Đang tải... (xem toàn văn)
Áp dụng các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, căn bậc hai,.. BÀI TẬP TỔNG HỢP[r]
(1)CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa Cho hàm số y = f(x)xác định khoảng (a;b)và x0 ∈ (a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn)
lim x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 ký hiệu f0(x0) (hoặc
y0(x0)), tức
f0(x0) = lim x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0 4! Đại lượng∆x =x−x0được gọi số gia đối số tạix0.
Đại lượng∆y= f(x)−f(x0) = f(x0+∆x)−f(x0)được gọi số gia tương ứng hàm số Như vậy
y0(x0) = lim ∆x→0
∆y ∆x
2 QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Định lí Nếu hàm sốy = f(x)có đạo hàm tạix0thì liên tục điểm đó.
4! a) Định lí tương đương với khẳng định: Nếuy = f(x)gián đoạn tạix0thì khơng có đạo hàm
tại điểm đó.
b) Mệnh đề đảo Định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm tại điểm đó.
3 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Định lí Đạo hàm hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số
y= f(x)tại điểm M0(x0; f(x0)).
Định lí Phương trình tiếp tuyến đồ thị(C)của hàm sốy= f(x)tại điểm M0(x0; f(x0))là
y−y0 = f0(x0)(x−x0),
trong đóy0= f(x0).
4 Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM
a) v(t) = s0(t)là vận tốc tức thời chuyển độngs =s(t)tại thời điểmt b) I(t) = Q0(t)là cường độ tức thời dòng điệnQ= Q(t)tại thời điểmt
(2)5 ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa Hàm sốy = f(x)được gọi có đạo hàm khoảng(a;b)nếu có có đạo hàm điểmxtrên khoảng
Khi đó, ta gọi hàm số
f0 : (a;b) −→R
x 7−→ f0(x)
là đạo hàm hàm sốy = f(x)trên khoảng(a;b), ký hiệu lày0 hay f0(x)
6 ĐẠO HÀM MỘT BÊN
Định nghĩa a) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x−x0 ,
ta gọi giới hạn đạo hàm bên phải hàm sốy= f(x)tại điểmx =x0và kí hiệu
f0(x0+)
b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên trái lim x→x−0
f(x)− f(x0)
x−x0 ,
ta gọi giới hạn đạo hàm bên trái hàm sốy = f(x)tại điểm x = x0 kí hiệu
f0(x0−)
Các đạo hàm bên phải bên trái gọi chung đạo hàm bên Định lí Hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 khi khi f0(x+0), f0(x
−
0) tồn Khi
đó, ta có
f0(x+0) = f0(x−0) = f0(x0)
Định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm đoạn[a;b] thỏa mãn điều kiện sau:
- Có đạo hàm mọix∈ (a;b);
- Có đạo hàm bên phải tạix= a;
- Có đạo hàm bên trái tạix =b
B CÁC DẠNG TỐN
{DẠNG 1.1 Tính đạo hàm hàm số định nghĩa
Để tính đạo hàm hàm sốy= f(x)tại điểmx0bằng định nghĩa, ta thực sau:
Bước Giả sử∆xlà số gia đối số tại x0, tính
∆y= f(x0+∆x)−f(x0)
Bước Lập tỉ số ∆y
(3)Bước Tìm lim ∆x→0
∆y ∆x.
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f(x) =
x điểmx0 =3
L Lời giải
Giả sử∆xlà số gia đối số tạix0=3 Ta có
∆y= f(3+∆x)− f(3) = 3+∆x −
2 =−
2∆x
3(3+∆x);
∆y ∆x =−
2 3(3+∆x); lim
∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0
−2
3(3+∆x) =− Vậy f0(3) =−2
9
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm sốy =−x2+3x−2tại điểmx0 =2
L Lời giải
Giả sử∆xlà số gia đối số tạix0=2 Ta có
∆y= f(2+∆x)− f(2) = [−(2+∆x)2+3(2+∆x)−2]−(−22+3·2−2) =−∆2x−∆x;
∆y
∆x =−∆x−1;
lim ∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0(−∆x−1) = −1
Vậyy0(2) = −1
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f(x) = √xtại điểmx0 =1
L Lời giải
Giả sử∆xlà số gia đối số tạix0=1 Ta có
∆y= f(1+∆x)− f(1) =√1+∆x−1;
∆y ∆x =
√
1+∆x−1
∆x ;
lim ∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0 √
1+∆x−1
∆x =∆limx→0
1 √
1+∆x+1 = Vậy f0(1) =
(4)VÍ DỤ Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) = x3tại điểmxbất kì
L Lời giải
Với mỗix ∈ R, giả sử∆xlà số gia đối số tạix Ta có
∆y= f(x+∆x)− f(x) = (x+∆x)3−x3 =∆3x+3x∆2x+3x2∆x;
∆y ∆x =
∆3x+3x∆2x+3x2∆x
∆x =∆
2x+
3x∆x+3x2; lim
∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0(∆
2x+3x∆x+3x2) = 3x2.
Vậy f0(x) =3x2, với mọix ∈R.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) =
x−3 tạix0 =4
Lời giải.
Giả sử∆xlà số gia đối số tạix0=4 Ta có
∆y = f(4+∆x)− f(4) =
1+∆x −1=
−∆x
1+∆x; ∆y
∆x =
−1 1+∆x;
lim ∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0 −1
1+∆x =−1
Vậy f0(4) =−1
BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) =sin 3xtạix= π
Lời giải.
Giả sử∆xlà số gia đối số tạix = π
6 Ta có
∆y= f π
6 +∆x
− f π
6
=sinπ
2 +3∆x
−sin π
2 =cos(3∆x)−1;
∆y ∆x =
cos(3∆x)−1
∆x =−
2 sin2 3∆2x
∆x ;
lim ∆x→0
∆y
∆x =∆limx→0
−2 sin2 3∆2x
∆x =0
Vậy f0π
6
=0
BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) =3x−5tại điểmxbất kì
Lời giải.
Đáp số: f0(x) = 3, với mọix ∈ R.
BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) =4x−x2tại điểmx=2
Lời giải.
Đáp số: f0(2) =
BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f(x) =√3x+1tại điểmx =1
Lời giải.
Đáp số: f0(1) =
(5){DẠNG 1.2 Ý nghĩa đạo hàm vào số toán
1 Xét chuyển động thẳng xác định phương trìnhs=s(t), đóslà quảng đường được trong thời giant Lúc đó, vận tốc tức thời chuyển động thời điểmt0làv(t0) = s0(t0).
2 Từ f0(x0) = lim ∆x→0
f(x0+∆x)− f(x0)
∆x ta có cơng thức xấp xỉ f(x0+∆x) ≈ f(x0) + f0(x0)∆x
3 Ý nghĩa tổng quát: Đạo hàm hàm số đặc trưng cho tốc độ thay đổi hàm số
theo biến số nó.
VÍ DỤ Một vật rơi tự theo phương trình s = 2gt
2, đó g ≈ 9, m/s2 là gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểmt0=5 s
L Lời giải
Ta có:v(t0) = s0(t0) = lim t→t0
s(t)−s(t0)
t−t0
= lim t→t0
1
2gt2−12gt20
t−t0
=gt0 Do đó, thời điểmt0 =5 svận
tốc tức thời chuyển động làv(5) = 5g ≈49 m/s
VÍ DỤ Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s(bỏ qua sức cản khơng khí) Tính vận tốc tức thời viên đạn thời điểmt0=10 s Biết gia tốc trọng trường làg ≈9, m/s2
L Lời giải
Phương trình chuyển động viên đạn s(t) = 2gt
2+v
0t+s0 với thời gian ttính đơn vị
(s) Ta có: v(t0) = s0(t0) = lim t→t0
s(t)−s(t0)
t−t0
= lim t→t0
1
2gt2−12gt20
+ (v0t−v0t0)
t−t0
= gt0+v0 Do đó, thời điểmt0=10 svận tốc tức thời viên đạn làv(10) =98+196=294 m/s
VÍ DỤ Tính gần giá trị√8, 99
L Lời giải
Xét hàm số y = f(x) = √x xác định tập [0;+∞) Trên khoảng xác định, hàm số có đạo hàm với x f0(x) =
2√x Áp dụng công thức xấp xỉ với ∆x = −0, 01, x0 = ta f(8, 99) = f(9−0, 01) ≈ f(9) +f0(9)(−0, 01) =3+−0, 01
6 ≈2, 9983
4! Từ công thức xấp xỉ ta viết lại f(x) ≈ f(x0) + f0(x0)(x−x0) Lúc này, ta hiểu rằng:
đường cong có phương trìnhy = f(x)có thể xấp xỉ tiếp tuyến có hệ số góc
f0(x0)quanh lân cận tiếp điểm.
(6)BÀI Tính giá trị gần của√3, 99
Lời giải.
Áp dụng công thức xấp xỉ, ta được√3, 99≈1, 9975
BÀI Sau mùa lũ, địa phương A, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh đường ruột kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứnđược xác định công thứcD(n) = 45n2−n3 Hỏi tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tức thời thời điểmn=10là bao nhiêu?
Lời giải.
Tính D0(n) = 90n−3n2, tốc độ tryền bệnh tức thời thời điểm n = 10
D0(10) =600người/ngày
BÀI Tính giới hạn sau lim x→0
√
x+1−1
x
Lời giải.
Xét hàm sốy= f(x) =√x+1−1 Trên khoảng(−1;+∞)hàm số có đạo hàm f0(x) = 2√x+1 Ta cólim
x→0 √
x+1−1
x =xlim→0
f(x)− f(0)
x−0 = f
0(0) =
2
{DẠNG 1.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
Cho hàm sốy= f(x)có đồ thị(C), M(x0;y0)thuộc(C)vớiy0 = f(x0) Nếu ∃f0(x0)thì:
Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0,y0)là f0(x0).
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)tạiM(x0;y0)là:
y= f0(x0)(x−x0) +y0 (5.1)
Các dạng viết phương trình tiếp tuyến
1 Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại điểm M0.
Tínhx0(hoặcy0) từ giả thiết
Tính f0(x0)
Viết phương trình tiếp tuyến
y= f0(x0)(x−x0) +y0
2 Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc hay song song với đường thẳng cho trước. Hệ số góc đồ thị hàm số điểm M0là f0(x0)
Vì tiếp tuyến có hệ số gócknên ta có f0(x0) = k, giải ta tìm đượcx0
Viết phương trình tiếp tuyến
y= f0(x0)(x−x0) +y0
3 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳngy=ax+b
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0có hệ số góck= f0(x0)
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳngy =ax+b nên ta cóa.f0(x0) = −1, giải ta tìm được
x0
Viết phương trình tiếp tuyến
y= f0(x0)(x−x0) +y0
4 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(x,y)
Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tạiMlà
y = f0(x0)(x−x0) +y0(∗)
Vì A(x;y) nằm tiếp tuyến nên toạ độ của A thoả mãn ∗, thay toạ độ của A vào ta tìm được x0.
(7)VÍ DỤ Cho hàm sốy=x3−3x2+2(C) Viết phương trình tiếp tuyến của(C): a) Tại giao điểm đồ thị hàm số với trụcOy
b) Tại điểm có tung độ bằng2
c) Tại điểmMmà tiếp tuyến tạiMsong song với đường thẳngy =6x+1
d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳngy = −1 x+3
L Lời giải
Ta cóy0(x) = 3x2−6x
a) (C)cắtOy nên x = ⇒ y = Vậy tiếp tuyến của(C)tại điểm A(0; 2) lày =y0(0)(x−0) + 2⇒y=2
b) Điểm trên(C)có tung độ bằng2⇒hồnh độ nghiệm phương trìnhx3−3x2+2=2⇒
"
x =0;y=2;A(0; 2)
x =3;y =2;B(3; 2) ⇒phương trình tiếp tuyến
"
y =2
y =9x−24
c) Tiếp tuyến song song vớiy =6x+1⇒ f0(x0) =6vớix0 hoành độ tiếp điểm Giải phương trình ta có
"
x0 =1+ √
3
x0 =1− √
3 ⇒
"
y =6x−6−6√3
y =6x−6+6√3
d) Tiếp tuyến vng góc vớiy =−1
9x+3⇒ f 0(x
0) =9 ⇒
"
x0 =3
x0 =−1 ⇒
"
y =9x−25
y =9x+20
VÍ DỤ Cho đồ thị hàm sốy =x3+mx2−m−1(Cm) Viết tiếp tuyến của(C)tại điểm cố định đồ thị hàm số
L Lời giải
Gọi A(x;y) điểm cố định của(Cm) nên y = x3+mx2−m−1thoả mãn với m Điều tương đương với phương trình bậc ẩnm : m(x2−1) +x3−y−1 =0có vơ số nghiệm, suy
®
x2−1=0
x3−y−1=0 ⇒
"
x =1; y =0; A(1; 0)
x =−1;y =−2;B(−1;−2)
y0(x) =3x2+2mx
Phương trình tiếp tuyến Alày = (3+2m)(x−1)
Phương trình tiếp tuyến tạiBlày= (3−2m)(x+1)−2
VÍ DỤ Cho đồ thị hàm sốy =x3−3mx+3m−2(Cm) Chứng minh tiếp tuyến
Cm giao của(Cm)vớiOyluôn qua điểm cố định
(8)Giao của(Cm)vớiOylà A(0; 3m−2)
y0(x) =3x2−3m⇒phương trình tiếp tuyến của(Cm)tại Alày=−3mx+3m−2(∗)
GọiB(x;y)là điểm cố định của(∗) ⇒phương trình bậc ẩnm : 3(1−x)m−y−2=0có vơ số nghiệm nên
®
x =1
y =−2 Vậy B(1;−2)là điểm cố dịnh của(∗)
VÍ DỤ Cho đồ thị hàm sốy = x3+3x2−9x+5(C); tìm điểm M thuộcC mà hệ số góc tiếp tuyến Mđạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến
L Lời giải
Hệ số góc tiếp tuyến của(C)tại M0lày0(x0)
y0(x) =3x2+6x−9 ⇒y0(x) =3(x+1)2−12 Vậyminy0(x) = −12tại điểm có x=−1
Phương trình tiếp tuyến đóy=−12(x+1) +16
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Cho đồ thị hàm số y = −x4+2mx2−2m+1(Cm) Chứng minh (Cm) ln qua hai điểm cố định Tìmmđể tiếp tuyến của(Cm)tại hai điểm cố định vng góc
Lời giải.
GọiA(x;y)là điểm cố định của(Cm)ta có phương trình bậc ẩnm : (2x2−2)m−x4−y+1= 0có vơ số nghiệm⇒
®
x2−1 =0 −x4−y+1 =0 ⇔
"
x =1;y=0;A(1; 0)
x=−1;y =0;B(−1; 0)
Ta có phương trình tiếp tuyến A : y = (4m−4)(x−1); Phương trình tiếp tuyến B : y = (4−4m)(x+1)
Hai tiếp tuyến vng góc nên ta có(4m−4)(4−4m) =−1⇒
m=
m=
BÀI Cho đồ thị hàm sốy = x+2
x−1(C) Lập phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến cắt
Ox,Oylần lượt A,Bsao cho tam giác ABOvuông cân
Lời giải.
Ta cóy0(x) = −3 (x−1)2
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểmM(x0;y0)lày=
−3 (x0−1)2
(x−x0) +
x0+2
x0−1 Tiếp tuyến cắtOxtại điểmA(3x0+ (x0−1)(x0+2)
3 ; 0), cắtOytạiB(0;
3x0+ (x0+2)(x0−1) (x0−1)2
Tam giácOABvuông cân tạiO ⇒xA =yB ⇔ 3x0
+ (x0−1)(x0+2)
3 =
3x0+ (x0+2)(x0−1) (x0−1)2
⇔(x0−1)2 =3⇔
"
x0 =1+ √
3⇒Phương trình tiếp tuyếny=−x+2+2√3
x0 =1− √
3⇒ Phương trình tiếp tuyếny=−x+2−2√3 BÀI Cho đồ thị hàm số y = x3+3x2+mx+1(Cm) Tìmm để đồ thị hàm số cắty = 1tại ba điểmC(0; 1),D,Emà tiếp tuyến tạiD,Evuông góc với
Lời giải.
Đồ thị hàm số cắty= 1tại ba điểm⇒ phương trìnhx3+3x2+mx =0có ba nghiệm phân biệt ⇔x2+3x+mcó hai nghiệm phân biệt khác0⇔
®
∆ =9−4m >0
m6=0 ⇔
m<
4
(9)Phương trình có hai nghiệm
x1 =
−3+√9−4m
2
x2 =
−3−√9−4m
2 ®
x1.x2=m
x1+x2 =−3
y0(x) =3x2+6x+m
Hai tiếp tuyến hai giao điểm vng góc nên ta cóy0(x1).y0(x2) =−1 ⇔(3x21+6x1+m)(3x22+6x2+m) =−1
⇔9(x1x2)2+18x1x2(x1+x2) +3m(x12+x22) +6m(x1+x2) +36x1x2+m2+1=0
⇔4m2−9m+1=0⇔
m= 9+ √
65 (tm)
m= 9− √
65 (tm)
BÀI Cho đồ thị hàm sốy =−x3+3x2−2(C) Tìm tất điểm đường thẳngy=2mà kẻ ba tiếp tuyến tới(C)
Lời giải.
Ta cóy0(x) = −3x2+6x
Ta có phương trình tiếp tuyesn điểmM(x0;y0)lày=y0(x0)(x−x0) +y0
Tiếp tuyến qua A(xA; 2) thuộc y = nên ta có yA = y0(x0)(xA−x0) +y0 ⇔ (x0−2)(2x20− (3xA−1)x0+2) =0⇔
"
x0 =2 2x20−3(xA−1)x0+2=0(∗)
Từ Akẻ ba tiếp tuyến nên phương trình(∗)có hai nghiệm phân biệt khác2⇔ ®
∆>0
xA 6=2 ⇒
xA ∈ (−∞;−1)∪(
3;+∞)\{2}
BÀI Cho đồ thị hàm sốy= 2x−1
x−1 (C)vàI(1; 2)
a) Tìm Mthuộc(C)sao cho tiếp tuyến Mvng góc với MI
b) Điểm N thuộc(C), tiếp tuyến (C) N cắt x = 1,y = hai điểm A,B Chứng minh rằngNlà trung điểm ABvà diện tích tam giácS4ABIkhơng đổi
Lời giải.
Ta cóy0(x) = −1 (x−1)2
a) Điểm M(x0;y0)thuộc(C), tiếp tuyến Mcó vector phương #»u(1;y0(x0))
Vector MI# »(1−x0; 2−y0), MI vng góc với tiếp tuyến nên MI# ».#»u = Giải phương trình ta
"
x0=2;y0 =3;M(2; 3)
x0 =0;y =1;M(0; 1)
b) Phương trình tiếp tuyến tạiN(x0;y0) : y=
−1 (x0−1)2
(x0−x) +
2x0−1
x0−1 Tiếp tuyến cắt x = A(1; 2x0
x0−1
), cắty = B(2x0−1; 2), từ ta có N trung điểm củaAB
Dễ thấyI A⊥ IBnênS4I AB=
2AI.IB=2, diện tích tam giác IBAkhơng đổi
(10)Bài tập tổng hợp
BÀI Cho đồ thị hàm sốy= x+2
x−1(C) Tìm điểmAnằm trênOysao cho từ Akẻ hai tiếp tuyến tới(C)mà hai tiếp điểm nằm hai phía củaOx
Lời giải.
Ta cóy0(x) = −3 (x−1)2
ĐiểmA(0;yA)thuộcOy Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0;y0)là
y = −3
(x0−1)2
(x−x0) + x0 +2
x0−1
ĐiểmAnằm tiếp tuyến nênyA =
x20+4x0−2 (x0−12)
⇔x20(yA−1)−2x0(yA+2) +yA+2=0(∗) Tiếp điểm nằm hai phía củaOy nên (∗)có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên (yA−1)(yA+ 2) <0 Vậy Anằm trênOyvớiyA ∈ (−2; 1)thì thoả manx đề
{DẠNG 1.4 Mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số
Một hàm số đạo hàm điểm, tức tồn đạo hàm điểm đó, liên tục điểm đó.
VÍ DỤ Chứng minh hàm số f(x) = ®
(x−1)2, nếux ≥0
(x+1)2, nếux <0 khơng có đạo hàm
x=0, liên tục
L Lời giải
Ta có lim
x→0+ f(x) = xlim→0− f(x) = f(0) =1
nên f(x)liên tục tạix=0
Tiếp theo ta xét tính đạo hàm hàm số điểmx =0, ta xét lim x→0+
f(x)− f(0)
x−0 , limx→0−
f(x)− f(0)
x−0 lim
x→0+
f(x)− f(0)
x−0 = −2; limx→0−
f(x)− f(0)
x−0 = 2do không tồn đạo hàm f(x) điểm
x =0
VÍ DỤ Chứng minh hàm số y = g(x) = ®
cosxnếux ≥0
−sinxnếux <0 khơng có đạo hàm điểmx =0
L Lời giải
Vì lim
x→0+g(x) = 1; limx→0−g(x) = 0nên hàm số gián đoạn điểm x = 0, g(x) khơng tồn
đạo hàm tạix=0
(11)BÀI Chứng minh hàm sốy= xkhông tồn đạo hàm điểmx =0
Lời giải.
Ta xét lim x→0+
x−0
x−0 = 1; limx→0−
x−0
x−0 = −1Do khơng tồn giới hạn limx→0
y(x)−y(0)
x−0 hay hàm
(12)BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Chou =u(x);v =v(x);Clà số
(u±v)0 =u0±v0; (u+v−w)0 =u0+v0−w0
(u·v)0 =u0·v+v0·u⇒(C·u)0 =C·u0
u
v
= v
0·v−u·v0
v2 ,(v6=0) ⇒
C u
0
=−C·u
u2 Nếuy = f(u),u=u(x) ⇒y0x =y0x·u0x
2 CÁC CÔNG THỨC
(C)0 =0; (x)0 =1
(xn)0 =n·xn−1 ⇒(un)0 =n·un−1·u0, (n ∈N,n≥2) (√x)0 =
2√x,(x >0)⇒(
√
u)0 = u
2√u,(u>0)
B VÍ DỤ
VÍ DỤ Cho hàm sốy=x3−x2−5x+2 Tìm tập nghiệm bất phương trìnhy0 ≥0
L Lời giải
Tập xác định hàm số làD =R Ta có
y0 =3x2−2x−5⇒y0 ≥0⇔ x≤ −1∨x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trìnhy0 ≥0là(−∞;−1)∪
5 3;+∞
VÍ DỤ Tìm đạo hàm hàm số sau: 1 y = (x2+2)(x−3);
2 y =x5−
x3;
3 y=
x2 + √
x; 4 y = n
√
x; 5 y =√7 2x−1
L Lời giải
(13)2 y0 = (x5)0−
1
x3
0
=5x4+
x4 3 y0 =
1
x2
0
+ √x0
=−
x3 + 2√x
4 y0 =x1n
0
=
nx
1
n−1 =
nx
1−n
n =
n√n xn−1
5 y0 = (2x−1)17 =
7(2x−1)
7−1·(2x−1)0 = 7p7
(2x−1)6
VÍ DỤ Tìm đạo hàm hàm số sau: 1 y = 2x−1
x+5 ;
2 y = x
2+x−1
x+1 ;
3 y= x
x2+1;
4 y= x
2+2x+3
x2−x+1 ;
5 y= x
2+√2x
x ;
6 y=√3 x+ x3+x5
L Lời giải
1 y0 = (2x−1)
0(x+5)−(2x−1)(x+5)0
(x+5)2 =
2(x+5)−(2x−1) (x+5)2 =
11 (x+5)2
2 y0 =
x−
x+1
0
=1+ (x+1)2 =
x2+2x+2 (x+1)2
3 y0 = (x)
0(x2+1)−x(x2+1)0 (x2+1)2 =
−x2+1 (x2+1)2
4 y0 = (2x+2)(x
2−x+1)−(x2+2x+3)(2x−1) (x2−x+1)2 =
−3x−4x+5 (x2−x+1)2
5 y0 = (x)0− √
2 √
x
!
=1+√2x−12
=1− √
2 x
−3
2 =1− √1 2x3 6 y0 = (√3 x)0+
(x3+x)50
= 3x
−2
3 +5(x3+x)4·(x3+x)0 =
3√3 x2 +5(x
3+x)4(3x2+1).
VÍ DỤ Tìm đạo hàm hàm số sau: 1 y = (x−x2)32;
2 y =
x√x;
3 y= √1+x 1−x;
4 y= √ x
a2−x2, (alà số)
L Lời giải
(14)2 y0 =−(x √
x)0 (x√x)2 =−
x0√x+x(√x)0
x3 =−
√
x+ x 2√x
x3 =−
3 2x2√x
3 y0 = (1+x)
0√1−x−(1+x)(√1−x)0 (√1−x)2 =
√
1−x+ 1+x 2√1−x
1−x =
3−x
2p(1−x)3
4 y0 = x 0√
a2−x2−x(√a2−x2)0 (√a2−x2)2 =
√
a2−x2−x(a2−x2)
2√a2−x2
a2−x2 =
2(a2−x2)−x(−2x) 2p(a2−x2)3 =
a2
p
(a2−x2)3
C CÁC DẠNG TỐN
{DẠNG 2.1 Tính đạo hàm hàm số chứa đa thức, chứa thức
Áp dụng qui tắc cơng thức tính đạo hàm.
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =2x4−1
3x
3+2√x−5. 2 y= x3−1
1−x2
L Lời giải
1 Ta cóy0=4x3−x2+√1
x
2 Ta cóy0 = x3−20
1−x2
+ x3−2
1−x20
=3x2 1−x2
+ x3−2
(−2x) = −5x4+
x3+4x
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y = 2x+1
1−3x
2 y = x
2−3x+3
x−1
3 y= 1+x−x 1−x+x2
L Lời giải
1 Ta cóy0 = (2x−1)
(1−3x)−(2x−1) (1−3x)0 (1−3x)2 =
2(1−3x)−(2x−1) (−3) (1−3x)2 =
(15)2 Ta cóy0 = x
2−3x+30
(x−1)− x2−3x+3
(x−1)0
(x−1)2 =
(2x−3) (x−1)− x2−3x+3
(x−1)2 =
x2−2x
(x−1)2
3 Ta cóy0= 1+x−x 20
1−x+x2
− 1+x−x2
1−x+x20
(1−x+x2)2 = (1−2x) 1−x+x
2
− 1+x−x2
(−1+2x) (1−x+x2)2 =
2−4x
(1−x+x2)2
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =√2x2−5x+2.
2 y = (x−2)√x2−3.
3 y= 1+√1−2x3
L Lời giải
1 Ta cóy0= 2x
2−5x+20
2√2x2−5x+2 =
4x−5 2√2x2−5x+2
2 Ta cóy0 = (x−2)0√x2−3+ (x−2)√x2−30 =√x2−3+ (x−2) x
2−30
2√x2+3 = √
x2−3+
x(x−2) √
x2−3
3 Ta cóy0 =3 1+√1−2x2
1+√1−2x0
=3 1+√1−2x2 −1
√
1−2x =−
3 1+√1−2x2
√
1−2x
VÍ DỤ Chứng minh cơng thức tổng quát sau:
1
ax+b a1x+b1
0 = a b
a1 b1
(a1x+b1)2
; (a,b,a1,b1là số)
2
ax2+bx+c a1x+b1
0
=
a.a1x2+2a.b1x+
b c
a1 b1
(a1x+b1)2
; (a,b,c,a1,b1là số)
3
ax2+bx+c a1x2+b1x+c1
0 = a b
a1 b1
x
2+2
a c
a1 c1
x + b c
b1 c1
(a1x2+b1x+c1)2
; (a,b,c,a1,b1,c1là số)
(16)1 Ta có
ax+b a1x+b1
0
= (ax+b)
(a1x+b1)−(ax+b) (a1x+b1) (a1x+b1)2
= a(a1x+b1)−a1(ax+b) (a1x+b1)2
= ab1−a1b (a1x+b1)2
= a b
a1 b1
(a1x+b1)2
2 Ta có
ax2+bx+c a1x+b1
0
= (2ax+b) (a1x+b1)−a1 ax
2+bx+c
(a1x+b1)2
= aa1x
2+2ab
1x+bb1−ca1 (a1x+b1)2
=
a.a1x2+2a.b1x+
b c
a1 b1
(a1x+b1)2
3 Ta có
ax2+bx+c a1x2+b1x+c1
0
= (2ax+b) a1x 2+b
1x+c1
− ax2+bx+c
(2a1x+b1) (a1x2+b1x+c1)2
= 2aa1x
3+2ab
1x2+2ac1x+a1bx2+bb1x+bc1 (a1x2+b1x+c1)2
−2aa1x 3+bb
1x+ab1x2+2a1bx2+bb1x+2a1cx+b1c (a1x2+b1x+c1)2
= (ab1−a1b)x
2+2(ac
1−a1c) +bc1−b1c (a1x2+b1x+c1)2
= a b
a1 b1
x
2+2
a c
a1 c1
x + b c
b1 c1
(a1x2+b1x+c1)2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=
2x 5+2
3x
4−x3−3 2x
2+4x−5.
2 y= 4−
1 3x+x
2−0, 5x4.
3 y= x 4 −
x3
3 +
x2
2 −x
4 y= x5−4x3+2x−3√x
Lời giải.
1 Cóy0 = 2x
4+8 3x
3−3x2−3x+4.
2 Cóy0 =−1
3+2x−2x 3.
3 Cóy0 = x3−x2+x−1
4 Cóy0 =5x4−12x2+2− 2√x
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y= (2x−3)(x5−2x)
2 y= x(2x−1)(3x+2)
3 y= √x+1
1 √
x −1
4 y= 2x−1
x−1
5 y= x
2+x−1
(17)6 y= 2x
2−4x+5 2x+1
7 y= x+1−
x+1
8 y= 5x−3
x2+x+1
9 y= x
2+x+1
x2−x+1
Lời giải.
1 y0 =12x5−15x4−8x+6 2 y0 =18x2+2x−2
3 Ta cóy = √1
x−
√
x Suy ray0 =− √
x0
x −
1
2√x =−
1 2x√x −
1 2√x
4 y0 = −1 (x−1)2
5 y0 = x 2−2x (x−1)2
6 y0 = 4x
2+4x−14 (2x+1)2
7 y0 =1+ (x+1)2 =
x2+2x+3 (x+1)2
8 y0 = −5x
2−6x+8 (x2+x+1)2
9 y0 = −2x 2+2 (x2−x+1)2
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y= (2x3−3x2−6x+1)2
2 y=
(x2−x+1)5
3 y= (x2−x+1)3(x2+x+1)2
4 y=
√
x− √1
x
2
5 y=√1+2x−x2.
6 y=√x2+1−√1−x2.
7 y=»x+px+√x 8 y=x+√x2+15.
Lời giải.
1 Cóy0 =2 2x3−3x2−6x+1 2x3−3x2−6x+10 =12 2x3−3x2−6x+1
x2−6x−6
2 Cóy0 =−5 x
2−x+14
x2−x+10
(x2−x+1)10 =−
10x−5 (x2−x+1)6 3 Cóy0 =3 x2−x+12
x2−x+10
x2+x+12
+2 x2−x+13
x2+x+1
x2+x+10
= x2−x+12 x2+x+1 3(2x−1) x2+x+1+2 x2−x+1(2x−1) = x2−x+12
x2+x+1
10x3+x2+5x−1
4 Cóy= x−2+1
x, suy ray
0 =1−
x2 5 Cóy0 = 1+2x−x
20
2√1+2x−x2 =
1−x
√
1+2x−x2
6 Cóy0 = 2x 2√x2+1 −
−2x
2√1−x2 =
x
√
x2+1+
x
√
(18)7 Cóy0 =
x+px+√x0
2 »
x+px+√x
=
1+ x+ √
x0
2px+√x
2 »
x+px+√x
=
2px+√x+1+ 2√x
4 »
x+px+√xpx+√x
=
p
x+√x√x+2√x+1 8»x+px+√xpx+√x√x
8 Cóy0 =5x+√x2+14x+√x2+10 =5x+√x2+14
"
1+ x
2+10
2√x2+1
#
=5x+√x2+14
1+√ x
x2+1
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI Cho hàm sốy =px+√1+x2 Chứng minh rằng:2√1+x2·y0 =y.
Lời giải.
Cóy0 =
x+√1+x20 2px+√1+x2 =
1+ 2x 2√1+x2 2px+√1+x2 =
x+√1+x2
2√1+x2px+√1+x2 =
p
x+√1+x2 2√1+x2 Vậy2√1+x2·y0 =p
x+√1+x2.
BÀI Cho hàm số f(x) = 3x
3−2x2+mx+5 Tìmmsao cho:
1 f0(x)≥0, ∀x∈ R. 2 f0(x)>0, ∀x ∈(0;+∞)
Lời giải.
1 Ta có f0(x) = x2−4x+m
Do hệ sốa=1>0nên để f0(x) ≥0∀x∈ Rthì∆0 ≤0 Suy ra4−m≤0⇔m ≥4
2 Để f0(x)>0∀x ∈ (0;+∞)thì ta xét trường hợp sau:
Trường hợp 1: ∆0 <0⇔m >4thì f0(x) >0∀x∈ Rnên thỏa mãn yêu cầu
Trường hợp 2: ∆0 =0⇔m =4thì f0(x) >0∀x∈ R\ {2}, đóm =4khơng thỏa
Trường hợp 3: ∆0 > ⇔ m < 4, để f0(x) > 0∀x ∈ (0;+∞) phương trình
f0(x) = 0phải có hai nghiệm khơng dương Do tổng hai nghiệm phương trình f0(x) = nên ln có nghiệm dương, trường hợp xảy
Vậy vớim>4thì f0(x) >0∀x ∈ (0;+∞)
BÀI Cho hàm số f(x) = m 3x
3−m 2x
2+ (4−m)x+5m+1 Tìmmsao cho:
1 f0(x)<0, ∀x∈ R. 2 f0(x) =0có hai nghiệm dấu
(19)1 Có f0(x) =mx2−mx+4−m Để f0(x)<0, ∀x∈ Rthì
®
a <0
∆<0 ⇔ ®
m<0
m2−4m(4−m) <0 ⇔ ®
m<0
5m2−16m<0
⇔
m<0 0<m< 16
5
⇔ m∈ {∅}
2 Để f0(x) =0có hai nghiệm dấu ®
∆>0
P>0 ⇔
5m2−16m>0 4−m
m >0
⇔
m<0
m> 16
5 0<m<4 ⇔ 16
5 <m <4
{DẠNG 2.2 Một số ứng dụng đạo hàm
1 Ý nghĩa hình học ý nghĩa vật lí đạo hàm:
a) Cho đường cong (C) : y = f(x) Hệ số góc tiếp tuyến với(C) tại điểm M0(x0;y0) là
k= f0(x0).
b) Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t), với s = s(t) là hàm số có đạo hàm Khi đó, vận tốc tức thời chuyển động thời điểmt0làv(t0) =s0(t0).
c) Nếu điện lượngQtruyền dây dẫn hàm số thời gian:Q=Q(t)(Q=Q(t)là một hàm số có đạo hàm) cường độ tức thời dòng điện thời điểmt0làI(t0) = Q0(t0).
2 Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đường cong(C) : y= f(x)thường gặp: a) Phương trình tiếp tuyến điểmM0(x0;y0)∈ (C):y = f0(x0)(x−x0) +y0(1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với(C), biết tiếp tuyến có hệ số góck: + Gọi x0là hồnh độ tiếp điểm Ta có f0(x0) =k.
+ Giải phương trình tìm x0, tiếp tục tínhy0 = f(x0).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo cơng thức(1).
c) Viết phương trình tiếp tuyếndvới đường cong(C), biết đường thẳngdđi qua điểmA(xA;yA)
cho trước:
+ Gọi(x0;y0)là tiếp điểm cần tìm.
+ Tiếp tuyếndđi qua điểm A(xA;yA)nên ta cóyA = f0(x0)(x−x0) +y0.
+ Giải phương trình tìm đượcx0, tínhy0và f0(x0).
+ Từ viết phương trìnhdtheo(1).
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong(C)biết tiếp tuyến song song với∆: y =ax+b. Khi ta có f0(x0) = a.
e) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) biết tiếp tuyến vng góc với ∆ : y =
ax+b(a 6=0) Khi ta có f0(x0) = −
a.
f) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong(C)biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng∆: y =
ax+bmột gócφ Khi đó,|tanφ| =
f0(x0)−a 1+f0(x0).a
(20)VÍ DỤ Cho đường cong(C) : y= f(x) = x
2 −4x+1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại điểm có hồnh độx0 =−2 b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến có hệ số góck =1
L Lời giải
a) Ta có f0(x) = x−4 Vớix0 =−2⇒y0 =11
Do đó, tiếp tuyến cần tìm có phương trình:y= f0(−2)(x+2) +11 =−6x−1
b) Gọi(x0;y0)là tiếp điểm Ta có f0(x0) =1⇔ x0−4 =1⇔ x0 =5 ⇒y0 =− 13
2 Vậy, tiếp tuyến có phương trình lày =1(x−5)−13
2 = x− 23
2
VÍ DỤ Cho hàm số y = f(x) = x3−3x2+2có đồ thị(C) Viết phương trình tiếp tuyến của(C)biết tiếp tuyến song song với đường thẳng∆: 3x+y =2
L Lời giải
Gọi(x0;y0)là tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng∆: y =−3x+2nên ta có
f0(x0) = −3⇔3x20−6x0+3=0⇔x0 =1⇒y0 =0
Do vậy, tiếp tuyến có phương trình:y=−3(x−1) +0=−3x+3
VÍ DỤ Cho hàm số y = 4x3−6x2+1(1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số(1), biết tiếp tuyến qua điểmM(−1;−9)
L Lời giải
Ta cóy0 =12x2−12x Gọi(x0;y0)là tiếp điểm tiếp tuyến
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tương ứng có dạng:y=y0(x0)(x−x0) +y0 Mặt khác, tiếp tuyến qua điểmM(−1;−9)nên ta có phương trình
−9= (12x20−12x0)(−1−x0) +4x30−6x20+1⇔(x0+1)2(4x0−5) =0⇔
x0 =−1
x0 = + Vớix =−1ta tìm phương trình tiếp tuyến:y =24x+15
+ Vớix =
4 ta có phương trình tiếp tuyến:y = 15
4 x+ 21
4
VÍ DỤ Một vật chuyển động theo quy luậts=−2 3t
(21)L Lời giải
Vận tốc chuyển động có phương trìnhv=s0 =−2t2+8t Ta có−2t2+8t=8−2(t−2)2≤8 Đẳng thức có khit =2
Do đó, khoảng thời gian5giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt
được bằng8m/s2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Viết phương trình tiếp tuyến đường cong(C) : y= f(x) = x(x2+x−1) +1tại điểm có tung độ bằng−1
Lời giải.
Đạo hàmy0 =3x2+2x−1 Gọi(x0;y0)là tiếp điểm, ta có
y0 =−1 ⇔x0(x20+x0−1) +1 =−1 ⇔(x0+2)(x20−x0+1) = 0⇔x0 =−2
Tính f0(−2) = 7, ta có phương trình tiếp tuyến cần tim:y=7x+13
BÀI Viết phương trình tiếp tuyến parabol(P) : y = f(x) =−x2+4x−3tại giao điểm của(P)với trục hoành
Lời giải.
Đạo hàmy0 = f0(x) =−2x+4 Parabol cắt trục hoành tạix =1vàx=3 + Vớix0=1,y0 =0⇒ f0(1) = 2, ta có tiếp tuyến:y =2x−2
+ Vớix0=3,y0 =0⇒ f0(3) = −2, ta có tiếp tuyến:y =−2x+6 BÀI Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = x−1
x+2 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng∆ : 3x+y−2 =0
Lời giải.
Tập xác định:D =R\ {−2} Đạo hàmy0 =
(x+2)2 Viết lại phương trình đường thẳng∆ : y= −3x+2 Gọi(x0;y0)là tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
∆nên
f0(x0) = ⇔
3 (x0+2)2
= ⇔
"
x0 =1
x0 =−5
Từ tìm hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:y= x−1
3 vày=
x+11
3
BÀI Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = 3x−1
x−3 , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳngd : x+3y=3một góc45◦
Lời giải.
Tập xác địnhD =R\ {3} Ta cóy0 = −8
(x−3)2 Giả sửklà hệ số góc tiếp tuyến Từ giả thiết ta có phương trình
k+1 1− k
=|tan 45◦| ⇔ |3k+1|=|k−3| ⇔
k =−2
k =
+ Trường hợp k = −2, ta tìm tiếp tuyến có phương trình là: y = −2x+17
y=−2x+1
+ Trường hợpk=
(22)BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị(C) : y= 2x+1
x+1 biết tiếp tuyến cách đều2điểm
A(2; 4)vàB(−4; 2)
Lời giải.
Gợi ý: Với tiếp điểm (x0;y0), hệ số góc kthì phương trình tiếp tuyến có dạng ∆ : y = k(x0)(x−
x0) +y0 ⇔kx−y−k+y0 =0
d(A,∆) =d(B,∆) ⇔ |2k−√4−kx0+y0|
k2+1 =
|4k+√2−kx0+y0|
k2+1 ⇔
"
k =1
k+1 =−kx0+y0
Từ tìm phương trình tiếp tuyến:y =x+1,y= x+5vày= 4x+
5
4
BÀI Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y = 2x
x−2 biết tiếp tuyến cắt trục tọa độOx,Oylần lượt A,Bmà tam giácOABthỏa mãn AB=OA√2
Lời giải.
Phương trình tiếp tuyến của(C)tạiM(x0;y0)có dạng:y=− (x0−2)2(x−x0) +
2x0
x0−2
Dễ dàng
tính đượcA x
2 ;
!
vàB 0; 2x (x0−2)2
!
Yêu cầu toán tương đương với việc tìmx0là nghiệm phương trình
x20
2 =
2x20
(x0−2)2
⇔ x30(x0−4) =0⇔
"
x0=0
x0=4 + Vớix0=0ta cóy0 =0(loại)
+ Vớix0=4ta có phương trình tiếp tuyếny =−x+8
BÀI Cho hàm số y = 3x
3−(2m+1)x2+ (m+2)x+
3 (Cm) Tìm tất giá trị thực tham sốmđể tiếp tuyến giao điểm của(Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độOx,Oy tạiAvàB Biết tam giácOABcó diện tích
8
Lời giải.
Gợi ý: Ta cóB
0;
(23)
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 GIỚI HẠN CỦA SINX
X
Định lí Hàm sốy = sinx
x có giới hạn bằng1khix→0
lim x→0
sinx x =1
Mở rộng ra, hàm sốu(x) thỏa mãn điều kiệnu(x) 6= 0với mọi x 6= x0 và lim x→x0u
(x) = thì
lim x→x0
sinu(x)
u(x) =1
4! Với điều kiện trên, ta có giới hạn lim x→0
x
sinx =1vàxlim→x0
u(x)
sinu(x) =1
2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đạo hàm hàm số lượng giác bản
(sinx)0 =cosx (cosx)0 =−sinx
(tanx)0 =
cos2x =1+tan2xvới điều kiện x6= π
2 +kπ,k ∈Z. (cotx)0 =−
sin2x =−(1+cot
2x)với điều kiệnx 6=kπ,k ∈ Z.
Đạo hàm hàm số lượng giác theo hàm sốu(x) (sinu)0 =u0cosu
(cosu)0 =−u0sinu
(tanu)0 = u
cos2u =u
0(1+tan2u)với điều kiệnu6= π
2 +kπ,k∈ Z. (cotu)0 =− u
0
sin2u =−u
0(1+cot2u)với điều kiệnu6=kπ,k∈ Z.
B CÁC DẠNG TOÁN
{DẠNG 3.1 Tính đạo hàm hàm số lượng giác
(24)VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =3 sinx+cosx
2 y =4 sinx−5 cosx
L Lời giải
1 y0 = (3 sinx+cosx)0 =3·(sinx)0+ (cosx)0 =3·cosx+ (−sinx) = cosx−sinx
2 y0 = (4 sinx−5 cosx)0 =4·(sinx)0−5·(cosx)0 =4·cosx−5·(−sinx) =4 cosx+5 sinx
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =sin 2x−3 sinx
2 y =cos 3x−4 cosx
L Lời giải
1 y0 = (sin 2x−3 sinx) = (sin 2x)0−(3 sinx)0
= (2x)0·cos 2x−3·(sinx)0 =2·cos 2x−3·cosx=2 cos 2x−3 cosx 2 y0 = (cos 3x−4 cosx)0 = (cos 3x)0−(4 cosx)0
= (3x)0·(−sin 3x)−4·(cosx)0 =3·(−sin 3x)−4·(−sinx) = −3 sin 3x+4 sinx
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =3 tanx
2 y =4 cotx
3 y =3 tanx+cotx
L Lời giải
1 y0 = (3 tanx)0 =3·(tanx)0 =3· cos2x =
3 cos2x 2 y0 = (4 cotx)0 =4·(cotx)0 =4· −1
sin2x =
−4 sin2x
3 y0 = (3 tanx+cotx)0 = (3 tanx)0+ (cotx)0 =3·(tanx)0+ (cotx)0 =3·
cos2x + −1 sin2x =
3 cos2x −
1 sin2x
(25)VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =tan 3x+2 tanx
2 y =cot 5x−4 cotx
L Lời giải
1 y0 = (tan 3x+2 tanx)0 = (tan 3x)0+ (2 tanx)0 = (3x)
0
cos23x +2· cos2x =
3 cos23x +
2 cos2x 2 y0 = (cot 5x−4 cotx)0 = (cot 5x)0−(4 cotx)0
= −(5x)
sin25x −4·
−1 sin2x =
−5 sin25x +
4 sin2x
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =sin2x+2 cos2x
2 y =sin3x−5 cos5x 3 y =sin32x
L Lời giải
1 y0 = (sin2x+2 cos2x)0 = (sin2x)0+ (2 cos2x)0 =2 sinx·(sinx)0+2·2·cosx·(cosx)0
=2 sinx·cosx+2·2·cosx·(−sinx)
=2 sinxcosx−4 sinxcosx=−2 sinxcosx =−sin 2x 2 y0 = (sin3x−5 cos5x)0 = (sin3x)0−(5 cos5x)0
= (sin3x)0−5(cos5x)0
=3 sin2x·cosx−5·5·cos4x·(−sinx) =3 sin2xcosx+25 sinxcos4x
3 y0 = (sin32x)0 =3 sin22x·(sin 2x)0
=3 sin22x·(2x)0·cos 2x =6 sin22xcos 2x
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =2 tan2x
2 y =3 cot3x
L Lời giải
1 y0 = (2 tan2x)0 =2·2 tanx·(tanx)0 =4 tanx· cos2x =
4 tanx
(26)2 y0 = (3 cot3x) =3·3 cot2x·(cotx)0 =9 cot2x· −1
sin2x =
−9 cot2x sin2x
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =tan23x
2 y =cot34x
L Lời giải
1 y0 = (tan23x)0 =2 tan 3x·(tan 3x)0 =2 tan 3x·(3x)0· cos23x =
6 tan 3x
cos23x 2 y0 = (cot34x)0 =3 cot24x·(cot 4x)0 =3 cot24x·(4x)0· −1
sin24x =
−12 cot24x sin24x
VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y =sinxcos 3x
2 y =cot 5xcos 4x
L Lời giải
1 y0 = (sinxcos 3x)0 = (sinx)0·cos 3x+sinx·(cos 3x)0 =cosx·cos 3x+3 sinx·(−sin 3x)
=cosxcos 3x−3 sinxsin 3x
2 y0 = (cot 5xcos 4x)0 = (cot 5x)0·cos 4x+cot 5x·(cos 4x)0 = −5
sin25x ·cos 4x+cot 5x·(−4 sin 4x)
= −5 cos 4x
sin25x −4 cot 5xsin 4x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=sin√x+1
2 y=cos
x
3 y= xsin√5−x
(27)1 y0 = (sin√x+1)0 = (√x+1)0·cos√x+1=
2√x+1·cos √
x+1 = cos √
x+1 2√x+1
2 y0 =
cos1
x
0
=
1
x
0
·
−sin1
x
=−
x2 ·
−sin
x
=
x2 sin
x
3 y0 = (xsin√5−x)0 = (x)0sin√5−x+x·(sin√5−x)0 =sin√5−x+x·(√5−x)0cos√5−x
=sin√5−x+x· −1
2√5−x cos
√
5−x =sin√5−x− xcos √
5−x
2√5−x
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=4 cosx+5 sinx
2 y=2 tan 3x−4 cotx 3 y=cos34x
4 y=2 sin22x−4 cos25x
Lời giải.
1 y0 = (4 cosx+5 sinx)0 =4·(cosx)0+5·(sinx)0 =4·(−sinx) +5·(cosx) = −4 sinx+5 cosx 2 y0 = (2 tan 3x−4 cotx)0 = (2 tan 3x)0−(4 cotx)0
=2· (3x)
cos23x −4· −1
sin2x =2·
3
cos23x −4· −1 sin2x =
6 cos23x +
4 sin2x
3 y0 = (cos34x)0 =3 cos24x·(cos 4x)0
=3 cos24x·(4x)0(−sin 4x) = −12 sin 4xcos24x 4 y0 = (2 sin22x−4 cos25x)0 = (2 sin22x)0−(4 cos25x)0
=2·2 sin 2x·(sin 2x)0−4·2·cos 5x·(cos 5x)0
=8 sin 2xcos 2x+40 sin 5xcos 5x=4 sin 4x+20 sin 10x
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=2 tan3x−cot2x
2 y=cos 4xtanx 3 y=tan 2xsin 5x
4 y=tan
x+1 5 y=cot√x+5
Lời giải.
1 y0 = (2 tan3x−cot2x)0 = (2 tan3x)0−(cot2x)0 =2·3·tan2x·(tanx)0−2·cotx·(cotx)0 =6 tan2x·
cos2x −2 cotx· −1 sin2x
= tan 2x cos2x +
2 cotx
(28)2 y0 = (cos 4xtanx)0 = (cos 4x)0·tanx+cos 4x·(tanx)0 =4·(−sin 4x) +cos 4x·
cos2x =−4 sin 4x+
cos 4x
cos2x 3 y0 = (tan 2xsin 5x)0 = (tan 2x)0·sin 5x+tan 2x·(sin 5x)0
=
cos22x ·sin 5x+tan 2x·5 cos 5x
= sin 5x
cos22x +5 tan 2xcos 5x
4 y0 =
tan
x+1
0
=
4
x+1
0
· cos2
x+1 =−
(x+1)2 · cos2
x+1
5 y0 = (cot√x+5)0 = (√x+5)0· −1 sin2√x+5
=
2√x+5 ·
−1
sin2√x+5 =
−1
2√x+5 sin2√x+5
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=sin√x2+5.
2 y= sinx cos23x 3 y= sin
23x cos√x+1
Lời giải.
1 y0 = (sin√x2+5)0 = (√x2+5)0·cos√x2+5= 2x
2√x2+5·cos √
x2+5= xcos √
x2+5 √
x2+5
2 y0 =
sinx
cos23x
0
= (sinx)
0·cos23x−sinx·(cos23x)0 cos43x
= cosx·cos
23x−2·sinx·cos 3x·(cos 3x)0 cos43x
= cosx·cos
23x−2·sinx·cos 3x·3·(−sin 3x) cos43x
= cosx·cos
23x+3 sinx·sin 6x cos43x 3 y0 = sin
23x cos√x+1
!0
= (sin
23x)0·cos√x+1−sin23x·(cos√x+1)0 cos2√x+1
= 2·sin 3x·(3x)
0·cos 3x·cos√x+1−sin23x·(√x+1)0·(−sin√x+1) cos2√x+1
=
6 sin 3x·cos 3x·cos√x+1+sin
23x·sin√x+1 2√x+1 cos2√x+1
= sin 6x·cos √
(29)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y= x3√sinx
2 y= sin √
x2+1 cos33x 3 y=
sin(5+x2) cos32x
Lời giải.
1 y0 = (x3√sinx)0 = (x3)0·√sinx+x3·(√sinx)0 =3x2·√sinx+x3· (sinx)
0
2√sinx
=3x2·√sinx+ x
3·cosx 2√x+1
2 y0 = sin √
x2+1 cos33x
!0
= (sin √
x2+1)0·cos33x−sin√x2+1·(cos33x)0 cos63x
=
x
√
x2+1·cos √
x2+1·cos33x+9 sin√x2+1·cos23x·sin 3x
cos63x
= x·cos √
x2+1·cos33x+9·√x2+1 sin√x2+1·cos23xsin 3x
cos63x√x2+1
3 y0 =
sin(5+x2) cos32x
!0
=
sin(5+x2) cos32x
0
2
sin(5+x2) cos32x = [sin(5+x
2)]0·cos32x−sin(5+x2)·(cos32x)0
cos62x ·
1
sin(5+x2) cos32x
=
2
sin(5+x2) cos32x
· 2x·cos(5+x
2)·cos32x+6 sin(5+x2)·cos22x·sin 2x
cos62x
BÀI Tính đạo hàm hàm số sau: 1 y=4 sin2√x3+1+
sin 5x
2 y=8√tan 3x+ sin2√x
(30)1 y0 =
4 sin2√x3+1+ sin 5x
0
=4·2·sin√x3+1·(sin√x3+1)0−(sin 5x)
sin25x
=4·2·sin√x3+1·(√x3+1)0·cos√x3+1−5·cos 5x sin25x
=4·2·sin√x3+1· 3x
2·√x3+1·cos √
x3+1−5·cos 5x sin25x
= 6·x
2·sin 2√x3+1 √
x3+1 −
5·cos 5x
sin25x
2 y0 =
8√tan 3x+ sin2√x
0
=8· (tan 3x)
2√tan 3x −
4·(sin2√x)0 sin4√x
=8·
2·√tan 3x·cos23x−
4·2·sin√x·
2√x ·cos
√
x
sin4√x
= 12
cos23x√tan 3x −
4 cos√x
√
x·sin3√x
{DẠNG 3.2 Chứng minh đẳng thức giải phương trình
Phương pháp giải:Dùng cơng thức đạo hàm để tính đạo hàm hàm số, sau sử dụng các
cơng thức lượng giác biến đổi chứng minh đẳng thức giải phương trình.
VÍ DỤ Cho hàm sốy=tanx Chứng minh rằngy0−y2−1=0
L Lời giải
Ta cóy0 = (tanx)0 =tan2x+1
Suy ray0−y2−1=tan2x+1−tan2x−1=0
Vậy ta có điều phải chứng minh
VÍ DỤ Cho hàm sốy=cot 2x Chứng minh rằngy0+2y2+2=0
L Lời giải
Ta cóy0 = (cot 2x)0 =−2 cot22x+1vày2 =cot22x ⇒2y2+2=2 cot22x+2 Suy ray0+2y2+2=−2 cot2x+1
+2 cot2x+2=0
Vậy ta có điều phải chứng minh
VÍ DỤ Cho hàm sốy=sin6x+cos6x+3 sin2xcos2x Chứng minh rằngy0 =0
(31)Ta có
y =sin6x+cos6x+3 sin2xcos2x
=sin2x+cos2x
sin2x+cos2x2−3 sin2x cos2x
+3 sin2xcos2x
=sin2x+cos2x2 =1
Suy ray0 =0
VÍ DỤ Cho hàm sốy=cos2x−sinx Giải phương trìnhy0 =0
L Lời giải
Ta cóy0 = cos2x−sinx0
=−2 sinx cosx−cosx Suy
y0 =0⇔ −2 sinx cosx−cosx =0 ⇔cosx(−2 sinx−1) =0
⇔
"
cosx =0 −2 sinx−1=0
⇔
x= π +kπ
x=−π
6 +k2π
x= 7π
6 +k2π
,(k ∈Z)
VÍ DỤ Giải phương trìnhy0 =0vớiy=3 cosx+4 sinx+5x
L Lời giải
Ta cóy0 = (3 cosx+4 sinx+5x)0 =−3 sinx+4 cosx+5
y0 =0⇔ −3 sinx+4 cosx+5=0 ⇔3 sinx−4 cosx=5 ⇔sin(x−α) =1
⇔x = π
2 +α+k2π,với
sinα = cosα =
,(k ∈Z)
VÍ DỤ Giải phương trìnhy0 =0vớiy=tanx+cotx
(32)Ta cóy0 = (tanx+cotx)0 =− cos 2x
cos2x sin2x Suy
y0 =0⇔ − cos 2x
cos2x sin2x =0 ⇔
cos 2x
sin22x =0(∗)
Điều kiệnsin22x6=0 ⇔sin 2x 6=0⇔ x6= kπ Khi đó(∗) ⇔cos 2x =0⇔x = π
4 +
kπ
2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trìnhy0 =0có nghiệm làx = π
4 +
kπ
2 ,(k∈ Z)
VÍ DỤ Cho hàm số f(x) = sin 3x
3 −cosx− √
3
sinx−cos 3x
Giải phương trình
f0(x) =
L Lời giải
Ta có: f0(x) = cos 3x+sinx−√3(cosx+sin 3x)
f0(x) =0⇔cos 3x+sinx−√3(cosx+sin 3x) =0 ⇔sinx−√3 cosx =√3 sin 3x−cos 3x
⇔
2sinx− √
3
2 cosx = √
3
2 sin 3x−
2cos 3x ⇔sinx−π
3
=sin3x−π ⇔
x−π
3 =3x− π
6 +k2π
x−π
3 =π−3x+ π
6 +k2π ⇔
x=−π 12−kπ
x= 3π +k
π
,(k ∈Z)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng)
BÀI Cho hàm sốy =cos2π −x
+cos2π +x
+cos2
2π −x
+cos2
2π +x
−2 sin2x Chứng minh rằngy0 =0
Lời giải.
Ta có
y=cos2π −x
+cos2π +x
+cos2
2π −x
+cos2
2π +x
−2 sin2x
=2 cos2π −x
+2 cos2π +x
−2 sin2x
=1+cos
2π −2x
+cos
2π +2x
+cos 2x
=1+2 cos2π
3 cos 2x+cos 2x =1−cos 2x+cos 2x=1
Suy ray0 =0
(33)2 y
cosx −x =tanx
Lời giải.
1 Ta có:y0 = (xsinx)0 =sinx+xcosx
xy−2 y0−sinx+x(2 cosx−y) = x2sinx−2(sinx+xcosx−sinx) +x(2 cosx−xsinx) =x2sinx−2xcosx+2xcosx−x2sinx =0
2 Ta có:y0 = (xsinx)0 =sinx+xcosx
y0
cosx −x =
sinx+xcosx
cosx −x=tanx+x−x =tanx
BÀI Giải phương trìnhy0 =0vớiy =1−sin(π+x) +2 cos
2π+x
2
Lời giải.
Ta cóy0 =
1−sin(π+x) +2 cos
2π+x
2
0
=cosx+sinx
y0 =0⇔cosx+sin x
2 =0⇔2 sin x
2 −sin
x
2 −1=0⇔
sin x =1 sin x
2 =− Vớisinx
2 =1⇔ x=π+k4π
Vớisinx =−
1 ⇔
x=−π
3 +k4π
x= 7π
3 +k4π
Vậy phương trìnhy0 = 0có nghiệm làx = π+k4π;x = −π
3 +k4π;x = 7π
3 +k4π,(k ∈ Z)
BÀI Giải phương trìnhy0 =0vớiy =sin 2x−2 cosx
Lời giải.
Ta cóy0 = (sin 2x−2 cosx)0 =2 cos 2x+2 sinx Suy
y0 =0⇔2 cos 2x+2 sinx =0⇔2 sin2x−sinx−1=0⇔
sinx=1 sinx =−1 Vớisinx =1⇔x = π
2 +k2π
Vớisinx =−1 ⇔
x =−π
6 +k2π
x = 7π
6 +k2π
Vậy phương trìnhy0 = 0có nghiệm làx = π
2 +k2π;x = − π
6 +k2π;x = 7π
6 +k2π,(k ∈ Z)
BÀI Cho hàm số f(x) = asinx+bcosx+1 có đạo hàm f0(x) Tìm a,b biết f0(0) =
f0−π
=1
(34)Ta có f0(x) = acosx−bsinx.Khi
f0(0) =
f0−π =1 ⇔
acos 0−bsin 0=
asin−π
+bcos−π
+1=1 ⇔
a= −
√ 2 a+
√ 2 b =0
⇔
b =
a =
Vậya =
2 vàb=
2
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI Cho hàm số f(x) = sin4x+cos4x g(x) = sin6x+cos6x Chứng minh 3f0(x)−2g0(x) =0
Lời giải.
Ta có:
f(x) = sin2x+cos2x2−2(sinx cosx)2 =1−2
sin 2x
2
2
=1−sin 22x =1−1−cos 4x
4 =
3+cos 4x
4 ⇒ f0(x) = −sin 4x
g(x) =sin2x+cos2x
sin2x+cos2x2−3(sinx cosx)2
=1−3
sin 2x
2
2
=1−3 sin 22x =1−3−3 cos 4x
8 =
5+3 cos 4x
8 ⇒ g0x=−3
2sin 4x
Suy ra3f0(x)−2g0(x) =−3 sin 4x+3 sin 4x=0
BÀI Cho hàm số y = cos2x+sinx Phương trình y0 = 0có nghiệm thuộc khoảng (0;π)
Lời giải.
y0 =−2 cosxsinx+cosx =cosx(1−2 sinx)
y0 =0⇔
cosx =0 sinx = ⇔
x = π +kπ
x = π
6 +k2π
x = 5π
6 +k2π
;(k∈ Z)
Vìx ∈ (0;π) ⇒x ∈ ß π 6; π 2; 5π ™
Vậy có nghiệm thuộc khoảng(0;π)
BÀI Cho hàm số y = (m+1)sinx+mcosx−(m+2)x+1 Tìm tất giá trị m để phương trìnhy0 =0có nghiệm
Lời giải.
Ta có:y0 = (m+1)cosx−msinx−(m+2)
(35)Điều kiện phương trình có nghiệm làa2+b2 ≥c2
⇔(m+1)2+m2 ≥(m+2)2⇔m2−2m−3≥0⇔
"
m ≤ −1
m ≥3
BÀI Cho hàm số f(x) = cos2(4x+2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
f0(x)
Lời giải.
Với mọix ∈ Rta có:
f0(x) =2.2 cos(4x+2).(−sin(4x+2)).4 =−8 sin(8x+4) Mặt khác ta có:
−8≤ −8 sin(8x+4)≤8.Suy ra:
Giá trị lớn f0(x)bằng8khisin(8x+4) = −1⇔x =−π 16 −
1 2+k
π
4,(k∈ Z). Giá trị nhỏ f0(x)bằng−8khisin(8x+4) = 1⇔x = π
16− 2+k
π
4,(k ∈Z) BÀI 10 Cho hàm sốy = cos2x+msinx(mlà tham số) có đồ thị(C) Tìm mtrong trường hợp sau
1 Tiếp tuyến của(C)tại điểm có hồnh độ x=πcó hệ số góc bằng1
2 Hai tiếp tuyến của(C)tại điểm có hồnh độx =−π
4 vàx = π
3 song song với trùng
Lời giải.
Ta có:y0 =−sin 2x+mcosx
1 Tiếp tuyến của(C)tại điểm có hồnh độ x=πcó hệ số góc bằng1nên suy
y0(π) =1 ⇔ −sin 2π+mcosπ =−1 ⇔m=−1
2 Hai tiếp tuyến của(C)tại điểm có hồnh độx =−π
4 vàx = π
3 song song với trùng nên suy
y0−π
=y0π
3
⇔ −sin−π
+mcos−π
=−sin2π
3 +mcos π
3 ⇔1+m
√ 2 =−
√ +
m
2 ⇔m=
√ 3+2 1−√2
BÀI 11 Tính tổngS =cosx+2 cos 2x+3 cos 3x+ +ncosnx
Lời giải.
(36)Trường hợp 1: Nếusinx
2 6=0⇔x 6=k2π,k ∈Z, ta có sinx
2.f(x) =2 sin
x
2sinx+2 sin
x
2 sin 2x+2 sin
x
2sin 3x+ +2 sin
x
2 sinnx =cos x
2 −cos 3x
2 +cos 3x
2 −cos 5x
2 +cos 5x
2 −cos 7x
2 + +cos
2n−1
2 x−cos
2n+1 x =cos x
2 −cos
2n+1 x ⇒ f(x) =
cos x −cos
2n+1 x sin x
2
= 2cot
x
2 −
cos2n+1 x sin x
2 ⇒ f0(x) =−
4 sin2 x
−
−(2n+1)sin2n+1 xsin
x
2 −cos
x
2cos
2n+1 x sin2 x
2 =
−1+cosnx+2nsinx sin
2n+1 x sin2 x
2
=
nsinx 2sin
2n+1
2 x−sin 2nx
2 sin2x
2 Trường hợp 2: Nếux =k2π,(k ∈Z), ta có
cosx=cos 2x=cos 3x= =cosnx=1 ⇒S=1+2+3+ +n= n(n+1)
2
VậyS=
nsin x 2sin
2n+1
2 x−sin nx
2 sin2 x
2
khix 6=k2π,(k ∈Z)
n(n+1)
2 khix =k2π,(k∈ Z)
{DẠNG 3.3 Tính giới hạn hàm số có chứa biểu thức lượng giác
Ta thực biến đổi hàm số dạng có chứa giới hạn đặc biệt lim x→0
sinx x , limx→x0
sinu u
VÍ DỤ Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0 sin 4x
x
2 lim x→0
sinx+2 sin 3x
3x
3 lim x→0
sin 2x
sin 3x
4 lim x→π
6
sin2x−π
x−π
L Lời giải
1 lim x→0
sin 4x
x =xlim→0
4·sin 4x
4x =4·xlim→0 sin 4x
(37)2 lim x→0
sinx+2 sin 3x
3x =xlim→0
sinx
3x +
2 sin 3x
3x = lim x→0 3· sinx x +
2·sin 3x
3x
= ·xlim→0
sinx
x +2·xlim→0 sin 3x
3x =
1
3 +2= 3 lim
x→0 sin 2x
sin 3x =xlim→0
2 sin 2x
2x ·
3x
3 sin 3x
= lim x→0 ·
sin 2x
2x ·
3x
sin 3x
= ·xlim→0
sin 2x
2x ·xlim→0 3x
sin 3x =
2
4 lim x→π
6
sin2x− π
x−π
= lim x→π
6
2·sin2x− π
2x−π
=2· lim
x→π
6
sin2x−π
2x− π
=2
VÍ DỤ Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0
1−cosx x2 2 lim
x→0
1−cos2x xsin 2x
3 lim x→a
sinx−sina x−a
4 lim x→b
cosx−cosb x−b
L Lời giải
1 lim x→0
1−cosx
x2 =xlim→0
2 sin2 x
x2 =xlim→0
2·sin2 x 4· x
2
= 2·xlim→0
sin x x =
2 ·1=
2 lim x→0
1−cos2x
xsin 2x =limx→0
sin2x
2xsinxcosx =xlim→0
1 cosx ·
sinx x = lim x→0
2 cosx·limx→0 sinx
x =
1
3 lim x→a
sinx−sina
x−a =limx→a cos
x+a
2
sin
x−a
2
x−a =xlim→a
cos
x+a
2
· sin
x−a
2
x−a
2 = lim x→acos
x+a
2
·lim x→a
sin
x−a
2
x−a
2
=cos
a+a
2
·1=cosa
4 lim x→b
cosx−cosb
x−b =xlim→b
−2 sin
x+b
2
sin
x−b
2
x−b =xlim→b
−sin
x+b
2
sin
x−b
2
x−b
2
=−lim x→bsin
x+b
2
·lim x→b
sin
x−b
2
x−b
2
=−sin
b+b
2
.1 =−sinb
(38)VÍ DỤ Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0
tan 2x
sin 5x
2 lim x→0
tanx−sinx
sin3x
3 lim x→0
√
x2+1−1 1−cosx
4 lim x→0
1−√x+1+sinx
√
x+4−2
L Lời giải
1 lim x→0
tan 2x
sin 5x =xlim→0
sin 2x
cos 2xsin 5x = limx→0
5 cos 2x ·xlim→0 sin 2x
2x ·xlim→0 5x
sin 5x =
2
5·1·1=
2 lim x→0
tanx−sinx
sin3x =xlim→0
sinx(1−cosx)
cosxsin3x =xlim→0
1−cosx
cosxsin2x =xlim→0
2 sin2 x cosxsin2x
= lim x→0
1
2 cosx ·xlim→0
sin x x ·lim x→0 x sinx =
2 ·1·1 =
3 lim x→0
√
x2+1−1
1−cosx =xlim→0
x2
2 sin2 x
√
x2+1+1 =xlim→0
2 √
x2+1+1 ·xlim→0
x sinx =1 4 lim x→0
1−√x+1+sinx
√
x+4−2 =xlim→0
1−√x+1 √
x+4−2 +
sinx
√
x+4−2
!
= lim x→0
"
−x √x+4+2
x 1+√x+1 + √
x+4+2
sinx x
#
= lim x→0
−√x+4−2
1+√x+1 +limx→0 √
x+4+2·lim x→0
sinx x =2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0 sin 3x
2x
2 lim x→0
sin 4x−3 sin 5x
x
3 lim x→0
sin 8x
sin 9x
4 lim x→π
3 sin
2x−2π
x−π
Lời giải.
1 lim x→0
sin 3x
2x =xlim→0
3 sin 3x
2·3x =
3 2·xlim→0
sin 3x
3x =
3 2 lim
x→0
sin 4x−3 sin 5x
x =xlim→0
4·sin 4x
4x −15·
sin 5x
5x
=4 lim x→0
sin 4x
4x −15·xlim→0 sin 5x
(39)3 lim x→0
sin 8x
sin 9x =xlim→0
72x·sin 8x
72x·sin 9x =
8 ·xlim→0
sin 8x
8x ·limx→0 9x
sin 9x =
8
4 lim x→π
3 sin
2x−2π
x−π
= lim x→π
3 sin
2x−2π
2x−π
=2· lim
x→π
3 sin
2x−2π
2x−π
=2
BÀI Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0
cosx−cos 3x
sin2x
2 lim x→0
1−cos 5x x2
3 lim x→0
1+sinx−cosx
1−sinx−cosx
4 lim x→0
1−cosxcos 2xcos 3x
1−cosx
Lời giải.
1 lim x→0
cosx−cos 3x
sin2x =xlim→0
2 sin 2xsinx
sin2x =limx→0
4 sinxcosx
sinx =xlim→0(4 cosx) =
2 lim x→0
1−cos 5x
x2 =xlim→0
2 sin2 5x
x2 =
25 ·xlim→0
sin 5x 5x = 25 3 lim x→0
1+sinx−cosx
1−sinx−cosx =xlim→0
2 sin2 x
2 +2 sin
x
2cos
x
2 sin2 x
2 −2 sin
x 2cos x = lim x→0 sinx +cos
x
2 sinx
2 −cos
x
2
=−1
4 lim x→0
1−cosxcos 2xcos 3x
1−cosx
Ta có:1−cosxcos 2xcos 3x= (1−cosx) +cosx(1−cos 2x) +cosxcos 2x(1−cos 3x)
Và lim x→0
1−coskx
1−cosx =xlim→0
2 sin2kx 2 sin2 x = lim x→0 sinkx kx · lim x→0 x sinx
·k2 =k2
Cho nênlim x→0
1−cosxcos 2xcos 3x
1−cosx =1+1·4+1·1·9=14
BÀI Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0
tan 2x
3x
2 lim x→0
sin 7x
tan 3x
3 lim x→a
tanx−tana
sinx−sina
4 lim x→π
4
tanx−1 cosx−√2
Lời giải.
1 lim x→0
tan 2x
3x =xlim→0
sin 2x
3xcos 2x =xlim→0
3 cos 2x ·xlim→0 sin 2x
2x =
2 2 lim
x→0
sin 7x
tan 3x =xlim→0
sin 7xcos 3x
sin 3x = limx→0
21xsin 7xcos 3x
21xsin 3x
= lim x→0
7 cos 3x
3 ·xlim→0 3x
sin 3x·limx→0 sin 7x
7x =
(40)3 lim x→a
tanx−tana
sinx−sina =xlim→0
sin(x−a) cosxcosa·2 cos
x+a
2
sin
x−a
2 = lim x→0 sin
x−a
2
cos
x−a
2
cosxcosa·2 cos
x+a
2
sin
x−a
2
=lim
x→a
cos
x−a
2
cosxcosxcos
x+a
2
=
1 cos3a
4 lim x→π
4
tanx−1
2 cosx−√2 =xlim→π
4
sinx−cosx
2 cosx cosx− √
2
! = lim
x→π
4
√
2 sinx−π
2 cosxcosx−cos π
= lim x→π
4
2√2 sinx 2−
π
cosx −
π
−4 cosxsinx +
π
sinx −
π
= lim
x→π
−√2 cosx 2−
π
2 cosxsinx + π =− √
BÀI Tính giới hạn sau:
1 lim x→0
1−√2x2+1 1−cos 2x
2 lim x→0
1−√2x+1+sinx
√
3x+4−2−x
3 lim x→π
3
sinx−√3 cosx
2 cosx−1
4 lim x→2
sin(x2−4)
x3−8
Lời giải.
1 lim x→0
1−√2x2+1 1−cos 2x
Ta có: 1− √
2x2+1 1−cos 2x =
−2x2
2 sin2x1+√2x2+1 =
x
sinx
2
· −1 1+√2x2+1
Do đó: lim x→0
1−√2x2+1 1−cos 2x =−
1 2 lim
x→0
1−√2x+1+sinx
√
3x+4−2−x
Ta có: 1− √
2x+1+sinx
√
3x+4−2−x =
1−√2x+1
x + sinx x ! : √
3x+4−2−x x
=
−2
1+√2x+1+ sinx
x
: √ −1−x 3x+4+2+x
Do đó: lim x→0
1−√2x+1+sinx
√
3x+4−2−x =
−2 +1
: −1 =0
3 lim x→π
3
sinx−√3 cosx
2 cosx−1 =xlim→π
3
sinx− π
cosx−cos π
= lim x→π
3
2 sinx −
π
cosx −
π
−2 sinx +
π
sinx −
π
= lim x→π
3
−cosx −
π
sinx +
π
=−
(41)4 lim x→2
sin(x2−4)
x3−8 =xlim→2
x2−4
x3−8 ·
sin(x2−4)
x2−4
= lim x→2
x+2
x2+2x+4 ·
sin(x2−4)
x2−4
=
BÀI Tính giới hạn sau: 1 lim
x→0
sin 5xsin 3xsinx
45x3 2 lim
x→0
1−√cosx
1−cos√x
3 lim x→0
sin(a+2x)−2 sin(a+x) +sina
x2
4 lim x→0
cosax−cosbxcoscx
sin2x
Lời giải.
1 lim x→0
sin 5xsin 3xsinx
45x3 = 3·limx→0
sin 5x
5x ·xlim→0 sin 3x
3x ·xlim→0 sinx x = 2 lim x→0
1−√cosx
1−cos√x =xlim→0
(1−cosx) 1+cos√x
1−cos2√x
1+√cosx =lim
x→0
2 sin2 x
2 1+cos √
x
sin2√x 1+√cosx
= lim x→0 sin x x · √ x
sin√x
2
· x 2·
1+cos√x
1+√cosx
=0
3 lim x→0
sin(a+2x)−2 sin(a+x) +sina
x2 =xlim→0
2 sin(a+x)cosx−2 sin(a+x)
x2 = lim
x→0
2 sin(a+x)(cosx−1)
x2 =limx→0
−4 sin(a+x)sin2 x x2 = lim x→0
−sin(a+x)· sin x x 2
=−sin 2a
4 lim x→0
cosax−cosbxcoscx
sin2x
Ta có: cosax−cosbxcoscx
sin2x = [cosax−cosbx+cosbx(1−coscx)]·
1 sin2x
=
−2 sin
ax+bx
2
sin
ax−bx
2
+2 cosbxsin2 cx
· sin2x
= −2· sin
ax+bx
2
ax+bx
2
· sin
ax−bx
2
ax−bx
2
· ax+bx ·
ax−bx
2 +2 cosbx
sincx cx · c
2x2 · x sinx · x2 =
b2−a2
2 · sin
ax+bx
2
ax+bx
2
· sin
ax−bx
2
ax−bx
2
+cosbx
sincx cx · c 2
· x sinx
2
Do đó: lim x→0
cosax−cosbxcoscx
sin2x =
b2+c2−a2
2
(42)BÀI 4. ĐẠO HÀM CẤP HAI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Giả sử hàm số y = f(x)có đạo hàm điểm xthuộc khoảng (a;b) Khi ta có hàm sốy0
xác định khoảng(a;b) Nếu hàm sốy0có đạo hàm tạixthì ta nói đạo hàm củay0là đạo hàm cấp hai hàm sốy = f(x) Hàm số đạo hàm hàmy0được kí hiệu lày00
Đạo hàm cấp3, 4, hàm số định nghĩa tương tự kí hiệu lày(3),y(4)
B CÁC DẠNG TỐN
{DẠNG 4.1 Tính đạo hàm cấp hai - Ý nghĩa đạo hàm cấp hai
VÍ DỤ Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y = x2+13
2 y = x
x−2
3 y = x
2+x+1
x+1
L Lời giải
1 y= x6+3x4+3x2+1;y0 =6x5+12x3+6x;y00 =30x4+36x2+6
2 y0 =
x x−2
0
= −2 (x−2)2;y
00 = −2
(x−2)2
!0
=2· 2(x−2) (x−2)4 =
4 (x−2)3
3 y= x
2+x+1
x+1 =x+
x+1
y0 =1− (x+1)2
y00 = (x+1)3
VÍ DỤ Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y =√2x+5
2 y =x√x2+1.
(43)1 y0 = √2x+50 =
2√2x+5 = √
2x+5
y00 =− √
2x+50
2x+5 =− 2√2x+5
2x+5 =−
1
(2x+5)√2x+5
2 y0 =√x2+1+x√ x
x2+1 =
2x2+1 √
x2+1
y00 =
4x√x2+1− 2x2+1 x
√
x2+1
x2+1 =
2x3+3x
(1+x2)√1+x2
VÍ DỤ Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y =sinx
2 y =tanx
L Lời giải
1 y0 =cosx=sinπ
2 +x
;y00 =cosπ +x
=sin(π+x)
2 y0 = cos2x;y
00 =−2 cosx(−sinx) cos4x =
2 sinx
cos3x
VÍ DỤ Một chuyển động thẳng xác định phương trìnhs=t3−3t2+5t+2,
ttính giây vàstính mét Tính gia tốc chuyển động thời điểmt=3s
L Lời giải
Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểmt
s0 =t3−3t2+5t+20 =3t2−6t+5
s00 =6t−6⇒s00(3) =12
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y=−3x4+4x3+5x2−2x+1
2 y= 5x
5−3x2−x+4.
Lời giải.
(44)2 y0 =4x4−6x−1;y00 =16x3−6
BÀI Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y=−1
x
2 y=
x−3
3 y= −2x 2+3x 1−x
4 y= 5x
2−3x−20
x2−2x−3
Lời giải.
1 y0 =
x2;y
00 =−2
x3 2 y0 =−
(x−3)2;y
00 = (x−3)3
3 y=2x−1+
1−x ⇒y
0 =2+
(1−x)2 ;y
00 = (1−x)3
4 y0 = (10x−3)(x
2−2x−3)−(5x2−3x−20)(2x−2) (x2−2x−3)2 =
−7x2+10x−31 (x2−2x−3)2
y00 = (−14x+10)·(x
2−2x−3)2−(−7x2+10x−31)·2·(x2−2x−3)·(2x−2) (x2−2x−3)4
= 2(7x
3−15x2+93x−77) (x2−2x−3)3
BÀI Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y=√2x+1
2 y= x2·√x3−x.
Lời giải.
1 y0 = √ 2x+1; y
00 =−
p
(2x+1)3
2 y0 = x
2(7x2−5) 2√x3−x ;y
00 = x2(35x4−54x2+15) 4p(x3−x)3
BÀI Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y=cos2x−π
3
(45)
2 y=sin 2x 3 y=sin22x
4 y=3 sinx+2 cosx
5 y=tanx+cotx+sinx+cosx
Lời giải.
1 y0 =−2 sin2x−π
;y00 =−4 cos2x− π
2 y0 =2 cos 2x;y00 =−4 sin 2x
3 y0 =2 sin 2x(2 cos 2x) = sin 4x;y00 =8 cos 4x
4 y=3 sinx+2 cosx;y0 =3 cosx−2 sinx;y00 =−3 sinx−2 cosx
5 y0 = cos2x −
1
sin2x +cosx−sinx =tan
2x−cot2x+cosx−sinx.
y00 = tanx cos2x +
2 cotx
sin2x −sinx−cosx
BÀI Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y= x·sinx
2 y= x2·cos2x
3 y= cosx
x3+1
Lời giải.
1 y0 =sinx+xcosx;y00 =2 cosx−xsinx
2 y0 =2xcosx(cosx−x·sinx);y00 = (1−2x2)cos 2x−4xsin 2x+1
3 y0 =− sinx
x3+1 −
3x2cosx
(x3+1)2; y 00 =
−
x3+1− 6x
(x3+1)2 +
18x4
(x3+1)3
cosx+ 6x 2sinx (x3+1)2
BÀI Cho hàm số f(x) = (x+1)3 Tính giá trị f00(0)
Lời giải.
f0(x) =3(x+1)2; f00(x) =6(x+1) ⇒ f00(0) =6
BÀI Cho hàm số f(x) = sin3x+x2 Tính giá trị f00π
2
Lời giải.
f0(x) =3 sin2xcosx+2x; f00(x) =6 sinxcos2x−3 sin3x+2⇒ f00π
2
=−1
BÀI Cho hàm sốh(x) =5(x+1)3+4(x+1) Giải phương trìnhh00(x) =0
Lời giải.
h(x) = 5(x+1)3+4(x+1);
h0(x) =15(x+1)2+4;
h00(x) = 30(x+1)
(46)BÀI Cho chuyển động thẳng xác định phương trìnhs=t3−3t2−9t+2(ttính giây;
stính mét) Tính gia tốc chuyển động thời điểmt =2s
Lời giải.
Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểmt
s0 =t3−3t2−9t+2
=3t2−6t−9
s00 =6t−6⇒s00(2) =6
BÀI 10 Cho chuyển động thẳng xác định phương trìnhs = t3−3t2(ttính giây; stính mét) Tính gia tốc chuyển động thời điểmt=4s
Lời giải.
Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểmt
s0 =3t2−6t⇒s00 =6t−6⇒s00(4) =18
{DẠNG 4.2 Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 2
Tìm đạo hàm đến cấp cao có mặt đẳng thức cần chứng minh.
Thay vào vị trí tương ứng biến đổi vế cho vế Từ suy đẳng thức cần chứng minh.
CÁC VÍ DỤ MẪU
VÍ DỤ Cho hàm sốy=√2x−x2 Chứng minh rằng:y3.y00+1=0.
L Lời giải
Ta có:y0 = √1−x 2x−x2,y
00 =−
»
(2x−x2)3 Thay vào:y3.y00+1=»(2x−x2)3· (−1)
»
(2x−x2)3
+1=−1+1=0(đpcm)
VÍ DỤ Cho hàm sốy= x
2+2x+2
2 ·Chứng minh rằng:2y.y
00−1= (y0)2.
L Lời giải
Ta có:y0 =x+1,y00 =1
Thế vào đẳng thức:2y.y00−1= x2+2x+1= (y0)2(đpcm)
(47)L Lời giải
Ta có:y0 =sinx+xcosx;y00 =2 cosx−xsinx
VT = x2sinx−2(sinx+xcosx−sinx) +2xcosx−x2sinx = −2xcosx+2xcosx = = VP
(đpcm)
VÍ DỤ Cho hàm sốy= x+2
x−1·Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộcx
P=2(y0)2−y00(y−1)(Giả sử biểu thức có nghĩa)
L Lời giải
y0 = −3
(x−1)2 ⇒2(y
0)2 = 18 (x−1)4
y00 =−3· −2(x−1) (x−1)4 =
6 (x−1)3
y−1=
x−1 ⇒y
00(y−1) = 18 (x−1)4
P =2(y0)2−y00(y−1) = 18 (x−1)4 −
18
(x−1)4 =0 Vậy đẳng thức chứng minh xong
VÍ DỤ Cho hàm sốy=tanx.Chứng minh rằng: 6y
y00 −
1
y0 −cos 2x=1
L Lời giải
y0 =
cos2x =1+tan
2x;y00 = sinx
cos3x =2 tanx 1+tan 2x
Do đó: 6y y00 −
1
y0 −cos 2x=
6 tanx
2 tanx 1+tan2x −
1
1+tan2x −cos 2x=
2
1+tan2x −cos 2x =
=2 cos2x− cos2x−sin2x
=1(đpcm)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI Chứng minh hàm sốy=√4x−2x2thỏa hệ thức:y3y00+4=0.
Lời giải.
y0 = √2−2x 4x−2x2;y
00 = −4
√
4x−2x23
VT =√4x−2x23· −4
√
4x−2x23
+4=0=VP(đpcm)
BÀI Cho hàm sốy =−2+
x·Chứng minh rằng:
2y0 x +y
00 =0.
(48)y0 =−
x2;y
00 = 10
x3 2y0
x +y
00 =−10
x3 + 10
x3 =0
BÀI Choy= x−3
x+4.Chứng minh rằng:2(y 0)2
= (y−1)y00
Lời giải.
y= x−3
x+4 ⇒y
0 =
(x+4)2 ⇒y
00 =− 14 (x+4)3· Ta có vế trái:2(y0)2 = 98
(x+4)4· Và vế phải:(y−1)y00 =
x−3
x+4 −1
"
−14 (x+4)3
#
= 98 (x+4)4·
Vậy2(y0)2 = (y−1)y00
BÀI Cho hàm sốy =xcosx.Chứng minh rằng:x.y−2(y0−cosx) +x.y00 =0
Lời giải.
y0 =cosx−xsinx;y00 =−2 sinx−xcosx
VT =x.y−2(y0−cosx) +x.y00 =x.xcosx−2(cosx−xsinx−cosx) +x(−2 sinx−xcosx) =
=x2cosx+2xsinx−2xsinx−x2cosx =0=VP(đpcm)
BÀI Cho hàm sốy =xsinx.Chứng minhxy−2y0+xy00 =−2 sinx
Lời giải.
y0 =sinx+xcosx;y00 =2 cosx−xsinx
xy−2y0+xy00 =x2sinx−2(sinx+xcosx) +x(2 cosx−xsinx) =−2 sinx
BÀI Cho hàm sốy =sin2x Chứng minh rằng:2y+y0tanx+y00−2=0
Lời giải.
y0 =2 sinxcosx;y00 =2 cos2x−2 sin2x
2y+y0tanx+y00−2=0 ⇔2 sin2x+2 sinx cosx.sinx
cosx +2 cos
2x−2 sin2x−2=0
⇔2 sin2x+2 cos2x−2=0⇔0=0(đúng)
BÀI Cho hàm sốy =cos24x Chứng minh rằng:32(2y−1) +y00 =0
Lời giải.
y0 =2 cos 4x.(cos 4x)0 ⇒ y0 =−8 cos 4x sin 4x ⇒y0 =−4 sin 8x y00 =−32 cos 8x
VT =32(2y−1) +y00 =32 cos24x−1
−32 cos 8x =32 cos 8x−32 cos 8x =0=VP
BÀI Cho hàm sốy =xtanx Chứng minh rằng:x2y00−2(x2+y2)(1+y) =
Lời giải.
y0 =tanx+x+xtan2x
y00 =1+tan2x+1+tan2x+2xtanx.(1+tan2x) = 2+2 tan2x+2xtanx+2xtan3x VT =x2(2+2 tan2x+2xtanx+2xtan3x)−2(x2+x2tan2x)(1+xtanx) =
= 2x2+2x2tan2x+2x3tanx+2x3tan3x−2x2−2x3tanx−2x2tan2x−2x3tan3x = = VP
BÀI Cho hàm sốy = sin
3x+cos3x
1−sinxcosx·Chứng minh :y
00+y=0.
Lời giải.
Ta có:y= (sinx+cosx) sin
2x+cos2x−sinxcosx
1−sinxcosx =sinx+cosx
⇒y0 =cosx−sinx;y00 =−sinx−cosx
⇒y00+y=0
(49){DẠNG 4.3 Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp
•Nhận dạng: Số hạng tổng quát tổng có chứa thành phần dạng(k−1).k.
•Phương pháp: Chọn hàm f(x)sao cho khai triển nhị thức Newtơn của f(x)có đạo hàm cấp hai tại một điểm tổng cần tính Lưu ý:
n ∑ k=2
(k−1)kCkn ⇒ f(x) = (1+x)n; n
∑ k=2
(−1)k(k−1)kCkn ⇒ f(x) = (1−x)n;
n−2 ∑ k=0
(n−k−1)(n−k)Cnk ⇒ f(x) = (x+1)n; n−2
∑ k=0
(−1)k(n−k−1)(n−k)Ckn ⇒ f(x) = (x−1)n
VÍ DỤ Vớin ∈N,n ≥2, chứng minh
1.2C2n+2.3C3n+· · ·+ (n−1)nCnn = (n−1)n2n−2
L Lời giải
ĐặtS =1.2C2n+2.3C3n+· · ·+ (n−1)nCnn = n ∑ k=2
(k−1)kCkn Xét
f(x) = (1+x)n = n ∑ k=0
Cknxk ⇒ f0(x) =n(1+x)n−1 =
n ∑ k=1
kCknxk−1
⇒ f00(x) = (n−1)n(1+x)n−2 = n ∑ k=2
(k−1)kCknxk−2
⇒ f00(1) = (n−1)n2n−2= n ∑ k=2
(k−1)kCkn =S
Vậy1.2C2n+2.3C3n+· · ·+ (n−1)nCnn = (n−1)n2n−2
VÍ DỤ Vớin ∈N,n ≥2, tính tổngS =12C1n+22C2n+· · ·+n2Cnn
L Lời giải
•Cách 1: Ta cóS=12C1n +22C2n+· · ·+n2Cnn = n ∑ k=1
(50)f(x) = (1+x)n = n ∑ k=0
Cknxk ⇒ f0(x) = n(1+x)n−1 =
n ∑ k=1
kCknxk−1 ⇒ x f0(x) = n.x(1+x)n−1=
n ∑ k=1
kCknxk
⇒ (x f0(x))0 =n(1+x)n−1+nx(n−1)(1+x)n−2 = n ∑ k=1
k2Cknxk−1
Thayx =1ta cóS= n ∑ k=1
k2Ckn =n2n−1+n(n−1)2n−2=n(n+1)2n−2 •Cách 2: Biến đổi
S=1.(1+0)C1n+2.(1+1)C2n+3.(1+2)C3n+· · ·+n(1+ (n−1))Cnn Khi đó, đặt
S1 =C1n+2C2n +3C3n+· · ·+nCnn,S2 =1.2C2n+2.3C3n+· · ·+ (n−1)nCnn ⇒S=S1+S2
Xét f(x) = (1+x)n Ta có
S1 = f0(1) = n2n−1,S2= f00(1) = (n−1)n2n−2 ⇒S=S1+S2=n(n+1)2n−2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI Tính tổngS=12C12017+22C22017+· · ·+20172C20172017
Lời giải.
Ta có12C1n+22C2n+· · ·+n2Cnn =n(n+1)2n−2 Thayn =2017ta cóS =2017.2018.22015
BÀI Vớin ∈N,n≥2, chứng minh rằng1.2C2n−2.3C3n+· · ·+ (−1)n(n−1)nCn n =0
Lời giải.
Xét
f(x) = (1−x)n = n ∑ k=0
Ckn(−1)kxk
⇒ f0(x) =−n(1−x)n−1= n ∑ k=1
kCkn(−1)kxk−1
⇒ f00(x) = (n−1)n(1−x)n−2= n ∑ k=2
(k−1)kCkn(−1)kxk−2
⇒ f00(1) =0= n ∑ k=2
(−1)k(k−1)kCkn
Suy đpcm
BÀI Vớin ∈N,n≥2, tính tổng
S = (n−1)nC0n+ (n−2)(n−1)C1n+· · ·+ (n−k−1)(n−k)Ckn+· · ·+2.3Cnn−3+1.2Cnn−2
Lời giải.
(51)f(x) = (x+1)n = n ∑ k=0
Cknxn−k ⇒ f0(x) =n(x+1)n−1=
n−1 ∑ k=0
(n−k)Cknxn−k−1
⇒ f00(x) = (n−1)n(x+1)n−2= n−2
∑ k=0
(n−k−1)(n−k)Cknxn−k−2
⇒ f00(1) = (n−1)n2n−2 = n−2
∑ k=0
(n−k−1)(n−k)Ckn =S
VậyS= (n−1)n2n−2
BÀI Vớin ∈N,n≥1, tính tổngS=12C0n +22C1n+· · ·+ (n+1)2Cnn
Lời giải.
Xét
f(x) = (1+x)n = n ∑ k=0
Cknxk ⇒x f(x) = x(1+x)n =
n ∑ k=0
Cknxk+1
⇒(x f(x))0 = (1+x+nx)(1+x)n−1 = n ∑ k=0
(k+1)Cknxk
⇒x(x f(x))0 = (x+x2+nx2)(1+x)n−1 = n ∑ k=0
(k+1)Cknxk+1
⇒[x(x f(x))0]0 = (1+2x+2nx)(1+x)n−1+ (x+x2+nx2)(n−1)(1+x)n−2 = n ∑ k=0
(k+1)2Cknxk
Thayx =1ta cóS= n ∑ k=0
(k+1)2Ckn = (n2+5n+4)2n−2
BÀI Vớin ∈N,n≥2, chứng minh
2.3C0n+3.4C1n+· · ·+ (n+2)(n+3)Cnn = (n2+11n+24)2n−2
Lời giải.
Xét
f(x) = (1+x)n = n ∑ k=0
Cknxk
⇒ x3f(x) = x3(1+x)n = n ∑ k=0
Cknxk+3
⇒ (x3f(x))0 = (3x2+3x3+nx3)(1+x)n−1 = n ∑ k=0
(k+3)Cknxk+2
⇒ (x3f(x))00 = (6x+9x2+3nx2)(1+x)n−1+ (3x2+3x3+nx3)(n−1)(1+x)n−2 =
n ∑ k=0
(k+2)(k+3)Cknxk+1
Thayx =1ta cóVT = n ∑ k=0
(52)BÀI Vớin ∈N,n≥1, tính tổng
S= (2n−1)2nC02n+ (2n−3)(2n−2)C22n+· · ·+1.2C22nn−2
Lời giải.
Xét
f(x) = (x+1)2n = 2n ∑ k=0
Ck2nx2n−k
⇒ f0(x) = 2n(x+1)2n−1 = 2n−1
∑ k=0
(2n−k)Ck2nx2n−k−1
⇒ f00(x) = (2n−1).2n.(x+1)2n−2 = 2n−2
∑ k=0
(2n−k−1)(2n−k)Ck2nx2n−k−2
ĐặtS1 = (2n−2)(2n−1)C12n+ (2n−4)(2n−3)C32n+· · ·+2.3C22nn−3 Suy
f00(1) = (2n−1).2n.22n−2 = 2n−2
∑ k=0
(2n−k−1)(2n−k)Ck2n =S+S1,
f00(−1) =0 = 2n−2
∑ k=0
(2n−k−1)(2n−k)C2kn(−1)2n−k−2 =S−S1
Suy raS= (2n−1)n22n−2
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI Chon∈ N, n≥3thỏa mãn A n +C3n
(n−1)(n−2) =42 Tính tổng
S=22C2n−32C3n+42C4n− · · ·+ (−1)nn2Cnn
Lời giải.
Ta có
A3n+C3n
(n−1)(n−2) =42⇔
n! (n−3)! +
n!
(n−3)!3! =42(n−1)(n−2) ⇔n(n−1)(n−2) +n(n−1)(n−2)
6 =42(n−1)(n−2) ⇔n+ n
6 =42 ⇔n=36
•S =22C236−32C336+42C436− +362C3636 = 36 ∑ k=2
(−1)kk2C36k •Xét
f(x) = (1−x)36 = 36 ∑ k=0
Ck36(−1)kxk
⇒ f0(x) = −36(1−x)35 = 36 ∑ k=1
kCk36(−1)kxk−1
⇒ x f0(x) =−36x(1−x)35 = 36 ∑ k=1
kCk36(−1)kxk
⇒(x f0(x))0 =−36(1−36x)(1−x)34 = 36 ∑ k=1
(53)Thayx =1ta có
0= 36 ∑ k=1
k2Ck36(−1)k =−C361 +S⇒S =C136 =36
BÀI Giải phương trình
C12n+1−1.2.2C22n+1+2.22.3C32n+1− · · · −(2n−1)22n−12nC22nn+1+2n22n(2n+1)C22nn+1+1 =4005
Lời giải.
Điều kiện:n ∈N Ta có
C12n+1−1.2.2C22n+1+2.22.3C32n+1− · · · −(2n−1)22n−12nC22nn+1+2n22n(2n+1)C22nn+1+1 =4005 ⇔
2C
2n+1−1.2C22n+1+· · · −(2n−1)2n22n−2C22nn+1+2n(2n+1)22n−1C2n +1 2n+1 =
4005 (∗) Xét
f(x) = (−1+x)2n+1 = 2n+1
∑ k=0
C2kn+1(−1)2n+1−kxk
⇒ f0(x) = (2n+1)(−1+x)2n = 2n+1
∑ k=1
kCk2n+1(−1)2n+1−kxk−1
⇒ f00(x) =2n(2n+1)(−1+x)2n−1 = 2n+1
∑ k=2
(k−1)kCk2n+1(−1)2n+1−kxk−2
⇒ f00(2) =2n(2n+1) = 2n+1
∑ k=2
(k−1)kCk2n+1(−1)2n+1−k2k−2
Suy
(∗)⇔
2(2n+1) + 2n+1
∑ k=2
(k−1)kCk2n+1(−1)2n+1−k2k−2 = 4005 ⇔
2(2n+1) +2n(2n+1) = 4005
2 ⇔8n2+6n−4004 =0⇔
n=22
n=−91
(54)BÀI 5. ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 5
A ĐỀ SỐ 1A
Câu 1. Tính đạo hàm hàm số sau a)y = (x−1)4
b)y =x√x+3 c)y = x
2+x−1
x−2 d)y =
…
x+1
x−1
Lời giải.
a)y0 =4(x−1)3(x−1)0 0,5 điểm =4(x−1)3 0,5 điểm b)y0 =x0√x+3+x√x+30 0,25 điểm =√x+3+ x(x+3)
0
2√x+3 0,25 điểm = 3x+6
2√x+3 0,5 điểm c)y =x+3+
x−2 0,5 điểm
y0 =1−
(x−2)2 0,5 điểm
d)y0 =
x+1 x−1
0
2»xx+−11 0,25 điểm =
− (x−1)2
2»xx+1−1 0,25 điểm =−
…
x−1
x+1 ·
(x−2)2 0,5 điểm
Câu 2. Cho hàm số f(x) =
x2−2x+2khix <0
x+1 khix ≥0
.Tính f0(0)
Lời giải.
f0(0−) = lim x→0−
f(x)− f(0)
x =xlim→0−
x2−2x
x =−2 0,25 điểm f0(0+) = lim
x→0+
f(x)− f(0)
x =xlim→0+
2 x+1−2
x =xlim→0+
−2x
x(x+1) =−2 0,25 điểm Suy f0(0+) = f0(0−) = −2.Vậy f0(0) = −2 0,5 điểm
Câu 3. a) Cho hàm số f(x) =sinx−2 cosx−x2.Giải phương trình f00(x) =
b) Một vật ném lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu
v0 = 4, m/s Biết gia tốc trọng trường làg = 9, m/s2,hỏi sau giây (kể từ lúc bắn), vật đạt độ cao lớn nhất?
Lời giải.
a) Ta có f00(x) =−sinx+2 cosx−2 0,5 điểm
f00(x) =0⇔ −sinx+2 cosx−2=0 ⇔sinx−2 cosx =−2 0,25 điểm ⇔ √1
5sinx− √
5cosx =− √
(55)Chọn số thựcathỏa mãnsina = √1
5, cosb =− √
5
Khi phương trình trở thànhcos(x−a) =cosa 0,5 điểm ⇔
"
x =k2π
x =2a+k2π (k ∈ Z). 0,5 điểm b)
Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, gốc O mặt đất Khi đó, phương trình chuyển động vật làs(t) =4, 9t−4, 9t2 0,5 điểm Phương trình vận tốc vật làv(t) = s0(t) =4, 9−9, 8t 0,5 điểm Vật đạt độ cao lớn vận tốc bằng0
Xét phương trìnhv(t) =0 0,5 điểm ⇔4, 9−9, 8t=0⇔t =
2 0,5 điểm
y
v(t) =0
O
Câu 4. Cho hàm sốy= 2x−2
x2−2x−8 Tínhy
(n)với số nguyên dươngn.
Lời giải.
Ta cóy =
x+2+
x−4 0,25 điểm
y(n) =
1
x+2
(n)
+
1
x−4
(n)
0,25 điểm Chứng minh quy nạp ta có
1
x+2
(n)
= (−1) n.n!
(x+2)n+1 0,25 điểm Chứng minh quy nạp ta có
1
x−4
(n)
= (−1) n.n! (x−4)n+1 Vậyy(n) = (−1)
n.n! (x+2)n+1 +
(−1)n.n!
(x−4)n+1 0,25 điểm
B ĐỀ SỐ 1B
Câu 1. Tính đạo hàm hàm số sau a)y = (x+5)5
b)y =x.√x−7 c)y = x
2+4x+1
x+2 d)y =
…
x−2
x+2
Lời giải.
a)y0 =5(x+5)4(x+5)0 0,5 điểm =5(x+5)4 0,5 điểm b)y0 =x0√x−7+x√x−70 0,25 điểm =√x−7+ x(x−7)
0
2√x−7 0,25 điểm = 3x−14
2√x−7 0,5 điểm c)y =x+2−
(56)y0 =1+
(x+2)2 0,5 điểm d)y0 =
x−2 x+2
0
2»xx−2+2 0,25 điểm =
4 (x+1)2
2»xx−2+2 0,25 điểm =
…
x+2
x−2 ·
(x+2)2 0,5 điểm
Câu 2. Cho hàm số f(x) =
x2−4x+4khix <0
x+1 khix ≥0
.Tính f0(0)
Lời giải.
f0(0−) = lim x→0−
f(x)− f(0)
x =xlim→0−
x2−4x
x =−4 0,25 điểm f0(0+) = lim
x→0+
f(x)− f(0)
x =xlim→0+
4 x+1−4
x =xlim→0+
−4x
x(x+1) =−4 0,25 điểm Suy f0(0+) = f0(0−) = −4.Vậy f0(0) = −4 0,5 điểm
Câu 3. a) Cho hàm số f(x) =2 sinx−cosx−x2.Giải phương trình f00(x) =
b) Ném bóng lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu
v0 =7, 35m/s Biết gia tốc trọng trường làg =9, 8m/s2,hỏi sau giây (kể từ lúc ném), bóng đạt độ cao lớn nhất?
Lời giải.
a) Ta có f00(x) =−2 sinx+cosx−2 0,5 điểm
f00(x) =0⇔ −2 sinx+cosx−2=0⇔2 sinx−cosx =−2 0,25 điểm ⇔ √2
5sinx− √
5cosx =− √
5 0,25 điểm Chọn số thựcathỏa mãnsina = √2
5, cosb =− √
5
Khi phương trình trở thànhcos(x−a) =−sina⇔cos(x−a) =cosa+ π
0,5 điểm ⇔
x=−π
2 +k2π
x=2a+ π
2 +k2π
(k∈ Z) 0,5 điểm b)
Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, gốc O mặt đất Khi đó, phương trình chuyển động vật làs(t) =7, 35t−4, 9t2 0,5 điểm Phương trình vận tốc vật làv(t) = s0(t) =7, 35−9, 8t 0,5 điểm Quả bóng đạt độ cao lớn vận tốc bằng0
Xét phương trìnhv(t) =0 0,5 điểm ⇔7, 35−9, 8t=0⇔t =0, 75 0,5 điểm
y
v(t) =0
O
Câu 4. Cho hàm sốy= 3x−1
x2+2x−15 Tínhy
(n)với số nguyên dươngn
(57)Ta cóy =
x−3+2
x+5 0,25 điểm
y(n) =
1
x−3
(n)
+2
1
x+5
(n)
0,25 điểm Chứng minh quy nạp ta có
1
x−3
(n)
= (−1) n.n!
(x−3)n+1 0,25 điểm Chứng minh quy nạp ta có
1
x+5
(n)
= (−1) n.n! (x+5)n+1 Vậyy(n) = (−1)
n.n! (x−3)n+1 +2
(−1)n.n!
(x+5)n+1 0,25 điểm
C ĐỀ SỐ 2A
Câu 1. (4,0 điểm)Tính đạo hàm hàm số sau 1 y= x3−3(1−x)2
2 y= 1−x 1+x
3 y=√x2−2x.
Lời giải.
1 y0 =3x2−6(1−x).(1−x)0 =3x2+6(1−x) =3x2−6x+6 (2 điểm)
2 y0 = (1−x)
0(1+x)−(1−x)(1+x)0
(1+x)2 =
−(1+x)−(1−x) (1+x)2 =
−2
(x+1)2 (1 điểm)
3 y=√x2−2x= (x
2−2x)0 2√x2−2x =
x−1 √
x2−2x (1 điểm)
Câu 2. (1,0 điểm)Cho hàm số f(x) =√3
x+1 Bằng định nghĩa, tính f0(0)
Lời giải.
Ta có f0(0) = lim x→0
f(x)− f(0)
x−0 (0,5 điểm)
⇒ f0(0) = lim x→0
3 √
x+1−1
x =limx→0
1
p
(x+1)2+√3
x+1+1 =1 (0,5 điểm)
Câu 3. (4,0 điểm)
1 Cho hàm sốy=16 cosx+17 sinx Chứng minh rằngy00+y=0
2 Cho hàm sốy = x3−x+1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểmMbiết điểmMcách trục tung khoảng bằng1
Lời giải.
1 Ta cóy0=−16 sinx+17 cosx (0,5 điểm)
⇒y00 =−16 cosx−17 sinx (0,5 điểm)
(58)2 ĐiểmMcách trục tung khoảng bằng1nên xM =1 (0,5 điểm)
MàM ∈(C)nênyM =1 ⇒M(1; 1) (0,5 điểm)
Lại cóy0 =3x2−1⇒y0(1) = (0,5 điểm)
Vậy phương trình tiếp tuyến tạiMcủa(C)lày=2(x−1) +1⇔y =2x−1 (1 điểm)
Câu 4. (1,0 điểm)Tính tổngS=C12017+3C20173 +5C52017+ +2017C20172017
Lời giải.
Ta có
(1+x)2017 = C02017+C12017x+C22017x2+ +C20172017x2017, (1−x)2017 = C02017−C12017x+C22017x2− −C20172017x2017
⇒(1+x)2017−(1−x)2017 =2C12017x+C32017x3+C52017x5+ +C20172017x2017
(0,5 điểm) Đạo hàm hai vế ta
2017h(1+x)2016+ (1−x)2016i =2C12017+3C32017x2+5C52017x4+ +2017C20172017x2016 Thayx =1ta
2017h(1+1)2016−(1−1)2016i =2C12017+3C32017+5C52017+ +2017C20172017 ⇒S=C12017+3C32017+5C52017+ +2017C20172017=2017.22015
(0,5 điểm)
D ĐỀ SỐ 2B
Câu 1. (4,0 điểm)Tính đạo hàm hàm số sau 1 y= (1−x)3− x
2 2 y= x+1
1−x
3 y=√x−2x2.
Lời giải.
1 y0 =3(1−x)2.(1−x)0−2x
2 =−3(1−x)
2−x. (2 điểm)
2 y0 = (x+1) 0(
1−x)−(1−x)0(1+x)
(1−x)2 =
(1−x) + (1+x) (1−x)2 =
2
(1−x)2 (1 điểm)
3 y0 = (2x−x 2)0 2√2x−x2 =
2−2x
2√2x−x2 =
1−x
√
2x−x2 (1 điểm)
Câu 2. (4,0 điểm)
(59)2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm sốy= x3+3x+2tại giao điểm đồ thị hàm số với trục tung
Lời giải.
1 Ta cóy0=cosx−√3 sinx (0,5 điểm)
⇒y00 =−sinx−√3 cosx (0,5 điểm)
Khi
y00 =0 ⇔ −sinx−√3 cosx=0 ⇔ sinx+√3 cosx=0 ⇔ sinx+π
3
=0 ⇔ x+ π
3 =kπ ⇔x =− π
3 +kπ. (k ∈Z). Vậy nghiệm phương trình làx=−π
3 +kπ. (k∈ Z) (1 điểm)
2 GọiMlà giao đồ thị hàm số với trục tung
⇒xM =0⇒yM =2⇒ M(0; 2) (0,5 điểm)
Ta cóy0=3x2+3 ⇒y0(0) =3 (0,5 điểm)
Phương trình tiếp tuyến Mlày =3(x−0) +2 ⇔y=3x+2 (1 điểm)
Câu 3. (1,0 điểm)Cho hàm số f(x) = x 3 −2x
2+ (3−m)x−2 Tìmmđể f0(x) ≥0,∀x∈ R.
Lời giải.
Ta có f0(x) = x2−4x+3−m Khi (0,25 điểm)
f0(x) ≥0, ∀x ∈R ⇔ x2−4x+3−m ≥0, ∀x ∈R ⇔ g(x) =x2−4x+3≥m, ∀x ∈R ⇔
x∈Rg(x) ≥m
(0,5 điểm) Màg(x) = (x−2)2−1≥ −1⇒min
x∈Rg(x) = −1⇒ m≤ −1 (0,25 điểm)
Câu 4. (1,0 điểm) Một vật chuyển động theo quy luậts = −1
3(t−2) 3+ t2
2 +4t−
3 với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động vàs (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian từ giây thứ nhất, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, đến giây thứ 5, vận tốc lớn nhỏ vật bao nhiêu?
Lời giải.
Vận tốc vật làv(t) = s0 =−(t−2)2+t+4 =−t2+5tvớit ∈[1; 5] (0,25 điểm) Ta cóv(t)là hàm bậc có đồ thị đương parabol có đỉnh làI
5 2;
25
Ta có bảng biến thiên
x
v(t)
1
2
4
25 25
4
(60)(0,5 điểm) ⇒Vận tốc lớn 25
4 (m/s) vận tốc nhỏ là0(m/s) (0,25 điểm)
E ĐỀ SỐ 3A
Câu 1. (4,0 điểm)Tìm đạo hàm hàm số sau:
1 y= x3−3x2+4x−2017;
2 y= x
2−x+2
x+1 ; 3 y=sin22x;
4 y= …
tan2017x−π
Lời giải.
1 Ta cóy0=3x2−6x+4
2 Ta cóy0= (2x−1)(x+1)−(x
2−x+2) (x+1)2 =
x2+2x−3 (x+1)2 ·
3 Ta cóy0=2·sin 2x·(sin 2x)0 =2·sin 2x·(cos 2x)·2 =2 cos 4x
4 Ta cóy0=
h
tan2017x−π
i0
2 …
tan2017x−π
=
2017 2·cos22017x− π
4
· …
tan2017x−π
Câu 2. (3,0 điểm)Cho hàm sốy=x3−2x2+4có đồ thị(C) 1 Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ bằng2;
2 Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị(C)biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng−1
Lời giải.
1 Ta có,y0 =3x2−4x
Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = cho công thức
k= f0(2) =
Vậy hệ số góc cần tìm làk=4
2 GọiM(x0;y0)là tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến cần tìm
Khi đó, ta cók = f0(x0)⇒3x20−4x0 =−1⇔3x02−4x0+1=0⇔
x0=1
x0 = Với x0=1ta đượcy0 =3
(61)Với x0=
3 ta đượcy0= 103
27 ·
Phương trình tiếp tuyến điểm M2
1 3;
103 27
lày=−x+112 27 ·
Câu 3. (2,0 điểm)Cho hàm sốy= x−2
x−1· 1 Tính đạo hàmy0của hàm số cho;
2 Chứng minh đẳng thức2y0+ (x−1)·y00 =0
Lời giải.
1 Ta cóy0= (x−1)−(x−2) (x−1)2 =
1 (x−1)2·
2 Theo câua) ta cóy0 =
(x−1)2 nên
y00 =−2·(x−1) (x−1)4 =
−2 (x−1)3 Khi đó,2y0+ (x−1)·y00 =
(x−1)2 −
2·(x−1) (x−1)3 =
2 (x−1)2 −
2
(x−1)2 =0
(điều phải chứng minh)
Câu 4. (1,0 điểm)Chứng minh đẳng thức
C12018+2C22018+3C32018+· · ·+2017C20172018 =2018 22017−1
Lời giải.
Xét hàm sốy= (1+x)2018 =1+C12018x+C22018x2+C32018x3+· · ·+C20172018x2017+C20182018x2018
Đạo hàm hai vế ta được:
2018(1+x)2017 =C12018+2C22018x+3C32018x2+· · ·+2017C20172018x2016+2018x2017
Chọnx =1ta được:2018·22017 =C12018+2C22018+3C32018+· · ·+2017·C20172018+2018
⇔ 22017−1
2018=C12018+2C22018+3C32018+· · ·+2017·C20172018
F ĐỀ SỐ 3B
Câu 1. (4,0 điểm)Tìm đạo hàm hàm số sau:
1 y= x2018−x2017+2016;
2 y= 1−2x
x+3 ; 3 y= x2sinx;
(62)Lời giải.
1 Ta cóy0=2018x2017−2017x2016
2 Ta cóy0= (−2)(x+3)−(1−2x) (x+3)2 =
−7 (x+3)2·
3 Ta cóy0= x2sinx0 =2x sinx+x2 cosx 4 Ta cóy0 =
tan x2+10
2ptan(x2+1) =
2x
2·cos2(x2+1)·p
tan(x2+1) =
x
cos2(x2+1)·p
tan(x2+1)·
Câu 2. (3,0 điểm)Cho hàm sốy= 3x
3−1 2x
2+1có đồ thị(C).
1 Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ bằng−2;
2 Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị(C)biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y=6x+2017
Lời giải.
1 Ta có,y0 =x2−x
Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = −2được cho công thức
k= f0(−2) =
Vậy hệ số góc cần tìm làk=6
2 GọiM(x0;y0)là tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến cần tìm
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = 6x+2017 nên tiếp tuyến có dạng
y=6x+bvớib 6=2017, có hệ số góck=6
Khi đó, ta cók = f0(x0)⇒ x20−x0 =6.⇔ x20−x0−6=0⇔
"
x0 =3
x0 =−2
Với x0=3ta đượcy0 =3
Vậy phương trình tiếp tuyến M1
3;11
lày=6x−25 · Với x0=−2ta đượcy0 =
−11
Vậy Phương trình tiếp tuyến điểm M2
−2; −11
lày =6x+25 ·
Câu 3. (2,0 điểm) Cho hàm sốy = x3−3x2+mx+2017, với mlà tham số Tìm mđểy0 > 0với giá trị tham sốm
Lời giải.
Ta có,y0 =3x2−6x+m
Theo đề bài:y0 >0với mọim
⇔3x2−6x+m >0với giá trịm
⇔ ®
a=3>0
∆0
y0 =9−3m<0
⇔m>3
(63)Câu 4. (1,0 điểm)Một vật chuyển động với phương trìnhS =t2−25t−1tính mét (m),tlà khoảng thời gian tính giây (s) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểmt=20s
Lời giải.
Ta cóS0 =2t−25
Vận tốc tức thời thời điểmt =20sđược cho công thức:
v(20) = S0(20) =2.20−25 =15m/s