CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHỐI LĂNG TRỤ

A.ÔN TẬP KIẾN THỨC: I.Công thức hình phẳng 1.Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH. • • • • b) Cho ABC có độ dài các cạnh là: a, b, c; độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp là R; bán kinh của đường tròn nội tiếp r; nữa chu vi p. • Định lí hàm số cosin: • Định lí hàm số sin: • Công thức độ dài đường trung tuyến: 2.Công thức tính diện tích a)Tam giác: • • • • • • ABC vuông tại A: • ABC đều, cạnh a: b)Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c)Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d)Hình bình hành: S = đáy  cao = e)Hình thoi: f)Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g)Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau:

Trang 1

GV:Nguyễn Thành Hưng Page 1

CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ

A.ƠN TẬP KIẾN THỨC:

I.Cơng thức hình phẳng

1.Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuơng tại A, cĩ đường cao AH

 AB BC sinC BC cosB AC tanC AC cotB

b) Cho ABC cĩ độ dài các cạnh là: a, b, c; độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp là R; bán kinh của đường trịn nội tiếp r; nữa chu vi p

 Định lí hàm số cosin:

a =b 2 2c 2–2bc cosA; b 2 c2a22ca.cos ;B c2 a2b22ab.cosC

C

c B

b A

a

2 sin sin

 Cơng thức độ dài đường trung tuyến:

m    ;m    ;m   

2.Cơng thức tính diện tích

a)Tam giác:

 S a h a b h b c.h c

2

1 2

2

1 sin 2





R

abc S

4

ABC vuơng tại A: 2SAB AC BC AH 

ABC đều, cạnh a:

2

3 4

a

S

b)Hình vuơng: S = a 2 (a: cạnh hình vuơng)

c)Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d)Hình bình hành: S = đáy  cao = AB AD sinBAD

2

S AB AD sinBAD  AC BD

f)Hình thang: S a b.h

2

1



 (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g)Tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc nhau: 1

2

II.Quan hệ song song

1.Hai đường thẳng song song

Trang 2

  

a b P

a b a b, ( )

b)Tính chất:

●

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P Q R

P Q a a b c đồng qui

P R b a b c

Q R c

   







●

( ) ( ) ( ) ,( )

d a d b

a b

a b a b

a c b c





c)Chứng minh hai đường thẳng song song

Cĩ thế sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh hai đường thẳng đĩ đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng

 Chứng minh đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3

 Áp dụng định lí về giao tuyến

2.Đường thẳng và mặt phẳng song song

a)Định nghĩa: d // (P)  d  (P) = 

b)Tính chất:

'

d P d P d P

d d



( ) ( )d Q P d Q,( ) ( )P a d a

 ● ( ) ( )( )P P a Q Q,( )d ad a

c)Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

 Chứng minh d ( )P , chứng minh d khơng nằm trong (P) và song song với đường thẳng d nào đĩ nằm trong (P)

 Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng đĩ cùng vuơng gĩc với đường thẳng d nằm ngồi mặt phẳng (P)

 Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (Q)

3.Hai mặt phẳng song song

a)Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) = 

b)Tính chất:

*

( ) ,

( ) ( ) ( ), ( )

 





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 







( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )







c)Chứng minh hai mặt phẳng song song

 Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia

 Chứng minh hai mặt phẳng đĩ cùng vuơng gĩc với đường thẳng d

 Chứng minh hai mặt phẳng đĩ cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ 3

III.Quan hệ vuơng gĩc

1.Hai đường thẳng vuơng gĩc

a)Định nghĩa: a  b   a b, 900

b)Tính chất:

 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b Khi đĩ a b u v 0

Trang 3

 b c a b

a c

   

 



c)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau

Để chứng minh d a , ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh góc a và d bằng 900

 Chứng minh 2 vecto chỉ phương của a và d vuông góc nhau

 Chứng minh d b mà b a

 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vuông góc

 Sử dụng tính chất hình phẳng

2.Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

a)Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P)

b)Tính chất:

,

a b P a b O d P

d a d b

a b P b

P a ( )

( )

 

a ( ),P b ( )P

P Q a Q

a P

( )

 



P a Q a

( ) ,( )

a P b a

b ( )( )P

 

a b P( ),( ) b )



 Định lí ba đường vuông góc: Cho a  ( ),P b( )P , a là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b  a  b 

a

c)Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta có thể chúng minh bởi các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

 Chứng minh d // a và a  (P)

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)

3.Hai mặt phẳng vuông góc

90

P Q

( ),( ) 

b)Tính chất:

( )

P a P Q

a Q

 

( ),

P Q P Q c a Q

a P a c

( ) ( )

, ( )

 



  



Trang 4

 ( ) ( )

( ) ( )





 



c)Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc

Để chứng minh (P)  (Q), ta cĩ thể chứng minh các cách sau:

 Chứng minh trong (P) cĩ đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh ( ),( )P Q 900

IV.Gĩc và khoảng cách

1.Gĩc

a)Gĩc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'    a b,  a b', '

Chú ý: 00  a b,  900

b)Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 Nếu d  (P) thì d P = 90,( ) 0

 Nếu d ( )P thì d P = ,( )  d d, ' với d là hình chiếu của d trên (P)

Chú ý: 00 d P ,( )  900



a P P Q a b

b ( )( )Q ( ),( ) ,

 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng ( ),

( ),

a P a c

b Q b c

  ( ),( )P Q  a b, Chú ý: 00 ( ),( )P Q 900

2.Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng đoạn vuơng gĩc kẻ từ điểm đĩ đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

 Độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ

 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng chứa mặt phẳng kia và song song đường thẳng thứ nhất

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với mặt phẳng kia

V.Cơng thức tính thể tích

1.Thể tích khối hộp chữ nhật:

V abc  với a, b, c là kích thước khối chữ nhật

2.Thể tích khối chĩp:

1

3

 đáy

V S h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối chop

Trang 5

3.Thể tích khối lăng trụ:

V S đáy h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối trụ

4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a)Tính thể tích bằng cơng thức sau

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

 Sử dụng cơng thức tính thể tích

b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Ta cĩ thể chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối đa ,diện nhỏ mà cĩ thể dễ dàng tính thể tích của chúng Sau đĩ, dung các kết quả để tính khối đa diện cần tính

c)Tính thể tích bằng tỉ số thể tích

Ta cĩ thể vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên

Oz, ta nên ta cĩ:

OA B C

V OA OB OC

V ' ' ' OA OB OC'. '. '

B.CÁC DẠNG TỐN:

Vấn đề 1: Thể tích khối chĩp – khối lăng trụ liên quan độ dài các cạnh

Dạng 1: Khối chĩp

Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a 2 , AC = a 3, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Nhận xét:

Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

- Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng

Lời giải:

*  ABC vuơng tại B nên BC AC2AB2 a

a

BA BC a a

*  SAB vuơng tại A cĩ SA SB2AB2 a

.

V  S SA a

Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuơng gĩc

với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Nhận xét:

B S

Trang 6

- Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

Lời giải:

2

AC

BABC a

a

*  SAB vuông tại A có SA SB2AB2 a

.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và SB = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Nhận xét:

- Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB

Lời giải:

ABC

2BA BC 2 a a 2 a

*  SAB vuông tại A có SA SB2AB2 a

3 2

.

a

V  S SA a a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3, BAC 120 0,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Nhận xét:

- Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200

Lời giải:

*  ABC cân tại A, BAC 120 0, BC = 2a 3

B S

S

B

C A

Trang 7

Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3, Â = 600

tan 60 3

BM a

a

ABC

3 2

.

a

V  S SA a a

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SC = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Nhận xét :

- Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng

- ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

Lời giải:

2 ABCD

S  a 2 2a

SA SC AC a

3 2

.

S ABCD ABCD

a

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và SA = AC = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Nhận xét :

- Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng

- Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )

Lời giải:

M S

B

C A

D

C S

D

C S

Trang 8

2

AC

ABCD

3 2

.

S ABCD ABCD

a

V  S SA a a 

Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Nhận xét :

- Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC

+ O là trọng tâm của tam ABC

+ AM là đường cao trong  ABC

- Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABC))

Lời giải:

* S.ABC là hình chóp tam giác đều

Gọi M là trung điểm BC

 ABC đều cạnh a 3, tâm O

SO  (ABC)

SA=SB=SC = 2a

*  ABC đều cạnh a 3

 AM = 3 3 3

a

a 

 AO= 2 2 3

a

ABC

a

AB AC a a

*  SAO vuông tại A có SO SA2AO2 a 3

* Thể tích khối chóp S.ABC

.

V  S SA a

Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Nhận xét :

- Hình chóp tứ giác đều có

+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O

+ SO  (ABCD)

A

C

B

S

M O

Trang 9

+ tất cả các cạnh bên bằng nhau

- Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABCD))

Lời giải:

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O

SO  (ABCD)SA=SB=SC =SD = a 3

* Diện tích hình vuông ABCD

 AC = 2a 2

 AO=AC 2 2 2

a

ABCD

S  2a 4a

*  SAO vuông tại O có SO SA2AO2 a

* Thể tích khối chóp S.ABCD

3 2

.

S ABCD ABCD

a

Ví dụ 9: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Nhận xét:

- Tứ diện đều ABCD có các tính chất

+ tất cả các cạnh đều bằng nhau

+ tất cả các mặt là các tam giác đều

+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy

- Đường cao của hình chóp là AO ( AO  (BCD))

Lời giải:

2

a

3 BM 3 a2 a3

4

 a

2 2

     

a a

AO AB BO a

O

C D

B A

S

A

C

D B

M O

Trang 10

a a a

V S AO

Dạng 2: Khối lăng trụ

Ví dụ 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A/

B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh

A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải :

* Tam giác ABC vuông tại B

 BC = AC2AB2 a 2

ABC

a

S  AB BC

* Tam giác A/AB vuông tại A

 A A/  A B/ 2AB2 a 3

3 /

6

2

ABC ABC A B C

a

V S A A

Vấn đề 2: Thể tích khối chop – khối lăng trụ liên quan đến góc

Dạng 1: Khối chóp

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, 0

60

ACB , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Nhận xét:

- Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)

Lời giải:

( SB)

ABC

ABhc

 ( ,(SB ABC))(SB AB, )SBA45o

*  ABC vuông tại B có AB = a, ACB600

AB a a

BC   

a a

BA BC a

*  SAB vuông tại A có AB= a, B450

S

B

C A

2a

a 3 a

B /

C/

A /

B

Trang 11

.

V  S SA a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Nhận xét :

- Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)

Lời giải:

( SC)

ABCD

AChc

 ( ,(SC ABCD))(SC AC, )SCA60o

ABCD

*  SAC vuông tại A có AC= a 2 , C600

3 2

.

S ABCD ABCD

a

V  S SA a a 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600

Nhận xét:

Sai lầm của học sinh:

- Gọi M là trung điểm BC

- Ta có AM  BC

SM  BC

 ((SBC), (ABC))(SM AM, )SMA60o

(Hình vẽ sai)

Lời giải:

( SB)

ABC

ABhc

 ((SBC), (ABC))(SB AB, )SBA60o

60

D

C S

60 M S

B

C A

60

S

B

C A

Trang 12

*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a

a

BA BC a a

*  SAB vuông tại A có AB= a, B600

.

V  S SA a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450

Nhận xét:

Sai lầm của học sinh:

 ((SBC), (ABC))SBA45o

Lời giải:

( SM)

ABC

AM hc

 ((SBC), (ABC))(SM AM, )SMA45o

*  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2

2

a

2

a

, M 450

2

SAAB 

.

a a a

V  S SA 

Dạng 2: Khối lăng trụ

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A/

B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300

Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

45 M S

B

C A

Trang 13

* Ta có A/A  (ABC)

/ (A BC) ( ABC)BC

AB  BC

Mà AB = hc(ABC)A B / nên A/B  BC

 (A BC ABC/ ),( )A BA/ 300

* Tam giác ABC vuông tại B

ABC

a

S  AB BC

* Tam giác A/AB vuông tại A  / .tan300 3

3

a

A A AB 

* / / /

3 /

6

ABC ABC A B C

a

V S A A

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A/

B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc

300 Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

* Gọi M là trung điểm BC

G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có A/G  (ABC)

GA = hc(ABC)A A /

 A A ABC/ ,( )A AG/ 300

* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3   2

2

3

4

ABC

S  a  a

* Tam giác A/AG vuông tại G có 30 ,0 2 2.2 3. 3 2

A AG AM a  a

3

a

A G AG  Vậy / / /

ABC A B C

Vấn đề 3: Tỷ số thể tích

- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:

+ Cách 1:

●Xác định đa giác đáy

●Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)

30 0

B/

2a

B

C A

300

2a 3

C /

A/

B/

M

B G

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	909,84 KB
File đính kèm	TẢI FILE WORD TẠI ĐÂY.rar (428 KB)