CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀMA.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x0  (a; b): = (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.2.Ý nghĩa của đạo hàm:a)Ý nghĩa hình học: f (x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại là: y – y0 = f (x0).(x – x0)b)Ý nghĩa vật lí: Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0). Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).3.Qui tắc tính đạo hàm:

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa đạo hàm điểm: - Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) x0  (a; b): f '(x )  lim f(x)  f(x ) x  x0 x x y (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) x0 x = lim - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm 2.Ý nghĩa đạo hàm: a)Ý nghĩa hình học: - f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f(x )  - Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f(x )  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) b)Ý nghĩa vật lí: - Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) - Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) 3.Qui tắc tính đạo hàm: Hàm x Hàm hợp (C)' = Các hàm (x) =  x n    n.x n1  n  N  n 1  Hàm số lũy thừa  x    tan x    x  s inx    cosx  cosx     s inx Hàm số lượng giác  un    n.un1.u'  n  N  n 1  u' u   u  s inu    u'.cosu  cosu     u'.s inu   tan u    cos2 u  cot u     u' sin u cos2 x  cot x     sin2 x Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm: Phép toán Cộng  u  v   u' v' Trừ  u  v   u' v' Nhân Chia GV: Nguyễn Thành Hưng u' Công thức  u.v   u'.v  u.v'  k.u   k.u'  u  uv  vu (v  0)    v v2 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO   v    v v 5.Vi phân: - dy  df(x)  f (x).x - f(x0  x)  f(x )  f (x ).x 6.Đạo hàm cấp cao:  - Công thức: f ''(x)   f '(x) ; f '''(x)   f ''(x) ; f (n) (x)   f (n1) (x) (n  N, n  4) - Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) Vấn đề 1: Tính đạo hàm hàm số: Dạng 1: Tính đạo hàm định nghĩa: Phương pháp: Nếu tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) Bước 2: Tính lim y x0 x Bước 3: Kết luận Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: y  f(x)  2x2  x x  Giải: - Giả sử x số gia đối số x0 = Khi đó: y  f(x  1)  f(1)  2(x  1)2  x    2x2  3x y 2x2  3x  lim  lim  2x  3  x0 x x0 x0 x - Vậy: f '(1)  - Tính lim Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: f(x)  x2  3x Giải: - Giả sử x số gia đối số x Khi đó: y  f(x  x)  f(x)  (x  x)2  3x  3x  x  3x   x   2xx  x(x  2x) y x(x  2x)  lim  lim  x  2x   2x x0 x x0 x0 x - Vậy: f '(x)  2x - Tính lim Bài tập tương tự: Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  f(x)  2x2  x  x  c) y  f(x)  2x  x0 = x 1 e) y  f(x)  x x0 = b) y  f(x)   2x x0 = –3 d) y  f(x)  sin x tạix0 = f) y  f(x)   x2  x  x0 = x 1 Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO a) f(x)  x2  3x  d) f(x)  2x  b) f(x)  x3  2x c) f(x)  x  1, (x   1) e) f(x)  sin x f) f(x)  Dạng 2: Tính đạo hàm phép toán: Phương pháp: Sử dụng công thức cho bảng sau: Phép toán Cộng cosx Công thức  u  v   u' v'  u  v   u' v' Trừ  u.v   u'.v  u.v' Nhân  k.u   k.u'  u  uv  vu (v  0)    v v2   v    v v Chia 2x  (2x  1)'(1  3x)  (2x  1)(1  3x)' 2(1  3x)  3(2x  1)  y'    Ví dụ 2: y  2  3x (1  3x) (1  3x) (1  3x)2 Ví dụ 1: y  2x4  x3  2x2   y'  8x3  x2  4x Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm hàm số sau: 3  x  x x x a) y  2x  x3  x  b) y  d) y  (x2  1)(x2  4)(x2  9) e) y  (x2  3x)(2  x) c) y  (x3  2)(1  x2 ) f) y    x  x2 g) y  2x  h) y  2x  1  3x i) y  k) y  x2  3x  x 1 l) y  2x  4x  x3 m) y  Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  x.cosx b) y  x2 sinx d) y  x x g) y  cosx 2x  e) y  (x  1) x h) y  t anx  3x    x 1   1  x   x  x2 2x2 x2  2x  c) y  x3 t anx f) y  2x.cot x i) y   sinx  sinx Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp: Phương pháp: Sử dụng công thức cho bảng sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO Hàm x (C)' = (x) = Hàm hợp  x n    n.x n1  n  N   un    n.un1.u'  n  N  Các hàm n 1  Hàm số lũy thừa  x    tan x    n 1  u' u   u  s inu    u'.cosu  cosu     u'.s inu  x  s inx    cosx  cosx     s inx Hàm số lượng giác  tan u    u' cos2 u  cot u     u' sin u cos x  cot x     sin2 x Chú ý: Sau hàm x ta sử dụng hàm hợp u Ví dụ 1: y  (x2  x)4  y'  4(x2  x)3.(x2  x)'  4(2x  1)(x2  x)3 Ví dụ 2: y  2x2  5x  y'  (2x2  5x)' 2x2  5x  4x  2x2  5x Ví dụ 3: y  sin3 (2x  1)  y'  3sin2 (2x  1).(sin(2x  1))'  3sin2 (2x  1).cos(2x  1)(2x  1)'  6sin2 (2x  1).cos(2x  1) Ví dụ 4: y  sin x  2x  y'  (s inx+2x)' cosx+2  sin x  2x sin x  2x Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  (x2  x  1)4 d) y  (x  1)2 b) y  (1  2x2 )5 e) y  (x  1)3 (x2  2x  5)2  2x     x 1  c) y   f) y    2x2  Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  2x2  5x  b) y  x3  x  d) y  (x  2) x2  e) y  g) y  x3 x 1 4x  x2  h) y  (x  2)3 c) y  x  x f) y   x2 x i) y  1   2x  Bài tập 3: Tính đạo hàm hàm số sau:  sin x  a) y      cos x  d) y  cot 2x GV: Nguyễn Thành Hưng b) y  cos4 (2x) c) y  sin3 (2x  1) e) y  sin  x2 f) y  sinx  2x Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO g) y  tan 2x  tan3 2x  tan5 2x h) y  2sin2 4x  3cos3 5x k) y  sin  cos2 x tan x  l) y  cos2   2x     x 1  i) y  (2  sin2 2x)3 m) y  cos  sin(cosx) Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao: Phương pháp: 1.Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dung công thức: y(n)  (yn1 )/ 2.Để tính đạo hàm cấp n: - Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ suy công thức đạo hàm cấp n - Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)  3(x  1)sin x Tính f ''() Giải: f '(x)  3(x  1)'sin x  3(x  1)  sin x  '  3sin x  3(x  1)cosx f ''(x)  3cosx  3(x  1)'cosx+3(x  1)  cosx  '  3cosx  3cosx  3(x  1)sinx f ''()  3cos   3cos   3(  1)sin  6 Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n hàm số: y  x Ta có: f '(x)   f ''(x)  x2 1.2 x3 1.2.3 f '''(x)  x4 … (1)n n! f (n) (x)   n 1 Suy ra:   x Thật vậy: Giải: x n 1  (1)n n! xn1 '   (1).1! - Khi n = 1: Ta có:      x x x Vậy: Mệnh đề n = k 1 - Khi n = k > 1, tức   x 1 Ta có:   x  k 1 '  (1)k k! x k 1  k 1 1 Ta cần chứng minh: n = k + 1, tức   x  (1)k 1. k  1! x k 2 ' ' k 1    k   (1)k k!    (1) (k  1)! k        (  1) k!    k 1    x    x k 1  x k 2 x      Vậy: Mệnh đề n = k + Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số f(x)  3(x  1)cosx GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO  2 b) Tính f ''(), f ''   ,f ''(1) a) Tính f '(x),f ''(x) Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số theo cấp ra: x3 , y'' x4 a) y  cosx, y''' b) y  5x4  2x3  5x2  4x  7, y'' c) y  d) y  2x  x2 , y'' e) y  xsin x, y'' f) y  x tan x, y'' g) y  (x2  1)3 ,y'' h) y  x6  4x3  4, y(4) i) y  , y(5) 1 x Bài tập 3: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: (n)   a)   1 x   (1)n n!  b) (sin x)(n)  sin  x  n 1 (1  x)  n.     c) (cosx)(n)  cos  x   n.    Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x2 1 x d) y  1 x b) y  a) y  x  3x  e) y  sin2 x c) y  x x 1 f) y  sin4 x  cos4 x Vấn đề 2: Ứng dụng đạo hàm: Dạng 1: Tính giới hạn hàm số: Phương pháp: sin u(x)  (với lim u(x)  ) x x xx0 u(x) - Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: lim P(x) P '(x)  lim (lưu ý sử dụng giới hạn có dạng ) x  x Q(x) x  x Q '(x) - Ta sử dụng công thức: lim Ví dụ 1: Cách 1: lim x 1 Cách 2: lim x 1  x  1  x  x  x  x  1  lim  x  x 1  x  1  x  x  1 x5  x5  x 1  lim x 1 5x 3x  Ví dụ 2: 5sin5x 5sin5x lim sin5x 5  lim 5x  x0 5x  Cách 1: lim x0 sin 4x x0 4sin 4x lim 4sin 4x x0 4x 4x sin 5x 5cos5x 5cos(5.0)  lim   Cách 2: lim x 0 sin 4x x 0 4cos4x cos(4.0) Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO a) lim x3  x2  x  x 1 d) lim x 3 x  3x  x  5x  3x  x  8x  (1  x )(1  x )(1  x )  x 0 x g) lim x4 1 b) lim x3  x2  x  5x  x x 1 e) lim (1  x )2 x 1 x5  c) lim x 1 xm 1 f) lim xn 1 x 1 x  x   x n  n x 1 x 1 h) lim x3  x  16 i) lim x 2 x3  x2 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 g) lim 4x   x2  x 2 2 x 7 3 1 x 1 x 0  x 1 Bài tập 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 4x   x2  x2 2 x  3 1 x 1 1 x   x  16  lim x 0 x Bài tập 5: Tìm giới hạn sau: g) lim x 0  x a) lim x 0 d) lim 1 x  1 x x 1 4x  1 6x x2 1 4x 1 6x 1 g) lim x 0 x Bài tập 6: Tìm giới hạn sau: 1 x  1 x a) lim x 0 x x 0 d) lim x 0 1 4x  1 6x x2 GV: Nguyễn Thành Hưng b) lim x 1 x 1 4x   x   3x  e) lim x 1 x 1 x   2x h) lim x  3x x 3 x 1 4x   b) lim x 1 x   3x  x 1 e) lim x 1 h) x   2x lim  x (3) b) lim 8x  11  x  x  3x  x 2 e) lim x  3x 8x  11  x  x  5x   x  x  h) lim x 0 x x 2 b) lim x  3x  x 2 e) lim x 2 8x  11  x  x  11  x  x  5x   x2 1 x c) lim x 0 x2  1 f) lim x 0 x  16  x   x  16  x i) lim x 0 c) lim x 0 f) lim x 0  x2  x x2   x  16  i) 1 x   x x 0 x c) lim  x3  x2  f) lim x 1 i) lim x 0 x2  x 1  1 x x 1 x   x c) lim x 0 x f) lim x 1  x3  x2  x2  Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO  4x  6x 1 x 0 x Bài tập 7: Tính giới hạn sau: g) lim a) lim sin3x h) lim x 0 b) lim x0 sin 2x  cosx x 0  sin x  cosx x0  sin x  cosx e) lim x tan 2x x0 sin 5x f) lim  x  x  x c) lim  sin x  x   2   x 2    x   g) lim   x  tan x i) lim x 0 d) lim  x x 1  1 x x cosx  sin x cos2x   sin  x   6  h) lim  x  cos x Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến: Phương pháp: 1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm M(x0, y0)  (C) laø: y  y  f '(x )(x  x ) (*) 2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: - Bước 1: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x )  k (Theo ý nghĩa hình học đạo hàm) - Bước 2: Giải phương trình tìm x0, tìm y  f(x ) - Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến điểm theo công thức (*) - Bước 4: Kết luận 3.Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: - Bước 1: Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) - Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d): y  y  f '(x )(x  x ) (d) qua A (x1 , y1 )  y1  y  f '(x ) (x1  x ) (1) - Bước 3: Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y  f(x ) f '(x ) - Bước 4: Từ viết phương trình tiếp tuyến điểm theo công thức (*) Chú ý: Cho (): y = ax + b Khi đó: - (d)  ()  k d  a - (d)  ()  k d   a Ví dụ : Cho hàm số (C): y  f(x)  x2  2x Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Tại điểm có tung độ y  c) Tại điểm M(0;0) d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Giải: a) Tại điểm có hoành độ x0 = - x 1  y  1 - Phương trình tiếp tuyến điểm A 1; 1 : y   y'(1)(x  1)  y  1 b) Tại điểm có tung độ y  x  x  2x    x  GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO - Phương trình tiếp tuyến điểm A  0;0  : y   y'(0)(x  0)  y  2x - Phương trình tiếp tuyến điểm A  2;0  : y   y'(2)(x  2)  y  2x  c) Tại điểm M(0;0) - Phương trình tiếp tuyến điểm A  0;0  : y   y'(0)(x  0)  y  2x d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x )   2x    x   A(2;0) - Phương trình tiếp tuyến điểm A  2;0  : y   y'(2)(x  2)  y  2x  - Vậy: Pttt: y  2x  Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số (C): y  f(x)  x2  2x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Tại điểm có tung độ y  c) Tại điểm M(0;3) d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = e) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = g) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp thành trục tọa độ h) Tiếp tuyến qua điểm A(2;1) Bài tập 2: Cho hàm số (C): y  x3  3x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x  b) Tại điểm có tung độ y  c) Tại giao điểm (C) với trục hoành d) Tại giao điểm (C) với trục tung e) Tại điểm I(1, –2) f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3 g) Song song với đường thẳng 9x – y + = h) Vuông góc với đường thẳng x - 3y = l) Đi qua điểm A(0;0) m) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài tập 3: Cho hàm số y  f(x)  3x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 1 x a) Tại điểm có hoành độ x  b) Tại điểm có tung độ y  c) Tại giao điểm (C) với trục hoành d) Tại giao điểm (C) với trục tung e) Tại điểm A(2; –7) GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k  g) Song song với đường thẳng d: y  x  100 h) Vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – = Bài tập 4: Cho hàm số y  f(x)   x  x2 (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài tập 5: Cho hàm số (C): y   x  x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng d: x + 2y = Vấn đề 3: Các toán khác Dạng 1: Giải phương trình: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình f '(x)  với: a) f(x)  3cosx  4sin x  5x b) f(x)  cosx  s ón  2x  c) f(x)  sin2 x  2cosx d) f(x)  sin x  cos4x cos6x  3  x f) f(x)  sin3x  cos3x  3(cosx  3sinx) Bài tập 2: Giải phương trình f '(x)  g(x) với: e) f(x)   sin(  x)  cos  a) f(x)  sin 3x  b) f(x)  sin 2x g(x)  sin6x g(x)  4cos2x  5sin 4x  x  f(x)  4x cos d)  g(x)  8cos x   2xsin x   x f(x)  2x cos2 c)  g(x)  x  x sin x Dạng 2: Giải bất phương trinh: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải bất phương trình f '(x)  g'(x) với: a) f(x)  x3  x  2, g(x)  3x  x  b) f(x)  2x3  x2  3, g(x)  x3  GV: Nguyễn Thành Hưng x2  Page 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO x c) f(x)  , g(x)  x  x3 Dạng 3: Bài toán chứa tham số: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình có nghiệm với x  R: a) f '(x)  vôùi f(x)  mx3  3x  mx  b) f '(x)  vôùi f(x)  mx3 mx   (m  1)x  15 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 11 [...]...TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 2 x c) f(x)  , g(x)  x  x3 Dạng 3: Bài toán chứa tham số: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi x  R: a) f '(x)  0 vôùi f(x)  mx3  3x 2  mx ... f(t0) Vấn đề 1: Tính đạo hàm hàm số: Dạng 1: Tính đạo hàm định nghĩa: Phương pháp: Nếu tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y... Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao: Phương pháp: 1.Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dung công thức: y(n)  (yn1 )/ 2.Để tính đạo hàm cấp n: - Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ suy công thức đạo hàm cấp n... Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  (x2  x  1)4 d) y  (x  1)2 b) y  (1  2x2 )5 e) y  (x  1)3 (x2  2x  5)2  2x     x 1  c) y   f) y    2x2  Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: