MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM Dạng 1: Tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa
Phương Pháp: Để tính đạo hàm của hàm số y = f x( ) tại điểm xo ta thực hiện
B1: Giả sử x∆ là số gia của đối số tại điểm xo, khi đó ∆ =y f x( o + ∆ −x) f x( )o
B2: Lập tỉ số y
x
∆
∆ B3: Tìm
0
lim
x
y x
∆ →
∆
∆
Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại nhứng điểm đã chỉ ra
a) f x( )=x2 −4x tại x0 =2 b) ( )f x = 2x+1 tại x0 =4
c) ( )f x = x+1 tại x0=1
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số
a) f x( )=x3 tại điểm x0 bất kì b) ( )f x = x+1 tại điểm x0 bất kì thuộc ( 1;− +∞)
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số nhờ sử dụng quy tắc
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm của hàm
số thường gặp và công thức tính đạo hàm của hàm hợp:
Đạo hàm của các
hàm số thường gặp
Đạo hàm của hàm số
hợp ( )' 0c =
( )' 1x =
1
( )'x n =nx n− ( )'u n =nu n−1 'u
1
( )'
2
x
x
2
u
=
2
'
= −
÷
' 'u
= −
÷
(sin )' cosx = x (sin )'u =u'.cosu
(cos )'x = −sinx (cos )'u = −u'.sinu
2
1 (tan )'
cos
x
x
cos
u
=
2
1 (cot )'
sin
x
x
= − (cot )' 12 '
sin
u
= −
Quy tắc tính đạo hàm
Trang 2(u v+ )'= +u v' ' (u v− )'= −u v' ' ( )'uv =u v uv' + '
'
2
u u v uv
−
=
÷
(v≠0)
( )'ku =k u ' (k∈¡ )
Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số
a) 1 5 2 4 3 3 2 4 5
y= x + x − −x x + x−
b) y x= −5 4x3 +2x−3 x
c) 1 1 2 0,5 4
4 3
y = − x x+ − x
d)
3
y = − + − +x a (a là hằng số)
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số đa thức y = f x( )=ax3 +bx2 + +cx d
Bài 3: Cho hàm số y f x( ) ax b
cx d
+
+ (a, b, c, d là hằng số) Tính '( ) f x
Bài 4: Cho hàm số
2
( ) ax bx c
y f x
mx n
+ +
+ (a, b, c, m, n là hằng số) Tính '( ) f x
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a) y=(x7 +x)2
b) y=(x2 +1)(5 3 )− x2
c) y=(2x3 −3x2 −6x+1)2
d) y x x= (2 −1)(3x+2)
e) y= −(1 2 )x2 3
f) y = −(x x2 32) g) y=(x2− +x 1) (3 x2 + +x 1)2 h) y=(2x3 −3 )(3x2 x3+2 )x2
Bài 6: Tính đạo hàm của hám số sau:
a) 2 1
1
x
y
x
−
=
−
b) 22
1
x
y
x
=
−
c) 25 3
1
x
y
−
=
+ +
d)
1
y
x
+ −
=
−
1
y x
x
= + −
− f)
1
y
x
+ +
=
+ g)
2
y
x
− +
=
+
h)
2 2
1 1
y
+ +
=
− + i) 22 3
x y
+
=
− +
y
=
− +
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y x= 2 +x x +1 c) y = x2 + −1 1−x2 d) x2 1
y
x
+
=
Trang 3e)
2
1
1
x y
x
−
= ÷
+
1
x
= − +
−
g)
2
1
x
= − ÷
h) 1
1
x y
x
+
=
−
i)
2
=
+
j) y= x+ x+ x
Bài 8: Cho hàm số ( ) 3f x = x−2 x Tính '(4);f f a trong đó a là hằng số khác 0'( )2
Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y=5sinx−3cosx
2) y=sin(x2 −3x+2)
3) y=sin x
4) y=cos2x
5) y=cos 2x+1
6) y=2sin 3 cos5x x
7) sin cos
sin cos
y
+
=
− 8) y= cos2x
9) sin
sin
y
10)y= sin(cos ) cos(sin )x + x
11) sin
sin
y
+
=
− 12) y =(sinx+cos )x 2
13) y =3cos 22 x−2cos 32 x
14)
2
1 cos 2
1 cos 2
x y
x
+
= − ÷
15) y =cos4 x+sin4 x
cos sin
y
17)
2
cos 2
4
y = x−π
18) sin cos
cos sin
y
−
=
−
Bài 10 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) tan 1
2
x
b) y=tan3x+cot 2x
c) y=cot x2 +1
d) y=tan 3x−cot 3x e) y x= cotx
f)
2 2
1 tan 3
1 tan 3
x y
x
+
=
− g) y=tan(sin )x
h) y = xtanx
i) y= tanx+cotx
(1 tan ) 2
Bài 11: Chứng minh hàn số y =sin6x+cos6x+3sin2xcos2 x có đạo hàm bằng 0
Bài 12: Chứng minh
a) y=tanx thỏa mãn hệ thức y'− y2 − =1 0
b) y=cot 2x thỏa mãn hệ thức y' 2+ y2+ =2 0
Bài 13: Giải phương trình ' 0y = trong các trường hợp sau:
a) y=sin 2x−2cosx b) y=cos2x+sinx c) y=3sin 2x+4cos 2x+10x
d) y=tanx+cotx
Bài 14: Tính '
6
f π
÷
biết
cos ( )
cos2
x
f x
x
=
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( ; ( ))
M x f x
Trang 4Phương pháp: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f x( ) tại điểm
( ; ( ))
M x f x là y= f x'( )(0 x x− 0) + f x( )0
Chú ý: +) nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp điểm x , ta vẫn là dạng toán này0
+) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ tiếp điểm y , ta giải phương trình 0 f x( )= y0 để tìm hoành độ tiếp điểm
đó có hệ số góc là k
Phương pháp:
B1: Tính đạo hàm của hàm số y = f x( )
B2: Gọi M x f x( ; ( ))0 0 là hoành độ tiếp điểm Giải phương trình f x( )0 =k để tìm hoành độ tiếp điểm x0
B3: Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 3.1)
đó đi qua điểm M(a;b)
Phương pháp:
B1: Tính '( )f x
B2: Gọi M x f x0( ; ( ))0 0 là tiếp điểm Khi đó phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
này là y = f x x x'( )(0 − 0)+ f x( )0
Theo bài ra tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có b= f x a x'( )(0 − 0)+ f x( )0 (1)
B3: Giải phương trình (1) tìm hoành độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến (dang1)
Bài tập
Bài 1: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x= −3 5x2 +2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) song song với đường thẳng y = − +3x 1
b) vuông góc với đường thẳng 1 4
7
y = x− c) đi qua điểm A(0;2)
Bài 2 Cho đường cong (C): 2
2
x y x
+
=
− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) tại điểm có tung độ bằng 1
3 c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x= −3 3x+2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
A
Trang 5b) song song với đường thẳng y=9x+2
c) đi qua điểm B(0;2)
Dạng 4*:Tính tổng nhờ đạo hàm và tính giới hạn nhờ đạo hàm
Bài 1: Tính tổng sau:
a) P x( ) 1 2= + x+3x2 + + nx n−1 b) Q x( ) 1= +2 22x+32x2 + + n x2 n−1
Bài 2: Tìm giới hạn sau:
a) 2
1
8 3 lim
x
x
→
+ −
3 1
lim
1
x
x
→
1
lim
1
n
x
x
→
+ + + + −
−
Bài 3: Chứng minh rằng
a) 1 2 2 ( 1) n 1 n 2n 1
C + C + + −n C − +nC =n −
b) 0 2 1 3 2 n 1 ( 1) n 2n 2n 1
C + C + C + +nC − + +n C = +n −
Bài 4: Tính các tổng sau:
20 2 20 3 20 19 20 20
30 2 30 3 30 29 30 30
S C= − C + C − + C −