Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ TP1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ Vấn đề 1: Tách phân thức 1.Dạng 1: Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng một thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn một thì Bài tập: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 2.Dạng 2: a.Loại 1: vô nghiệm. TH1: Nếu P(x) bậc không thì Đặt TH2: Nếu P(x) bậc một thì (Thêm , bớt) Tích phân
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo CHUYÊN ĐỀ TP1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ Vấn đề 1: Tách phân thức b 1.Dạng 1: P(x) ax + b dx a - Nếu bậc P(x) lớn dùng phép chia đa thức b b dx - Nếu bậc P(x) nhỏ ln a.x+b ax b a a a Bài tập: Tính tích phân sau: 3x 2x dx x dx 1) 2) x 1 x2 0 0 4) x2 dx x 1 5) 2x x 1dx 7) x 1 0 3 x 2 dx 10) x 1 b x2 x 1 x 1dx 6) x 1 1 x 2x dx x3 x3 x x dx 8) x 1 0 x2 9) dx x 1 2 2.Dạng 2: x2 3) x 1dx 2x 1 P(x) ax + bx + c dx a a.Loại 1: ax + bx + c = vô nghiệm TH1: Nếu P(x) bậc không b dx a ax bx c I Đặt x b dx b a 2a 4a 2 b a x a tan t dx b TH2: Nếu P(x) bậc I a b Tích phân I1 a A(2ax b) ax bx c GV: Nguyễn Thành Hưng a 2 4a 1 tan t dt nx m ax bx c b dx dx A ln ax bx c a A(2ax b) ax bx c b dx a B ax bx c dx (Thêm , bớt) b a Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo b b dx Tích phân I = = a ax + bx + c a b Đặt: x + -Δ = 2a 4a tant dx = dx b a x + + 2a -Δ a dx x + x +1 Ví dụ 1: Tính tích phân: 2 4a -Δ 1 + tan t dt Lời gải: dx x + x +1 Do Đặt x dx = 2 1 x + + 2 tan t , t ; dx 1 tan t dt tan t dt 3 dx Vậy t dt x x 1 3 (1 tan t ) 6 (2x + 2)dx x + x +1 Ví dụ 2:Tính tích phân: I = Lời giải: (2 x 2) dx (2 x 1) dx dx I x x 1 x x 1 x x 1 ln x x I1 ln I1 1 dx Mà I = = x + x +1 Đặt x tan t , dx 1 x + + 2 t ; dx GV: Nguyễn Thành Hưng tan t dt Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo dx I x x 1 1 tan t dt 3 3 (1 tan t ) dt t 4 (2x 1).dx 2)I = x x2 2 10)I= 3)I = x 6)I= 2 4x 13 5x dx x 1 dx 8)I= x x 2.dx 1 3x dx x 1 5x 5)I= dx 23 7)I= x 1 x Bài tập: Tính tích phân sau: dx 1)I = x x2 4)I = Vậy: I ln 9)I= 4x dx x 4x x 1 dx x2 1 dx x2 b.Loại 2: ax + bx + c = có nghiệm dx b TH1: Nếu P(x) bậc không I a a x 2a b tính mx n A(2ax b) B dx dx dx tính TH 2: Nếu P(x) bậc I 2 ax bx c ax bx c b a a a a x 2a b b dx x + 2x + Ví dụ 1: Tính tích phân: b Lời giải: dx x + 2x + I dx (x + 1) Ví dụ 2: Tính tích phân: 1 x 1 x+3 dx x + 2x + Lời giải: 1 x +1 1 dx dx dx ln( x 1) x 1 ln 2 x + 2x + 0 (x + 1) (x + 1) I x+3 GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Bài tập: Tính tích phân sau: 1)I= dx x x 4)I= dx x x 1 7)I= dx x x 1 2)I= 5)I= dx x 4x 8)I= 1 3)I= 2x dx x x 1 dx 6)I= x4 dx x 6x 9)I= x2 x dx x 2x 1 2 dx x 6x 12 x 1 10)I= dx x x c.Loại 3: ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Cần ý: Các biểu thức đồng P( x) ( x a )( x b ) A xa B xb x 11 x 5x Ví dụ 1: Tính tích phân: I dx Cách Cần ý: Bằng phương pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho: A 2x x 11 B , x 2 x 5x x 5x x 5x Ax A B x 11 , x 2 x 5x x 5x 2 A 5 A B 11 Vậy A B \ 3; 2 \ 3; 2 2x x 11 , x 2 x 5x x 5x x 5x \ 3; 2 Lời giải: Ta có: x 11 x 5x ln x x Cách Cần ý: Vì 2x dx x 5x ln x2 x3 dx dx ln x 5x x2 5x x x 3 nên ta tính tích phân cách: Tìm A, B cho: GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo x 11 x 5x x 11 x 5x A x2 B x3 , x A B x 3A B , \ 3; 2 x x 5x A B A B 11 Vậy \ 3; 2 A B x 11 x 5x x2 x3 , x \ 3; 2 Lời giải: x 11 Ta có: x 5x dx x2 dx 3 dx x3 3ln x ln x ln Bài tập: Tính tích phân sau: 1) dx ( x 1)( x 2) 2) 4) dx 1 x(1 x) 5) 7) 1 ( x 1)( x 2) dx 8) dx 10) x(x 1) 13) 16) 11) 1 x 3x ( x 2)2 dx 14) b P(x) a ax + bx + cx + d 3.Dạng 3: I = 3x 3x x 3x 2 (x x4 2 1) dx dx x x6 12) 5x 17) x dx 9) 4 x 11dx 2x 6x 9x x dx x x2 1 6) dx 2 x x dx ( x 2)( x 3) 3 dx 0 x 5x dx 2 x x 2 3) x dx 15) dx x6 x3 x x 2 18) dx ( x 2) ( x 3)2 dx dx a.Loại 1: ax + bx + cx + d = có ba nghiệm phân biệt b b n n dx = dx TH1: Bậc P(x) không I = a ax + bx + cx + d a a(x - x )(x - x )(x - x ) Cần ý: GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo n ( x a )( x b )( x c ) A xa B xb Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I C xc dx x x 5x A B C Nhận xét: x x 5x x x x ( A B C ) x ( A B 4C ) x A 2B 3C ( x 2)( x 3)( x 2) x x 5x A A B C A B 4C B 10 6 A B 3C C 15 Lời giải: 5 1 1 1 I dx dx ln x ln x ln x 6( x 1) 10( x 3) 15( x 2) 10 15 4 x x 5x 4 1 ln ln ln 10 15 1 Vậy: I ln ln ln 10 15 TH2: Bậc P(x) Cần ý: P( x) ( x a )( x b )( x c ) A xa B xb Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I C xc x 1 dx x x 5x A B C Nhận xét: x x 5x x x x ( A B C ) x ( A B 4C ) x A 2B 3C ( x 2)( x 3)( x 2) x x 5x A A B C A B 4C B 6 A B 3C C 15 GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Lời giải: 5 x 1 2 I dx dx ln x ln x ln x 3( x 1) 5( x 3) 15( x 2) 15 4 x x 5x 4 ln ln ln 15 Vậy: I ln ln ln 15 TH3: Bậc P(x) hai Cần ý: P( x) A B C ( x a )( x b )( x c ) x a x b x c Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I 3x x x 5x 3x Nhận xét: dx A B C x 1 x x x x 5x 3x ( A B C ) x ( A B 4C ) x A 2B 3C ( x 2)( x 3)( x 2) x x 5x A A B C 14 A B 4C B 6 A B 3C C 13 15 Lời giải: 3x 5 14 13 14 13 I dx dx ln x ln x ln x 3( x 1) 5( x 3) 15( x 2) 15 4 x x 5x 4 13 14 ln ln ln 3 15 13 14 Vậy: I ln ln ln 3 15 TH4: Bậc P(x) lớn ba Cần ý: P( x) A B C ( x a )( x b )( x c ) x a x b x c Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I x x 5x x3 x 5x dx Nhận xét: GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo + x x 5x x x 5x 3x 3x 1 x x 5x A B C + x x 5x x x x 3x ( A B C ) x ( A B 4C ) x A 2B 3C ( x 2)( x 3)( x 2) x x 5x A A B C 14 A B 4C B 6 A B 3C 13 C 15 Lời giải: x x 5x 5 14 13 14 13 I dx 1 dx x ln x ln x ln x 3( x 1) 5( x 3) 15( x 2) 15 4 x x 5x 4 13 14 ln ln ln 3 15 13 14 Vậy: I ln ln ln 3 15 b.Loại 2: ax + bx + cx + d = có hai nghiệm b b A A TH1: Bậc P(x) không I = dx = dx 2 a ax + bx + cx + d a a(x - x )(x - x ) Cần ý: n A B C x a x b x b 2 ( x a )( x b ) Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I 4x x A B C Nhận xét: 2 x x x 1 x x ( A C ) x ( A B) x B x x2 x3 x2 A C A 1 A B B B C Lời giải: GV: Nguyễn Thành Hưng dx Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 5 1 24 1 I dx dx ln x ln x ln x x x 1 x 25 20 4 4x x 4 24 Vậy: I ln 25 20 TH2: Bậc P(x) Cần ý: nx m A B C x a x b x b 2 ( x a)( x b) Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I x2 4x x x2 A B C Nhận xét: 2 x x x 1 x x x2 ( A C ) x ( A B) x B x x2 x3 x2 A C A 1 A B B B C Lời giải: dx 5 x2 24 I dx dx ln x ln x ln 2 x x x 25 10 x x x 4 24 Vậy: I ln 25 20 TH3: Bậc P(x) hai Cần ý: nx mx q ( x a)( x b) A B C x a x b ( x b)2 Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I Nhận xét: x x2 x2 x x3 x2 dx A B C 2 x x x 1 x x x2 ( A C ) x ( A B) x B x x2 x3 x2 A C A 1 A B B B C Lời giải: GV: Nguyễn Thành Hưng Page Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 5 x2 x 2 I dx dx ln x ln x x x x 1 x 4 x x 4 Vậy: I ln ln 5 10 TH4: Bậc P(x) lớn ba Cần ý: - Chia đa thức - Áp dụng dạng Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I x3 x2 x x3 x2 dx Nhận xét: x3 x2 x x2 x + x3 x2 x3 x2 x2 x A B C 2 + x x x 1 x x ( A C ) x ( A B) x B x2 x3 x2 x3 x2 A C A 1 A B B B C Lời giải: x3 x2 x 5 I dx 1 dx x ln x ln x x x x 1 x x x 4 4 11 Vậy: I ln ln 5 10 c.Loại 3: ax + bx + cx + d = có nghiệm TH1: Bậc P(x) không Cần ý: Áp dụng công thức nguyên hàm dx Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I ( x 1)3 Lời giải: I ( x 1) dx 2 2( x 1) TH2: Bậc P(x) Chú ý: - Thêm, bớt - Áp dụng công thức nguyên hàm 3 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 10 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo xdx ( x 1)3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I Nhận xét: x x 11 1 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 Lời giải: 1 I dx 3 ( x 1) ( x 1) x 2( x 1) TH3: Bậc P(x) hai Cần ý: - Thêm, bớt - Áp dụng công thức nguyên hàm x dx Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I ( x 1)3 Nhận xét: x2 x2 x 1 1 3 x ( x 1) ( x 1)3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) Lời giải: 1 1 1 I dx ln x ln x 1 x 2( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 TH4: Bậc P(x) lớn ba Cần ý: - Thêm, bớt - Áp dụng công thức nguyên hàm x dx ( x 1)3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I Nhận xét: x x 3x ( x 1)3 Lời giải: 1 x2 1 ( x 1)3 1 x 1 ( x 1)2 ( x 1)3 1 x ( x 1)2 ( x 1)3 I 1 dx x ln x ln 3 x 2( x 1)2 x ( x 1) ( x 1) 1 BÀI TẬP: Tính tích phân sau: 1 dx 1) I= x 8 2x 2) I= dx x 8 2x dx 4) I = x 8 3x x dx 5) I = x 5x GV: Nguyễn Thành Hưng 1 2x x dx 3) I= 1 6) I= (x dx 3x 2) Page 11 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 7)I= 8)I= (2x 4x 1)dx 11)I= (x 2)(x x 1) dx 10)I= x 1 ( x 1)dx x 1)( x x 1) 13)I= (x (2x 1).dx x(x 1)2 dx x(x 1)2 1 2 14)I= 20)I= 4.Dạng 4: b dx 2.dx 16)I= x 3x 2x x dx x(x 3) 12)I= dx x x 2 4 x 9)I= (3 x).dx x 4x 3x dx (2 x 1)(4 x x 5) 15)I= (3x 7x).dx (x 1)(x 2)(x 3) 21)I= P(x) an x n + an-1 x n-1 + + a1 x + a0 dx với n a Cần ý: Áp dụng cách học Ví dụ 4: I Nhận xét: dx x5 x3 1 x x x3 x x ( x 1) Lời giải: x 1 3 1 2 I dx ln x ln( x 1) ln ln x x 2 x 1 2x 1 1 Vấn đề 2: Đổi biến số Dạng 1: Đổi biến hàm dấu tích phân Các bước thực giải sau: B1: Đặt t f ( x ) dt dx f '( x ) B2: Đổi cận: x a b t f(a) f(b) B3: Thế vào tích phân ban đầu tính tích phân B4: Kết luận Cần ý: Chúng ta sử dụng nguyên hàm trực tiếp không cần đổi biến Ví dụ 1: I x 199 101 x 1 dx Cách 1: Nhận xét: Quan sát ta thấy: - (7 x 1)99 (2 x 1)101 99 7x x (2 x 1)2 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 12 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo ' 7x - x (2 x 1)2 Lời giải: 7x Đặt: t dt dx 2x 1 (2 x 1)2 x t Đổi cận: -1 t100 99 Khi đó: I t dt 900 1 Vậy: I 100 2 1 2100 900 1 900 Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: 99 (7 x 1)99 7x 101 x (2 x 1) (2 x 1)2 1 7x d 2x (2 x 1) Lời giải: - 7x I 2x 99 5x Ví dụ 2: I 2 ( x 4) Cách 1: Nhận xét: 99 100 7x 1 7x 1 7x d x 1 x x 100 x dx 100 2 1 900 dx ' Quan sát ta thấy: x x Lời giải: Đặt: t x dt xdx Đổi cận: x t 5 55 1 5 Khi đó: I dt 24t 2t 2100 Vậy: I 900 Cách 2: GV: Nguyễn Thành Hưng Page 13 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Nhận xét: Quan sát ta thấy: xdx d ( x 4) Lời giải: 1 51 I dx d x2 4 2 2 ( x 4) 2( x 4) ( x 4) 5x x7 Ví dụ 3: I (1 x ) Cách 1: Nhận xét: dx ' Quan sát ta thấy: x x Lời giải: Đặt: t x dt xdx x t Đổi cận: 1 2 (t 1)3 12 3 1 Khi đó: I dt dx 21 t t t t t 1 Vậy: I Cách 2: Nhận xét: x7 x x xdx d ( x 1) Quan sát ta thấy: 5 x2 x2 Lời giải: I x (1 1 x ) dx x2 x2 1 d ( x 1) d ( x 1) (1 x ) (1 x )5 1 3 1 d ( x 1) 2 (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) Ví dụ 4: I x (1 x )6dx Cách 1: Nhận xét: ' Quan sát ta thấy: x3 3x GV: Nguyễn Thành Hưng Page 14 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Lời giải: Đặt: t x dt 3x dx dx 3x Đổi cận: x t Khi đó: I 11 t t8 t (1 t ) dt 30 168 Vậy: I dt 1 168 Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: x dx d (1 x ) Lời giải: I x (1 x )6 dx 11 11 x (1 x ) d (1 x ) (1 x 1)(1 x )6 d (1 x ) 0 0 11 (1 x )8 (1 x )7 (1 x )7 (1 x )6 d (1 x ) 30 168 Ví dụ 5: I x ( x 1) Cách 1: Nhận xét: dx ' Quan sát ta thấy: x x Lời giải: Đặt: t x dt xdx x Đổi cận: t Khi đó: I Vậy: I 1 1 t t t dt ln ln Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: xdx d(x2 ) GV: Nguyễn Thành Hưng Page 15 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Lời giải: I 1 dx x( x 1) Ví dụ 5: I 1 dx x ( x 1) 3 x x2 dx ln x dx 10 1)2 x.( x Cách 1: Nhận xét: ' Quan sát ta thấy: x 5x Lời giải: Đặt: t x dt x dx x dx dt Đổi cận: x t Khi đó: I 32 dt 32 dt t(t 1)2 10 t (t 1)2 168 Vậy: I 1 32 168 Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: x (1 x )6 x (1 x )6 x x dx d (1 x ) Lời giải: 2 dx 168 Đặt: t x dt x dx x dx dt I dx x.( x10 1)2 x ( x10 1)2 x7 Ví dụ 6: I dx x (1 x ) Cách 1: Nhận xét: ' Quan sát ta thấy: x x Lời giải: Đổi cận: x t 1 GV: Nguyễn Thành Hưng 128 Page 16 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 128 t Khi đó: I dt t(1 t) Vậy: Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: x dx d(x7 ) Lời giải: 2 (1 x ) dx dx 7 7 x (1 x ) x (1 x ) I (1 x ).x x 2001 Ví dụ 7: I x )1002 (1 Cách 1: I dx x 2004 1002 x (1 x ) Cách 2: Ta có: I dx 1 1002 x 1 x 1000 x2 1 x x dt x3 dx 11 x 2000 xdx Đặt t x dt xdx 0 (1 x )2000 (1 x )2 (t 1)1000 2 1 I 1000 dt 21 t 1 t t Ví dụ 8: I dx Đặt t 1 d 1 t 2002.21001 dx Cách 1: Nhận xét: Quan sát ta thấy: 1 x x4 1 ' x2 , x 1 x x2 x2 x Lời giải: Đặt: t x 1 dt 1 dx x x2 Đổi cận: x t Khi đó: I 1 dt t2 2 2 1t GV: Nguyễn Thành Hưng 1 t ln ln dt 2 t 2 2 t 2 Page 17 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Vậy: I 1 ln 2 Cách 2: Nhận xét: Quan sát ta thấy: 1 x 1 x 1 x2 x2 x 1 dx d x x x Lời giải: dt 1 dt I 2 1 1 x x x x x 2 x 1 x 1 1 x ln ln 1 2 2 x x 2 2 1 1 x dx Ví dụ 9: I Ta có: I x dx Đặt t x I ln x 1xx x x Cách 1: Nhận xét: 2 ' 1 Quan sát ta thấy: x x x Lời giải: 1 Đặt: t x dt dx dt 1 dx x x x Đổi cận: x t 21 5 2 Khi đó: I dt ln t ln ln ln t Vậy: I ln Cách 2: Nhận xét: GV: Nguyễn Thành Hưng Page 18 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 1 Quan sát ta thấy: 1 dx d x x x Lời giải: 1 2 1 1 1 x I dx d +x ln x ln 1 x x 1 1 x x x x Dạng 2: Đổi biến hàm bên x4 Ví dụ 1: I x6 Nhận xét: Ta có: dx x4 x6 ( x x 1) x x6 x4 x2 ( x 1)( x x 1) x2 x6 x2 x2 x6 Lời giải: 1 d(x3 ) I dx dx I1 I (x ) 4 x 1 I1 1 x 1 dx Đặt: t t anx dt= tan2 x dx dx x t Đổi cận: Khi đó: I1 dt t 04 Vậy: I1 I2 tan x 1 4 d(x ) (x ) dx Đặt: t t anx dt= tan2 x dx dx Đổi cận: dt x t 0 GV: Nguyễn Thành Hưng dt tan2 x3 1 Page 19 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Khi đó: I1 dt t 04 Vậy: I 4 xdx Ví dụ 2: I x x 1 Lời giải: Đặt t x dt xdx 1 dt 11 0 t t 0 Khi đó: I Ví dụ 3: I 3 x2 x4 1 dt 1 3 t 2 dx Lời giải: I 3 x 2 ( x 1)( x 1) Ví dụ 4: I x2 1 x dx 3 1 dx ln(2 3) 12 x 1 x 1 dx 1 x Nhận xét: Ta có: x4 x2 x2 Lời giải: 1 Đặt t x dt 1 dx ; x t 2; x t 2 x x 1 x Khi đó: I dt 2 t 2 Đặt t tan u dt Khi đó: I 2 u2 du u1 du cos u ; tan u u1 arctan 2; tan u 5 u2 arctan 2 2 (u2 u1) arctan arctan 2 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 20 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Ví dụ 5: I 1 x2 x4 x2 1 dx x 1 Nhận xét: Ta có: x x2 1 x x2 x2 1 Lời giải: 1 dt 1 dx x x2 Đặt: t x x Đổi cận: t 1 2 dt Khi đó: I 0t 1 Đặt t tan u dt du cos2 u Khi đó: I du Ví dụ 6: I dx x (1 x ) Nhận xét: Lời giải: 1 Đặt : x dx dt t t Đổi cận: 3 x 3 t Khi đó: I 3 t6 dt t 1 1 117 41 t t 1 dt = 135 12 t Vậy: I 117 41 135 12 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 21 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Vấn đề 3: Tích phân phần Ví dụ 1: I x9 x 1 dt Lời giải: u x du x dx Đặt: x4 v dv dx 5( x 1) ( x 1)2 Khi đó: I x9 t5 1 Ví dụ 2: I dt x9 x 1 10 x5 5( x 1) x4 x5 I x9 t5 1 10 1 1 ln x ln 10 5( x 1) dt x5 10 5( x 1) Khi 1 x4 x5 dx ( x 1)9 5( x 1)10 2.BÀI TẬP: Bài tập 1: Tính tích phân sau: 3x 1) 2) x 1dx x 1dx x 1 2 x 0 0 x2 dx 4x x2 4) x 1 dx x 1 1 5) 2x x x 1dx 7) 3x 0 x x 1 x 1dx 8) 2x 1 1 dt Lời giải: u x du x dx Đặt: x4 v dv dx 9( x 1)9 ( x 1)10 dx x5 x3 x dx 10) 3x 2015 dx 1) x 2x GV: Nguyễn Thành Hưng 2) 3x 2 dx x 1 360( x 1) 10 5.2 1 360.28 2x 3) dx 5x 0 x2 2x dx x3 x4 x2 dx 11) 2016 x 1 1 6) Bài tập 2: Tính tích phân sau: đó: x3 x dx 9) 6x 1 x5 x2 dx 12) x 3 x3 2x 4x dx 3) x2 Page 22 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 4) x dx 7) 1 x(1 x ) 10) 4 x 13) x3 x 5) dx x 1 x3 dx 8) 6) x 2016 x(1 x 2016 ) dx 9) dx 11) x2 1 x x 1 x dx x (1 x ) dx 1 dx 12) x4 1 x dx dx xx Bài tập 3: Tính tích phân sau: b 2x dx dx 1) 2) ( x a )( x b) a x 3x 4) 7) x3 x dx x2 1 5) x 2018 dx x(1 x 2018 ) 8) x n 3 dx n (1 x ) 11) 10) dx 9 x 6) x3 x x dx x2 x 1 9) x2 dx x( x 3x 2) 12) dx x (1 x ) 15) dx x 4x 1 1 x2 dx x 1 dx 25) x x 1 31) x2 (3x 1) 2 3x 3x dx x 3x 2 x4 dx 1 x 32) 18) 24) x dx 26) x 2x 1 x4 dx x 1 GV: Nguyễn Thành Hưng x4 dx 2 ( x 4) 23) 29) dx 21) x dx 1 x 28) dx ( x 2) ( x 3) dx 1 x 20) x6 x5 x4 dx x6 1 1 17) dx 2 x 2x x 22) x dx 1 x 14) 19) x2 dx (3 x 1) 13) x dx 16) (1 x ) x3 x dx 3) x 1 1 x 11 x 5x dx x dx 1 x 27) dx x (1 x) 30) dx x (1 x)4 33) dx x x3 dx x 4x Page 23 [...]... ln( x 2 1) ln 2 ln 5 x x 2 2 2 8 x 1 2x 1 1 Vấn đề 2: Đổi biến số Dạng 1: Đổi biến bởi một hàm dưới dấu tích phân Các bước thực hiện giải như sau: B1: Đặt t f ( x ) dt 1 dx f '( x ) B2: Đổi cận: x a b t f(a) f(b) B3: Thế vào tích phân ban đầu và tính tích phân B4: Kết luận Cần chú ý: Chúng ta có thể sử dụng nguyên hàm trực tiếp không cần đổi biến 1 Ví dụ 1: I 7 x 199 101... công thức nguyên hàm 1 x 2 dx 0 ( x 1)3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I Nhận xét: x 3 4 x 2 3x 1 ( x 1)3 Lời giải: 1 x2 1 1 ( x 1)3 1 x 1 ( x 1)2 1 ( x 1)3 1 1 2 1 x 1 ( x 1)2 ( x 1)3 1 1 2 1 2 1 3 I 1 dx x ln x 1 ln 2 2 3 0 x 1 2( x 1)2 4 x 1 ( x 1) ( x 1) 0 1 BÀI TẬP: Tính các tích phân sau: 1 1 dx 1)... THPT Nguyễn Hồng Đạo 1 xdx 0 ( x 1)3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I Nhận xét: x x 11 1 1 3 3 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 Lời giải: 1 1 1 1 I dx 2 3 2 0 ( x 1) ( x 1) x 1 2( x 1) 0 8 TH3: Bậc P(x) bằng hai Cần chú ý: - Thêm, bớt - Áp dụng công thức nguyên hàm 2 1 x dx Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I 0 ( x 1)3 Nhận xét: x2 x2 1 ... I 3 3 1 t6 dt t 1 2 1 1 4 2 1 117 41 3 t t 1 2 dt = 135 12 t 1 3 3 Vậy: I 117 41 3 135 12 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 21 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo Vấn đề 3: Tích phân từng phần 1 Ví dụ 1: I 0 x9 x 5 1 2 dt Lời giải: u x 5 du 5 x 4 dx 1 Đặt: x4 v dv dx 5 5( x 1) ( x 5 1)2 1 Khi đó: I 0 x9 t5 1 1 Ví dụ 2:... x5 1 I 0 x9 t5 1 10 1 1 1 1 5 ln x 1 ln 2 10 5 5( x 5 1) 0 5 0 dt 1 x5 5 10 5( x 1) 0 Khi 1 1 x4 x5 5 dx 9 0 ( x 1)9 5( x 5 1)10 2.BÀI TẬP: Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 2 1 3x 1 1) 2) 2 x 1dx x 1dx x 1 2 x 2 0 0 x2 dx 4x 1 2 x2 4) 2 x 1 dx x 1 1 5) 2x x 2 x 1dx 7) 3x 1 ... 2 x 1 2 0 5 8 360( x 1) 0 1 10 5.2 1 1 5 360.28 2x 2 3) 3 dx 5x 1 0 1 x2 2x 3 dx x3 0 x4 x2 1 dx 11) 1 2016 x 0 3 1 1 1 1 2 1 6) 2 Bài tập 2: Tính các tích phân sau: đó: 1 x3 x 1 dx 9) 6x 1 0 1 x5 x2 1 dx 12) x 3 0 x3 2x 2 4x 9 dx 3) x2 4 0 2 Page 22 Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo 1 4) 1 1 x 4 dx 0 2 7) 1 1 4 x(1 x ) 2 10)... 5) dx 2 0 x 1 x3 dx 2 8) 6) 1 x 2016 x(1 x 2016 ) dx 9) 1 2 dx 11) 1 x2 4 1 1 x x 0 1 x 2 4 dx 1 x 5 (1 x 4 ) dx 1 1 dx 12) 2 x4 2 0 1 x dx dx xx 3 1 Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 5 b 1 2x 1 dx dx 1) 2 2) ( x a )( x b) a 3 x 3x 2 1 4) 0 2 7) 1 x3 x 1 dx x2 1 5) 1 x 2018 dx x(1 x 2018 ) 8) x 2 n 3 dx 2 n 0 (1 x ) 11) 1 10) 2 1 dx... 1 Quan sát ta thấy: 2 1 dx d x x x Lời giải: 1 1 2 2 1 2 1 1 4 1 x I dx d +x ln x ln 1 1 x x 5 1 1 1 x x x x Dạng 2: Đổi biến bởi một hàm bên ngoài 1 x4 1 Ví dụ 1: I x6 1 0 Nhận xét: Ta có: dx x4 1 x6 1 ( x 4 x 2 1) x 2 x6 1 x4 x2 1 ( x 2 1)( x 4 x 2 1) x2 x6 1 1 x2 1 x2 x6 1 Lời giải: 1 ... B3: Thế vào tích phân ban đầu tính tích phân B4: Kết luận Cần ý: Chúng ta sử dụng nguyên hàm trực ti p không cần đổi biến Ví dụ 1: I x 199 101 x 1 dx Cách 1: Nhận xét: Quan sát ta