CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHỐI LĂNG TRỤ

A.ÔN TẬP KIẾN THỨC: I.Công thức hình phẳng 1.Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH. • • • • b) Cho ABC có độ dài các cạnh là: a, b, c; độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp là R; bán kinh của đường tròn nội tiếp r; nữa chu vi p. • Định lí hàm số cosin: • Định lí hàm số sin: • Công thức độ dài đường trung tuyến: 2.Công thức tính diện tích a)Tam giác: • • • • • • ABC vuông tại A: • ABC đều, cạnh a: b)Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c)Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d)Hình bình hành: S = đáy  cao = e)Hình thoi: f)Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g)Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau:

Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo CHUN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ A.ƠN TẬP KIẾN THỨC: I.Cơng thức hình phẳng 1.Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vng A, có đường cao AH  AB2  AC  BC  AB  BC.BH , AC  BC.CH  1   2 AH AB AC  AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B b) Cho ABC có độ dài cạnh là: a, b, c; độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kinh đường tròn nội tiếp r; chu vi p  Định lí hàm số cosin: a =b  c – 2bc.cosA; b  c  a  2ca.cos B; c  a  b  2ab.cos C a b c    2R  Định lí hàm số sin: sin A sin B sin C  Cơng thức độ dài đường trung tuyến: b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2 2   ; mb   ; mc   4 2.Cơng thức tính diện tích a)Tam giác: 1 1 1  S  a.ha  b.hb  c.hc  S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc  S  S  pr  S  p  p  a  p  b  p  c  4R  ABC vng A: 2S  AB.AC  BC.AH ma2 S  ABC đều, cạnh a: b)Hình vng: c)Hình chữ nhật: S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD S  AB AD.sinBAD  AC BD e)Hình thoi: S  a  b .h f)Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) S  AC.BD g)Tứ giác có hai đường chéo vng góc nhau: II.Quan hệ song song 1.Hai đường thẳng song song d)Hình bình hành: GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo a)Định nghĩa: a b  a, b  (P) ab   b)Tính chất: (P )  (Q)  ( R) ( P )  (Q)  d  d a b (P )  (Q)  a  a, b, c đồng qui   ● ● ( P )  a,(Q)  b   ● a  b  a b d  a ( d  b ) ( P )  ( R )  b a b c a c , b c      a b  (Q)  ( R)  c c)Chứng minh hai đường thẳng song song Có sử dụng cách sau:  Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng  Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ  Áp dụng định lí giao tuyến 2.Đường thẳng mặt phẳng song song a)Định nghĩa: d // (P)  d  (P) =  b)Tính chất:   (P)  (Q)  d ● d  (P), d '  (P)  d (P) ● d ( P )  d a ● d a d d ' ( Q )  d ,( Q )  ( P )  a   (P) a,(Q) a c)Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Có sử dụng cách sau:  Chứng minh d ( P ) , chứng minh d khơng nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P)  Chứng minh đường thẳng mặt phẳng vng góc với đường thẳng d nằm ngồi mặt phẳng (P)  Chứng minh đường thẳng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (Q) 3.Hai mặt phẳng song song a)Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) =  b)Tính chất: ( P )  a, b ( P )  (Q) (Q) ( R)     (P ) (Q ) * a  b  M * ( P ) ( R)  ( P ) (Q) * ( P )  (Q)  a  a b a (Q), b (Q) (Q) ( R) ( P )  ( R)  b c)Chứng minh hai mặt phẳng song song Có sử dụng cách sau:  Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng  Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng d  Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ III.Quan hệ vng góc 1.Hai đường thẳng vng góc a)Định nghĩa: a  b   a, b   900 b)Tính chất:  Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a  b  u.v  GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo   b  c  a  b a  c c)Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d  a , ta sử dụng cách sau:  Chứng minh góc a d 900  Chứng minh vecto phương a d vng góc  Chứng minh d  b mà b a  Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc  Sử dụng tính chất hình phẳng 2.Đường thẳng vng góc mặt phẳng a)Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P) b)Tính chất:    a, b  (P), a  b  O  d  (P)  a b  ( P )  b d  a, d  b (P)  a    a  b  (P) (Q)  a  (Q) a b a  ( P ), b  ( P )  a  ( P )    (P)  (Q)  a ( P )  b  a  (P) Q) (P)  a,(Q)  a b  ( P )   a  ( P )  a  P) a  b,(P)  b  Định lí ba đường vng góc: Cho a  (P), b  (P) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a c)Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chúng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)  Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P)  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P) 3.Hai mặt phẳng vng góc   a)Đinh nghĩa: b)Tính chất: (P)  (Q)  (P ),(Q)  900 (P)  a    (P)  (Q) a  (Q) (P)  (Q),(P)  (Q)  c    a  (Q) a  (P), a  c GV:Nguyễn Thành Hưng (P )  (Q)   a  (P )   A  (P ) a  A, a  (Q) Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo (P )  (Q)  a   a  ( R)  (P )  ( R) (Q)  ( R) c)Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)    Chứng minh (P ),(Q)  900 IV.Góc khoảng cách 1.Góc a)Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00   a, b   900 b)Góc đường thẳng mặt phẳng:  a//a', b//b'   a, b    a ', b '    Nếu d  (P) d ,( P ) = 900   00   d ,( P )   900  Nếu d  (P) d ,( P ) =  d , d '  với d hình chiếu d (P) Chú ý: c)Góc hai mặt phẳng  a  (P)   (P),(Q)   a, b  b  (Q)     Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng a  (P), a  c  (P ),(Q)   a, b  b  (Q), b  c   Chú ý: 00  ( P ),(Q)  90 2.Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) đoạn vng góc kẻ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng chứa mặt phẳng song song đường thẳng thứ  Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng V.Cơng thức tính thể tích 1.Thể tích khối hộp chữ nhật: với a, b, c kích thước khối chữ nhật V  abc 2.Thể tích khối chóp: V  Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chop GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 3.Thể tích khối lăng trụ: V  Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a)Tính thể tích cơng thức sau  Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng cơng thức tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối đa ,diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, dung kết để tính khối đa diện cần tính c)Tính thể tích tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta nên ta có: VOABC OA OB OC  VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' B.CÁC DẠNG TỐN: Vấn đề 1: Thể tích khối chóp – khối lăng trụ liên quan độ dài cạnh Dạng 1: Khối chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Sử dụng định lý pitago tam giác vng Lời giải: Ta có : AB = a , S AC = a SB = a *  ABC vng B nên BC  AC  AB  a C A B  SABC  1 a2 BA.BC  a 2.a  2 *  SAB vng A có SA  SB  AB  a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC vng , cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam giác vng Lời giải: Ta có : AC = a , SB = a *  ABC vng, cân B nên S AC a 1 a2  BA.BC  a.a  2 BA  BC   SABC C A B *  SAB vng A có SA  SB  AB  a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác vng SAB Lời giải: *  ABC cạnh 2a nên S AB = AC = BC = 2a 1  SABC  BA.BC.sin 600  2a.2a  a2 2 C A B *  SAB vng A có SA  SB  AB  a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a3 VS ABC  S ABC SA  a 3.a  3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC  1200 ,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC cân A Â = 1200 Lời giải: *  ABC cân A, BAC  1200 , BC = 2a AB = AC = BC = 2a GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Xét  AMB vng M có BM = a , Â = 600 S BM a  a tan 60 1  AM BC  a.2a  a 2  AM =  SABC C A * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a3 VS ABC  S ABC SA  a 3.a  3 M B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA  (ABCD) vẽ thẳng đứng - ABCD hình vng ; sử dụng định lý pitago tam giác vng Lời giải: Ta có : ABCD hình vng cạnh a S SC = a * Diện tích ABCD   SABCD  a   2a * Ta có : AC = AB = a 2  2a  SAC vng A A  SA  SC  AC  a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 2a VS ABCD  S ABCD SA  2a a  3 B D C Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA  (ABCD) vẽ thẳng đứng - Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với ) Lời giải: S Ta có : SA = AC = a * ABCD hình vng GV:Nguyễn Thành Hưng A Page B Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo AC = AB  AB  AC a Diện tích ABCD : SABCD  a2 * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 a3 VS ABCD  S ABCD SA  a a  3 Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao  ABC - Đường cao hình chóp SO ( SO  (ABC)) Lời giải: S * S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC  ABC cạnh a , tâm O SO  (ABC) SA=SB=SC = 2a *  ABC cạnh a A 3a  2 2 3a  AO= AM   a 3 1 3a  SABC  AB AC.sin 600  a 3.a  2  AM = a C O M B *  SAO vng A có SO  SA2  AO  a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 3a a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 4 Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hình chóp tứ giác có + đa giác đáy hình vng ABCD tâm O + SO  (ABCD) GV:Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo + tất cạnh bên - Đường cao hình chóp SO ( SO  (ABCD)) Lời giải: * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO  (ABCD)SA=SB=SC =SD = a * Diện tích hình vng ABCD  AC = 2a AC 2a  AO=  a 2 2  SABCD   2a   4a *  SAO vng O có SO  SA2  AO  a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 4a VS ABCD  S ABCD SA  4a a  3 S A B O D C Ví dụ 9: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Tứ diện ABCD có tính chất + tất cạnh + tất mặt tam giác + gọi O trọng tâm tam giác đáy - Đường cao hình chóp AO ( AO  (BCD)) Lời giải: * ABCD tứ diện cạnh a Gọi M trung điểm CD A Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a  BCD cạnh a, tâm O  AO  (BCD) D B O M C *  BCD cạnh a a  BM = 2 a a  BO= BM   3 a  SBCD  *  AOB vng O có a 3 a AO  AB  BO   a        GV:Nguyễn Thành Hưng 2 Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a a a3 VABCD  S BCD AO   3 12 Dạng 2: Khối lăng trụ Ví dụ 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, AC=a , cạnh A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải : * Tam giác ABC vng B C/ A/  BC = AC  AB  a a2 AB.BC  2 / * Tam giác A AB vng A B/  SABC  2a  A/ A  A/ B2  AB2  a * VABC A/ B/ C /  SABC A / A  a A C a3 a B Vấn đề 2: Thể tích khối chop – khối lăng trụ liên quan đến góc Dạng 1: Khối chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a, ACB  600 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Xác định góc SB (ABC) góc SB với hình chiếu lên (ABC) Lời giải: * Ta có : AB = a , AB  hc SB ( ABC ) S  ( SB,( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  45o *  ABC vng B có AB = a, ACB  600 AB a a  BC    tan 60 3 A 60 45 B GV:Nguyễn Thành Hưng 1 a a2  SABC  BA.BC  a  C 2 *  SAB vng A có AB= a, B  45 Page 10 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo  SA  AB.tan 45o  a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 18 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) vẽ thẳng đứng - Xác định góc SC (ABCD) góc SC với hình chiếu AC SC lên (ABCD) Lời giải: S * Ta có : ABCD hình vng cạnh a , AC  hc SC ( ABCD )  ( SC ,( ABCD))  (SC , AC )  SCA  60o * Diện tích hình vng  SABCD  a2 A B 60 D C *  SAC vng A có AC= a , C  600  SA  AC.tan 60o  a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 a3 VS ABCD  S ABCD SA  a a  3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC S Nhận xét: Sai lầm học sinh: - Gọi M trung điểm BC - Ta có AM  BC SM  BC C  (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  60o 60 A M B (Hình vẽ sai) Lời giải: S * Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC AB  BC (  ABC vng B) SB  BC ( AB  hc SB ( ABC )  (( SBC ),( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  60o A 60 GV:Nguyễn Thành Hưng B C Page 11 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo *  ABC vng B có AB = a ,BC =a 1 a2 BA.BC  a 3.a  2 *  SAB vng A có AB= a, B  60  SA  AB.tan 60o  3a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  3a  3 2  SABC  Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Nhận xét: Sai lầm học sinh:  (( SBC ),( ABC ))  SBA  45o Lời giải: * Ta có : AB = a , (SBC)  (ABC) = BC Gọi M trung điểm BC AM  BC (  ABC cân A) S SM  BC ( AM  hc SM ( ABC )  (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  45o C 45 A M B *  ABC vng cân A có ,BC = a a  AB = BC = a AM = 1 a2  SABC  AB AC  a.a  2 a *  SAM vng A có AM= , M  450 a  SA  AB.tan 45o  * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a a a3 VS ABC  S ABC SA   3 2 12 Dạng 2: Khối lăng trụ Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC = a , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: GV:Nguyễn Thành Hưng Page 12 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo C/ A/ B/ * Ta có A/A  (ABC) ( A/ BC)  ( ABC)  BC AB  BC Mà AB = hc( ABC ) A / B nên A/B  BC    ( A/ BC ),( ABC )  A/ BA  300 2a * Tam giác ABC vng B  SABC  C A a 30 * Tam giác A/AB vng A  A/ A  AB.tan 300  a B a2 AB.BC  2 * VABC A/ B/ C /  SABC A / A  a 3 a3 6 Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác cạnh 2a , hình chiếu vng góc A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ A/ Lời giải: C/ B/ * Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Ta có A/G  (ABC) GA = hc( ABC ) A / A 30 A 2a  C G B * Tam giác ABC cạnh 2a   A/ A,( ABC )  A / AG  300 M    SABC  2a * Tam giác A/AG vng G có A  300 , AG   A/ G  AG.tan 300   3a2 2 AM  2a  2a 3 2a Vậy VABC A/ B/ C/  SABC A/ A  6a3 Vấn đề 3: Tỷ số thể tích - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại u cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau: + Cách 1: ●Xác định đa giác đáy ●Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vng gới với mặt phẳng đáy) GV:Nguyễn Thành Hưng Page 13 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo ●Tính thể tích khối chóp theo cơng thức + Cách ●Xác định đa giác đáy ●Tình tỷ số độ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích S Hai khối chóp S.MNK S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S VS MNK SM SN SK Ta có :  VS ABC SA SB SC M A K n N C B Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho Lời giải: Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V  S h ) S * Khối chóp S.AMN có -Đáy tam giác AMN - Đường cao SA *  AMN có Â = 600, AM=AN = a C N 1 a2  S  AM AN sin 60  a a  AMN A 2 M * SA = a B * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS AMN  S AMN SA  a  3 4 Cách 2: ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VA.SMN AS AM AN 1    VA.SBC AS AB AC 2 V  VS AMN  VA.SMN  VA.SBC  S ABC 4 1 4a Ta có : VS ABC  S ABC SA  a  a3 3 GV:Nguyễn Thành Hưng Page 14 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Vậy VS AMN  VS ABC a  4 Lưu ý: - Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho xác định đa giác đáy đường cao thường bị sai - Trong số tốn việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi S A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho Lời giải: ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VS AMN SA SM SN 1 N    VS ABC SA SB SC 2 a 3.a VS ABC a3 M    VS AMN  C 4 3 3a  VA.BCNM  VS ABC  4 B Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Nhận xét : Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho Lời giải: S Gọi O giao điểm AC BD Ta có : IO // SA SA  (ABCD)  IO  (ABCD)  VI ABCD  S ABCD IO I A Mà : S ABCD  a2 B SA IO  a D GV:Nguyễn Thành Hưng O C Page 15 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Vậy a3 VI ABCD  a a  3 Vấn đề : Diện tích mặt cầu ngoại tiếp, thể tích khối cầu ngoại tiếp Trong chương trình tốn phổ thơng, u cầu xác định tâm , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp v tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu - Xác định tâm I bán kính mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp - Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu 4 R S( s )  4 R V( s )  Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Lời giải: * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO  (ABCD) S OC  hc SC ( ABCD ) A B  ( SC,( ABCD))  ( SC , OC )  SCO  45o * Diện tích hình vng ABCD  AC = 2a AC 2a  OC=AO=  a 2 2  SABCD   2a   4a *  SOC vng O có OC = a , SCO  45o O D  SO = OC = a C * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 4a VS ABCD  S ABCD SO  4a a  3 * Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a  mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O bán kính R = a 4 R3 4 (a 2)3 8 a3 Vậy V( s )    3 45 Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a 1)Tính thể tích khối chóp 2)Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 3)Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Lời giải : Gọi O giao điểm AC BD GV:Nguyễn Thành Hưng Page 16 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Ta có : SO  (ABCD) V  SO.dt ( ABCD ) dt(ABCD) = a2 2a a2 7a 2 2 SO = SC = 4a  = 2 a 14  SO = a 14 Vậy : V = S M I C B O A D Dựng trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD  SO  (ABCD) Dựng trung trực SA  d  SA trung điểm M Xét (SAO) có d cắt SO I, ta có : SI = IA IA = IB = IC = ID  IS = IA = IB = IC = ID  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bán kính r = SI SI SM SM.SA SIM SAO  =  SI = SA SO SO 2a 14 2a 14 Vậy : r = SI = 7 224 a S = 4 r = 49  SI = V= 448 a 14 r = 1029 GV:Nguyễn Thành Hưng Page 17 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo C.BÀI TẬP Bài : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) SA  a Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; góc cạnh bên đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a ? Bài : Cho khối chóp tam giác S.ABC có AB = a , góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a ; SA   ABCD  Cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài : Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân B, AC = 2a, SA  ( ABC ) , góc SB mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B, AB a 3, AC 2a , góc cạnh bên SB mặt đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy góc 300 Gọi M trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài : Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân A với BC = 2a , biết SA  (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC Bài 10: Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi M, N, K trung điểm AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích hai khối chóp SMNK SABC Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SB = a ,AB=AC = a, BAC  600 , Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA= b Cắt khối chóp mặt phẳng (SBD) ta hai khối chóp đỉnh S a) Kể tên so sánh thể tích hai khối chóp b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích hai khối chóp S.ABC S.ABCD Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a a) Chứng minh SABCD khối chóp tứ giác b) Tính thể tích khối chóp SABCD c) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD Bài 15: Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC tam giác cạnh 3a , tâm O.Các cạnh bên SA=SB=SC cạnh bên SA tạo với mặt đáy góc 45o a)Tính thể tích khối chóp SABC b)Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a GV:Nguyễn Thành Hưng Page 18 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo a)Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b)Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD Biết AB = 3a, BC = 4a SAO  450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AC = a , hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA = a a)Tính thể tích khối chóp S.ABC b)Tính diện tích thể tích mặt cầu khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 19: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 20: Cho tứ diện ABCD cạnh a.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 21: Cho hình chóp tứ giác có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a BAC  1200 , cạnh AA’= a Gọi I trung điểm CC’ a)Chứng minh Tam giác AB’I vng A b)Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA  (ABC) SA = 2a Gọi M trung điểm SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB) GV:Nguyễn Thành Hưng Page 19 [...]... tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a a) Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều b) Tính thể tích của khối chóp SABCD c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD Bài 15: Cho hình chóp S.ABC ,... Hưng Page 13 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo ●Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2 ●Xác định đa giác đáy ●Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích S Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở... Gọi M là trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài 9 : Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2 ,AB=AC... đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 60 0 Tính thể tích khối chóp theo a ? Bài 3 : Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp theo a Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB... chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Nhận xét: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho Lời giải: 1 Cách 1: (dùng công thức thể tích. .. a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 6 : Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA  ( ABC ) , góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 7 : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 8 : Cho hình chóp S.ABC... : Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, thể tích của khối cầu ngoại tiếp Trong chương trình toán phổ thông, yêu cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp v tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đó - Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp - Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu 4 R 3 2 S( s )  4 R V( s )  3 Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ... OC = a 2 C * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 1 4a 3 2 VS ABCD  S ABCD SO  4a 2 a 2  3 3 3 * Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a 2  mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R = a 2 4 R3 4 (a 2)3 8 a3 2 Vậy V( s )    3 3 3 45 Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a 1)Tính thể tích của khối chóp 2)Xác định tâm và... hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO  450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a 2 a)Tính thể tích của khối chóp S.ABC b)Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối. .. (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA= b Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai khối chóp đỉnh ... Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 3 .Thể tích khối lăng trụ: V  Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a)Tính thể tích cơng thức sau  Tính yếu... khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a 1)Tính thể tích khối chóp 2)Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 3)Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp. .. 6a3 Vấn đề 3: Tỷ số thể tích - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại u cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh