Hướng dẫn giải các dạng toán giới hạn

CHƯƠNG BÀI GIỚI HẠN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực |un | nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay lim un = n→+∞ VÍ DỤ 1 = n→+∞ n2 lim Định nghĩa Dãy số (un ) có giới hạn a |un − a| có giới hạn Nghĩa là: lim un = a ⇔ lim (un − a) = n→+∞ VÍ DỤ 2 n→+∞ 2n + = n→+∞ n + lim CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí lim 1 = 0; lim k = với k số nguyên dương n n lim qn = |q| < Định lí Nếu lim un = a lim = b lim (un ± ) = a ± b, lim (un ) = a.b, lim un = a (nếu b b = 0) Nếu un ≥ với n lim un = a a ≥ lim √ un = √ a TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Định nghĩa Cấp số nhân vô hạn (un ) có cơng bội q thoả mãn |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Định lí Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un ), ta có tổng cấp số nhân lùi vơ hạn S = u1 + u2 + u3 + + un + = 367 u1 , (|q| < 1) 1−q 368 CHƯƠNG GIỚI HẠN GIỚI HẠN VƠ CỰC Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn −∞ n → +∞, lim(−un ) = +∞ Kí hiệu: lim un = −∞ Định lí un a) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim = un b) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim = +∞ c) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ B CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1.1 Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn Để chứng minh lim un = L ta chứng minh lim (un − L) = VÍ DỤ Chứng minh a lim − n3 n3 + = −1 b lim n2 + 3n + 2n2 + n = Lời giải a Ta có lim Mà lim − n3 − (−1) n3 + 1 1 Vì ≤ , ∀ n ∈ N∗ < n3 + n3 + n3 − n3 = Do lim = −1 n3 + n3 + = lim = nên suy lim n3 n2 + 3n + 5n + − = lim 2 2n + n (2n2 + n) 5n + 5n + 5 Vì < < = , ∀n ∈ N∗ Mà lim 2n (n + 1) n (2n + n) 5n + n2 + 3n + Nên suy lim = Do lim = (2n2 + n) 2n2 + n b Ta có lim n = lim = n VÍ DỤ Chứng minh a lim 3.3n − sin 3n 3n Lời giải =3 b lim √ n2 + n − n = GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 369 3.3n − sin 3n − sin 3n − = lim 3n 3n 1 n − sin 3n |− sin 3n| = ≤ = , ∀ n ∈ N∗ Vì ≤ 3n 3n 3n n − sin 3n = Do lim Mà lim = nên suy lim 3n a Ta có lim b Ta có lim √ Vì ≤ n2 + n − n − √ 3.3n − sin 3n 3n = √ n2 + n − (2n + 1) −1 = lim = lim √ 2 n2 + n + (2n + 1) −1 ≤ 2 n2 + n + (2n + 1) √ ≤ 2 n2 + n + (2n + 1) 2 n2 + 2n = 1 1 −1 Mà lim = lim = nên suy lim √ n n 2 n2 + n + (2n + 1) √ Do lim n2 + n − n = √ 1 , ∀ n ∈ N∗ n = BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Chứng minh 2n2 + n a lim =2 n +4 b lim 6n + =6 n+5 c lim 7n − 2.8n = −2 8n + 3n d lim 2.3n + 5n = 5n + 3n Lời giải a Ta có lim Mà lim 2n2 + n −2 n2 + n−8 n−8 n Vì ≤ ≤ = n n +4 n +4 n 2 2n + n 2n + n − = Do lim = 2 n +4 n +4 = lim = nên suy lim n 6n + −28 − = lim n+5 n+5 −28 28 28 Vì < Mà lim = nên lim n+5 n n b Ta có lim 6n + −6 n+5 = Do lim 6n + = n+5 7n − 2.8n 7n + 2.3n + = lim 8n + 3n 8n + 3n n n n n + 2.3 + 2.3 3.7n n Vì < < < = 8n + 3n 8n + 3n 8n n 7n − 2.8n 7n − 2.8n Mà lim = nên lim + = Do lim = −2 8n + 3n 8n + 3n c Ta có lim 370 CHƯƠNG GIỚI HẠN 2.3n + 5n 3n − = lim 5n + 3n 5n + 3n 3n n 3n < < < n + 3n 5n + 3n n n 2.3 + 5n Mà lim −1 = nên lim 5n + 3n d Ta có lim = Do lim BÀI Chứng minh √ a lim 4n2 + 4n − 2n = √ b lim 2.3n + 5n = 5n + 3n √ n2 + 2n − n =0 n √ n3 + 2n − n = d lim c lim n + sinn n √ =1 n+1 Lời giải √ −1 4n2 + 4n + 2n + −1 1 Vì ≤ √ ≤√ < = 2n + 2n 4n 4n2 + 4n + 2n + 4n2 + 4n + 2n + √ √ 4n2 + 4n − 2n − = Do lim 4n2 + 4n − 2n = Mà lim = nên lim 4n √ n + sinn n sinn n − √ − = lim √ b Ta có lim n+1 n+1 sinn n − Vì ≤ √ 0, ∀n ≥ Ta có xn+1 − xn = 4 Suy ( xn ) dãy tăng ngặt Giả sử ( xn ) bị chặn suy ( xn ) có giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = L suy L ≥ 2017 Khi ta có: Từ L= L4 + ⇔ L4 − 4L + = ⇔ ( L − 1)2 L2 + 2L + = ⇔ L = 1, vô lý Vậy lim xn = +∞ ( xn − 1) xn2 + 2xn + x n +1 − x n Ta có = , ∀n ≥ x n +1 − ( xn + 1) ( xn2 + 1) Do đó: xn2 + 2xn + x n +1 − x n 1 + = = = − , ∀n ≥ xn + xn + x n − x n +1 − ( x n +1 − ) ( x n − ) ( x n + 1) ( x n + 1) Suy n yn = ∑ i =1 Do lim x n +1 − 1 + xi + xi + = 1 − , ∀n ≥ 2016 xn+1 − = nên dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn lim yn = 2016 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 449 BÀI (1,0 điểm) Cho hình vng H0 cạnh Ta chia cạnh hình vng làm ba đoạn thẳng nhau, dựng đoạn thẳng giữa, phía ngồi hình vng ban đầu hình vng có độ dài đoạn thẳng đó, sau xố đoạn thẳng đi, ta thu hình gọi H1 Ta lại chia cạnh hình H1 thành ba đoạn nhau, dựng đoạn thẳng giữa, phía ngồi H1 hình vng có độ dài độ dài đoạn thẳng đó, sau xố đoạn thẳng đi, ta hình H2 Cứ lặp lại trình ta dãy hình ( Hn )n≥0 Gọi Sn diện tích hình Hn Tính lim Sn H0 H1 Lời giải Đáp án Gọi an , bn số cạnh độ dài cạnh hình Hn Ta thấy a0 = b0 = Mỗi cạnh hình Hn sau chuyển thành hình Hn+1 sinh đường gấp khúc gồm đoạn thẳng, suy an+1 = 5an = · 5n Dễ thấy sau lần chuyển hình độ dài cạnh giảm ban bn đầu nên bn+1 = = n 3 Để ý rằng, cách dựng hình nên Sn+1 tổng Sn với tất hình vng dựng thêm q trình chuyển Hn thành Hn+1 Do Điểm 0,5 Sn+1 = Sn + an · bn2 +1 = Sn−1 + an−1 · bn2 + an · bn2 +1 = · · · = S0 + a0 · b12 + a1 b22 + · · · + an · bn2 +1 = 1+4· +4·5· +4·5· = 1+ 1+ + 9 = 1+4· = 1+ = 2− · 1− Vậy lim Sn = lim − 1− n +1 + · · · + · 5n · 1 + · · · + · 5n · n +1 9 5 n +···+ 9 n +1 32 n = 2 3n +1 0,5 450 CHƯƠNG GIỚI HẠN Nhận xét Gọi H hình vng nhận đỉnh hình H0 làm trung điểm cạnh Khi ta thấy miền Hn "phủ"√đầy miền H n −→ +∞ Do diện tích Sn tiến dần đến diện tích hình H hình vng cạnh Vậy lim Sn = F ĐỀ SỐ 3B BÀI (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau n3 + 4n + 1 lim 2n3 + 3n2 n2 + 2n + lim n + n2 + n + Lời giải Đáp án + + n + 4n + n2 n3 = lim Ta có lim 3 2n + 3n 2+ n Do lim + + = lim + n n n n + 4n + 1 lim = 2 2n + 3n Điểm 0,5 = nên ta suy 0,5 Đáp án 1 + 2+ n2 + 2n + n Ta có lim = lim n n 1 n + n2 + n + 1+ + + n n n 1 1 Do lim + 2+ = lim + + n n n n n n n + 2n + lim =0 n + n2 + n + Điểm 0,5 = nên 0,5 BÀI (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau x n − nx + n − , với n nguyên dương ( x − 1)2 x →1 √ lim x2 + x − x lim x →+∞ Lời giải Đáp án Điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 451 x n − nx + n − x n −1 + x n −2 + · · · + x + − n 0,5 = lim x−1 ( x − 1)2 x →1 x →1 = lim x n−2 + 2x n−3 + 3x n−3 + · · · + (n − 1) x = + + + · · · (n − 1) x →1 0,5 n ( n − 1) = lim Đáp án √ lim x2 + − x = lim √ 2+2+x x →+∞ x √ Do lim x2 + x + x = +∞ Suy lim x →+∞ x →+∞ Điểm 0,5 √ x2 + x − x = 0,5 BÀI (3,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau liên tục tập xác định √   7x − 10 − x > x−2 f (x) =  mx − x ≤  x3 sin x = f (x) = x m x = Lời giải Đáp án Điểm √ 7x − 10 − 7x − 14 √ = lim + x−2 x →2 ( x − ) 7x − 10 + 7 = = lim √ x →2+ 7x − 10 + 1 lim f ( x ) = lim mx − = 2m − − − 4 x →2 x →2 Hàm số cho liên tục tập xác định lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim x →2+ x →2+ f (2) hay 2m − = , tức m = 4 x →2+ x →2− 0,5 0,5 0,5 0,5 Đáp án Điểm Ta có x3 sin ≤ x3 mà lim x3 = nên lim f ( x ) = x →0 x →0 x Do hàm số f ( x ) liên tục tập xác định m = f (0) = lim f ( x ) = x →0 0,5 0,5 452 CHƯƠNG GIỚI HẠN BÀI (2, điểm) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) với 7a + 5b + 4c = Chứng minh rằng, phương trình cho ln có nghiệm đoạn [1; 2] Lời giải Đáp án Đặt f ( x ) = ax2 + bx + c Dễ thấy f ( x ) liên tục [1; 2] Ta có f (1) = a + b + c f (2) = 4a + 2b + c Suy f (1) + f (2) = 0, f (1) · f (2) ≤ Theo định lí giá trị trung gian tồn c ∈ [1; 2] cho f (c) = Ta có điều phải chứng minh Điểm 0,5 0, 0,5 0,5 BÀI (1 điểm) Cho hai số dương a, b dãy (un ) cho  u1 = a, u2 = b u + u n +1  u n +2 = n , n = 1, Tìm giới hạn lim un Lời giải Đáp án Điểm Trừ hai vế un+2 u n + u n +1 = cho un+1 ta u n +2 − u n +1 = − ( u n +1 − u n )  v1 = b − a Đặt vn+1 = un+2 − un+1 , ta có vn+1 = − , n = 1, 2, n −1 ( b − a ) Suy = − Ta có 0,5 u n +2 = u n +2 − u n +1 + u n +1 − u n + · · · + u − u + u = v n +1 + v n + · · · + v + u 1− − = (b − a) · 1− − 2 = (b − a) − − Do lim un = lim un+2 = lim a + 2b n +1 + u1 0,5 n +1 + a (b − a) − − n +1 +a = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV G 453 ĐỀ SỐ 4A BÀI (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: 2n2 + n − 1 lim n2 + 3n +2 − 2n + lim 2.3n + 2n + Lời giải 1 2+ − 2n2 + n − n n 0,5 điểm A = lim = lim n2 + 1+ n 2+0−0 A= = 0,5 điểm 1+0 n n 9− + 3n +2 − 2n + 9.3n − 2n + 3 B = lim = lim n = lim 0,5 điểm n n n n 2.3 + + 2.3 + + n 2+ + 3 − + 4.0 = 0,5 điểm B= 2+0+0 BÀI (3,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: x2 − 9x + lim 1−x x →1 √ 3x − − lim x →2 x2 − √ lim x →−∞ lim x →+∞ 16x2 + + x+1 2x − √ 4x2 + x + Lời giải ( x − 1)( x − 8) x2 − 9x + = lim 0,25 điểm 1−x 1−x x →1 x →1 A = lim (8 − x ) = 0,5 điểm A = lim x →1 √ B = lim x →2 3x − − 3x − √ = lim 0,25 điểm x →2 ( x − 2)( x + 2) x −4 3x − + √ 0,25 điểm x →2 ( x + ) 3x − + 3 B= = 0,25 điểm (2 + 2) · (2 + 2) 16 … √ − x 16 + + 16x2 + + x C = lim = lim 0,25 điểm x →−∞ x →−∞ x+1 x+1 … − 16 + + x 0,25 điểm x C = lim x →−∞ 1+ x −4 + C= = −4 0,25 điểm 1+0 B = lim 454 CHƯƠNG GIỚI HẠN D = lim x →+∞ 2x − √ −x − √ 0,25 điểm x →+∞ 2x + 4x2 + x + 4x2 + x + = lim −1 − x … D = lim 0,25 điểm x →+∞ 1 2+ 4+ + x x −1 D= = − 0,25 điểm 2+2   2x − x − x = BÀI (2,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = Tìm m để hàm số liên tục x−1  m+1 x = điểm x = Lời giải 2x2 − x − (2x + 1)( x − 1) Ta có: lim f ( x ) = lim = lim 0,5 điểm x−1 x−1 x →1 x →1 x →1 lim f ( x ) = lim (2x + 1) = 0,5 điểm x →1 x →1 Theo giả thiết f (1) = m + 0,25 điểm Hàm số liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ m + = ⇔ m = 0,5 điểm x →1 Vậy m = 0,25 điểm BÀI (1,5 điểm) Chứng minh phương trình 2x5 − 7x − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 2) Lời giải Đặt f ( x ) = 2x5 − 7x − Khi f ( x ) liên tục R, suy hàm số f ( x ) liên tục [0; 2] 0,5 điểm Ta có: f (0) = −1, f (2) = 49 ⇒ f (0) f (2) < 0,5 điểm Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (0; 2) 0,5 điểm BÀI (1,5 điểm) Cho phương trình m( x + 1)( x − 2)11 + 3x − = Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Lời giải Đặt f ( x ) = m( x + 1)( x − 2)11 + 3x − = Khi f ( x ) liên tục R, suy hàm số f ( x ) liên tục [−1; 2] 0,5 điểm Ta có: f (−1) = −7, f (2) = ⇒ f (−1) f (2) < 0,5 điểm ⇒ f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (−1; 2), ∀m 0,5 điểm H ĐỀ SỐ 4B BÀI (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: √ lim(n3 + 3n2 + n − 10) lim 4n2 + 6n + − n 3n + Lời giải 10 + 2− 0,5 điểm n n n 10 A = +∞ lim n3 = +∞ lim + + − = > 0,5 điểm n n n A = lim(n3 + 3n2 + n − 10) = lim n3 1+ ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV √ B = lim B= 455 … 4n2 + 6n + − n = lim 3n + 4+ + −1 n n 0,5 điểm 3+ n 2−1 = 0,5 điểm 3+0 BÀI (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: √ x2 − lim x →1+ ( x − ) 2 lim x →3 √ x + + − 2x − x−3 Lời giải x2 − x+1 = lim 0,25 điểm ( x − ) x →1+ x − 1 A = lim x →1+ A = +∞ lim ( x + 1) = > 0; lim ( x − 1) = x − > 0, ∀ x > 0,25 điểm x →1+ x →1+ √ √ √ √ x + + − 2x − x + − + − 2x − B = lim = lim = I + J 0,25 điểm x →3 x →3 x−3 x−3 √ x−3 x+1−2 √ = lim 0,25 điểm I = lim x →3 ( x − ) x →3 x−3 x+1+2 I = lim √ x →3 √ J = lim x →3 1 = 0,25 điểm x+1+2 − 2x − − 2x √ 0,25 điểm = lim x →3 ( x − ) x−3 − 2x + −2 −2 = −1 0,25 điểm = x →3 − 2x + Suy B = I + J = − 0,25 điểm J = lim √ BÀI (2,5 điểm) Cho hàm số f ( x ) =  x + mx − m −     x−1 x > x < 2x + m     2m + 3m − Tìm m để hàm số liên tục x = điểm x = Lời giải ( x − 1)( x + m + 1) x2 + mx − m − Ta có: lim f ( x ) = lim = lim 0,25 điểm + + + x−1 x−1 x →1 x →1 x →1 ⇒ lim f ( x ) = lim ( x + m + 1) = m + 0,5 điểm x →1+ x →1+ lim f ( x ) = lim (2x + m2 ) = m2 + 0,5 điểm x →1− x →1− Theo giả thiết f (1) = 2m2 + 3m − 0,25 điểm Hàm số liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) 0,25 điểm x →1+ 1− ® x→ m −m = ⇔ m + = m2 + = 2m2 + 3m − ⇔ ⇔ m = 0,5 điểm m2 + 3m − = Vậy m = 0,25 điểm 456 CHƯƠNG GIỚI HẠN BÀI (2,0 điểm) Chứng minh phương trình 5x4 + x2 − 10 = có nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = 5x4 + x2 − 10 Khi f ( x ) liên tục R, suy hàm số f ( x ) liên tục [−2; 2] 0,5 điểm Ta có: f (−2) = 74, f (0) = −10, f (2) = 74 0,25 điểm Vì f (−2) f (0) < ⇒ ∃ x1 ∈ (−2; 0) : f ( x1 ) = 0,5 điểm Vì f (0) f (2) < ⇒ ∃ x2 ∈ (0; 2) : f ( x2 ) = 0,5 điểm Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm 0,25 điểm BÀI 10 (1,5 điểm) Cho số thực a, b, c với a = thỏa mãn 5a + 3b + 2c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln có nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = ax2 + bx + c Khi f ( x ) liên tục R, suy hàm số f ( x ) liên tục [1; 2] 0,25 điểm Ta có: f (1) = a + b + c, f (2) = 4a + 2b + c ⇒ f (1) + f (2) = 5a + 3b + 2c = 0,5 điểm ⇒ f (1) = − f (2) ⇒ f (1) f (2) = −[ f (2)]2 0,25 điểm Nếu f (2) = x = nghiệm phương trình f ( x ) = Nếu f (2) = f (1) f (2) < ⇒ f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [1; 2] 0,5 điểm I ĐỀ SỐ 5A BÀI (2 điểm) Tìm giới hạn dãy số sau: 3n − 4n +1 − (un ) có un = 2n − 4n + √ (vn ) có = 3n2 + n + Lời giải L = lim un = lim 3n − 4n +1 2n − 4n 3n − · 4n −3 −3 = lim n = lim n +2 −4 +2 n 4n 4n · · n 4n n −1+ n −4− = 4n = 1.0điểm lim n −1+ n   … √ 5 1 L = lim = lim 3n2 + n + = lim n2 + + = lim n · + + = n n n n +∞ … 0.5điểm √ Vì: lim n = +∞; lim + + = > 0.5điểm n n −4− BÀI (3 điểm) Tính giới hạn hàm số sau: M = lim x →2 1 − x · 2x − x−2 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 457 √ N = lim x →−1 P = lim x →+∞ x2 + − x+1 √ x2 + − x Lời giải − x 2x − 1 − 2x · = lim = − 1.0điểm x →2 x →2 2x x−2 2x √ √ √ x2 + − ( x − 1)( x + 1) ( x2 + − 2)( x2 + + 2) √ √ = lim = N = lim = lim x+1 x →−1 ( x + 1)( x + + 2) x →−1 x →−1 ( x + 1)( x + + 2) x−1 lim √ = − 1.0điểm x →−1 x2 + + √ √ + − x )( x2 + + x ) √ ( x x2 + − x2 √ x2 + − x = lim = lim √ P = lim 2+3+x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x2 + + x x… √ 3 = lim √ = (Vì lim = 3, lim ( x2 + + x ) = lim x · 1+ +1 = x →+∞ x →+ ∞ x →+ ∞ x →+ ∞ x x +3+x +∞ < √ < 1.0điểm) x x2 + + x M = lim BÀI (2 điểm) Tính giới hạn bên sau: lim x →4+ x+2 x−4 lim x →(−1)− x2 + x+1 Lời giải x+2 = +∞ Vì: 0.5 điểm x →4+ x − lim ( x + 2) = > 0.25điểm lim x →4+ lim ( x − 4) = x − > 0.25điểm x →4+ x2 + = −∞ 0.5 điểm x →(−1)− x + Vì lim ( x2 + 2) = > 0.25điểm lim x →(−1)− lim ( x + 1) = x + < 0.25điểm x →(−1)−  Nếu x ≤ 3x − a, BÀI (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x + x +  , Nếu x > x−2 Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Lời giải ∀x > : f (x) = 0.5 điểm − x3 + x + hàm phân thức hữu tỷ nên liên tục tập xác định x−2 458 CHƯƠNG GIỚI HẠN ∀ x < : f ( x ) = 3x − a hàm đa thức nên liên tục R 0.5điểm Xét hàm số x = 2: f (2) = − a 0.5điểm lim f ( x ) = lim (3x − a) = − a 0.5điểm x →2− x →2− − x3 + x + ( x − 2)(− x2 − 2x − 3) = lim = lim (− x2 − 2x − 3) = x−2 x−2 x →2+ x →2+ x →2+ x →2+ −11 0.5điểm lim f ( x ) = lim Để hàm số liên tục x = f (2) = lim f ( x ) = lim f ( x ) ⇔ − a = −11 ⇔ x →2− x →2+ a = 17 0.5điểm Vậy với a = 17 thỏa mãn yêu cầu toán BÀI (1 điểm) Chứng minh phương trình: 3x5 + 2x − = có nghiệm khoảng (0; 1) Lời giải Đặt hàm số f ( x ) = 3x5 + 2x − Khi f ( x ) liên tục R, nên hàm số liên tục [0; 1], và:0.5 điểm f (0) = −1, f (1) = ⇒ f (0) · f (1) < 0.25 điểm Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng (0; 1) 0.25 điểm J ĐỀ SỐ 5B BÀI (2 điểm) Tìm giới hạn dãy số sau: 3n + · 4n − 2n − 4n √ (vn ) có = n2 + n + (un ) có un = Lời giải (a) L = lim un = lim 3n + · 4n 2n −3 − 4n √ = lim n +3−   n 4n = −3 1.0điểm −1 1+ + n n … = lim n · + + = n n n2 + n + = lim n2 … +∞ (Vì: lim n = +∞, lim + + = 1) 1.0 điểm n n (b) L = lim = lim BÀI (3 điểm) Tính giới hạn hàm số sau: M = lim x →−3 √ N = lim x →2 1 + x · x2 + − x−2 2x − x+3 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV P = lim √ x →+∞ 459 x2 + − x Lời giải x + 2x − · 3x x+3 2x − = 1.0điểm x →−3 x →−3 3x √ √ √ x2 + − ( x2 + − 3)( x2 + + 3) ( x − 2)( x + 2) √ √ = lim = lim N = lim x →2 x →2 ( x − 2)( x2 + + 3) x →2 x−2 ( x − 2)( x2 + + 3) x+2 = lim √ = 1.0điểm x →2 x2 + + √ √ √ ( x2 + − x )( x2 + + x ) x2 + − x2 √ P = lim x + − x = lim = lim √ 2+1+x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x2 + + x x… √ 1 = lim √ = (Vì lim = 1, lim ( x2 + + x ) = lim x · 1+ +1 = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x2 + + x 1 +∞, < √ < ) 1.0 điểm x x2 + + x M = lim = lim BÀI (2 điểm) Tính giới hạn bên sau: lim x →1+ x+2 x−1 lim x →−2− x2 + x+2 Lời giải x+2 = +∞ Vì: 0.5 điểm x →1+ x − lim ( x + 2) = > 0.25điểm lim x →1+ lim ( x − 1) = x − > 0.25điểm x →1+ x2 + = −∞ Vì 0.5 điểm: x →−2− x + lim ( x2 + 1) = > 0.25điểm lim x →−2− lim ( x + 2) = x + < 0.25điểm x →−2−  x = x − a BÀI (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x3 + x +  x = x−2 Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Lời giải ∀ x = hàm số liên tục 0.5 điểm Xét hàm số x = 2: f (2) = − a0.5điểm − x3 + x + ( x − 2)(− x2 − 2x − 3) = lim = lim (− x2 − 2x − 3) = −111.0điểm x →2 x →2 x →2 x−2 x−2 lim f ( x ) = lim x →2 460 CHƯƠNG GIỚI HẠN Để hàm số liên tục x = f (2) = lim f ( x ) ⇔ − a = −11 ⇔ a = x →2 13 0.5điểm Vậy với a = 13 thỏa mãn yêu cầu toán BÀI (1 điểm) Chứng minh phương trình: x3 + 2x − = có nghiệm khoảng (0; 1) Lời giải Đặt hàm số f ( x ) = x3 + 2x − Khi f ( x ) liên tục R, nên hàm số liên tục [0; 1] Và: 0.5 điểm f (0) = −1, f (1) = ⇒ f (0) · f (1) < Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng (0; 1) 0.5điểm K ĐỀ SỐ 6A BÀI (4 điểm) Tính giới hạn sau √ lim −n2 + n n + lim √ n2 + n − √ 1 −1 x+1 x →0− x √ x2 + − lim x →−2 x+2 n2 − lim Lời giải √ … 1 − 0.5điểm n n = −∞ 0.5điểm √ √ √ √ n2 + n − n2 − n2 + n + n2 − √ √ 0.25 điểm n2 + n − n2 − = lim lim √ √ n2 + n + n2 − n+1 √ = lim √ 0.25 điểm n2 + n + n2 − 1 n 1+ n … … 0.25 điểm = lim 1 n 1+ + 1− n n 1+ n … = 0.25 điểm = lim … 1 1+ + 1− n n lim −n2 + n n + = lim(−n2 ) − 1 − ( x + 1) − = lim 0,5 điểm x+1 x →0− x →0− x ( x + ) −1 = lim = −1 0,5 điểm − x →0 x + √ x2 + − x2 + − √ lim = lim 0.5 điểm x →−2 x →−2 ( x + 2)( x2 + + 3) x+2 lim x lim √ x →−2 x−2 x2 + + = −2 0.5 điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 461   x − 2x − x = BÀI (2 điểm) Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = tập xác định x−3  x = Lời giải + Tập xác định hàm số f ( x ) D = R 0.5 điểm x2 − 2x − hàm số phân thức hữu tỉ, nên liên tục khoảng x−3 (−∞; 3) (3; +∞) 0.5 điểm + Nếu x = f ( x ) = x2 − 2x − = lim ( x + 1) = = f (3) x →3 x →3 x−3 Do hàm số khơng liên tục x = 0.5 điểm + Tại x = ta có f (3) = lim + Hàm số f ( x ) liên tục khoảng (−∞; 3) (3; +∞), gián đoạn x = 0.5 điểm √  7x − 10 − , x > BÀI (2 điểm) Cho hàm số f ( x ) = Tìm m để hàm số liên tục x−2  mx + 3, x ≤ x = Lời giải + Ta có f (2) = 2m + 0.5 điểm + lim f ( x ) = 2m + 0.5 điểm x →2− √ 7x − 10 − = 0.5 điểm + lim f ( x ) = lim x−2 x →2+ x →2+ −5 + Hàm số cho liên tục x = 2m + = ⇔ m = 0.5 điểm BÀI (2 điểm) Chứng minh phương trình: x5 + x3 − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) cos x + m cos 2x = ln có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = x5 + x3 − 1, ta có f ( x ) hàm số liên tục [0; 1] 0.5 điểm ® f (0) = −1 ⇒ f (0) f (1) = −1 < ⇒ ∃ x0 ∈ (0; 1) : f ( x0 ) = ta có điều phải chứng f (1) = minh 0.5 điểm Đặt f ( x ) = cos x + m cos 2x, ta có f ( x ) liên tục R nên f ( x ) liên tục π 3π ; 0.5 4 điểm Ta  có: √  π   = f √ ⇒ f  3π   =− f điểm π f 3π < 0, ∀m ⇒ ∃ x0 ∈ π 3π ; 4 : f ( x0 ) = (đpcm) 0.5 462 L CHƯƠNG GIỚI HẠN ĐỀ SỐ 6B ® BÀI (1.5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định u1 = √ √ un+1 = + un với n ≥ Biết (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞, tính giới hạn Lời giải √ √ Đặt lim√ un = a Ta có un+1 = + un ⇒ lim un+1 = lim + un 0.25 điểm ⇒ a = a + ⇒ a2 − a − = ⇒ a = −1 a = 0.5 điểm Vì un > 0, ∀n ∈ R nên lim un = a > Vậy lim un = 0.25 điểm √ 1 BÀI (1.5 điểm) Tính tổng S = − + − √ + − 2 Lời giải √ −1 −1 Dãy số vô hạn 2, − 2, 1, √ , , cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = √ 0.25 điểm 2 Vì |q| = √ < nên dãy số cấp số nhân lùi vô hạn 0.25 điểm √ √ 2 =√ 0.5 điểm Do S = − + − √ + − · · · = 2 + 1+ √ BÀI (4 điểm) Tính giới hạn sau: lim x →3− x+1 x−2 x2 + 2x − x →1 2x − x − lim 4x x →0 9+x−3 √ √ 1−x− 8−x lim x →0 x lim √ Lời giải lim x →3− 3+1 x+1 = = 1.0 điểm x−2 3−2 x2 + 2x − ( x − 1)( x + 3) = lim 0.5 điểm x →1 2( x − 1)( x + ) x →1 2x − x − 2 lim x+3 = 0.5 điểm x →1 2x + √ 4x 4x ( + x + 3) lim √ = lim = 24 1.0 điểm x →0 x →0 9+x−9 9+x−3 √ √ √ √ 1−x− 8−x 1+x−1 2− 8−x lim 0.25 điểm = lim + x →0 x →0 x x x √ 1+x−1 2x mà lim = lim √ = 0.25 điểm x →0 x →0 x ( + x + ) x √ 2− 8−x 1 lim = lim = 0.25 điểm √ 3 x →0 x →0 + − x + x 12 (8 − x )2 √ √ 13 1−x− 8−x Do lim = 0.25 điểm x →0 x 12 = lim ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV   x − 4x + BÀI (1.5 điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) = x−3  2mx + m + Lời giải 463 x < liên tục R x ≥ x2 − 4x + hàm phân thức hữu tỉ xác định nên liên tục x−3 (−∞; 3) 0.25 điểm • Nếu x < f ( x ) = • Nếu x > f ( x ) = 2mx + m + hàm đa thức nên liên tục (3; +∞) 0.25 điểm • Xét tính liên tục hàm số x = + Ta có lim f ( x ) = lim x →3− x →3− x3 − 4x + = lim ( x − 1) = 0.25 điểm x−3 x →3− + lim f ( x ) = lim (2mx + m + 1) = 7m + 0.25 điểm x →3+ x →3+ + f (3) = 7m + 0.25 điểm • Hàm số liên tục x = lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (3) ⇔ m = 0.25 điểm x →3+ x →3− BÀI (1.5 điểm) Với a, b, c ∈ R, chứng minh phương trình a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = có nghiệm Lời giải • Đặt f ( x ) = a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b), ta có f ( x ) hàm đa thức nên liên tục R 0.25 điểm Ta có f ( a) = a( a − b)( a − c); f (b) = b(b − c)(b − a); f (c) = c(c − a)(c − b), khơng tính tổng qt giả sử a ≤ b ≤ c 0.25 điểm • Nếu a = b = c = ta có f (0) = x = nghiệm phương trình 0.5 điểm • Giả sử b = ta xét hai trường hợp + Nếu a ≤ b < ⇒ f ( a) f (b) = − ab( a − b)2 ( a − c)(b − c) ≤ Do phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc [ a; b] 0.25 điểm + Nếu < b ≤ c ⇒ f (b) f (c) = −bc(b − c)2 (b − a)(c − a) ≤ Do phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc [b; c] 0.25 điểm ... cao đa thức P( x )) Dạng 1: I = lim + Nếu p ≤ q tồn giới hạn + Nếu p > q khơng tồn giới hạn Dạng 2: Giới hạn ∞ − ∞ Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp đưa dạng Dạng 3: Giới hạn 0.∞ Phương pháp... lim x →1− x →1− GIỚI HẠN HÀM SỐ B 393 CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 2.1 Giới hạn hàm số dạng vơ định 0 f (x) f ( x ), g( x ) đa thức f ( x0 ) = g( x0 ) = x → x0 g ( x ) Khử dạng vô định cách phân tích tử... = DẠNG 1.5 Giới hạn dãy số chứa thức Ta thường gặp hai dạng sau: Dạng Sử dụng tính chất giới hạn để tính Dạng Dạng vơ định, cần nhân lượng liên hợp thêm bớt hạng tử VÍ DỤ Tìm giới hạn   lim 8n