Hướng dẫn giải các dạng toán đạo hàm

CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b) x0 ∈ ( a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) f ( x ) − f ( x0 ) lim x → x0 x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 ký hiệu f ( x0 ) (hoặc y ( x0 )), tức f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 Đại lượng ∆x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) gọi số gia tương ứng hàm số Như ! ∆y ∆x →0 ∆x y ( x0 ) = lim QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Định lí Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục điểm a) Định lí tương đương với khẳng định: Nếu y = f ( x ) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm ! b) Mệnh đề đảo Định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Định lí Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 )) Định lí Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = f ( x ) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 )) y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ), y0 = f ( x0 ) Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM a) v(t) = s (t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t b) I (t) = Q (t) cường độ tức thời dòng điện Q = Q(t) thời điểm t 465 466 CHƯƠNG ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng ( a; b) có có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f : ( a; b) −→ R x −→ f ( x ) đạo hàm hàm số y = f ( x ) khoảng ( a; b), ký hiệu y hay f ( x ) ĐẠO HÀM MỘT BÊN Định nghĩa a) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x → x0+ f ( x ) − f ( x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên phải hàm số y = f ( x ) điểm x = x0 kí hiệu f ( x0+ ) b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên trái lim x → x0− f ( x ) − f ( x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên trái hàm số y = f ( x ) điểm x = x0 kí hiệu f ( x0− ) Các đạo hàm bên phải bên trái gọi chung đạo hàm bên Định lí Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 f ( x0+ ), f ( x0− ) tồn Khi đó, ta có f ( x0+ ) = f ( x0− ) = f ( x0 ) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện sau: - Có đạo hàm x ∈ ( a; b); - Có đạo hàm bên phải x = a; - Có đạo hàm bên trái x = b B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.1 Tính đạo hàm hàm số định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 định nghĩa, ta thực sau: Bước Giả sử ∆x số gia đối số x0 , tính ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) Bước Lập tỉ số ∆y ∆x ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ∆y ∆x →0 ∆x Bước Tìm lim điểm x0 = x VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (3 + ∆x ) − f (3) = 2∆x − =− ; + ∆x 3(3 + ∆x ) ∆y =− ; ∆x 3(3 + ∆x ) ∆y −2 lim = lim =− ∆x →0 ∆x ∆x →0 3(3 + ∆x ) Vậy f (3) = − VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số y = − x2 + 3x − điểm x0 = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (2 + ∆x ) − f (2) = [−(2 + ∆x )2 + 3(2 + ∆x ) − 2] − (−22 + · − 2) = −∆2 x − ∆x; ∆y = −∆x − 1; ∆x ∆y lim = lim (−∆x − 1) = −1 ∆x →0 ∆x ∆x →0 Vậy y (2) = −1 VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = √ x điểm x0 = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có √ ∆y = f (1 + ∆x ) − f (1) = + ∆x − 1; √ ∆y + ∆x − = ; ∆x ∆x √ ∆y + ∆x − 1 = lim = lim √ = lim ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x →0 + ∆x + 1 Vậy f (1) = 467 468 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÍ DỤ Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x3 điểm x Lời giải Với x ∈ R, giả sử ∆x số gia đối số x Ta có ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x )3 − x3 = ∆3 x + 3x∆2 x + 3x2 ∆x; ∆3 x + 3x∆2 x + 3x2 ∆x ∆y = = ∆2 x + 3x∆x + 3x2 ; ∆x ∆x ∆y lim = lim (∆2 x + 3x∆x + 3x2 ) = 3x2 ∆x ∆x →0 ∆x →0 Vậy f ( x ) = 3x2 , với x ∈ R BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (4 + ∆x ) − f (4) = x0 = x−3 −∆x −1 = ; + ∆x + ∆x −1 ∆y = ; ∆x + ∆x ∆y −1 lim = lim = −1 ∆x →0 ∆x ∆x →0 + ∆x Vậy f (4) = −1 BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = sin 3x x = Lời giải π π Ta có π π π π ∆y = f + ∆x − f = sin + 3∆x − sin = cos(3∆x ) − 1; 6 2 3∆x sin ∆y cos(3∆x ) − = =− ; ∆x ∆x ∆x −2 sin2 3∆x ∆y lim = lim = ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 Giả sử ∆x số gia đối số x = π = BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 3x − điểm x Lời giải Đáp số: f ( x ) = 3, với x ∈ R Vậy f BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 4x − x2 điểm x = Lời giải Đáp số: f (2) = √ BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 3x + điểm x = Lời giải Đáp số: f (1) = ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 469 DẠNG 1.2 Ý nghĩa đạo hàm vào số toán Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t), s quảng đường thời gian t Lúc đó, vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 v(t0 ) = s (t0 ) Từ f ( x0 ) = lim ∆x →0 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ta có cơng thức xấp xỉ ∆x f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )∆x Ý nghĩa tổng quát: Đạo hàm hàm số đặc trưng cho tốc độ thay đổi hàm số theo biến số gt , g ≈ 9, m/s2 gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 = s VÍ DỤ Một vật rơi tự theo phương trình s = Lời giải gt − 12 gt20 s ( t ) − s ( t0 ) = lim = gt0 Do đó, thời điểm t0 = s vận t → t0 t → t0 t − t0 t − t0 tốc tức thời chuyển động v(5) = 5g ≈ 49 m/s Ta có: v(t0 ) = s (t0 ) = lim VÍ DỤ Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản khơng khí) Tính vận tốc tức thời viên đạn thời điểm t0 = 10 s Biết gia tốc trọng trường g ≈ 9, m/s2 Lời giải gt + v0 t + s0 với thời gian t tính đơn vị 2 2 gt − gt0 + ( v0 t − v0 t0 ) s ( t ) − s ( t0 ) ( s) Ta có: v(t0 ) = s (t0 ) = lim = lim = gt0 + v0 Do t → t0 t → t0 t − t0 t − t0 đó, thời điểm t0 = 10 s vận tốc tức thời viên đạn v(10) = 98 + 196 = 294 m/s Phương trình chuyển động viên đạn s(t) = VÍ DỤ Tính gần giá trị √ 8, 99 Lời giải √ x xác định tập [0; +∞) Trên khoảng xác định, hàm số có đạo hàm với x f ( x ) = √ Áp dụng công thức xấp xỉ với ∆x = −0, 01, x0 = ta x −0, 01 f (8, 99) = f (9 − 0, 01) ≈ f (9) + f (9)(−0, 01) = + ≈ 2, 9983 ! Từ công thức xấp xỉ ta viết lại f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) Lúc này, ta hiểu rằng: đường cong có phương trình y = f ( x ) xấp xỉ tiếp tuyến có hệ số góc f ( x0 ) quanh lân cận tiếp điểm Xét hàm số y = f ( x ) = BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) 470 CHƯƠNG ĐẠO HÀM √ BÀI Tính giá trị gần 3, 99 Lời giải √ Áp dụng công thức xấp xỉ, ta 3, 99 ≈ 1, 9975 BÀI Sau mùa lũ, địa phương A, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh đường ruột kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ n xác định công thức D (n) = 45n2 − n3 Hỏi tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tức thời thời điểm n = 10 bao nhiêu? Lời giải Tính D (n) = 90n − 3n2 , tốc độ tryền bệnh tức thời thời điểm n = 10 D (10) = 600 người/ngày √ x+1−1 BÀI Tính giới hạn sau lim x →0 x Lời giải √ Xét hàm số y = f ( x ) = x + − Trên khoảng (−1; +∞) hàm số có đạo hàm f ( x ) = √ x + √ x+1−1 f ( x ) − f (0) Ta có lim = lim = f (0) = x →0 x →0 x x−0 DẠNG 1.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ), M( x0 ; y0 ) thuộc (C ) với y0 = f ( x0 ) Nếu ∃ f ( x0 ) thì: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm M( x0 , y0 ) f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) M ( x0 ; y0 ) là: y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 (5.1) Các dạng viết phương trình tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M0 Tính x0 (hoặc y0 ) từ giả thiết Tính f ( x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc hay song song với đường thẳng cho trước Hệ số góc đồ thị hàm số điểm M0 f ( x0 ) Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên ta có f ( x0 ) = k, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 có hệ số góc k = f ( x0 ) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b nên ta có a f ( x0 ) = −1, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến qua A( x, y) Gọi tiếp điểm M( x0 ; y0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 (∗) Vì A( x; y) nằm tiếp tuyến nên toạ độ A thoả mãn ∗, thay toạ độ A vào ta tìm x0 Viết phuong trình tiếp tuyến với x0 tìm ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 471 VÍ DỤ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2(C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ): a) Tại giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy b) Tại điểm có tung độ c) Tại điểm M mà tiếp tuyến M song song với đường thẳng y = 6x + d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x+3 Lời giải Ta có y ( x ) = 3x2 − 6x a) (C ) cắt Oy nên x = ⇒ y = Vậy tiếp tuyến (C ) điểm A(0; 2) y = y (0)( x − 0) + ⇒ y = b) Điểm (C ) có tung độ ⇒ hoành độ nghiệm phương trình x3 − 3x2 + = ⇒ x = 0; y = 2; A(0; 2) y=2 ⇒ phương trình tiếp tuyến x = 3; y = 2; B(3; 2) y = 9x − 24 c) Tiếp tuyến song song√ với y = 6x + ⇒ f ( x0√) = với x0 hoành độ tiếp điểm Giải phương x0 = + y = 6x − − √ ⇒ √ trình ta có x0 = − y = 6x − + x0 = y = 9x − 25 d) Tiếp tuyến vng góc với y = − x + ⇒ f ( x0 ) = ⇒ ⇒ x0 = −1 y = 9x + 20 VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 + mx2 − m − 1(Cm ) Viết tiếp tuyến (C ) điểm cố định đồ thị hàm số Lời giải Gọi A( x; y) điểm cố định (Cm ) nên y = x3 + mx2 − m − thoả mãn với m Điều tương đương với phương trình bậc ẩn m : m( x2 − 1) + x3 − y − = có vơ số nghiệm, suy ® x2 − = x = 1; y = 0; A(1; 0) ⇒ x = −1; y = −2; B(−1; −2) x −y−1 = y ( x ) = 3x2 + 2mx Phương trình tiếp tuyến A y = (3 + 2m)( x − 1) Phương trình tiếp tuyến B y = (3 − 2m)( x + 1) − VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3m − 2(Cm ) Chứng minh tiếp tuyến Cm giao (Cm ) với Oy qua điểm cố định Lời giải 472 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Giao (Cm ) với Oy A(0; 3m − 2) y ( x ) = 3x2 − 3m ⇒ phương trình tiếp tuyến (Cm ) A y = −3mx + 3m − 2(∗) Gọi B( x; y) điểm ® cố định (∗) ⇒ phương trình bậc ẩn m : 3(1 − x )m − y − = có vơ x=1 số nghiệm nên Vậy B(1; −2) điểm cố dịnh (∗) y = −2 VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + 5(C ); tìm điểm M thuộc C mà hệ số góc tiếp tuyến M đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến (C ) M0 y ( x0 ) y ( x ) = 3x2 + 6x − ⇒ y ( x ) = 3( x + 1)2 − 12 Vậy y ( x ) = −12 điểm có x = −1 Phương trình tiếp tuyến y = −12( x + 1) + 16 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho đồ thị hàm số y = − x4 + 2mx2 − 2m + 1(Cm ) Chứng minh (Cm ) ln qua hai điểm cố định Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) hai điểm cố định vng góc Lời giải Gọi A( x; y) điểm cố định (Cm ) ta có phương trình bậc ẩn m : (2x2 − 2)m − x4 − y + = ® x2 − = x = 1; y = 0; A(1; 0) ⇔ có vơ số nghiệm ⇒ x = −1; y = 0; B(−1; 0) −x − y + = Ta có phương trình tiếp tuyến A : y = (4m − 4)( x − 1); Phương trình tiếp tuyến B : y = (4 − 4m)( x + 1)  m=  Hai tiếp tuyến vng góc nên ta có (4m − 4)(4 − 4m) = −1 ⇒  m= x+2 BÀI Cho đồ thị hàm số y = (C ) Lập phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến cắt x−1 Ox, Oy A, B cho tam giác ABO vuông cân Lời giải −3 Ta có y ( x ) = ( x − 1)2 −3 x +2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 ; y0 ) y = ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 1) 3x0 + ( x0 − 1)( x0 + 2) 3x0 + ( x0 + 2)( x0 − 1) ; 0), cắt Oy B(0; Tiếp tuyến cắt Ox điểm A( ( x0 − 1)2 3x0 + ( x0 − 1)( x0 + 2) 3x + ( x0 + 2)( x0 − 1) Tam giác OAB vuông cân O ⇒ x A = y B ⇔ = √ √( x0 − 1) x0 = + ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = − x + + √ √ ⇔ ( x0 − 1)2 = ⇔ x0 = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = − x + − BÀI Cho đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1(Cm ) Tìm m để đồ thị hàm số cắt y = ba điểm C (0; 1), D, E mà tiếp tuyến D, E vuông góc với Lời giải Đồ thị hàm số cắt y = ba điểm ⇒ phương trình x3 + 3x2 + mx = 0có ba nghiệm phân biệt ® m < ∆ = − 4m > ⇔ x + 3x + m có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇔  m=0 m=0 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM  −3 + 473 √ − 4m  x1 = √2 Phương trình có hai nghiệm   −3 − − 4m x2 = ® x1 x2 = m x1 + x2 = −3 y ( x ) = 3x2 + 6x + m Hai tiếp tuyến hai giao điểm vng góc nên ta có y ( x1 ).y ( x2 ) = −1 ⇔ (3x12 + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = −1 ⇔ 9( x1 x2 )2 + 18x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3m√ ( x12 + x22 ) + 6m( x1 + x2 ) + 36x1 x2 + m2 + =  + 65 (tm) m=  8√ ⇔ 4m2 − 9m + = ⇔   − 65 m= (tm) BÀI Cho đồ thị hàm số y = − x3 + 3x2 − 2(C ) Tìm tất điểm đường thẳng y = mà kẻ ba tiếp tuyến tới (C ) Lời giải Ta có y ( x ) = −3x2 + 6x Ta có phương trình tiếp tuyesn điểm M( x0 ; y0 ) y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 Tiếp tuyến qua A( x A ; 2) thuộc y = nên ta có y A = y ( x0 )( x A − x0 ) + y0 ⇔ ( x0 − 2)(2x02 − x0 = (3x A − 1) x0 + 2) = ⇔ 2x0 − 3( x A − 1) x0 + = 0(∗) ® ∆>0 Từ A kẻ ba tiếp tuyến nên phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇒ xA = x A ∈ (−∞; −1) ∪ ( ; +∞)\{2} 2x − (C ) I (1; 2) BÀI Cho đồ thị hàm số y = x−1 a) Tìm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến M vng góc với MI b) Điểm N thuộc (C ), tiếp tuyến (C ) N cắt x = 1, y = hai điểm A, B Chứng minh N trung điểm AB diện tích tam giác S ABI khơng đổi Lời giải Ta có y ( x ) = −1 ( x − 1)2 a) Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C ), tiếp tuyến M có vector phương #» u (1; y ( x0 )) # » # » #» Vector MI (1 − x0 ; − y0 ), MI vng góc với tiếp tuyến nên MI u = Giải phương trình ta x0 = 2; y0 = 3; M(2; 3) x0 = 0; y = 1; M(0; 1) b) Phương trình tiếp tuyến N ( x0 ; y0 ) : y = Tiếp tuyến cắt x = A(1; 2x − −1 ( x0 − x ) + x0 − ( x0 − 1) 2x0 ), cắt y = B(2x0 − 1; 2), từ ta có N x0 − trung điểm AB Dễ thấy I A ⊥ IB nên S I AB = AI.IB = 2, diện tích tam giác IBA khơng đổi 474 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Bài tập tổng hợp x+2 (C ) Tìm điểm A nằm Oy cho từ A kẻ hai tiếp x−1 tuyến tới (C ) mà hai tiếp điểm nằm hai phía Ox Lời giải −3 Ta có y ( x ) = ( x − 1)2 Điểm A(0; y A ) thuộc Oy Phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y0 ) BÀI Cho đồ thị hàm số y = y= −3 x0 + ( x − x ) + x0 − ( x0 − 1)2 x02 + 4x0 − Điểm A nằm tiếp tuyến nên y A = ⇔ x02 (y A − 1) − 2x0 (y A + 2) + y A + = 0(∗) ( x − 12 ) Tiếp điểm nằm hai phía Oy nên (∗) có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên (y A − 1)(y A + 2) < Vậy A nằm Oy với y A ∈ (−2; 1) thoả manx đề DẠNG 1.4 Mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số Một hàm số đạo hàm điểm, tức tồn đạo hàm điểm đó, liên tục điểm ® VÍ DỤ Chứng minh hàm số f ( x ) = ( x − 1)2 , x ≥ ( x + 1)2 , x < khơng có đạo hàm x = 0, liên tục Lời giải Ta có lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0) = x →0− x →0+ nên f ( x ) liên tục x = Tiếp theo ta xét tính đạo hàm hàm số điểm x = 0, ta xét lim x →0+ f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) , lim x−0 x−0 x →0− f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) = −2; lim = khơng tồn đạo hàm f ( x ) điểm − x−0 x−0 x →0 x = ® cos x x ≥ VÍ DỤ Chứng minh hàm số y = g( x ) = khơng có đạo hàm − sin x x < điểm x = lim x →0+ Lời giải Vì lim g( x ) = 1; lim g( x ) = nên hàm số gián đoạn điểm x = 0, g( x ) khơng tồn x →0+ x →0− đạo hàm x = Bài tập tự luyện ... nói đạo hàm y đạo hàm cấp hai hàm số y = f ( x ) Hàm số đạo hàm hàm y kí hiệu y Đạo hàm cấp 3, 4, hàm số định nghĩa tương tự kí hiệu y(3) , y(4) B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 4.1 Tính đạo hàm cấp hai... nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện sau: - Có đạo hàm x ∈ ( a; b); - Có đạo hàm bên phải x = a; - Có đạo hàm bên trái x = b B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.1 Tính đạo hàm. .. CHƯƠNG ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng ( a; b) có có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f : ( a; b) −→ R x −→ f ( x ) đạo hàm hàm số