Hướng dẫn giải các dạng toán đạo hàm

CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b) x0 ∈ ( a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) f ( x ) − f ( x0 ) lim x → x0 x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 ký hiệu f ( x0 ) (hoặc y ( x0 )), tức f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 Đại lượng ∆x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) gọi số gia tương ứng hàm số Như ! ∆y ∆x →0 ∆x y ( x0 ) = lim QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Định lí Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 liên tục điểm a) Định lí tương đương với khẳng định: Nếu y = f ( x ) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm ! b) Mệnh đề đảo Định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Định lí Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 )) Định lí Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = f ( x ) điểm M0 ( x0 ; f ( x0 )) y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ), y0 = f ( x0 ) Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM a) v(t) = s (t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t b) I (t) = Q (t) cường độ tức thời dòng điện Q = Q(t) thời điểm t 465 466 CHƯƠNG ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm khoảng ( a; b) có có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f : ( a; b) −→ R x −→ f ( x ) đạo hàm hàm số y = f ( x ) khoảng ( a; b), ký hiệu y hay f ( x ) ĐẠO HÀM MỘT BÊN Định nghĩa a) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x → x0+ f ( x ) − f ( x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên phải hàm số y = f ( x ) điểm x = x0 kí hiệu f ( x0+ ) b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên trái lim x → x0− f ( x ) − f ( x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên trái hàm số y = f ( x ) điểm x = x0 kí hiệu f ( x0− ) Các đạo hàm bên phải bên trái gọi chung đạo hàm bên Định lí Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 f ( x0+ ), f ( x0− ) tồn Khi đó, ta có f ( x0+ ) = f ( x0− ) = f ( x0 ) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện sau: - Có đạo hàm x ∈ ( a; b); - Có đạo hàm bên phải x = a; - Có đạo hàm bên trái x = b B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.1 Tính đạo hàm hàm số định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 định nghĩa, ta thực sau: Bước Giả sử ∆x số gia đối số x0 , tính ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) Bước Lập tỉ số ∆y ∆x ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ∆y ∆x →0 ∆x Bước Tìm lim điểm x0 = x VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (3 + ∆x ) − f (3) = 2∆x − =− ; + ∆x 3(3 + ∆x ) ∆y =− ; ∆x 3(3 + ∆x ) ∆y −2 lim = lim =− ∆x →0 ∆x ∆x →0 3(3 + ∆x ) Vậy f (3) = − VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số y = − x2 + 3x − điểm x0 = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (2 + ∆x ) − f (2) = [−(2 + ∆x )2 + 3(2 + ∆x ) − 2] − (−22 + · − 2) = −∆2 x − ∆x; ∆y = −∆x − 1; ∆x ∆y lim = lim (−∆x − 1) = −1 ∆x →0 ∆x ∆x →0 Vậy y (2) = −1 VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = √ x điểm x0 = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có √ ∆y = f (1 + ∆x ) − f (1) = + ∆x − 1; √ ∆y + ∆x − = ; ∆x ∆x √ ∆y + ∆x − 1 = lim = lim √ = lim ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x →0 + ∆x + 1 Vậy f (1) = 467 468 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÍ DỤ Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = x3 điểm x Lời giải Với x ∈ R, giả sử ∆x số gia đối số x Ta có ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x )3 − x3 = ∆3 x + 3x∆2 x + 3x2 ∆x; ∆3 x + 3x∆2 x + 3x2 ∆x ∆y = = ∆2 x + 3x∆x + 3x2 ; ∆x ∆x ∆y lim = lim (∆2 x + 3x∆x + 3x2 ) = 3x2 ∆x ∆x →0 ∆x →0 Vậy f ( x ) = 3x2 , với x ∈ R BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = Lời giải Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (4 + ∆x ) − f (4) = x0 = x−3 −∆x −1 = ; + ∆x + ∆x −1 ∆y = ; ∆x + ∆x ∆y −1 lim = lim = −1 ∆x →0 ∆x ∆x →0 + ∆x Vậy f (4) = −1 BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = sin 3x x = Lời giải π π Ta có π π π π ∆y = f + ∆x − f = sin + 3∆x − sin = cos(3∆x ) − 1; 6 2 3∆x sin ∆y cos(3∆x ) − = =− ; ∆x ∆x ∆x −2 sin2 3∆x ∆y lim = lim = ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 Giả sử ∆x số gia đối số x = π = BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 3x − điểm x Lời giải Đáp số: f ( x ) = 3, với x ∈ R Vậy f BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 4x − x2 điểm x = Lời giải Đáp số: f (2) = √ BÀI Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x ) = 3x + điểm x = Lời giải Đáp số: f (1) = ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 469 DẠNG 1.2 Ý nghĩa đạo hàm vào số toán Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t), s quảng đường thời gian t Lúc đó, vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 v(t0 ) = s (t0 ) Từ f ( x0 ) = lim ∆x →0 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ta có cơng thức xấp xỉ ∆x f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )∆x Ý nghĩa tổng quát: Đạo hàm hàm số đặc trưng cho tốc độ thay đổi hàm số theo biến số gt , g ≈ 9, m/s2 gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 = s VÍ DỤ Một vật rơi tự theo phương trình s = Lời giải gt − 12 gt20 s ( t ) − s ( t0 ) = lim = gt0 Do đó, thời điểm t0 = s vận t → t0 t → t0 t − t0 t − t0 tốc tức thời chuyển động v(5) = 5g ≈ 49 m/s Ta có: v(t0 ) = s (t0 ) = lim VÍ DỤ Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản khơng khí) Tính vận tốc tức thời viên đạn thời điểm t0 = 10 s Biết gia tốc trọng trường g ≈ 9, m/s2 Lời giải gt + v0 t + s0 với thời gian t tính đơn vị 2 2 gt − gt0 + ( v0 t − v0 t0 ) s ( t ) − s ( t0 ) ( s) Ta có: v(t0 ) = s (t0 ) = lim = lim = gt0 + v0 Do t → t0 t → t0 t − t0 t − t0 đó, thời điểm t0 = 10 s vận tốc tức thời viên đạn v(10) = 98 + 196 = 294 m/s Phương trình chuyển động viên đạn s(t) = VÍ DỤ Tính gần giá trị √ 8, 99 Lời giải √ x xác định tập [0; +∞) Trên khoảng xác định, hàm số có đạo hàm với x f ( x ) = √ Áp dụng công thức xấp xỉ với ∆x = −0, 01, x0 = ta x −0, 01 f (8, 99) = f (9 − 0, 01) ≈ f (9) + f (9)(−0, 01) = + ≈ 2, 9983 ! Từ công thức xấp xỉ ta viết lại f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) Lúc này, ta hiểu rằng: đường cong có phương trình y = f ( x ) xấp xỉ tiếp tuyến có hệ số góc f ( x0 ) quanh lân cận tiếp điểm Xét hàm số y = f ( x ) = BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) 470 CHƯƠNG ĐẠO HÀM √ BÀI Tính giá trị gần 3, 99 Lời giải √ Áp dụng công thức xấp xỉ, ta 3, 99 ≈ 1, 9975 BÀI Sau mùa lũ, địa phương A, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh đường ruột kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ n xác định công thức D (n) = 45n2 − n3 Hỏi tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tức thời thời điểm n = 10 bao nhiêu? Lời giải Tính D (n) = 90n − 3n2 , tốc độ tryền bệnh tức thời thời điểm n = 10 D (10) = 600 người/ngày √ x+1−1 BÀI Tính giới hạn sau lim x →0 x Lời giải √ Xét hàm số y = f ( x ) = x + − Trên khoảng (−1; +∞) hàm số có đạo hàm f ( x ) = √ x + √ x+1−1 f ( x ) − f (0) Ta có lim = lim = f (0) = x →0 x →0 x x−0 DẠNG 1.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ), M( x0 ; y0 ) thuộc (C ) với y0 = f ( x0 ) Nếu ∃ f ( x0 ) thì: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm M( x0 , y0 ) f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) M ( x0 ; y0 ) là: y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 (5.1) Các dạng viết phương trình tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M0 Tính x0 (hoặc y0 ) từ giả thiết Tính f ( x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc hay song song với đường thẳng cho trước Hệ số góc đồ thị hàm số điểm M0 f ( x0 ) Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên ta có f ( x0 ) = k, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 có hệ số góc k = f ( x0 ) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b nên ta có a f ( x0 ) = −1, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến qua A( x, y) Gọi tiếp điểm M( x0 ; y0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M y = f ( x0 )( x − x0 ) + y0 (∗) Vì A( x; y) nằm tiếp tuyến nên toạ độ A thoả mãn ∗, thay toạ độ A vào ta tìm x0 Viết phuong trình tiếp tuyến với x0 tìm ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 471 VÍ DỤ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2(C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ): a) Tại giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy b) Tại điểm có tung độ c) Tại điểm M mà tiếp tuyến M song song với đường thẳng y = 6x + d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x+3 Lời giải Ta có y ( x ) = 3x2 − 6x a) (C ) cắt Oy nên x = ⇒ y = Vậy tiếp tuyến (C ) điểm A(0; 2) y = y (0)( x − 0) + ⇒ y = b) Điểm (C ) có tung độ ⇒ hoành độ nghiệm phương trình x3 − 3x2 + = ⇒ x = 0; y = 2; A(0; 2) y=2 ⇒ phương trình tiếp tuyến x = 3; y = 2; B(3; 2) y = 9x − 24 c) Tiếp tuyến song song√ với y = 6x + ⇒ f ( x0√) = với x0 hoành độ tiếp điểm Giải phương x0 = + y = 6x − − √ ⇒ √ trình ta có x0 = − y = 6x − + x0 = y = 9x − 25 d) Tiếp tuyến vng góc với y = − x + ⇒ f ( x0 ) = ⇒ ⇒ x0 = −1 y = 9x + 20 VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 + mx2 − m − 1(Cm ) Viết tiếp tuyến (C ) điểm cố định đồ thị hàm số Lời giải Gọi A( x; y) điểm cố định (Cm ) nên y = x3 + mx2 − m − thoả mãn với m Điều tương đương với phương trình bậc ẩn m : m( x2 − 1) + x3 − y − = có vơ số nghiệm, suy ® x2 − = x = 1; y = 0; A(1; 0) ⇒ x = −1; y = −2; B(−1; −2) x −y−1 = y ( x ) = 3x2 + 2mx Phương trình tiếp tuyến A y = (3 + 2m)( x − 1) Phương trình tiếp tuyến B y = (3 − 2m)( x + 1) − VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3m − 2(Cm ) Chứng minh tiếp tuyến Cm giao (Cm ) với Oy qua điểm cố định Lời giải 472 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Giao (Cm ) với Oy A(0; 3m − 2) y ( x ) = 3x2 − 3m ⇒ phương trình tiếp tuyến (Cm ) A y = −3mx + 3m − 2(∗) Gọi B( x; y) điểm ® cố định (∗) ⇒ phương trình bậc ẩn m : 3(1 − x )m − y − = có vơ x=1 số nghiệm nên Vậy B(1; −2) điểm cố dịnh (∗) y = −2 VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + 5(C ); tìm điểm M thuộc C mà hệ số góc tiếp tuyến M đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình tiếp tuyến Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến (C ) M0 y ( x0 ) y ( x ) = 3x2 + 6x − ⇒ y ( x ) = 3( x + 1)2 − 12 Vậy y ( x ) = −12 điểm có x = −1 Phương trình tiếp tuyến y = −12( x + 1) + 16 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho đồ thị hàm số y = − x4 + 2mx2 − 2m + 1(Cm ) Chứng minh (Cm ) ln qua hai điểm cố định Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) hai điểm cố định vng góc Lời giải Gọi A( x; y) điểm cố định (Cm ) ta có phương trình bậc ẩn m : (2x2 − 2)m − x4 − y + = ® x2 − = x = 1; y = 0; A(1; 0) ⇔ có vơ số nghiệm ⇒ x = −1; y = 0; B(−1; 0) −x − y + = Ta có phương trình tiếp tuyến A : y = (4m − 4)( x − 1); Phương trình tiếp tuyến B : y = (4 − 4m)( x + 1)  m=  Hai tiếp tuyến vng góc nên ta có (4m − 4)(4 − 4m) = −1 ⇒  m= x+2 BÀI Cho đồ thị hàm số y = (C ) Lập phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến cắt x−1 Ox, Oy A, B cho tam giác ABO vuông cân Lời giải −3 Ta có y ( x ) = ( x − 1)2 −3 x +2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 ; y0 ) y = ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 1) 3x0 + ( x0 − 1)( x0 + 2) 3x0 + ( x0 + 2)( x0 − 1) ; 0), cắt Oy B(0; Tiếp tuyến cắt Ox điểm A( ( x0 − 1)2 3x0 + ( x0 − 1)( x0 + 2) 3x + ( x0 + 2)( x0 − 1) Tam giác OAB vuông cân O ⇒ x A = y B ⇔ = √ √( x0 − 1) x0 = + ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = − x + + √ √ ⇔ ( x0 − 1)2 = ⇔ x0 = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = − x + − BÀI Cho đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1(Cm ) Tìm m để đồ thị hàm số cắt y = ba điểm C (0; 1), D, E mà tiếp tuyến D, E vuông góc với Lời giải Đồ thị hàm số cắt y = ba điểm ⇒ phương trình x3 + 3x2 + mx = 0có ba nghiệm phân biệt ® m < ∆ = − 4m > ⇔ x + 3x + m có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇔  m=0 m=0 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM  −3 + 473 √ − 4m  x1 = √2 Phương trình có hai nghiệm   −3 − − 4m x2 = ® x1 x2 = m x1 + x2 = −3 y ( x ) = 3x2 + 6x + m Hai tiếp tuyến hai giao điểm vng góc nên ta có y ( x1 ).y ( x2 ) = −1 ⇔ (3x12 + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = −1 ⇔ 9( x1 x2 )2 + 18x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3m√ ( x12 + x22 ) + 6m( x1 + x2 ) + 36x1 x2 + m2 + =  + 65 (tm) m=  8√ ⇔ 4m2 − 9m + = ⇔   − 65 m= (tm) BÀI Cho đồ thị hàm số y = − x3 + 3x2 − 2(C ) Tìm tất điểm đường thẳng y = mà kẻ ba tiếp tuyến tới (C ) Lời giải Ta có y ( x ) = −3x2 + 6x Ta có phương trình tiếp tuyesn điểm M( x0 ; y0 ) y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 Tiếp tuyến qua A( x A ; 2) thuộc y = nên ta có y A = y ( x0 )( x A − x0 ) + y0 ⇔ ( x0 − 2)(2x02 − x0 = (3x A − 1) x0 + 2) = ⇔ 2x0 − 3( x A − 1) x0 + = 0(∗) ® ∆>0 Từ A kẻ ba tiếp tuyến nên phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇒ xA = x A ∈ (−∞; −1) ∪ ( ; +∞)\{2} 2x − (C ) I (1; 2) BÀI Cho đồ thị hàm số y = x−1 a) Tìm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến M vng góc với MI b) Điểm N thuộc (C ), tiếp tuyến (C ) N cắt x = 1, y = hai điểm A, B Chứng minh N trung điểm AB diện tích tam giác S ABI khơng đổi Lời giải Ta có y ( x ) = −1 ( x − 1)2 a) Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C ), tiếp tuyến M có vector phương #» u (1; y ( x0 )) # » # » #» Vector MI (1 − x0 ; − y0 ), MI vng góc với tiếp tuyến nên MI u = Giải phương trình ta x0 = 2; y0 = 3; M(2; 3) x0 = 0; y = 1; M(0; 1) b) Phương trình tiếp tuyến N ( x0 ; y0 ) : y = Tiếp tuyến cắt x = A(1; 2x − −1 ( x0 − x ) + x0 − ( x0 − 1) 2x0 ), cắt y = B(2x0 − 1; 2), từ ta có N x0 − trung điểm AB Dễ thấy I A ⊥ IB nên S I AB = AI.IB = 2, diện tích tam giác IBA khơng đổi 474 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Bài tập tổng hợp x+2 (C ) Tìm điểm A nằm Oy cho từ A kẻ hai tiếp x−1 tuyến tới (C ) mà hai tiếp điểm nằm hai phía Ox Lời giải −3 Ta có y ( x ) = ( x − 1)2 Điểm A(0; y A ) thuộc Oy Phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y0 ) BÀI Cho đồ thị hàm số y = y= −3 x0 + ( x − x ) + x0 − ( x0 − 1)2 x02 + 4x0 − Điểm A nằm tiếp tuyến nên y A = ⇔ x02 (y A − 1) − 2x0 (y A + 2) + y A + = 0(∗) ( x − 12 ) Tiếp điểm nằm hai phía Oy nên (∗) có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên (y A − 1)(y A + 2) < Vậy A nằm Oy với y A ∈ (−2; 1) thoả manx đề DẠNG 1.4 Mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số Một hàm số đạo hàm điểm, tức tồn đạo hàm điểm đó, liên tục điểm ® VÍ DỤ Chứng minh hàm số f ( x ) = ( x − 1)2 , x ≥ ( x + 1)2 , x < khơng có đạo hàm x = 0, liên tục Lời giải Ta có lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0) = x →0− x →0+ nên f ( x ) liên tục x = Tiếp theo ta xét tính đạo hàm hàm số điểm x = 0, ta xét lim x →0+ f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) , lim x−0 x−0 x →0− f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) = −2; lim = khơng tồn đạo hàm f ( x ) điểm − x−0 x−0 x →0 x = ® cos x x ≥ VÍ DỤ Chứng minh hàm số y = g( x ) = khơng có đạo hàm − sin x x < điểm x = lim x →0+ Lời giải Vì lim g( x ) = 1; lim g( x ) = nên hàm số gián đoạn điểm x = 0, g( x ) khơng tồn x →0+ x →0− đạo hàm x = Bài tập tự luyện ĐẠO HÀM CẤP HAI 513 DẠNG 4.3 Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp • Nhận dạng: Số hạng tổng quát tổng có chứa thành phần dạng (k − 1).k • Phương pháp: Chọn hàm f ( x ) cho khai triển nhị thức Newtơn f ( x ) có đạo hàm cấp hai điểm tổng cần tính Lưu ý: n ∑ (k − 1)kCkn ⇒ f ( x ) = (1 + x ) n ; k =2 n ∑ (−1)k (k − 1)kCkn ⇒ f ( x ) = (1 − x ) n ; k =2 n −2 ∑ (n − k − 1)(n − k)Ckn ⇒ f ( x ) = ( x + 1) n ; k =0 n −2 ∑ (−1)k (n − k − 1)(n − k)Ckn ⇒ f ( x ) = ( x − 1) n k =0 VÍ DỤ Với n ∈ N, n ≥ 2, chứng minh 1.2C2n + 2.3C3n + · · · + (n − 1)nCnn = (n − 1)n2n−2 Lời giải Đặt S = 1.2C2n + 2.3C3n + · · · + (n − 1)nCnn = n ∑ (k − 1)kCkn k =2 Xét f ( x ) = (1 + x ) n = n ∑ Ckn xk k =0 ⇒ f ( x ) = n (1 + x ) n −1 = n ∑ kCkn xk−1 k =1 ⇒ f ( x ) = ( n − 1) n (1 + x ) n −2 n = ∑ (k − 1)kCkn xk−2 k =2 ⇒ f (1) = (n − 1)n2n−2 = n ∑ (k − 1)kCkn = S k =2 Vậy 1.2C2n + 2.3C3n + · · · + (n − 1)nCnn = (n − 1)n2n−2 VÍ DỤ Với n ∈ N, n ≥ 2, tính tổng S = 12 C1n + 22 C2n + · · · + n2 Cnn Lời giải • Cách 1: Ta có S = 12 C1n + 22 C2n + · · · + n2 Cnn = Xét n ∑ k2Ckn k =1 514 CHƯƠNG ĐẠO HÀM f ( x ) = (1 + x ) n = n ∑ Ckn xk k =0 ⇒ f ( x ) = n (1 + x ) n −1 = n ∑ kCkn xk−1 k =1 ⇒ x f ( x ) = n.x (1 + x )n−1 = n ∑ kCkn xk k =1 ⇒ ( x f ( x )) = n(1 + x )n−1 + nx (n − 1)(1 + x )n−2 = n ∑ k2Ckn xk−1 k =1 n Thay x = ta có S = ∑ k2Ckn = n2n−1 + n(n − 1)2n−2 = n(n + 1)2n−2 k =1 • Cách 2: Biến đổi S = 1.(1 + 0)C1n + 2.(1 + 1)C2n + 3.(1 + 2)C3n + · · · + n(1 + (n − 1))Cnn Khi đó, đặt S1 = C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn , S2 = 1.2C2n + 2.3C3n + · · · + (n − 1)nCnn ⇒ S = S1 + S2 Xét f ( x ) = (1 + x )n Ta có S1 = f (1) = n2n−1 , S2 = f (1) = (n − 1)n2n−2 ⇒ S = S1 + S2 = n(n + 1)2n−2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tính tổng S = 12 C12017 + 22 C22017 + · · · + 20172 C2017 2017 Lời giải Ta có 12 C1n + 22 C2n + · · · + n2 Cnn = n(n + 1)2n−2 Thay n = 2017 ta có S = 2017.2018.22015 BÀI Với n ∈ N, n ≥ 2, chứng minh 1.2C2n − 2.3C3n + · · · + (−1)n (n − 1)nCnn = Lời giải Xét f ( x ) = (1 − x ) n = n ∑ Ckn (−1)k xk k =0 ⇒ f ( x ) = − n (1 − x ) n −1 = n ∑ kCkn (−1)k xk−1 k =1 ⇒ f ( x ) = ( n − ) n (1 − x ) n −2 = n ∑ (k − 1)kCkn (−1)k xk−2 k =2 n ⇒ f (1) = = ∑ (−1)k (k − 1)kCkn k =2 Suy đpcm BÀI Với n ∈ N, n ≥ 2, tính tổng S = (n − 1)nC0n + (n − 2)(n − 1)C1n + · · · + (n − k − 1)(n − k )Ckn + · · · + 2.3Cnn−3 + 1.2Cnn−2 Lời giải Xét ĐẠO HÀM CẤP HAI 515 n ∑ Ckn xn−k f ( x ) = ( x + 1) n = k =0 ⇒ f ( x ) = n ( x + ) n −1 = n −1 ∑ (n − k)Ckn xn−k−1 k =0 ⇒ f ( x ) = ( n − ) n ( x + ) n −2 = n −2 ∑ (n − k − 1)(n − k)Ckn xn−k−2 k =0 ⇒ f (1) = (n − 1)n2n−2 = n −2 ∑ (n − k − 1)(n − k)Ckn = S k =0 Vậy S = (n − 1)n2n−2 BÀI Với n ∈ N, n ≥ 1, tính tổng S = 12 C0n + 22 C1n + · · · + (n + 1)2 Cnn Lời giải Xét f ( x ) = (1 + x ) n = n ∑ Ckn xk k =0 n ⇒ x f ( x ) = x (1 + x ) n = ∑ Ckn xk+1 k =0 ⇒ ( x f ( x )) = (1 + x + nx )(1 + x )n−1 = n ∑ (k + 1)Ckn xk k =0 n ∑ (k + 1)Ckn xk+1 ⇒ x ( x f ( x )) = ( x + x2 + nx2 )(1 + x )n−1 = k =0 ⇒ [ x ( x f ( x )) ] = (1 + 2x + 2nx )(1 + x ) n −1 2 + ( x + x + nx )(n − 1)(1 + x ) n −2 n = ∑ (k + 1)2Ckn xk k =0 n Thay x = ta có S = ∑ (k + 1)2Ckn = (n2 + 5n + 4)2n−2 k =0 BÀI Với n ∈ N, n ≥ 2, chứng minh 2.3C0n + 3.4C1n + · · · + (n + 2)(n + 3)Cnn = (n2 + 11n + 24)2n−2 Lời giải Xét f ( x ) = (1 + x ) n = n ∑ Ckn xk k =0 ⇒ x f ( x ) = x (1 + x ) n = n ∑ Ckn xk+3 k =0 ⇒ ( x3 f ( x )) = (3x2 + 3x3 + nx3 )(1 + x )n−1 = n ∑ (k + 3)Ckn xk+2 k =0 2 ⇒ ( x f ( x )) = (6x + 9x + 3nx )(1 + x ) n −1 + (3x2 + 3x3 + nx3 )(n − 1)(1 + x )n−2 n = ∑ (k + 2)(k + 3)Ckn xk+1 k =0 n Thay x = ta có VT = ∑ (k + 2)(k + 3)Ckn = (n2 + 11n + 24)2n−2 = VP k =0 516 CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI Với n ∈ N, n ≥ 1, tính tổng −2 S = (2n − 1)2nC02n + (2n − 3)(2n − 2)C22n + · · · + 1.2C2n 2n Lời giải Xét f ( x ) = ( x + 1)2n = 2n k 2n−k x ∑ C2n k =0 ⇒ f ( x ) = 2n( x + 1)2n−1 = 2n−1 k 2n−k −1 x ∑ (2n − k)C2n k =0 ⇒ f ( x ) = (2n − 1).2n.( x + 1)2n−2 = 2n−2 k 2n−k −2 x ∑ (2n − k − 1)(2n − k)C2n k =0 −3 Đặt S1 = (2n − 2)(2n − 1)C12n + (2n − 4)(2n − 3)C32n + · · · + 2.3C2n 2n Suy f (1) = (2n − 1).2n.22n−2 = 2n−2 k = S + S1 , ∑ (2n − k − 1)(2n − k)C2n k =0 2n−2 f (−1) = = k (−1)2n−k−2 = S − S1 ∑ (2n − k − 1)(2n − k)C2n k =0 Suy S = (2n − 1)n22n−2 BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI Cho n ∈ N, n ≥ thỏa mãn A3n + C3n = 42 Tính tổng (n − 1)(n − 2) S = 22 C2n − 32 C3n + 42 C4n − · · · + (−1)n n2 Cnn Lời giải Ta có n! n! A3n + C3n = 42 ⇔ + = 42(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2) (n − 3)! (n − 3)!3! n(n − 1)(n − 2) ⇔ n(n − 1)(n − 2) + = 42(n − 1)(n − 2) n ⇔ n + = 42 ⇔ n = 36 36 • S = 22 C236 − 32 C336 + 42 C436 − + 362 C36 36 = k ∑ (−1)k k2C36 k =2 • Xét f ( x ) = (1 − x )36 = 36 k (−1)k x k ∑ C36 k =0 ⇒ f ( x ) = −36(1 − x )35 = 36 k (−1)k x k−1 ∑ kC36 k =1 ⇒ x f ( x ) = −36x (1 − x ) 35 36 = k (−1)k x k ∑ kC36 k =1 ⇒ ( x f ( x )) = −36(1 − 36x )(1 − x )34 = 36 k (−1)k x k−1 ∑ k2C36 k =1 ĐẠO HÀM CẤP HAI 517 Thay x = ta có 36 0= k (−1)k = −C136 + S ⇒ S = C136 = 36 ∑ k2C36 k =1 BÀI Giải phương trình 2n+1 2n C12n+1 − 1.2.2C22n+1 + 2.22 3C32n+1 − · · · − (2n − 1)22n−1 2nC2n 2n+1 + 2n2 (2n + 1)C2n+1 = 4005 Lời giải Điều kiện: n ∈ N Ta có 2n 2n+1 C12n+1 − 1.2.2C22n+1 + 2.22 3C32n+1 − · · · − (2n − 1)22n−1 2nC2n 2n+1 + 2n2 (2n + 1)C2n+1 = 4005 4005 2n−1 2n+1 C2n+1 = (∗) ⇔ C12n+1 − 1.2C22n+1 + · · · − (2n − 1)2n22n−2 C2n 2n+1 + 2n (2n + 1)2 2 Xét f ( x ) = (−1 + x )2n+1 = 2n+1 ∑ k 2n+1−k k C2n x +1 (−1) k =0 ⇒ f ( x ) = (2n + 1)(−1 + x )2n = 2n+1 ∑ k 2n+1−k k −1 kC2n x +1 (−1) k =1 ⇒ f ( x ) = 2n(2n + 1)(−1 + x )2n−1 = 2n+1 k 2n+1−k k −2 x ∑ (k − 1)kC2n +1 (−1) k =2 2n+1 ⇒ f (2) = 2n(2n + 1) = k 2n+1−k k −2 ∑ (k − 1)kC2n +1 (−1) k =2 Suy 2n+1 4005 2n+1−k k −2 k = (∗) ⇔ (2n + 1) + ∑ (k − 1)kC2n +1 (−1) 2 k =2 4005 ⇔ (2n + 1) + 2n(2n + 1) =  n = 22 ⇔ 8n2 + 6n − 4004 = ⇔  91 n=− Vậy phương trình có nghiệm n = 22 518 CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI A ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ĐỀ SỐ 1A Câu Tính đạo hàm hàm số sau a) y = ( x√− 1)4 b) y = x x + x2 + x − c) y = …x − x+1 d) y = x−1 Lời giải a) y = 4( x − 1)3 ( x − 1) 0,5 điểm = 4( x − 1)3 0,5 điểm √ √ b) y = x x + + x x + 0,25 điểm √ x ( x + 3) = x+3+ √ 0,25 điểm x+3 3x + 0,5 điểm = √ x+3 c) y = x + + 0,5 điểm x−2 0,5 điểm y = 1− ( x − 2)2 x +1 x −1 d) y = » 0,25 điểm xx+ −1 − (x−21)2 = » 0,25 điểm xx+ … −1 x−1 · 0,5 điểm =− x + ( x − 2)2  x − 2x + x < Câu Cho hàm số f ( x ) = Tính f (0)  x ≥ x+1 Lời giải f ( x ) − f (0) x2 − 2x f (0− ) = lim = lim = −2 0,25 điểm x x x →0− x →0− −2 f ( x ) − f (0) −2x f (0+ ) = lim = lim x+1 = lim = −2 0,25 điểm x x x →0+ x →0+ x →0+ x ( x + ) Suy f (0+ ) = f (0− ) = −2 Vậy f (0) = −2 0,5 điểm Câu a) Cho hàm số f ( x ) = sin x − cos x − x2 Giải phương trình f ( x ) = b) Một vật ném lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 4, m/s Biết gia tốc trọng trường g = 9, m/s2 , hỏi sau giây (kể từ lúc bắn), vật đạt độ cao lớn nhất? Lời giải a) Ta có f ( x ) = − sin x + cos x − 0,5 điểm f ( x ) = ⇔ − sin x + cos x − = ⇔ sin x − cos x = −2 0,25 điểm 2 ⇔ √ sin x − √ cos x = − √ 0,25 điểm 5 5 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 519 Chọn số thực a thỏa mãn sin a = √ , cos b = − √ 5 Khi phương trình trở thành cos( x − a) = cos a 0,5 điểm x = k2π (k ∈ Z) 0,5 điểm ⇔ x = 2a + k2π b) y Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, gốc O mặt đất Khi đó, phương trình chuyển động vật s(t) = 4, 9t − 4, 9t 0,5 điểm v(t) = Phương trình vận tốc vật v(t) = s (t) = 4, − 9, 8t 0,5 điểm Vật đạt độ cao lớn vận tốc Xét phương trình v(t) = 0,5 điểm ⇔ 4, − 9, 8t = ⇔ t = 0,5 điểm O Câu Cho hàm số y = Lời giải 2x − Tính y(n) với số nguyên dương n x − 2x − 1 + 0,25 điểm x+2 x−4 (n) (n) 1 y(n) = + 0,25 điểm x+2 x−4 (n) (−1)n n! = Chứng minh quy nạp ta có 0,25 điểm x+2 ( x + ) n +1 (n) (−1)n n! = Chứng minh quy nạp ta có x−4 ( x − ) n +1 (−1)n n! (−1)n n! + 0,25 điểm Vậy y(n) = ( x + ) n +1 ( x − ) n +1 Ta có y = B ĐỀ SỐ 1B Câu Tính đạo hàm hàm số sau a) y = ( x√ + 5)5 b) y = x x − x2 + 4x + c) y = … x+2 x−2 d) y = x+2 Lời giải a) y = 5( x + 5)4 ( x + 5) 0,5 điểm = 5( x + 5)4 0,5 điểm √ √ b) y = x x − + x x − 0,25 điểm √ x ( x − 7) = x−7+ √ 0,25 điểm x−7 3x − 14 = √ 0,5 điểm x−7 c) y = x + − 0,5 điểm x+2 520 CHƯƠNG ĐẠO HÀM y = 1+ d) y = 0,5 điểm ( x + 2)2 x −2 x +2 » 2 xx− +2 0,25 điểm ( x +1)2 = » 0,25 điểm 2 xx− … +2 x+2 = · 0,5 điểm x − ( x + 2)2  x − 4x + x < Câu Cho hàm số f ( x ) = Tính f (0)  x ≥ x+1 Lời giải f ( x ) − f (0) x2 − 4x f (0− ) = lim = lim = −4 0,25 điểm x x x →0− x →0− −4 f ( x ) − f (0) −4x f (0+ ) = lim = lim x+1 = lim = −4 0,25 điểm x x x →0+ x →0+ x →0+ x ( x + ) Suy f (0+ ) = f (0− ) = −4 Vậy f (0) = −4 0,5 điểm Câu a) Cho hàm số f ( x ) = sin x − cos x − x2 Giải phương trình f ( x ) = b) Ném bóng lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 7, 35 m/s Biết gia tốc trọng trường g = 9, m/s2 , hỏi sau giây (kể từ lúc ném), bóng đạt độ cao lớn nhất? Lời giải a) Ta có f ( x ) = −2 sin x + cos x − 0,5 điểm f ( x ) = ⇔ −2 sin x + cos x − = ⇔ sin x − cos x = −2 0,25 điểm 2 ⇔ √ sin x − √ cos x = − √ 0,25 điểm 5 Chọn số thực a thỏa mãn sin a = √ , cos b = − √ 5 π 0,5 điểm Khi phương trình trở thành cos( x − a) = − sin a ⇔ cos( x − a) = cos a +  π x = − + k2π  ⇔ (k ∈ Z) 0,5 điểm π x = 2a + + k2π b) y Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, gốc O mặt đất Khi đó, phương trình chuyển động vật s(t) = 7, 35t − 4, 9t2 0,5 điểm v(t) = Phương trình vận tốc vật v(t) = s (t) = 7, 35 − 9, 8t 0,5 điểm Quả bóng đạt độ cao lớn vận tốc Xét phương trình v(t) = 0,5 điểm ⇔ 7, 35 − 9, 8t = ⇔ t = 0, 75 0,5 điểm O Câu Cho hàm số y = Lời giải 3x − Tính y(n) với số nguyên dương n x2 + 2x − 15 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 521 1 +2 0,25 điểm x−3 x+5 (n) (n) 1 y(n) = +2 0,25 điểm x−3 x+5 (n) (−1)n n! 0,25 điểm Chứng minh quy nạp ta có = x−3 ( x − ) n +1 (n) (−1)n n! Chứng minh quy nạp ta có = x+5 ( x + ) n +1 (−1)n n! (−1)n n! ( n ) Vậy y = +2 0,25 điểm ( x − ) n +1 ( x + ) n +1 Ta có y = C ĐỀ SỐ 2A Câu (4,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau y = x − 3(1 − x )2 1−x 1+x √ y = x2 − 2x y= Lời giải y = 3x2 − 6(1 − x ).(1 − x ) = 3x2 + 6(1 − x ) = 3x2 − 6x + y = y= (1 − x ) (1 + x ) − (1 − x )(1 + x ) −(1 + x ) − (1 − x ) −2 = = 2 (1 + x ) (1 + x ) ( x + 1)2 √ x−1 ( x2 − 2x ) =√ x2 − 2x = √ 2 x − 2x x2 − 2x √ Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x + Bằng định nghĩa, tính f (0) Lời giải f ( x ) − f (0) Ta có f (0) = lim x→ x−0 √ x+1−1 ⇒ f (0) = lim = lim = √ x →0 x →0 x ( x + 1)2 + x + + (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y = 16 cos x + 17 sin x Chứng minh y + y = Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M biết điểm M cách trục tung khoảng Lời giải Ta có y = −16 sin x + 17 cos x ⇒ y = −16 cos x − 17 sin x ⇒ y + y = −16 cos x − 17 sin x + 16 cos x + 17 sin x = (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) 522 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Điểm M cách trục tung khoảng nên x M = Mà M ∈ (C ) nên y M = ⇒ M(1; 1) Lại có y = 3x2 − ⇒ y (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến M (C ) y = 2( x − 1) + ⇔ y = 2x − (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (1 điểm) Câu (1,0 điểm) Tính tổng S = C12017 + 3C32017 + 5C52017 + + 2017C2017 2017 Lời giải Ta có 2017 (1 + x )2017 = C02017 + C12017 x + C22017 x2 + + C2017 , 2017 x 2017 (1 − x )2017 = C02017 − C12017 x + C22017 x2 − − C2017 2017 x 2017 ⇒ (1 + x )2017 − (1 − x )2017 = C12017 x + C32017 x3 + C52017 x5 + + C2017 2017 x (0,5 điểm) Đạo hàm hai vế ta 2016 2017 (1 + x )2016 + (1 − x )2016 = C12017 + 3C32017 x2 + 5C52017 x4 + + 2017C2017 2017 x Thay x = ta 2017 (1 + 1)2016 − (1 − 1)2016 = C12017 + 3C32017 + 5C52017 + + 2017C2017 2017 2015 ⇒ S = C12017 + 3C32017 + 5C52017 + + 2017C2017 2017 = 2017.2 (0,5 điểm) D ĐỀ SỐ 2B Câu (4,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau y = (1 − x )3 − x2 x+1 1−x √ y = x − 2x2 y= Lời giải y = 3(1 − x )2 (1 − x ) − y = 2x = −3(1 − x )2 − x (2 điểm) ( x + 1) (1 − x ) − (1 − x ) (1 + x ) (1 − x ) + (1 + x ) = = 2 (1 − x ) (1 − x ) (1 − x )2 (1 điểm) (2x − x2 ) − 2x 1−x = √ =√ 2 2x − x 2x − x 2x − x2 (1 điểm) y = √ Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + √ cos x Giải phương trình f ( x ) = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 523 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x + giao điểm đồ thị hàm số với trục tung Lời giải √ Ta có y = cos x − √ sin x ⇒ y = − sin x − Khi (0,5 điểm) (0,5 điểm) cos x √ y = ⇔ − sin x − cos x = √ ⇔ sin x + cos x = π ⇔ sin x + =0 π π ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ 3 π Vậy nghiệm phương trình x = − + kπ (k ∈ Z) ( k ∈ Z) (1 điểm) Gọi M giao đồ thị hàm số với trục tung ⇒ x M = ⇒ y M = ⇒ M(0; 2) Ta có y = 3x2 + ⇒ y (0) = Phương trình tiếp tuyến M y = 3( x − 0) + ⇔ y = 3x + Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = Lời giải Ta có f ( x ) = x2 − 4x + − m Khi (0,5 điểm) (0,5 điểm) (1 điểm) x3 − 2x2 + (3 − m) x − Tìm m để f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R (0,25 điểm) f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ x2 − 4x + − m ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ g( x ) = x2 − 4x + ≥ m, ∀ x ∈ R ⇔ g( x ) ≥ m x ∈R Mà g( x ) = ( x − 2)2 (0,5 điểm) (0,25 điểm) − ≥ −1 ⇒ g( x ) = −1 ⇒ m ≤ −1 x ∈R t2 Câu (1,0 điểm) Một vật chuyển động theo quy luật s = − (t − 2)3 + + 4t − với t (giây) 3 khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian từ giây thứ nhất, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, đến giây thứ 5, vận tốc lớn nhỏ vật bao nhiêu? Lời giải Vận tốc vật v(t) = s = −(t − 2)2 + t + = −t2 + 5t với t ∈ [1; 5] (0,25 điểm) 25 Ta có v(t) hàm bậc có đồ thị đương parabol có đỉnh I ; Ta có bảng biến thiên x 5 25 v(t) 524 CHƯƠNG ĐẠO HÀM (0,5 điểm) 25 ⇒ Vận tốc lớn (m/s) vận tốc nhỏ (m/s) E (0,25 điểm) ĐỀ SỐ 3A Câu (4,0 điểm) Tìm đạo hàm hàm số sau: y = x3 − 3x2 + 4x − 2017; y= x2 − x + ; x+1 y = sin2 2x; … y= tan 2017x − π Lời giải Ta có y = 3x2 − 6x + Ta có y = (2x − 1)( x + 1) − ( x2 − x + 2) x2 + 2x − = · ( x + 1)2 ( x + 1)2 Ta có y = · sin 2x · (sin 2x ) = · sin 2x · (cos 2x ) · = cos 4x π tan 2017x − 4 Ta có y = … π tan 2017x − = · cos2 2017 … π π 2017x − · tan 2017x − 4 Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + có đồ thị (C ) Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ 2; Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc −1 Lời giải Ta có, y = 3x2 − 4x Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = cho công thức k = f (2) = Vậy hệ số góc cần tìm k = Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến cần tìm  Khi đó, ta có k = f ( x0 ) ⇒ 3x02 − 4x0 = −1 ⇔ 3x02 − 4x0 + = ⇔  Với x0 = ta y0 = Phương trình tiếp tuyến M1 (1; 3) y = − x + x0 = 1 x0 = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG Với x0 = 525 103 ta y0 = · 27 Phương trình tiếp tuyến điểm M2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 103 ; 27 y = − x + 112 · 27 x−2 · x−1 Tính đạo hàm y hàm số cho; Chứng minh đẳng thức 2y + ( x − 1) · y = Lời giải Ta có y = ( x − 1) − ( x − 2) = · ( x − 1) ( x − 1)2 Theo câu a) ta có y = ( x − 1)2 · ( x − 1) −2 y =− = ( x − 1)3 ( x − 1) Khi đó, 2y + ( x − 1) · y = nên ( x − 1) − · ( x − 1) ( x − 1) = ( x − 1) − ( x − 1)2 = (điều phải chứng minh) Câu (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức 2017 − C12018 + 2C22018 + 3C32018 + · · · + 2017C2017 2018 = 2018 Lời giải 2017 + C2018 x2018 Xét hàm số y = (1 + x )2018 = + C12018 x + C22018 x2 + C32018 x3 + · · · + C2017 2018 x 2018 Đạo hàm hai vế ta được: 2016 + 2018x 2017 2018 (1 + x )2017 = C12018 + 2C22018 x + 3C32018 x2 + · · · + 2017C2017 2018 x Chọn x = ta được: 2018 · 22017 = C12018 + 2C22018 + 3C32018 + · · · + 2017 · C2017 2018 + 2018 ⇔ 22017 − 2018 = C12018 + 2C22018 + 3C32018 + · · · + 2017 · C2017 2018 F ĐỀ SỐ 3B Câu (4,0 điểm) Tìm đạo hàm hàm số sau: y = x2018 − x2017 + 2016; y= − 2x ; x+3 y = x2 sin x; y= tan ( x2 + 1) 526 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Lời giải Ta có y = 2018x2017 − 2017x2016 Ta có y = −7 (−2)( x + 3) − (1 − 2x ) = · ( x + 3) ( x + 3)2 Ta có y = x2 sin x Ta có y = = 2x sin x + x2 cos x tan x2 + tan ( x2 + 1) = Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = 2x · cos2 ( x2 + 1) · tan ( x2 + 1) = x cos2 ( x2 + 1) · tan ( x2 + 1) x − x + có đồ thị (C ) Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ −2; Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = 6x + 2017 Lời giải Ta có, y = x2 − x Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = −2 cho cơng thức k = f (−2) = Vậy hệ số góc cần tìm k = Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến cần tìm Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = 6x + 2017 nên tiếp tuyến có dạng y = 6x + b với b = 2017, có hệ số góc k = x0 = Khi đó, ta có k = f ( x0 ) ⇒ x02 − x0 = ⇔ x02 − x0 − = ⇔ x0 = −2 Với x0 = ta y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến M1 3; 11 lày = 6x − −11 −11 Vậy Phương trình tiếp tuyến điểm M2 −2; 25 · Với x0 = −2 ta y0 = y = 6x + 25 · Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx + 2017, với m tham số Tìm m để y > với giá trị tham số m Lời giải Ta có, y = 3x2 − 6x + m Theo đề bài: y > với m − 6x + m > với giá trị m ⇔ 3x ® a=3>0 ⇔ ⇔ m > ∆y = − 3m < Vậy m > y > với giá trị tham số m · ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 527 Câu (1,0 điểm) Một vật chuyển động với phương trình S = t2 − 25t − tính mét (m), t khoảng thời gian tính giây (s) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 20s Lời giải Ta có S = 2t − 25 Vận tốc tức thời thời điểm t = 20s cho công thức: v(20) = S (20) = 2.20 − 25 = 15 m/s Vậy vận tốc tức thời thời điểm 20s 15 m/s ... nói đạo hàm y đạo hàm cấp hai hàm số y = f ( x ) Hàm số đạo hàm hàm y kí hiệu y Đạo hàm cấp 3, 4, hàm số định nghĩa tương tự kí hiệu y(3) , y(4) B CÁC DẠNG TỐN DẠNG 4.1 Tính đạo hàm cấp... CÁC DẠNG TỐN DẠNG 3.1 Tính đạo hàm hàm số lượng giác Áp dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, bậc hai, 488 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÍ DỤ Tính đạo hàm. .. nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi có đạo hàm đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện sau: - Có đạo hàm x ∈ ( a; b); - Có đạo hàm bên phải x = a; - Có đạo hàm bên trái x = b B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.1 Tính đạo hàm