Chuyên đề thể tích khối chóp trần đình cư

Chúng tôi sưu tầm nhằm giúp các bạn thí sinh có dịp để tích lũy thêm kiến thức và kinh nghiệm cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia quan trọng tới. Chúng tôi hi vọng, tài liệu này sẽ hữu ích đối với các bạn thí sinh.

MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 2 DẠNG 1 KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY 2 DẠNG 2 KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY 17 DẠNG 3 KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁ 31 DẠNG 4 KHỐI CHÓP ĐỀU 42 DẠNG 5 TỈ LỆ THỂ TÍCH 50

CHUYÊN ĐỀ 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Công thức chung: V 1Bh

3

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

DẠNG 1 KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY

Một số chú ý khi giải toán

 Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao

 Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

3

3a 13 V

2

3

5a 13 V

2



Phân tích: Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối chóp khi có đáy là tam giác đều ABC

cạnh a, hiển nhiên từ đây ta có thể suy ra được ngay diện tích của  ABC Ta cần tìm thêm chiều cao SA thông qua việc xác đinh góc giữa SB, ABC   Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là SBA 30  



Phân tích: Đề bài yêu cầu tính thể tích khối chóp khi đã cho chiều cao có độ dài là a Ta chỉ

cần tìm diện tích đáy, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600 nên  ABC là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc bằng 600 ) Từ đây ta suy ra được diện tích của hình thoi ABCD

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông biết đường chéo AC a 2

SB, ABCD  SBA 60  ; SA ABCD

SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

Ta tính được

2 ABCD

Câu 4 Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) và

đường cao OA a 3  Tính thể tích khối tứ diện theo a

S

Phân tích: Đề bài đã cho đường cao OA a 3  , đáy OBC là tam giác vuông tại O có độ dài hai cạnh của góc vuông từ đây ta suy ra trực tiếp diện tích đáy  OBC

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 OBC

3

2a V 3

3

a V 9



Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60  0 nên ABC đều cạnh a, từ

đây suy ra được diện tích của hình thoi Để tính chiều cao SA ta phải xác định được góc

tạo bởi SC, ABCD   SCA 60  0

Hướng dẫn giải

2 ABCD ABC

Lời bình: Việc nhận định được tam giác ABC đều cạnh a từ đó giúp ta tính nhanh

đượcdiện tích hình thoi Nếu dùng công thức tính diện tích hình thoiSABCD 1AC.BD

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3, BAD 120  0 và

cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 Tính theo a thể

60 0

60 0

D A

S

Do đó:  SBC ; ABCD   AH;SH SHA 60  0

Lưu ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

 Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

 Tìm trong (P) đường thẳng a  (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng

b  (d)

 Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Bài toán về góc sẽ được đề cập sâu hơn trong chủ đề 8

Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a, BAC 60   0 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA a 3  Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Phân tích: Đề bài đã cho độ dài chiều cao SA a  , ta chỉ cần tìm thêm diện tích đáy là ABC

là tam giác vuông tại B {SABC 1AB.AC

3

V

a gần nhất giá trị nào dưới đây:

Phân tích: Yêu cầu bài toán thật ra chỉ cần tìm thể tích khối chóp S.ABCDlà xong Đề bài

đã cho đáy là hình chữ nhật với kích thích các cạnh thì hiển nhiên tính dễ dàng SABCD

Mặt khác: SAB  ABCD và SAD  ABCD, SAB  SAD SA  SA ABCD hay

SA chính là đường cao Để tìm SA ta phải thông qua  SAB , SBD    

S

B

3

2a 21 V

13

3

3.a 21 V

14



Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC có độ dài hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính

được diện tích đáy Để tính chiều cao SA ta chỉ cần xác định góc giữa  SBC , ABC    và tính SA thông qua yếu tố này

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC

Khi đó SF  BC, suy ra:  SBC , ABC    SFA 60  0

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 ABC

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB a 3  Tính

theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông cạnh a diện tích đáy ABCD

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAB để tìm SA

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a,

SA (ABCD)  , SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A V 20a  3 B V 20a  3 2 C V 30a  3 D V 22a  3

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình chữ nhật với kích thước các cạnh SABCD Để tính chiều

cao SA, ta cần xác định đúng góc tạo bởi SC với đáy và tính thông qua yếu tố này là được

Do SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên đáySC, ABCD   SCA 45  0

Hướng dẫn giải

Ta có

2 ABCD

Câu 13 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC và

AB 3a, BC 4a, AC 5a,AD 6a     Thể tích khối tứ diện ABCD là:

Phân tích:

Nhận thấy Tam giác ABC có: 2 2    2 2 2 2

AB  BC  3a  4a  25a  AC  ABCvuông tại B

S

D

Câu 14 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng SAB

và SBCvuông góc với nhau, SB a 3  , BSC 45  o,ASB 30  o Thể tích tứ diện SABC là V

   là các tam giác vuông tại B Từ đây để tính diện tích tam giác ABCD ta chỉ

cần tính AB, BC thông qua SB a 3  , BSC 45  o,ASB 30  o

Tổng quát: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng

SABvà SBCvuông góc với nhau, BSC  ,ASB   Thể tích tứ diện SABC là:

S

Xét  SABvuông tại A có : AB SB.sin  ,

SA SB.cos  

Xét  SBCvuông tại B có :

BC SB.tan  

2 ABC

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD

vuông góc với đáy, cho AB AD a   ,CD 3a,SA a 3   Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D  AD a  là chiều cao của

hình thang, có thêm hai đáy là AB a  và CD 3a   SABCD Để tìm chiều cao SD của hình chóp ta áp dụng định lý pitago trong tam giác vuôngSAD

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng SAB

và SAD c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 300 Thể tích khối chóp S.ABCD là V Tỉ số 3V3

C

B A

S

a 3

a a

Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD và tính thông qua yếu tố này Dễ dàng xác định được:      0

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC   3a Hai mặt

phẳng SAB và SAD c ng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a  , ACB  6 00, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 Thể tích khối chóp S.ABClà:

S

Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC vuông tại B, có AB a  , ACB  6 00  BC Từ đó suy ra được SABC Để tìm chiều cao SA ta cần xác định chính xác góc SB, ABC   và tính

SA thông qua yếu tố này

Ta cóAB là hình chiếu vuông góc của SB trên ABC

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với mặt phẳng

ABC, góc giữa BD và mặt phẳng DAClà 300 Thể tích khối tứ diện ABCD là V Tỉ số

S

30 0

M

D

Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 2  ,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBCtạo với mặt đáy một góc bằng

Ta có SA ABCSABC và BC  AM nên BC SAMBCAM

AM  BC ( vì  ABC cân tại A)

Phân tích: Mấu chốt bài toán này là xác định được chiều cao SA

Ta có SA  AB,SA  AC  SA SBC Đáy là tam giác ABC cho độ dài hai cạnh và góc xen giữa nên suy ra được diện tích đáy

S

Câu 22 Cho hình chóp SABC có tam giác SBCđều cạnh a, CA a  Hai mặt ABC và

ASC cùng vuông góc với (SBC) Thể tích hình chóp là

Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác SBC đều cạnh a SSBC

Phân tích: Ta có: SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy góc SB, ABC    SAB 60  o.ABCvuông cân nên BA = BC = a

A

Ta có:

2 ABC

Phân tích: Gọi M là trung điểm của BC, vì tam giác ABC đều nên AM BCSABC

Mặt khác: SBC ; ABC   SMA60o Từ đay ta suy ra được chiều cao SA

S

a

60 0 a

M C

B A

S

DẠNG 2 KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC a 3  , H là

trung điểm của cạnh AB Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vuông góc với mặt

đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp a

3

3

3a 13 V

2

3

5a 13 V

  SH là chiều cao của hình chóp

Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

S

3

2.a 37 V

3

3

4.a 39 V

A V 3a  3 B V a  3 C V 4a  3 D V 3a  3 5

Phân tích: Đề bài cho đáy đáy ABC là tam giác vuông tại B và cho thêm AB 2a,AC 4a   ,

từ đây suy ra được BC và SABC 1AB.BC

2

Ta có: SH (ABC)   góc giữa SA và (ABC) là SAH 60  0 Ta tính chiều cao SH thông qua

AH (H là trung điểm của AC nên AH AC

S

Phân tích: Mấu chốt bài toán này là phải nhìn ra được DHC 90  0

Hai tam giác vuông AMD và DAC có AM AD 1

AD  DC  2 nên đồng dạng

Suy ra ADH  DCH, mà ADH HDC 90   0  DHC 90  0

Do đó: SHCD 1DH.HC

2

 Đề bài đã cho chiều caoSH a  , như vậy chỉ cần tính được SHCD

kết quả bài toán

Câu 6 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3  , ACB 60  0, hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE a 3  Tính thể tích khối chóp S.ABC

18

3

a 77 V

18

3

7a 78 V

S

Xét tam giác ABC vuông tại B

Câu 7 Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AB Qua M kẻ đường

thẳng vuông góc ABCD và trên đó lấy điểm S sao cho SM 5

A

B

C S

1

M

D A

S

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3  , BAC 30  0,

hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy là 300 Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại B có

2 sin

a

V bằng :

Phân tích: Cái khó của bài này là xác định đúng được đường cao của hình chóp S.ABCD

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD

Kẻ SH  MN Ta có: CD MN,CD SN    CD SMN

CD SH

  mà SHMN SH ABCD

Để tính được chiều cao SH ta phải nhận định được tam giác SMN vuông tại S Thật vậy:

Ta có SAB là tam giác đều SM a 3

S

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC 60  0, hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng ABCD góc 450 Thể tích khối chóp S ABCD bằng V

SAC , ABCD SOB 45

   Ta tính độ dài đường cao thông qua OG và SOB

Hướng dẫn giải

a

N M

D A

S

H

Xét tam giác BHC vuông tại B có: HC  BH2 BC2  a 2

Thông qua SCH 30  0 và HC ta tính được độ dài đường cao SH

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a; AD a 3  

Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của OA Biết góc giữa

SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là

G O

D A

S

Ta có: (SC,(ABCD)) (SC,AC) SCA  

7

3

a 3 V

27

3

5a 30 V

B A

30 0

a

H O

B A

D

C S

Câu 16 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên

mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy một

góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp SABCD

3

a 3 V



Hướng dẫn giải

Gọi G là trong tâm tam giác

ABD, E là hình chiếu của G lên

AB

Ta có

0 0

D

C S

O M

D A

D A

S

E

3 SABCD

Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB AC a   , hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh BC, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

3

a 3 3 V

12

3

a V 12



Phân tích: Gọi K là trung điểm của AB

Vì SH (ABC)nên SH AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB SK

Do đó góc giữa mp(SAB)với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng Áp dụng tỉ

số trong tam giác vuông SHK ta tìm được độ dài đường cao SH

36

3

a 21 V

6

3

a 21 V

3



Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác đều cạnh a  SABC

Góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC) là góc SAH 45  0

Để tìm chiều cao SH ta phần phải tính HA, và từ SAH 45  0 ta suy ra được độ dài đường

cao (Tam giác SAH vuông cân tại H)

C A

S

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AHB

3

2a V 3

3

4a V 5

Câu 20 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnhAC a  , AB 2a  ,

SC a 5  Chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của cạnh

AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

3

2a V 3

3

4a V 5

S

G

Ta có

2 ABC

3

2a V 13

3

2a V 5

C A

S

a 5 2

a 2a

O H

C B

S

3a 2

S

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D Có

AD DC a   vàAB 2a  Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB và góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SBC) và (ABCD ) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho

Phân tích: Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH (ABCD) 

Dựng HI  BC(I BC)  , khi đóBC (SHI)   BC  SI Suy ra góc tạo bởi (SBC) và

(AB DC).AD (2a a).a 3a

B S

DẠNG 3 KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Để xác định đường cao hình chóp ta vận dụng định lí sau

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại B và cho thêm độ dài hai cạnh góc

vuông BA 3a, BC 4a SABC 1

AB.BC 2

    Ta cần xác định đường cao SH Nhận thấy: mặt

phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và chúng cắt nhau theo giao tuyến BC Kẻ

SH vuông góc BC suy ra SH vuông góc mp(ABC)

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 ABC

D a3 3

Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình vuông có cạnh a SABCD

Mặt khác: Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD

và SAB  ABCD AB Gọi H là trung điểm của AB

S

H

Suy ra: AD, BCD   ADH 60  0

Trong tam giác vuông ADH có AD và ADH 60  0 ta sẽ tính được chiều cao AH và tính

được HD Có HD ta duy ra đươc BC SBCD

a

H

D A

B

C S

A

Mặt khác: SAC  ABC và SAC  ABC AC, kẻ SH  BC thì SH ABC Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC, theo giả thiết SIH SJK   45 0

Ta có:  SHI   SHJ  HI HJ  Tứ giác HIBJ là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau) nên BH là đường phân giác của  ABCtừ đó suy ra H là trung điểm của AC

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC đều cạnh a SABC

Gọi H là trung điểm của BC Ta có:

a 3 S

S

a 2

a

H

C

B A

S

Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC vuông tại A, và cho thêm ABC 30  o Từ đây ta suy ra độ dài hai cạnh góc vuông AB,AC  SABC

SBC  ABC và SBC  ABC BC, kẻ SH  BC  SH ABC

Đề cho tam giác SBC đều cạnh a SH

Hướng dẫn giải

Ta có:

0 0

BC a

a 3

AB BCcos 30

2 a

a

H

D

C B

S

SD 2a 5  , SC tạo với mặt đáy ABCD một góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình vuông nhưng chưa cho độ dài cạnh Như vậy ta chỉ cần tìm độ dài 1 cạnh của hình vuông sẽ suy ra được SABCD Theo giả thiết ta có

SM  ABCD , MC là hình chiếu của SC trên ABCD nên góc giữa SC với mặt phẳng

ABCD là SCM 60  0 Ta để ý thêm rằng: mà ABCD là hình vuông và M là trung điểm của

S