CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀMA.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x0  (a; b): = (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.2.Ý nghĩa của đạo hàm:a)Ý nghĩa hình học: f (x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại là: y – y0 = f (x0).(x – x0)b)Ý nghĩa vật lí: Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0). Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).3.Qui tắc tính đạo hàm:

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x 0 (a; b):

0

0

0 x x

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x







y lim x

 



 (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)

- Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó

2.Ý nghĩa của đạo hàm:

a)Ý nghĩa hình học:

- f (x 0 ) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0 

- Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0  là:

y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

b)Ý nghĩa vật lí:

- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t 0 là v(t 0 ) = s(t 0 )

- Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t 0 là I(t 0 ) = Q(t 0 )

3.Qui tắc tính đạo hàm:

Các hàm

cơ bản

(C)' = 0 (x) = 1

Hàm số

lũy thừa

      

  

n n 1 n N

  

n n 1 n N

u n.u u' n 1

 x 1

2 x

2 u

Hàm số

lượng

giác

 sinx    cosx  sinu    u'.cosu

2

1 tanx

cos x

cos u

2

1 cot x

sin x

sin u

Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm:

Trừ u v    u' v'

k.u  k.u'

Chia

2

u u v v u



     

 

  (v  0)



    

 

 

5.Vi phân:

- dy df(x) f (x) x    

- f(x0   x) f(x ) f (x ) x0   0 

6.Đạo hàm cấp cao:

- Công thức: f ''(x) f '(x); f '''(x) f ''(x); f (x)(n)  f(n 1) (x) (n  N, n  4)

- Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t 0 là a(t 0 ) = f(t 0 )

Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số:

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Phương pháp: Nếu tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0)

Bước 2: Tính

x 0

y lim x

 





Bước 3: Kết luận

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: y f(x) 2x  2x tại x0  1

Giải:

- Giả sử x là số gia của đối số tại x0 = 1

Khi đó:     y f( x 1) f(1) 2( x 1)   2       x 1 1 2 x2 3 x

- Tính              

2

y 2 x 3 x

- Vậy: f '(1) 3 

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau: f(x) x 23x

Giải:

- Giả sử x là số gia của đối số tại x

Khi đó:      y f( x x) f(x) ( x x)    2   3 x 3x x  2 3x   x 2 2x x      x( x 2x)

y x( x 2x)

- Vậy: f '(x) 2x 

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:

a) y f(x) 2x   2  x 2 tại x0  1 b) y f(x)   3 2x  tại x0 = –3

c) y f(x) 2x 1

x 1



 tại x0 = 2 d) y f(x) sinx   tạix0 =

6



e) y f(x)  3x tại x0 = 1 f)

2

x x 1

y f(x)

x 1

 

 tại x0 = 0

Bài tập 2: Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số sau:

a) f(x) x  2  3x 1  b) f(x) x  3 2x c) f(x)  x 1, (x    1) d) f(x) 1

2x 3



 e) f(x) sinx  f) f(x) 1

cosx

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán:

Phương pháp: Sử dụng công thức cho trong bảng sau:

Trừ u v  u' v'

k.u  k.u'

Chia

2

u u v v u



    



 

  (v  0)

2



    

 

 

Ví dụ 1: y 2x  41x3 2x2   5 y' 8x3 x2 4x

3

2x 1 (2x 1)'(1 3x) (2x 1)(1 3x)' 2(1 3x) 3(2x 1) 5

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 2x4 1x3 2 x 5

3

3 x

   c) y (x  3 2)(1 x )  2

d) y (x  2 1)(x2 4)(x2 9) e) y (x  2 3x)(2 x)  f) y  x 1 1 1

x

g) y 3

2x 1



2x 1 y

1 3x





2 2

1 x x y

1 x x

 



 

k)

2

x 3x 3

y

x 1



2 2x 4x 1 y

x 3



2 2

2x y

x 2x 3



Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x.cosx  b) y x sinx  2 c) y x tanx  3

d) y x x  e) y (x 1) x   f) y 2x.cot x 

g) 



cosx

y

t anx y







1 sinx y

1 sinx

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp:

Phương pháp: Sử dụng công thức cho bởi bảng sau:

Hàm x Hàm hợp

Các hàm

cơ bản

(C)' = 0 (x) = 1

Hàm số

lũy thừa

      

  

n n 1 n N

  

n n 1 n N

u n.u u' n 1

 x 1

2 x

2 u

Hàm số

lượng

giác

 sinx    cosx  sinu    u'.cosu

2

1 tanx

cos x

cos u

2

1 cot x

sin x

sin u

Chú ý: Sau các hàm không phải x thì ta sử dụng hàm hợp u

Ví dụ 1: y (x 2x)4 y' 4(x2x) (x3 2x)' 4(2x 1)(x  2x)3

2 2

(2x 5x)' 4x 5

y 2x 5x y'

2 2x 5x 2 2x 5x

Ví dụ 3:

(sinx+2x)' cosx+2

y sin x 2x y'

2 sin x 2x 2 sin x 2x

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y (x  2  x 1)4 b) y (1 2x )   2 5 c)

3 2x 1 y

x 1

  

   

d)

2

3

(x 1)

y

(x 1)





1 y

(x 2x 5)



y  3 2x 

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  2x2  5x 2  b) y  3 3 x   x 2 c) y  x  x

d) y (x 2) x   2 3 e)

2

4x 1 y

x 2





2

4 x y

x



g)

3

x

y

x 1



y 1   1 2x 

Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 sinx

y

1 cosx

4

y cos (2x) c) y sin (2x 1)  3  d) y  cot2x e) y sin 2 x   2 f) y  sinx 2x 

g) y tan2x 2tan 2x3 1tan 2x5

   h) y 2sin 4x 3cos 5x  2  3 i) y (2 sin 2x)   2 3

k) y sin cos x tan x   2 2  l)   



2 2x 1

y cos

x 1 m) y cos sin(cosx)   

Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao:

Phương pháp:

1.Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dung công thức: y(n)  (y ) n 1 /

2.Để tính đạo hàm cấp n:

- Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp n

- Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)sinx   Tính f ''( ) 

Giải:

 

f '(x) 3(x 1)'sinx 3(x 1) sinx ' 3sinx 3(x 1)cosx

 

f ''(x) 3cosx 3(x 1)'cosx+3(x 1) cosx ' 3cosx 3cosx 3(x 1)sinx

f ''( ) 3cos 3cos 3( 1)sin 6

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y 1

x

Giải:

Ta có: f '(x)  12

x

 1.23

f ''(x)

x

 1.2.34

f '''(x)

x

…





(n)

n 1

( 1) n!

f (x)

x Suy ra:

 





  

 

 

n 1

1 ( 1) n!

Thật vậy:

- Khi n = 1: Ta có:       

 

'

1 ( 1).1! 1

Vậy: Mệnh đề đúng khi n = 1

- Khi n = k > 1, tức là

 





  

 

 

k 1

1 ( 1) k!

x x Ta cần chứng minh: n = k + 1, tức là



 

 

k 1 k 1

k 2 ( 1) k 1 ! 1

Ta có:

k

1 1 ( 1) k! ( 1) k! 1 ( 1) (k 1)!

Vậy: Mệnh đề đúng khi n = k + 1

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx  

a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)

2

  

 

Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số theo cấp được chỉ ra:

a) y cosx, y'''  b) y 5x  4 2x3 5x2 4x 7, y''  c) y x 3, y''

x 4





d) y  2x x , y''  2 e) y xsinx, y''  f) y xtanx, y'' 

g) y (x  2  1) ,y''3 h) y x  6 4x3 4, y(4) i) y 1 , y(5)

1 x





Bài tập 3: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

a)

(n) n

n 1

1 ( 1) n!

1 x (1 x) 



  



(n) n.

(sinx) sin x

2

(cosx) cos x

2

Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 1

x 2



1 y

x 3x 2



x y

x 1





d) y 1 x

1 x





2

y sin x  f) y sin x cos x  4  4

Vấn đề 2: Ứng dụng của đạo hàm:

Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số:

Phương pháp:

- Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau:

0

x x

sinu(x)

u(x)

0

x x lim u(x) 0

- Ta sử dụng công thức:

x x x x

P(x) P'(x) lim lim Q(x) Q'(x) (lưu ý chỉ sử dụng khi giới hạn có dạng

0

0)

Ví dụ 1:

   



5

3

x

Cách 2:



3

Ví dụ 2:



x 0 x 0

x 0

5sin5x lim5sin5x

lim lim 4sin4x 4sin4x

Cách 2:

x 0 x 0

sin5x 5cos5x 5cos(5.0) 5

lim lim

sin 4x 4cos4x 4cos(4.0) 4

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a)

2

1

1 lim

x



x

4

1

1 lim





5 3 1

1 lim

1

x

x x







d)

3

lim

x



2 1

lim

(1 )

x

x



1 lim

1

m n x

x x







g)

0

lim

x

x



h)

2 1

lim

1

n x

x



4

2

16 lim

2

x

x







Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

lim

4

x

x

x



 

3 3 1

1

x

x x





2 0

lim

x

x x



d)

2

2 2

lim

7 3

x

x

x



 

lim

1

x

x



2

1 1 lim

16 4

x

x x



 

g) 03

lim

x

x

x



 

3 2 lim

3

x



lim

x

x



Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:

a)





 



2

2

lim

4

x

x



 

3 3 1

1

x

x

 2 

0

lim

x

x x

d) 



 

 

2

2 2

lim

7 3

x

x



1

lim

1

x

 

2 2 0

1 1 lim

16 4

x

x x

g)





 

 

3

0

lim

x

x



2 ( 3)

3 2 lim

3

x





0

lim

x

x

Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:

a)

3 0

lim

x

x



b)

3 2 2

lim

x



3 0

lim

x

x



d)

3 2 0

lim

x

x



e)

3 2 2

lim

x



3

2 1

lim

1

x

x





g)

0

lim

x

x



h)

3 0

lim

x

x



i)

3 0

lim

x

x



Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:

a) 



 3 

0

lim

x

3 2 2

lim

x

 3 

0

lim

x

x

d) 



2 0

lim

x

3 2 2

lim

x



3

2 1

lim

1

x

x

g) 



0

lim

x

0

lim

x

3 0

lim

x

x

Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:

a)

x 0

sin3x

lim

sin2x

x 0

1 cosx lim

x





c)

2 x

2

1 sinx lim

x 2







  

d) x 4

cosx sinx lim

cos2x







e)

x 0

1 sinx cosx

lim

1 sinx cosx



tan2x lim sin5x

x 2

lim x tanx 2





  



6

sin x

6 lim

3 cosx 2





  



Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến:

Phương pháp:

1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm M(x0, y0)  (C) là: y y  0  f '(x )(x x )0  0 (*)

2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k:

- Bước 1: Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm Ta cĩ: f (x ) k  0  (Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm)

- Bước 2: Giải phương trình tìm x0, rồi tìmy0  f(x ).0

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo cơng thức (*)

- Bước 4: Kết luận

3.Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua một điểm A(x1, y1) cho trước:

- Bước 1: Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0))

- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d): y y  0  f '(x )(x x )0  0

(d) qua A(x , y )1 1  y1 y0  f '(x ) (x0 1 x ) (1)0

- Bước 3: Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0  f(x )0 và f '(x ).0

- Bước 4: Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo cơng thức (*)

Chú ý: Cho (): y = ax + b Khi đĩ:

- (d) ( )    kd  a

- (d) ( ) kd 1

a

Ví dụ : Cho hàm số (C): y f(x) x  22x Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm cĩ hồnh độ x0 = 1

b) Tại điểm cĩ tung độ y0  0

c) Tại điểm M(0;0)

d) Biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = 2

Giải:

a) Tại điểm cĩ hồnh độ x0 = 1

- x0   1 y0   1

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1; 1  : y 1 y'(1)(x 1)       y 1

b) Tại điểm cĩ tung độ y0  0





    

x 2x 0 x 2

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 0;0 :y 0 y'(0)(x 0)      y 2x

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 2;0 :y 0 y'(2)(x 2)      y 2x 4 

c) Tại điểm M(0;0)

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 0;0 :y 0 y'(0)(x 0)      y 2x

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2

- Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x ) 2  0   2x0   2 2 x0  2 A(2;0)

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 2;0 :y 0 y'(2)(x 2)      y 2x 4 

- Vậy: Pttt: y 2x 4  

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Cho hàm số (C): y f(x) x   2 2x 3  Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1

b) Tại điểm có tung độ y0  3

c) Tại điểm M(0;3)

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2

e) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0

f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0

g) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp thành bởi các trục tọa độ

h) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;1)

Bài tập 2: Cho hàm số (C): y x  3 3x 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0  0

b) Tại điểm có tung độ y0 0

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

d) Tại giao điểm của (C) với trục tung

e) Tại điểm I(1, –2)

f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3

g) Song song với đường thẳng 9x – y + 5 = 0

h) Vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0

l) Đi qua điểm A(0;0)

m) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I

Bài tập 3: Cho hàm số y f(x) 3x 1

1 x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0  2

b) Tại điểm có tung độ y0  2

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

d) Tại giao điểm của (C) với trục tung

e) Tại điểm A(2; –7)

f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k 1

2 g) Song song với đường thẳng d: y 1x 100

2

h) Vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0

Bài tập 4: Cho hàm số

2

2 x x

y f(x)

x 1

 

 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

Bài tập 5: Cho hàm số (C): y  1 x x   2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 =1

2 b) Song song với đường thẳng d: x + 2y = 0

Vấn đề 3: Các bài toán khác

Dạng 1: Giải phương trình:

Phương pháp:

- Công thức tính đạo hàm

- Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Giải phương trình f '(x) 0  với:

a) f(x) 3cosx 4sinx 5x    b) f(x) cosx   3s ón 2x 1  

c) f(x) sin x 2cosx  2  d) f(x) sinx cos4x cos6x

e) f(x) 1 sin( x) 2cos3 x

2

 

     f) f(x) sin3x   3cos3x 3(cosx   3sinx)

Bài tập 2: Giải phương trình f '(x) g(x)  với:

a) f(x) sin 3x4

g(x) sin6x

3 f(x) sin 2x g(x) 4cos2x 5sin4x



c)

2 2 2

x f(x) 2x cos

2 g(x) x x sin x











2 x f(x) 4x cos

2 x g(x) 8cos 3 2xsin x

2











Dạng 2: Giải bất phương trinh:

Phương pháp:

- Công thức tính đạo hàm

- Giải bất phương trình đại số

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Giải bất phương trình f '(x) g'(x)  với:

a) f(x) x  3  x 2, g(x) 3x  2  x 2

b)

2

f(x) 2x x 3, g(x) x 3

2

c) f(x) 2, g(x) x x3

x

Dạng 3: Bài tốn chứa tham số:

Phương pháp:

- Cơng thức tính đạo hàm

- Giải bất phương trình đại số

Bài tập tương tự:

Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi x  R:

a)

3 2 mx

f '(x) 0 với f(x) 3x mx 5

3

b)

mx mx

f '(x) 0 với f(x) (m 1)x 15