lim x sin x 0 Ví dụ 2: x 23 a) lim 0 x 2 x 4 2 4 x 2 40 0 b) lim x 0 x 1 1 3 x 1 1 x 1 0 c) lim 0 x 0 x 1 1 sin x sin 0 0 d) lim x 0 x 1 22 2 x 0 e) lim x 2 x 5x 2.22 5.2 1 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: x x2 x3 a) lim x 0 1 x d) lim x 1 x 1 x4 x x 8 2 g) lim x 4 x 2 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x 0 d) lim x 1 g) x x2 x3 1 x x 1 x4 x lim x 4 Dạng 3: x 8 2 x 2 3x x x 1 c) lim x2 x x 1 f) lim b) lim x 1 e) lim x 2 3x 3x h) lim x 2 x 1 b) lim x ( 1) e) lim x 2 h) lim x 2 3x x x 1 x sin x 2x x2 2x x 1 x 1 x2 x 0 cosx i) lim c) lim x ( x2 x 1 x 1 f) lim 3x 3x x 1 i) lim x 1 x 0 sin x ) x x2 2x x 1 x2 cosx P ( x0 ) L = , L Q( x0 ) Phương pháp: Áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực: GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO - Quy tắc - Quy tắc Ví dụ 3: lim ( x 8) 6 x 2 x 8 Do: lim ( x 2) a) lim x 2 x x 2 x 0, x lim ( x 8) 6 x 2 x 8 b) lim Do: lim ( x 2)2 x 2 x x 2 x 0, x Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: a) lim x x2 x3 x x 0 d) lim x 1 g) lim x 2 x2 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x4 x 2 3x x b) lim x 12 x 1 h) lim x 0 x x2 x e) lim f) lim x 1 3x 3x x 2 x 2 cosx c) lim 1 x2 2x x 14 i) lim cosx x 0 x4 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x ( 1) d) lim x 1 x x2 x3 1 x x 1 x4 2x g) lim x6 2 x 2 Dạng 4: P ( x0 ) = Q( x0 ) x 2 b) lim 3x x x 1 c) lim e) lim x2 x x 1 f) lim 3x 3x 2 x i) lim x 1 x 1 h) lim x 2 1 x x 0 sin x x 1 x 0 x2 2x x 1 cosx x Phương pháp: - Nhóm nhân tử chung: x x0 - Nhân thêm lượng liên hiệp - Thêm, bớt số hạng vắng Ví dụ 4: P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = x x0 Q( x ) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO Ví dụ: lim x3 ( x 2)( x x 4) x x 12 lim 3 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x2 lim x2 P( x ) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x x0 Q( x ) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu x 2 x x 2 4 x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x 2 x P( x ) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa khơng đồng bậc x x0 Q( x ) Ví dụ: lim Giả sử: P(x) = m u( x ) n Ta phân tích P(x) = v( x) với m u( x 0) n v( x0 ) a m u(x) a a n v(x) x 1 1 1 1 x x 1 1 x lim x 0 x 0 x x x 1 1 = lim x 0 3 x ( x 1) x Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: Ví dụ: lim a) lim x3 x2 x x 1 d) lim x 3 x 3x x 5x 3x x 8x (1 x )(1 x )(1 x ) x 0 x Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: x3 x2 x a) lim x 1 x 3x x 5x 3x d) lim x 3 x 8x g) lim (1 x )(1 x )(1 x ) x 0 x Bài tập 3: Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x 2 d) lim x 2 4x x2 x 2 2 x 7 3 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN b) lim x 1 e) lim x4 1 x3 x2 x 5x x (1 x )2 x 1 x x x n n x 1 x 1 x 1 e) lim x4 1 x3 x2 x 5x x (1 x )2 x 1 h) lim x 1 b) lim x x x n n x 1 x 1 e) lim x 1 x 1 4x x 3x x 1 x3 x 1 f) lim xm 1 x 1 h) lim b) lim x5 c) lim xn 1 i) lim x 2 c) x 16 x3 x2 x5 lim x (1) x m 1 x 1 f) lim n x 1 x i) lim x 16 x ( 2) c) lim x 0 f) lim x 0 x3 x x2 1 x x2 1 x 16 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO g) lim 1 x 1 x 0 x 1 Bài tập 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 x 1 b) lim x 1 4x x2 x2 2 x 3 x 1 d) lim h) 1 x 1 x x e) lim x2 1 4x 1 6x 1 g) lim x 0 x Bài tập 6: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x a) lim x 0 x x 0 g) lim x 0 x 0 1 x x x 0 x c) lim 8x 11 x x 5x x x h) lim x 0 x x 1 1 4x 1 6x e) lim x2 4x 6x 1 x x 2 h) lim x 0 i) lim c) lim x 3x 3 x 0 8x 11 x x 2 x3 x2 f) lim x 2 b) lim x x 16 x i) lim x 3x x 16 x 0 8x 11 x x 2 x 0 d) lim x2 f) lim x 3x x (3) b) lim 1 4x 1 6x x 0 x 2x lim x2 x c) lim x 3x x 1 e) lim 1 x 1 x 0 x Bài tập 5: Tìm giới hạn sau: x 0 x 0 4x x x 16 x i) lim x 3x x 3 g) lim a) lim x 2x h) lim x 0 x 11 x f) lim x2 x 1 1 x x 1 x x x x3 x2 x2 x 1 1 x i) lim x 0 x x 5x x x x x 1 Dạng 5: P( x0 ).Q( x0 ) 0. ( lim P( x ).Q( x ) ) xx Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp dạng Ví dụ 5: x x x a) lim( x 2) lim 0 x 2 x2 x x2 b) lim ( x 2) x lim x x 0 x2 x x 2 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: x x a) lim( x 3) b) lim( x 4) x 3 x 4 x 9 x 16 x x d) lim ( x 2) e) lim ( x 3) x x x 2 x 3 x 2 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN c) lim( x 1) x 1 e) lim( x 5) x 5 x x 1 x x 25 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: x a) lim ( x 3) x 3 x 9 x d) lim ( x 2) x 2 x b) lim ( x 4) x x 16 x e) lim ( x 3) x 3 x x 4 c) lim ( x 1) x 1 e) lim ( x 5) x 5 x x2 x x 25 Dạng 6: P( x0 ) Q( x0 ) ( lim P( x ) Q( x) ) xx Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp dạng Ví dụ 6: x 1 1 a) lim lim lim 2 x 1 x x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 1 b) lim lim lim 2 x 1 x x x 1 x x 1 1 x Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2 x 3 x x x 4 x 16 x x 2 x x 1 10 d) lim e) lim f) lim 2 x 5 x 25 x x 1 x x x 2 x 3x x 5x Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2 x 3 x x x 4 x 16 x x 2 x x 10 1 d) lim e) f) lim lim 2 x 5 x 25 x x 1 x x x 2 x x x x Vấn đề 2: P( x ) lim x Q( x ) với lim p( x) , lim Q( x) x x Phương pháp: - Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x - Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp Chú ý: k deg( P( x)) deg(Q( x)) P( x) lim 0 deg( P( x)) deg(Q( x)) x Q( x) deg( P( x)) deg(Q( x)) Ví dụ 1: Dạng 1: GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO x 5x x x2 lim 2 a) lim x x x x 1 x x2 2 2 x 5x x x lim 2 b) lim x x x x 1 x x 2 2x x lim c) lim x x x x 1 x 2 2x x lim 2 d) lim x x x x 1 x Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: 2x2 x x2 a) lim b) lim x x x x x 2 2 d) lim x g) lim x x2 2x 4x 4x2 x (2 x 1) x x 5x e) lim x h) lim x Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x d) lim x g) lim x x2 2x2 x x2 2x 4x 4x2 x (2 x 1) x x 5x b) lim x e) lim x h) lim x 4x2 2x x x 3x x x x 3x 4x2 x 2x2 x x 2 4x2 2x x x 3x x x x 3x 4x2 x c) lim x f) lim x 2x2 x 3x x x 1 x2 x x 5x x x i) lim c) lim x f) lim x 2x2 x 3x x x 1 x2 x x 5x x x i) lim Dạng 2: ( lim P( x ) Q( x ) với lim P( x) , lim Q( x) giới hạn x x x thường có chứa căn) Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu Ví dụ 2: GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO a) lim b) lim x2 x3 x x x x x lim x x x x 1 x x x2 x lim x x2 x3 lim x x 1 x x 3 1 x x 0 x2 1 x2 lim x 1 1 1 1 1 x x x x Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: a) lim x x x x d) lim x x x x x Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x2 x x d) lim x x 10 x x x b) lim x x x x 2x 2x 1 e) lim x b) lim x x x x e) lim x c) lim x x x f) lim x3 x2 c) lim f) lim x3 x2 x 2x 1 2x 1 x x x2 x x2 x x3 x2 x2 x Dạng 3: 0. ( lim P( x).Q( x) với lim P( x) , lim Q( x) giới hạn thường x x x có chứa căn) Phương pháp: Tổng hợp phương pháp Ví dụ 2: x x 2 x 2 lim lim a) lim x 1 x x x x x b) lim x x x2 1 1 x 1 x2 x2 x2 x2 lim x x x2 1 1 x x x lim x 1 x x x3 x 1 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 1 lim 1 x x x x x 1 Do: lim x x x 0, x x x3 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: x 3 a) lim x 1 x x 1 x2 b) lim x x x x2 e) lim x x3 x x2 c) lim x 1 x x x4 x2 f) lim x 1 x x x2 b) lim x x x x2 e) lim x x3 x x2 c) lim x 1 x x 4x4 x2 f) lim x 1 x x x2 d) lim x 1 x x 1 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: x 3 a) lim x 1 x x 1 x2 d) lim x 1 x x 1 Vấn đề 3: Mối quan hệ giới hạn bên giới hạn điểm Phương pháp: - lim f ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 - Sử dụng cách tính giới hạn hàm số Ví dụ 1: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: x 1 1 x x f ( x) x 1 x Giải: x 1 1 1 lim f ( x ) lim lim x 0 x 0 x x 0 x 1 lim f ( x ) lim x 0 x 0 1 Do: lim f ( x ) lim f ( x ) nên lim f ( x ) x 0 x 0 x 0 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra: 3x x f (x) x x mx x GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page 11 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 3x lim f ( x ) lim 2 x 1 x 1 x lim f ( x ) lim mx m x 1 Giải: x 1 Do: lim f ( x ) lim f ( x ) nên m m x 1 x 1 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: 1 x 1 x2 x x a) f ( x ) x b) f ( x ) x x x 3 x 1 x x x2 2x x 3x x x x x c) f ( x ) x d) f ( x ) x x x 16 x x x Bài tập 2: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra: x3 x x a) f ( x ) x b) f ( x ) x x x x 2 m x 3mx x mx x x m x x 3m x 1 x 1 c) f ( x ) x 100 x x d) f ( x ) x x m x x x 3 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TỐN Page 12 [...]... 2 Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau: x 3 a) lim x 1 2 x x 1 x2 d) lim x 1 3 x x 1 Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm Phương pháp: - lim f ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 - Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số Ví dụ 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:... lim x 0 x 0 2 2 1 1 Do: lim f ( x ) lim f ( x ) nên lim f ( x ) x 0 x 0 x 0 2 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra: 3x 3 khi x 1 f (x) x 2 taïi x 1 mx 2 khi x 1 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN Page 11 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 3x 3 lim f ( x ) lim 2 x 1 x 1 x 2 lim f ( x ) lim mx ... Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 1 x 1 9 x2 khi x 0 3 taïi x 0 a) f ( x ) 1 x 1 b) f ( x ) x 3 khi x 3 taïi x 3 3 khi x 0 1 x khi x 3 2 x2 2x x 2 3x 2 khi x 2 khi x 1 3 2 taïi x 1 taïi x 2 c) f ( x ) 8 x d) f ( x ) x 1 4 x x 16 khi x 1 khi x 2 2 x 2 Bài tập 2: Tìm giá trị của. .. để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra: 1 3 x3 1 khi x 1 khi x 1 a) f ( x ) x 1 b) f ( x ) x 1 x 3 1 taïi x 1 taïi x 1 2 2 m x 3mx 3 khi x 1 mx 2 khi x 1 x m khi x 0 x 3m khi x 1 taïi x 1 c) f ( x ) x 2 100 x 3 taïi x 0 d) f ( x ) 2 x x m 3 khi x 1 khi x 0 x 3 GV:NGUYỄN THÀNH HƯNG – TỔ:TOÁN... THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 1 2 1 1 lim 1 2 1 2 3 1 x x x x x 1 1 Do: lim 3 0 x x x 1 1 0, x 0 x x3 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau: x 3 a) lim x 1 2 x x 1 x2 2 b) lim x 1 4 x 1 x x2 2 1 e) lim x 2 1 x3 1 x x2 2 c) lim x 1 3 x 1