Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG BÀI A 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) (II) (I) + cos O A (−1; 0) (III) (IV) A (1; 0) B (0; −1) Góc phần tư II III IV Giá trị lượng giác I sin α cos α tan α cot α + + + + + − − − − − + + − + − − Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = Cung góc liên kết Cung đối Cung bù cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α Cung phụ cos π π − α = sin α − α = cos α π tan − α = cot α π cot − α = tan α sin Cung π cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α Cung π + α = − sin α π sin + α = cos α π tan + α = − cot α π cot + α = − tan α cos π Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a + tan b tan(a + b) = − tan a tan b π + tan x tan +x = − tan x 13 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a tan b π − tan x tan −x = + tan x 14 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cơng thức nhân đơi, cơng thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc − cos 2α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan2 α = + cos 2α + cos 2α cot α = − cos 2α sin2 α = sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Công thức nhân sin 3α = sin α − sin3 α tan 3α = cos 3α = cos3 α − cos α tan α − tan3 α − tan2 α Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b a+b a−b sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin( b − a) cot a − cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos cos a − cos b = −2 sin Đặt biệt sin x + cos x = sin x + π = cos x − π sin x − cos x = sin x − π = − cos x + π Cơng thức biến đổi tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ rad sin α cos α tan α cot α kxđ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ π π π π 3 2 2 3 2 2π 3 − 3π 2 − kxđ − −1 5π − − 3 3 3 −1 − − 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác có tọa độ M (cos α, sin α) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 15 y (0, 1) − 12 , 2 , − 3π 2 , π 2π 3 ,2 − 2, ◦ π 90◦ 120 5π 60 150◦ (−1, 0) π 30◦ 240 4π 2 ,− − 12 , − x 330◦ ◦ 5π ,−2 (1, 0) 2π 360 0◦ ◦ 210◦ − π 180◦ 7π − ,2 π ◦ 11π ◦ 300 270◦ 7π 5π 3π ,−2 2 ,− 3 2,− (0, −1) BÀI A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f ( x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f ( x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x) xác định tập (a; b) ⊂ R Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) c) Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f ( x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta có ( x + T ) ∈ D ( x − T ) ∈ D f ( x + T ) = f ( x) Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Hàm số y = sin x Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ◦ ◦ ≤ | sin x| ≤ ≤ sin2 x ≤ 16 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = f ( x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f ( x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin ( x + k2π) = sin x Hàm số y = sin(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = 2π | a| π π 2 Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; 3π + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 π ◦ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ + k2π nghịch biến khoảng π + k2π sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y − π2 −π π π x Hàm số y = cos x Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ | cos x| ≤ ≤ cos2 x ≤ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f ( x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung O y làm trục đối xứng Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos( x + 2π) = cos x Hàm số y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = 2π | a| Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng ( k2π; π + k2π) , k ∈ Z Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ ◦ cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π cos x = ⇔ x = + kπ Đồ thị hàm số y −π − π2 π x π Hàm số y = tan x Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ xác định ⇔ f ( x) = π π + kπ, k ∈ Z , nghĩa x = π + kπ ⇒ hàm số y = tan [ f ( x)] + kπ; ( k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = π π 2 Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z π | a| HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 17 Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z tan x = ⇔ x = kπ tan x = ⇔ x = ◦ ◦ ◦ Đồ thị hàm số y −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R\{kπ, k ∈ Z}, nghĩa x = kπ ⇒ hàm số y = cot [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) = kπ; ( k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = y = cot x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z ◦ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ π + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π cot x = ⇔ x = kπ cot x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y −π − 32π 3π − π2 O π π x π | a| 18 B CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: y = tan f ( x) = sin f ( x) π ; Điều kiện xác định: cos f ( x) = ⇔ f ( x) = + kπ, (k ∈ Z) cos f ( x) 2 y = cot f ( x) = cos f ( x) ; Điều kiện xác định: sin f ( x) = ⇔ f ( x) = kπ, (k ∈ Z) sin f ( x) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: , điều kiện xác định P ( x) = P ( x) y = 2n P ( x), điều kiện xác định P ( x ≥ 0) y= y= Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f ( x); cos f ( x) ≤ A · B = ⇔ 2n P ( x) , điều kiện xác định P ( x) > A=0 B = Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt:  sin x = ⇔ x = π π tan x = ⇔ x = + kπ    tan x = ⇔ x = kπ   π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ  π cot x = ⇔ x = + kπ   π   cot x = ⇔ x = + kπ   π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ  + k 2π    sin x = ⇔ x = kπ   π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π cos x = ⇔ x = k2π  π   cos x = ⇔ x = + kπ  cos x = −1 ⇔ x = π + k2π  VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = sin x tan2 x − … + − cos x π π ĐS: D = R\ ± + kπ; + kπ; π + k2π + cos x Lời giải  tan2 x − =        cos x = Điều kiện xác định hàm số: − cos x  ≥0    + cos x    cos x = −1 ≤ − cos x ≤ − cos x Do −1 ≤ cos x ≤ nên ⇐ Từ suy ra: ≥ , ∀ x ∈ R + cos x ≤ + cos x ≤  π   x = ± + kπ    π π Vậy hàm số xác định x = π + kπ , nên D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π      x = π + k2π VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = 4π − x cos x ĐS: D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = Lời giải Điều kiện xác định hàm số: 4π − x ≥ cos x =   − 2π ≤ x ≤ 2π π ⇔ Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = + kπ π  x = + k π 2 π + kπ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y = cos x y= ĐS: D = R \ {0} + cos x sin x ĐS: D = R \ {kπ} π kπ π ĐS: D = R \ + ; + k2π 2 tan x y= sin x − … y= cos x − − sin x ĐS: D = [0; +∞) cos x y= tan x + cos2 x … y= cos x + sin x + ĐS: D = R \ π + kπ π ĐS: D = R \ − + k2π ĐS: D = ∅ Lời giải Điều kiện xác định: x = Điều kiện xác định: x ≥ ⇔ x ≥ Điều kiện xác định: sin x = ⇔ x = kπ Điều kiện xác định: cos x = ⇔ x = π + kπ ⇔ x =  π kπ  cos x =  x = + Điều kiện xác định: ⇔  sin x =  x = π + k 2π   cos x + ≥ Điều kiện xác định: sin x +  sin x + = cos x + ≥ 0; ∀ x ∈ R Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên sin x + π Vậy hàm số xác định x = − + k2π   cos x − ≥ Điều kiện xác định: − sin x  − sin x = cos x − Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≤ 0; ∀ x ∈ R − sin x π + kπ Vậy tập xác định hàm số là: ∅ BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π2 − x y= sin x ĐS: D = −π ≤ x ≤ π; x = tan x − … π π 2 π tan x − + kπ ĐS: D = R \ 3π kπ 5π + ; + k 2π 8 π ĐS: D = R \ π 3π + k π ; − + k 2π 4 − sin x − y= π ĐS: D = − ≤ x ≤ ; x = π2 − x2 + tan x y= kπ π π − cos x + Lời giải Điều kiện xác định:  −π ≤ x ≤ π ⇔  x = kπ sin x = π2 − x ≥ 20 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π π  − ≤ x ≤ 2 ⇔ Điều kiện xác định:  cos x =  x = π + kπ    π π     =0 =0  cos x − x =  cos x − 4 ⇔ ⇔ Điều kiện xác định: π π    1 − sin x −  1 − sin x − >0 =0 x = 8   π 3π   =0  cos x − x = + kπ 4 ⇔ Điều kiện xác định: π   1 − cos x +  x = − π + k2π =0 3 π2 − x ≥ 3π kπ + 5π + k2π BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: … + sin x y= ĐS: D = R \ {π + k2π} cos x + … y= y= y= − sin x + cos x ĐS: D = R \ {π + k2π} cos x + tan x − sin x tan x sin x + ĐS: D = R \ ĐS: D = R \ π + π + kπ y= cot x − cos2 x y= x sin π x y= x2 + x cos x ĐS: D = R \ kπ ĐS: D = [0; +∞) \ Z ĐS: D = R \ π + k π; kπ π ; − + k 2π 2 BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π −x cos x − + tan y= y= − sin x cos x + y= cos x − cos x y = cot x + y= y= ĐS: D = R \ {π + k2π} + cot tan2 π ĐS: D = R \ − + … kπ π kπ ; + π ĐS: D = R \ + kπ ĐS: D = R \ − + kπ; k2π π ĐS: D = R \ − + kπ; π DẠNG 2.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp giải: Dựa vào tập giá trị hàm số lượng giác, chẳng hạn ◦ −1 ≤ sin x ≤ ⇒ π π + cos x − cos x +x 3x − kπ ĐS: D = R \ ± + kπ + π ĐS: D = R \ kπ; tan2 x − sin2 x − cos2 x π · tan x + sin x − y = cot x + y= π π ĐS: D = R \ − + kπ ≤ | sin x| ≤ −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ sin x ≤ ◦ Biến đổi đưa dạng m ≤ y ≤ M ≤ | cos x| ≤ ≤ cos2 x ≤ π kπ π kπ + ; + 12 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 21 Kết luận: max y = M y = m VÍ DỤ VÍ DỤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) = − cos2 x sin x ĐS: y = , max y = Lời giải Ta có y = f ( x) = − cos2 x sin2 x Do ≤ sin2 x ≤ nên ≥ − sin2 x ≥ Suy =… − (2 cos x sin x)2 =… − sin2 x 4 ≤ y= … ≤ 5 − sin x sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y= sin x = sin x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = 4 Vậy y = max y = ◦ y= VÍ DỤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f ( x) = sin2 x + cos2 x − cos x − ĐS: y = −1, max y = Lời giải Ta có f ( x) = sin2 x + cos2 x − cos x − = sin2 x + cos2 x + cos2 x − cos2 x − − = − cos2 x Do ≤ cos2 x ≤ nên ≥ f ( x) = − cos2 x ≥ −1 π ◦ f ( x) = cos x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = ◦ f ( x) = −1 cos2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max f ( x) = f ( x) = −1 π π VÍ DỤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f ( x) = sin6 x + cos6 x + 2, ∀ x ∈ − ; 2 max y = Lời giải Ta có f ( x) = = sin6 x + cos6 x + = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x + 3 − (2 sin x cos x)2 + = − sin2 x 4 Do ≤ sin2 x ≤ nên ≥ f ( x) ≥ ◦ f ( x) = sin x = ⇔ x = ± π π sin2 x = ⇔ x = ± 4 Vậy max f ( x) = f ( x) = ◦ f ( x) = π π x = x ∈ − ; π π x ∈ − ; 2 2 ĐS: y = , 22 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: ĐS: y = + 4, max y = 14 y = + cos x + y= ĐS: y = 0, max y = − cos x y = sin2 x − ĐS: y = −4, max y = −1 y = − sin2 x cos2 x ĐS: y = 11 , max y = 4 ĐS: y = 1, max y = y = − 2| sin x| Lời giải Do −1 ≤ cos x ≤ nên ≤ + cos x ≤ Suy + ≤ y = + cos x + ≤ 14 π ◦ y = + cos x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = ◦ y = 14 cos x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = + max y = 14 Do −1 ≤ cos x ≤ nên ◦ y= 2≥ y= − cos x ≥ cos x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = cos x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max y = y = Do ≤ sin2 x ≤ nên −4 ≤ y = sin2 x − ≤ −1 ◦ y = −4 sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = −1 sin2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = −4 max y = −1 Ta có 5 y = − sin2 x cos2 x = − (2 sin x cos x)2 = − sin2 x 4 11 Do ≤ sin2 x ≤ nên ≥ y ≥ ◦ y = sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = 11 π ◦ y= sin2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = 4 11 Vậy max y = y = Do ≤ | sin x| ≤ nên ≥ y = − 2| sin x| ≥ ◦ y = sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = | sin x| = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max y = y = BÀI Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: y = − sin2 x − cos x + ĐS: y = , max y = y = sin4 x − cos2 x + y = cos2 x + sin x + ĐS: y = 0, max y = 4 y = sin4 x + cos4 x + ĐS: y = , max y = ĐS: y = 1, max y = y = sin6 x + cos6 x ĐS: y = , max y = y= − cos x + sin2 x y = sin x + cos x + ĐS: y = 2, max y = ĐS: y = −1, max y = ... Đồ thị hàm số y −π − 32π 3π − π2 O π π x π | a| 18 B CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để... x) hàm số chẵn y = f ( x) = sin − x2 ĐS: f ( x) hàm số chẵn y = f ( x) = sin2 x + cos x ĐS: f ( x) hàm số chẵn 28 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG BÀI A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC... −1) BÀI A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f ( x) Đồ thị hàm số chẵn