Chúng tôi sưu tầm nhằm giúp các bạn thí sinh có dịp để tích lũy thêm kiến thức và kinh nghiệm cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia quan trọng tới. Chúng tôi hi vọng, tài liệu này sẽ hữu ích đối với các bạn thí sinh.
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bài TÍCH PHÂN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) − F ( a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b] hàm số b ∫ f ( x)dx f ( x ) ) kí hiệu a b Ta dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để hiệu số F (b) − F ( a) b b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) Vậy a b Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ∫ b f ( x)dx hay a ∫ f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân b ∫ f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox hai a b đường thẳng x = a, x = b Vậy S = ∫ f ( x )dx a Tính chất tích phân a ∫ b f ( x)dx = a ∫ b c a b b b b f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a < b < c ) a ∫ a c a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b ∫ k f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ) a b a b ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a B - KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân Dạng Tính tích phân theo công thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau: dx a) I = ∫ (1 + x ) x b) I = ∫ dx x +1 2x + c) I = ∫ dx x+3 x dx 4− x d) I = ∫ Hướng dẫn giải 1 dx d(1 + x) =∫ =− 3 (1 + x ) (1 + x) 2(1 + x ) 0 a) I = ∫ = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 1|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 b) I = ∫ CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN x dx = ∫ − dx = ( x − ln( x + 1) ) = − ln x +1 x + 0 1 2x + dx = ∫ + dx = ( x + 3ln( x + 3) ) = + 6ln − 3ln x+3 x + 3 0 c) I = ∫ ( ) 1 x d 4− x 1 d) I = ∫ dx = − ∫ = − ln | − x | = − ln 2 4− x 2 4− x Bài tập áp dụng 1 1) I = ∫ x ( x − 1) dx 2) I = ∫ 0 ( ) x + x + dx 16 3) I = ∫ x − x dx dx 4) I = ∫ x+9 − x Dạng Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân Sử dụng tính chất b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx −2 Hướng dẫn giải x + 1, − x − 1, Nhận xét: x + = −1 ≤ x ≤ − ≤ x < −1 −1 −2 −2 −1 Do I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx −1 −1 2 x2 x2 = − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = − + x + + x = −2 −1 −2 −1 Bài tập áp dụng 1) I = ∫ | x − | dx 2) I = ∫ | x − x − x + | dx −4 −1 π 3) I = ∫ | − | dx x 4) I = ∫π | sin x | dx − π 5) I = ∫ + cos xdx Dạng Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số loại Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] α ≤ u ( x ) ≤ β Giả sử viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục đoạn [α ; β ] Khi đó, ta có b I = ∫ f ( x)dx = a u (b ) ∫ g (u )du u (a) π Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin x cos xdx Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 2|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải Đặt u = sin x Ta có du = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ u (0) = 0; x = π ⇒ u = 2 π π 0 1 3 Khi I = ∫ sin x cos xdx = ∫ u du = u = Bài tập áp dụng 1) I = ∫ x x + 1dx e 2) I = ∫ x x + 1dx 0 e2 + ln x dx x 3) I = ∫ 4) I = ∫ e dx x + ln x Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ I=∫ x dx Đặt t = x + x +1 Có Có (ax + b) n dx t = ax + b I = ∫ x( x + 1) 2016 dx Đặt t = x + Có a f ( x ) dx t = f ( x) I =∫4 Có f ( x)dx dx ln x x t= f ( x) e tan x +3 dx Đặt t = tan x + cos x e ln xdx I =∫ Đặt t = ln x + 1 x (ln x + 1) π t = ln x biểu thức chứa ln x t = e x biểu thức I =∫ ln 2 x e 3e x + 1dx Đặt t = 3e x + Có e dx Có cos xdx t = sin x I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x Có sin xdx t = cos x I =∫ dx Có cos x t = tan x I =∫4 Có dx sin x t = cot x I = ∫π4 x chứa e x π π sin x dx Đặt t = 2cos x + 2cos x + π π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x Đặt t = tan x π π ecot x ecot x dx = ∫π4 dx Đặt t = cot x − cos x 2sin x 2) Đổi biến số loại Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm đoạn [ a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục đoạn [α ; β ] cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ] Khi đó: b ∫ β f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt a α Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng π π a − x : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ; 2 |a| π π ; t ∈ − ; \ {0} sin t 2 x − a : đặt x = π π x + a : x = a tan t ; t ∈ − ; 2 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 3|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 a+x a−x CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN a−x : đặt x = a.cos 2t a+x Ví dụ 4: Tính tích phân sau: 1 dx 1+ x a) I = ∫ − x dx b) I = ∫ Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π 2 0 π π Vậy I = ∫ − x dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan t ) dt Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = π π π dx π = dt = t |04 = ∫ 1+ x 0 Vậy I = ∫ Dạng Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u = u ( x ) v = v( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b b ∫ u ( x)v′( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u′( x)v( x)dx , a a b b b a a a b ∫ udv = uv |a −∫ vdu Các dạng bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx hay Dạng hàm P ( x ) : Đa thức sin ( kx ) Q ( x) : cos ( kx ) * u = P ( x) * dv Phần lại Cách biểu thức đặt dấu tích phân P ( x ) : Đa thức P ( x ) : Đa thức P ( x ) : Đa thức Q ( x ) : e kx Q ( x ) : ln ( ax + b ) * u = P ( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân * u = ln ( ax + b ) * dv = P ( x ) dx sin x Q ( x) : cos x * u = P ( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thông thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Ví dụ 5: Tính tích phân sau: π a) I = ∫ x sin xdx e−1 b) I = c) I = ∫ x ln (1 + x ) dx ∫ x ln( x + 1)dx 0 Hướng dẫn giải u = x du = dx ⇒ dv = sin xdx v = − cos x a) Đặt π Do I = ∫ x sin xdx = ( − x cos x ) π π |02 π + ∫ cos xdx = + sin x |02 = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 4|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN du = dx u = ln( x + 1) x +1 b) Đặt ⇒ dv = xdx v = x − e−1 I= ∫ = e −1 e−1 x2 − 1 e − 2e + x x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) − ( x − 1)d x = − − x ∫ 0 2 2 e−1 e − 2e e − 4e + e − − = 4 2x u = ln (1 + x ) du = x + dx c) Đặt ⇒ v = ( x + 1) dv = xdx Ta có: I = 1 1 x + 1) ln ( x + 1) − ∫ xdx = ln − x = ln − ( 2 0 Bài tập áp dụng π 1) I = ∫ (2 x + 2)e x dx 2) I = ∫ x.cos xdx 2π 3) I = ∫ x x sin dx Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 4) I = ∫ ( x + 1)2 e x dx 5|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THÔNG HIỂU – NHẬN BIẾT Câu Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b a Câu a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx B b C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x∫ f ( x)dx D a Cho hàm số f liên tục ℝ số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a A ∫ a f ( x)dx = B ∫ a a f ( x )dx = ∫ C a a D f ( x)dx = F (a ) a ∫ f ( x)dx = f (a) a Câu Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 B C D a Câu Cho số thực a thỏa mãn ∫e x +1 dx = e − , a có giá trị −1 A Câu B −1 x π D f ( x ) = sin + 4 2 Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? e2 A B ∫ 2dx ∫ ln xdx Câu D Trong hàm số đây, hàm số có tích phân từ đến π đạt giá trị ? A f ( x) = cos 3x B f ( x) = sin 3x x π C f ( x) = cos + 4 2 Câu C A f ( x) = e B f ( x) = cos x D Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn x π C ∫ sin xdx ∫ xdx −1 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? C f ( x) = sin x D f ( x ) = x + Câu dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln D ln π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x A 1 ln B ln C ln Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com D ln 6|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN x − Câu 10 Nếu ∫ − e dx = K − 2e giá trị K −2 A 12, B C 11 Câu 11 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x −x−2 2 ln A D 10 B − ln C −2 ln D ln 5 ∫ Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho f ( x)dx = ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị 1 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx A −6 B C D −2 3 Câu 13 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá 0 trị A B C D Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = trị A B −5 C Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? −2 −2 x x ( ) A ∫ e dx = e B ∫ dx = ( ln x ) −3 x −3 2π C 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π ∫ f ( x)dx có giá D −9 2 x2 D ∫ ( x + 1) dx = + x 1 π Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F ′( x ) = f ( x) với mọ i x ∈ (a; b) b C ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a b D Hàm số G cho G ( x) = F ( x) + thỏa mãn ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Câu 17 Xét hàm số f liên tục ℝ số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A C b b a b c b a c c b a a c c b b c c a a c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B D ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 7|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn [ a; b ] Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a b B Nếu f ( x ) ≥ m ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) a b C Nếu f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a b D Nếu f ( x ) ≥ m ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với mọ i x ∈ [a; b] Xét khẳng định sau: b I b b ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a b II b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a III a b a a b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx b b IV ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C D Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? A ∫ ( x + x − 3) dx ln 10 3π B ∫ sin xdx ∫ C π D ∫ cos(3 x + π )dx e x dx 0 Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? b A Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] , cho ∫ f ( x)dx ≥ f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với mọ i hàm số f liên tục đoạn [−3;3] , có −3 b C Với mọ i hàm số f liên tục ℝ , ta có ∫ a f ( x )dx = ∫ f ( x )d(− x ) a b D Với mọ i hàm số f liên tục đoạn [1;5] ∫ [ f ( x )] Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com f ( x )] [ dx = 8|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn ℝ ∫ f ( x )dx = 0 −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx B Nếu ∫ f ( x)dx = C Nếu ∫ f ( x)dx −1 f hàm số chẵn đoạn [−1;1] f hàm số lẻ đoạn [−1;1] −1 ∫ f ( x)dx = D Nếu f hàm số chẵn đoạn [−1;1] −1 Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) C F (2) D F (1) − F (2) b Câu 24 Cho hàm số f liên tục ℝ hai số thực a < b Nếu ∫ f ( x)dx = α tích phân a b ∫ f (2 x)dx có giá trị a A α B 2α C α D 4α Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x3 sin x khoảng (0; +∞) Khi tích phân ∫ 81x sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3)] B F (6) − F (3) C [ F (2) − F (1)] D F (2) − F (1) Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Giá trị tích phân π ∫ f (2 sin x) cos xdx A −6 B e Câu 27 Bài toán tính tích phân I = ∫ C −3 D ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ t = ln x + , suy dt = dx x = ⇒ t = ; x = e ⇒ t = x e II I = ∫ ln x + ln x dx = ∫ t ( t − 1) dt x 2 III I = ∫ t ( t − 1) dt = t − = + t 1 Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com D Sai Bước III 9|THBTN Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 π Câu 28 Xét tích phân I = CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến t = cos x , ta đưa I dạng sau π π 4 2t A I = − ∫ dt 1+ t 1 2t C I = −∫ dt 1+ t 2t B I = ∫ dt 1+ t 2t dt 1+ t D I = ∫ 2 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? b A C ∫ b b ∫ a a a a b b b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ a ∫ b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx > B f ( x)dx ∫ f ( x)dx D ∫ f ( x ) dx > ∫ a f ( x ) dx Câu 30 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? 1 A ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx B ∫ (1 + x ) x dx = 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 ∫x D 2017 (1 + x)dx = −1 2019 Câu 31 Cho hàm số y = f ( x ) lẻ liên tục đoạn [−2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A C 2 −2 0 −2 −2 ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = B ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −2 2 −2 ∫ f ( x)dx = −2∫ f ( x)dx D Câu 32 Một học sinh định lên bảng làm toán tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, mỗ i giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải toán sau: Bài Đề Bài giải học sinh ∫e x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx π ∫ sin x cos xdx 1 + (4 − 2e) ln x dx x ∫ = e −1 1 [ ] d x = ln x − x − = ln − ln = 0 ∫0 x − x − Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = t = ; x = π t = −1 Vậy −1 2t ∫0 sin x cos xdx = 2∫0 sin x cos xdx = −2 ∫1 t dt = π π e 1 e 1 x2 ( ) e x x e x d x = e d x = ∫0 ∫0 2 = −1 e + (4 − 2e) ln x dx = ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) ∫1 x e = x + (4 − 2e) ln x = − e Số điểm mà học sinh đạt bao nhiêu? A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com D 10,0 điểm 10 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 Khi I = ∫ x( x 4 + 1) Vậy ta tính I = ∫ dx = 1 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN x dx = x ( x + 1) 1 ∫ t − t ∫ dt = t (t + 1) ∫ (t + − t ) dt t (t + 1) = 1 ∫ t − t t dt +1 t dt = ln +1 Câu 47 Chọn A 2 0 I = ∫ x 3dx = J = ∫ xdx = , suy I J = Câu 48 Chọn B [Phương pháp tự luận] a a Ta có ∫ e x +1dx = e x +1 = ea +1 − e = e − e ⇒ a = 1 [Phương pháp trắc nghiệm] Thế đáp án vào bấm máy ∫e dx − ( e − e x +1 −1 ∫e )=0 dx − ( e − e ) ≈ −53, 5981 x +1 x +1 ∫ e dx − ( e − e ) ≈ −51,8798 ∫e 1 dx − ( e − e ) ≈ −34,5126 x +1 Câu 49 Chọn A 2 Ta có ∫ ke x dx = ke x = k (e − 1) Câu 50 Chọn D k 2x ∫0 ke dx = e Ta có 2x ∫ 3ke 3x dx = ke 3x k 43 = (e − 1) ∫ ke dx = ke x x = k (e − 1) ∫ k (e − 1)dx = kx(e 2 = k (e − 1) − 1) = k (e − 1) Câu 51 Chọn B Hướng dẫn giải (III): sai Câu 52 Chọn C 5 1 Ta có ∫ [ g ( x ) − kf ( x)] dx = 19 ⇔ ∫ g ( x )dx − k ∫ f ( x )dx = 19 ⇔ − k ( −7 ) = 19 ⇔ k = Câu 53 Chọn B [Phương pháp tự luận] 5 3 1 Ta có ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −6 Câu 54 Chọn D 2 1 Ta có ∫ [ kx − f ( x )] dx = −1 ⇔ k ∫ xdx − ∫ f ( x)dx = k − = −1 ⇔ k = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 32 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 55 Chọn C e e e u = ln x du = dx Đặt Vậy ∫ (2 x − 5) ln xdx = ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx ⇒ x dv = (2 x − 5)dx 1 v = x − x Câu 56 Chọn A 0 K = ∫ ( − e − x ) dx + e = ( x + e − x ) −2 + e2 = 11 −2 Câu 57 Chọn C Đăṭ u = 3cos x + ⇒ 2udu = −3sin xdx Khi x = ⇒ u = 2; x = π ⇒ u = 2 2 Khi đó I = ∫ u du = u 31 Câu 58 Chọn B [Phương pháp tự luận] 3 t3 13 Đặt t = 8ln x + ⇒ tdt = dx Với x = ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = Vậy I = ∫ t dt = = x 41 12 [Phương pháp trắc nghiệm] e Bấm máy tính I = ∫ 8ln x + 13 13 Vậy đáp án dx đáp số 6 x Câu 59 Chọn B ∫ 5 x − x − dx = ∫ ( x − 3)( x + 1) dx = − ∫ ( x − x − 3) dx + ∫ ( x − x − 3) dx −1 −1 −1 3 x3 x3 64 = − − x − 3x + − x − x = −1 3 Câu 60 Chọn D 2 a 2 ∫1 (3 − ax)dx = −3 ⇔ 3x − x = −3 ⇔ a = Câu 61 Chọn A [Phương pháp tự luận] 5 x4 −549 ( ) ∫2 k − x dx = −549 ⇔ k 5x − = −549 ⇔ k = −549 = ⇔ k = ±2 Câu 62 Chọn B 3 x2 x2 − x + ∫2 x + dx = ∫2 x − + x + dx = − x + 6ln x + = + ln [Phương pháp trắc nghiệm] x2 − x + Bước 1: Bấm máy tính để tính ∫ dx x +1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 33 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN 4 1 Bước 3: Bấm A − + 6ln = Vậy đáp án + ln 3 2 Câu 63 Chọn A A = ∫ (3 − x )4 dx = − m 1 122 (3 − x)5 = − (3 − 4)5 − (3 − 2m)5 = ⇒ m = m 10 10 Câu 64 Chọn C Đặt u = x + x = u = Khi x = u = Ta có: du = 2dx ⇒ dx = du Do đó: ∫ ( x + 1) dx = u6 u d u = = (3 − 1) = 60 ∫ 21 12 12 Câu 65 Chọn D [Phương pháp tự luận] π π sin x (1 − cos x) sin x 1− u2 Ta có I = ∫ sin x dx = ∫ dx Đặt u = cos x ⇒ I = − ∫ du = ln − cos x cos x u 0 3 [Phương pháp trắc nghiệm] π 3 Bấm máy tính I = ∫ sin x tan xdx − ln − đáp số Vậy đáp án ln − 8 Câu 66 Chọn D [Phương pháp tự luận] π π π 12 12 I = ∫ cos x cos xdx = ∫ (1 + cos x ) cos xdx = ∫ (1 + cos x + cos x )dx 20 40 π 1 π = ( x + sin x + sin x) = 4 [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE π Bấm máy I = ∫ cos x cos xdx − π = Vậy đáp án π Câu 67 Chọn C [Phương pháp tự luận] π π π 2 4sin x 4sin x.sin x 4(1 − cos x )(1 + cos x ).sin x d x = d x = dx ∫0 + cos x ∫0 + cos x ∫0 + cos x π π 2 0 ∫ 4(1 − cos x) sin xdx = ∫ (4sin x − 2sin x)dx = = [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE π 4sin x dx − = Vậy đáp án + cos x Bấm máy tính ∫ Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 34 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 68 Chọn A π π π Đặt x = sin t , t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt Đổi cận : x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 2 π π 6 Vậy I = ∫ cos t − sin t dt = ∫ π π cos t π π dt = ∫ dt = t 06 = − = cos t 6 Câu 69 Chọn C π π Đặt x = tan t , t ∈ − ; ⇒ dx = (tan x + 1)dt 2 π Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π π 4 π tan t + t d = dt = ∫ + tan t 0 , suy I = ∫ Câu 70 Chọn D −1 I= ∫ dx = x + 2x + −1 ∫ dx Đặt x + = tan t ⇒ dx = (1 + tan t ) dt + ( x + 1) π Khi x = ⇒ t = π , x = − ⇒ t = π 3 Do I = ∫ (1 + tan t ) dt + tan t π π π π = ∫ dt = t π3 = π 12 Câu 71 Chọn C Ta có t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = x dx Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 ⇒ I = ∫ t tdt = t 3 = 10 6− Câu 72 Chọn D π π π Đặt x = 2sin t , t ∈ − ; Khi x = t = ; x = t = 2 Từ x = sin t ⇒ dx = cos tdt Vậy ∫ π π π 2 0 π + cos 2t dt = ( 2t + sin 2t ) = π 2 − x dx = ∫ − 4sin t 2cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ Câu 73 Chọn B Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt 2 Khi x = t = ; x = t = Vậy I = 2 −1 ∫1 t dt = t = Câu 74 Chọn A Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt Khi x = −1 t = ; x = t = t7 t4 Vậy I = ∫ 3t ( t − 1)dt = − = − 28 7 40 3 Câu 75 Chọn D Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 35 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 Ta có I = ∫ (t − 1) t3 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN 2 t3 16 − 11 1 2tdt = ∫ t − dt = − 2t − = t t 1 3 Câu 76 Chọn B − dt Đặt t = − x ⇒ dt = −3x dx ⇒ x dx = 1 6 t t8 Khi I = ∫ t (1 − t )dt = ∫ ( t − t )dt = − = 30 30 168 Câu 77 Chọn B x + = t ⇒ x = t − ⇒ dx = 2tdt Khi x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Đặt Vậy I = ∫ 2 ( t − 1) + ( t − 1) − t 4t 128 54 2tdt = 2∫ ( 2t − 3t ) dt = − 2t 12 = − − 16 + = 5 Câu 78 Chọn C Đặt t = 3− x 3− x 3−t2 −8t ⇒ t2 = ⇒x= ⇒ dx = dt 1+ x 1+ x 1+ t (1 + t )2 Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi I = ∫ t dt Đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u )du 2 (t + 1) Khi t = ⇒ u = π , t = ⇒ u = π Vậy I = ∫ π π ; π π tan u tan u 8sin u (1 + tan u ) du = du = cos udu 2 2 ∫ ∫ (1 + tan u ) π + tan u π cos u 4 π I = ∫ (1 − cos 2u )du = π π +2− Chú ý: Phân tích I = ∫ 3− x dx , đặt t = + x tính nhanh 1+ x Câu 79 Chọn D Đặt u = x + x + Khi x = u = Khi x = u = 3 4x + 2du Ta có: du = (2 x + 1)dx Do đó: ∫ dx = ∫ = ln | u | = 2(ln − ln1) = ln x + x +1 u 1 Câu 80 Chọn B Đặt u = x − Khi x = u = Khi x = u = du Ta có du = 2dx ⇒ dx = Do 2 dx du 11 ∫1 (2 x − 1)2 = ∫1 u = − 2u = − − 1 = Chuển thông hiểu Câu 81 Chọn C Đặt u = x + ⇒ u − = x ⇒ 2udu = dx Khi x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 36 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 Ta có CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN 2 x−3 2u − 8u d x = ∫0 x + + x + ∫1 u + 3u + 2du = ∫1 (2u − 6)du + 6∫1 u + 1du ( = u − 6u ) + ln u + 1 = −3 + ln 32 2 Câu 82 Chọn C dx t − 2t ⇒ dx = (t − 1)dt x = 1+ 2x Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Đặt t = + + x ⇒ dt = Ta có I = 4 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 2 d t = dt = ∫ t − + − dt 2 ∫ ∫ 22 t 22 t 2 t t t2 2 = − 3t + 4ln t + = 2ln − 2 t Câu 83 Chọn A 99 99 100 dx x − x −1 1 x − 7x −1 I = ∫ = ∫ d = ⋅ 2 x + x + x + 100 x + ( ) + x 0 = [ 100 ] −1 900 Câu 84 Chọn A 2 x 2004 I =∫ dx = ∫ x (1 + x )1002 1 1002 x + 1 x Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = dx Đặt t = + ⇒ dt = − dx x x 1001 1001 1 1 1 4 1 = − Khi I = − ∫ 1002 dt = 22t 1001t1001 2002 Câu 85 Chọn A 2π π π 2π 4π Khi x = u = , x = u = 3 3 du Ta có du = 3dx ⇒ dx = Do đó: Đặt u = 3x − 2π ∫ π 2π cos x − dx = 4π ∫ π 4π 1 4π π 1 3 cos udu = sin u = sin − sin = − − = − π 3 3 3 2 3 Câu 86 Chọn B π π 2 I = ∫ cos x cos xdx = π 12 (1 + cos x ) cos x d x = (1 + cos x + cos x )dx ∫0 ∫0 1 π = ( x + sin x + sin x) |π0 / = 4 Câu 87 Chọn D Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 37 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 π x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN (π − t ) sin t + cos t π sin t dt − I + cos t dt = π ∫ sin t d(cos t ) π2 π π d t = − π = π + ⇒ I = ∫0 + cos2 t 4 + cos t π π ⇒ 2I = π ∫ Câu 88 Chọn D π π 1 2 J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx = sin x + sin x = 5 0 Câu 89 Chọn D π ∫ π π sin x − cos x dx = ∫ (sin x + cos x) π sin x − cos x dx = − ln sin x + cos x sin x + cos x π π = ln 2 Câu 90 Chọn C Đặt t = + 3cos x ⇒ dt = −3sin xdx ⇒ sin xdx = ln t 1 I = ∫ dt = 31t − dt π Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = = ln Câu 91 Chọn B Đặt t = − cos3 x ⇔ t = − cos x ⇒ 2t 5dt = cos x sin xdx t t 13 12 I = 2∫ t (1 − t ) dt = − = 13 91 Câu 92 Chọn B π π 4 cos x I =∫ x d = dx ∫ (sin x + cos x ) (tan x + 1)3 cos x 0 Đặt t = tan x + ⇒ dt = (1 + tan x)dx Khi x = ⇒ t = ; x = π ⇒t =2 dt = t Khi I = ∫ Câu 93 Chọn C Đặt: x = π − u ⇒ dx = − du Đổi cận: x = ⇒ u = π sin − u du 2 π Vậy I = ∫ π ;x= π ⇒ u = π π π sin − u + cos − u =∫ cos xdx ( sin x + cos x ) π tan x − π dx sin x + cos x dx 4 Vậy: 2I = ∫ dx = ∫ = ∫ = =1 2 π (sin x + cos x) 2cos x − ( sin x + cos x ) 0 4 π π π 2 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 38 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 94 Chọn A π π π 2 π 1 12 2 I = ∫ cos x sin xdx = ∫ cos x sin xdx = ∫ (1 − cos x ) dx + ∫ cos x sin 2 xdx 40 16 80 π x sin x π = − sin x + = 24 32 16 64 Câu 95 Chọn B Ta có: (sin x + cos x )(sin x + cos x) = 33 33 + cos x + cos8 x ⇒ I = π 64 16 64 128 Câu 96 Chọn C π I =∫ π sin x dx Đặt t = − sin 2 x Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 4 − sin 2 x 4 ⇒ I = ∫− dt = t 3 t 1 = Câu 97 Chọn D Đặt: x = π − t ⇒ dx = −dt Đổi cận: x = ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 π π π (π − t )dt t π dt dt π ⇒ I = −∫ = ∫ − −I ⇒ I = ∫ dt = π ∫ sin t + sin t + sin t + sin t + 0 π sin(π − t ) + t π d − π π π dt dt π π 4 t π = ∫ = ∫ = = tan − = π π ∫0 π 2 0 40 2 t 2 t t t 2 40 cos − cos − sin + cos 2 4 2 4 2 π π π Tổng quát: π π π ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 0 Câu 98 Chọn B Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt Đổi cận x = ⇒ t = π , x= π ⇒ t = Vậy π π sin 2007 − t cos 2007 t I = −∫ dt = ∫ 2007 dt = J (1) sin t + cos 2007 t 2007 π 2007 π π sin − t + cos − t 2 2 π Mặt khác I + J = ∫ dx = π π (2) Từ (1) (2) suy I = π π sin x cos n x π Tổng quát: ∫ n dx = ∫ n dx = , n ∈ Z + n n sin x + cos x sin x + cos x 0 n Câu 99 Chọn D Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 39 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN π ∫ cos 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 Câu 100 Chọn C π ∫ sin 10 xdx = 9!! π 1.3.5.7.9 π 63π = = 10!! 2.4.6.8.10 512 Công thức Wallis (dùng cho trắc nghiệm): π π (n − 1)!! n = 2k , k ∈ ℕ* 2 n !! n n ∫0 cos xdx = ∫0 sin xdx = (n − 1)!! π n = 2k + 1, k ∈ ℕ ⋅ n !! Trong đó: n!! đọc n wallis định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 Câu 101 Chọn A d (1 + e ex Vì = − ⇒ I = ∫ dx − ∫ x x 1+ e 1+ e 1+ ex 0 1 x ) = − ln + e x 2e = − ln(1 + e) + ln = ln e +1 Câu 102 Chọn C Đặt t = e x − ⇒ t = e x − ⇒ e x dx = 2tdt Khi x = ln ⇒ t = ; x = ln ⇒ t = 2 t 20 ⇒ I = ∫ ( t + 1) dt = + t = 1 Câu 103 Chọn B Đặt t = e x − ⇒ t = e x − ⇒ 2tdt = e x dx Khi x = ⇒ t = ; x = ln ⇒ t = 1 2t −π ⇒ I = ∫ dt = 2∫ − dt = t +1 t +1 0 Câu 104 Chọn B ln Cách 1: Ta có I = ∫ ex dx = (e x + 1)3 ln ∫ d(e x + 1) =− x x (e + 1) 2(e + 1)2 ln = 32 x Cách 2: đổi biết đặt t = e + Câu 105 Chọn C dt Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Khi x = e ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = ⇒ I = ∫ = ln t x t = ln Câu 106 Chọn B Đặt t = e x − , Khi x = ln ⇒ t = 0; x = ln ⇒ t = 1; e x = t + ⇒ e x dx = 2tdt 1 1 2t + (t + 2)tdt d(t + t + 1) = t − + d t = ( t − 1)d t + ∫0 ∫0 ∫0 t + t + t2 + t +1 t + t +1 I = 2∫ = (t − 2t ) 10 + 2ln ( t + t + 1) 10 = ln – Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 40 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 107 Chọn C ln ∫ M= ln 2e3 x + e x − dx = e3 x + e x − e x + 3x ∫ 3e3 x + 2e x − e x − (e3 x + e x − e x + 1) dx e3 x + e x − e x + ln 3e + 2e − e 11 11 ln − 1dx = ln ( e3 x + e x − e x + 1) − x = ln ⇒ e M = 3x 2x x + e − e +1 4 ∫ e = 2x ln x Câu 108 Chọn D e e e ln x + ln x 2 I =∫ dx = ∫ ln x + ln xd ( ln x ) = ∫ ( + ln x ) d ( + ln x ) 21 x 1 e 3 = ( + ln x ) = 34 − 24 8 Câu 109 Chọn A [Phương pháp tự luận] 2π I= x x sin + cos dx = 2 ∫ 2π ∫ 2π x x x π sin + cos dx = ∫ sin + dx 2 4 2 32π 2π x π x π = ∫ sin + dx − ∫ sin + dx = 2 4 2 4 3π [Phương pháp trắc nghiệm] 2π ∫ Bấm máy tính I = + sin xdx − đáp số Vậy đáp án Câu 110 Chọn A [Phương pháp tự luận] π π ∫π Ta có I = − f ( x )dx = ∫π − 2 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (1) Tính I1 = ∫π − π π 2 0 f ( x)dx Đặt x = −t ⇒ dx = −dt ⇒ I1 = ∫ f (−t )dt = ∫ f (− x)dx Thay vào (1), ta π π π π 2 2 0 0 I = ∫ [ f (− x) + f ( x )] dx = ∫ (1 + cos x )dx = ∫ cos x dx = ∫ cos xdx = Câu 111 Chọn B [Phương pháp tự luận] π − Đặt x = −t ⇒ ∫ f ( x)dx = −π π π 2 ∫ π ∫π f (−t )(−dt ) = − π π π 2 ⇒ ∫ f ( x)dx = −π π f (−t )dt = ∫ [ f ( x) + f (− x) ] dx = ∫ cos xdx − π ∫π − f (− x)dx ⇒I= −π Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 3π 41 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN [Phương pháp trắc nghiệm] π Bấm máy tính ∫π cos xdx − − 3π 3π đáp số Vậy đáp án 8 Câu 112 Chọn D Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan t )dt Đổi biến: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π π π 4 ln(1 + tan t ) + tan t d t = ( ) ∫ ln(1 + tan t )dt + tan t 0 ⇒I =∫ Đặt t = π − u ⇒ dt = −du ; Đổi cận: t = ⇒ u = π , t= π ⇒u =0 π π ⇒ I = ∫ ln(1 + tan t )dt = − ∫ ln 1 + tan − u du 4 π π π π 4 π π − tan u = ∫ ln 1 + du = ∫ ln du = ∫ ln 2du − ∫ ln (1 + tan u ) du = ln − I + tan u + tan u 0 0 Vậy I = π ln Câu 113 Chọn C π Xét tích phân J = ∫π − Đổi cận: x = − π f (− x)dx Đặt x = −t ⇒ dx = −dt ⇒t = π Suy ra: J = ∫π − , x= − π ⇒t =− π π 2 f (− x )dx = − ∫ f (t )dt = π 2 Do đó: 3I = J + I = ∫π − π f (t )dt = I π π π 2 ∫π [ f (− x) + f ( x) ] dx = ∫π cos xdx = 2∫ cos xdx = − Vậy I = π − 2 Câu 114 Chọn D f ( x) = A sin π x + B ⇒ f ′( x ) = A.π cos π x Do f ′(1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A = − 2 0 A π A ∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = ⇒ − π cos 2π + 2B + π cos = ⇒ B = Câu 115 Chọn B 2 12 = ∫ a + (4 − 4a) x + x3 dx = a x + (2 − 2a) x + x ⇒ a = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 42 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN Câu 116 Chọn A π π π Đặt x = a tan t ; t ∈ ; − ⇒ dx = a(1 + tan t )dt Khi x = ⇒ t = ; x = a ⇒ t = 2 2 π π a (1 + tan t ) 14 π Vậy I = ∫ d t = dt = 2 ∫ a tan t + a a a 0 Câu 117 Chọn A Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Khi x = ⇒ t = ; x = π Vậy I = ∫ Đặt t = cos x dx = + cos x ∫ dt = − 2t ∫ π ⇒t = dt −t 3 π π cos u ⇒ dt = − sin udu Khi t = ⇒ u = ; t = ⇒u = 2 2 Suy I = π π sin udu 1 π = du = u = ∫ 2π − cos u ) π ( 4 π dt = 2 −t ∫ ∫ π Câu 118 Chọn C 1 1 Đặt u = ⇒ t = ⇒ dt = − du Khi t = x ⇒ u = ; t = ⇒ u = t u u x 1 1 − du 1 x x dt du dt dt −du u ⇒ = = = = ∫x + t ∫1 ∫1 u + ∫1 u + ∫x + t ∫1 + t 1+ x x u Câu 119 Chọn D u = ln(sin x) ⇒ du = cot xdx dv = sin x dx ⇒ v = − cot x π π 2 I = ∫ ln(s inx)dx = − cot x ln(sin x) π + ∫ cot xdx π sin x π π 6 π π π 2 = ln − cot x − x π2 = − ln + − π 6 Câu 120 Chọn B Xét hiệu số − x đoạn [0; 2] để tìm {1, x } 2 x3 Vậy I = ∫ {1, x } dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 2 Câu 121 Chọn A Đặt t = − x ⇒ x = − t ⇒ dx = −2tdt Khi x = −8 ⇒ t = ; x = −3 ⇒ t = Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 43 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN −3 3 dx −2tdt tdt dt t +1 Vậy I = ∫ =∫ = 2∫ = 2∫ = ln = ln 2 t −1 1− t −8 x − x (1 − t ) t (1 − t ) t Câu 122 Chọn A a a a x − 2ln x ln x I =∫ dx = + ln ⇔ ∫ xdx − 2∫ dx = + ln 2 x x 1 a2 1 ⇔ − + ln a + − 1 = + ln ⇔ a = a 2 a HD casio: Nhập x − ln x ∫1 x2 dx − − ln = nên a = Câu 123 Chọn C π π t 14 sin x 1 dt = ; I = ∫ dx = ∫ − dt = ln − t t (sin x + 2) 2 I1 = ∫ cos x 3sin x + 1dx = ∫ Câu 124 Chọn A m m ∫ ( x + ) dx = ⇒ ( x + x ) = ⇒ m + 5m − = ⇒ m = 1, m = −6 Hướng dẫn casio: Thay m = m = −6 vào thấy thỏa mãn Câu 125 Chọn A Sử dụng đồng thức, ta thấy b a = −4 a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x) sin x =1 + = = ⇒ ⇒ h( x ) = (2 + sin x) 2 + sin x (2 + sin x)2 (2 + sin x) a + 2b = b = π π π −4 cos x 2cos x 2 Vậy ∫ h( x )dx = ∫ + x = − + + x d 2ln sin (2 + sin x) 2 + sin x + sin x 0 0 = − + ln + − ln = + ln 3 2 Câu 126 Chọn D π m( f ) = sin xdx = ∫ π −0 π Câu 127 Chọn A 1 dx 1 I =∫ = ln x + = ln 3x + 3 0 π π 4 0 J = ∫ ( sin x − cos4 x ) dx = − ∫ ( cos2 x − sin x ) dx = − K= ∫ (x −1 + 3x + 1) dx = 21 Câu 128 Chọn B Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 44 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 a CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN a a dx x−2 a−2 ∫0 x − 3x + = ∫0 x − − x − dx = ln x − = ln a − − ln Câu 129 Chọn A 1 d( x + 2) 1 1 3.m − ∫ = ⇔ 3.m + = ⇔ 3m + − = ⇔ m = ( x + 2) ( x + 2) 12 −2 Vậy 144m − = 144 −1 = 12 Câu 130 Chọn D b b a a b f ( x) f ( x) f (x) f (b ) f (a) ∫ e f ′( x)dx = ∫ e d( f ( x)) = e = e − e = a Câu 131 Chọn B Đặt t = 3x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = 3dx Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 4 1 dt = ∫ − dt = 2ln − ln t +1 t −1 t −1 Do I = 2∫ suy a = 2, b = −1 Vậy a + ab + 3b = − + = Câu 132 Chọn C Đặt t = − cos x ⇒ dt = sin xdx Khi x = ⇒ t = ; x = π ⇒ t =1 t n +1 I = ∫ t dt = = n +1 n +1 n Câu 133 Chọn B Đặt t = π π ∫ π − x ⇒ dx = − dt Khi x = ⇒ t = ;x= π π ⇒t = π 2 π f (sin x )dx = − ∫ f sin − t dt = ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx π 0 π ∫ π sin x π d x = I = dx ⇒ I = ∫ n n cos x + sin x n Câu 134 Chọn D Do hàm số f ( x) = − cos x hàm liên tục tuần hoàn với chu kì T = π nên ta có 2T T ∫ f ( x )dx = T ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + 0 2017π ⇒ ∫ ∫ nT f ( x)dx = = 2T T nT ⇒ ∫ 3T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx ( n −1)T 2T ∫ nT f ( x)dx + + ∫ T f ( x)dx = n ∫ f ( x )dx ( n −1)T T π π 0 − cos x dx = 2017 ∫ − cos x dx = 2017 ∫ sin xdx = 4034 Câu 135 Chọn C Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 45 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN π (1 + sin x)1+ cos x Ta có I = ∫ ln dx + cos x π π π 2 0 = ∫ ln(1 + sin x)1+ cos x − ln(1 + cos x) dx = ∫ (1 + cos x ) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + cos x)dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt Đổi cận x = ⇒ t = π π ;x = π ⇒t =0 π π 2 π I = ∫ ln (1 + cos x )dx = − ∫ ln 1 + cos − t dt = ∫ ln (1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx π 0 π π π 2 0 ⇒ I = ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x )dx − ∫ ln(1 + sin x )dx = ∫ cos x ln(1 + sin x )dx = ln − Câu 136 Chọn D b ∫ (3x − 12 x + 11)dx = ⇔ ( x − x + 11x ) b b = = ⇔ b − 6b + 11b − = ⇔ b = b = 3 Câu 137 Chọn C b +Ta có ∫ 6dx = ⇒ b = a +Tính ∫ xe x dx u = x du = dx Khi đó, Đặt ⇒ x x dv = e dx v = e a ∫ xe dx = xe x x a 0 a − ∫ e x dx = e a − e a + = a ⇒ a = Vậy b + a + 3a + 2a = Câu 138 Chọn A a +Tính ∫x dx + a2 π π Đặt t = a tan x; a ∈ ; − ⇒ dx = a(1 + tan t )dt 2 2 π Đổi cận : x = ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = bπ +Tính: B = ∫ 2dx = 2bπ , suy π 4 Vậy A = ∫ π a(1 + tan t ) 14 π d t = dt = 2 ∫ a tan t + a a0 4a B =π 2b Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 46 | T H B T N Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4 ... BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN ln ∫ Câu 103 Giá trị tích phân I = e x − 1dx −π A −π B ln ex ∫ Câu 104 Giá trị tích phân I = (e A 2 − B e2 Câu 105 Giá trị tích phân. .. Giá trị tích phân CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN 2π dx 3 A − B − C − D − D 2 π Câu 86 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx A π B π C π π π x sin x dx + cos x Câu 87 Giá trị tích phân: I... BTNBTN-CD4 CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ – TÍCH PHÂN π Câu 66 Tích phân I = ∫ cos x cos xdx có giá trị A −5π π B C 3π D π π 4sin x dx có giá trị + cos x B Câu 67 Tích phân I = ∫