Chuyên đề thể tích khối chóp

Chuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chópChuyên đề thể tích khối chóp

o n

ñ h

ñ

o n

ñ h

Cạnh kề Cạnh huyền

CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ 7.4 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AMlà đường trung tuyến Ta có:

2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

c Công thức tính diện tích tam giác:

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2 2

5 Diện tích đa giác:

a iện tích tam giác uông:

 i n tích tam giác vuông b ng tích cạnh

góc vuông

b iện tích tam giác đ u:

 Di n tích tam giác đều: 3

= đáy l n đáy b chiều cao

e iện tích tứ giác c hai đường ch uông

g c:

 i n tích t giác có hai đường ch o vuông góc

nhau b ng tích hai đường ch o

 nh thoi có hai đường ch o vuông góc nhau

tại trung đi m c a m i đường

üïïïÞýï

23432

A BC

a S

a h

H T hoi

cạnh 2 đều

cạnh

đều

b

üïïÞýïïþ

3 Chứng minh hai đường th ng song song: p ng một trong các định lí au

 Hai mặt phẳng ( ),a ( )b có đi m chung S và l n lư t ch a đường thẳng ong ong a b, th giao

tuyến c a chúng đi qua đi m S cùng ong ong v i a,B

P PP

(H quả trang 57, SKG HH11)

 Cho đường thẳng a song song v i mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( )b ch a a và cắt ( )a theo giao tuyến b th b ong ong v i a

( ) ( )

( ),( )

a

b b

d

d

a a

 Sử ng phư ng pháp h nh học phẳng: ường trung b nh, định lí Tal t đảo,

4 Chứng minh đường th ngvuông góc với mặt ph ng:

 Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc v i hai đường thẳng cắt nhau

n m trong một mặt phẳng th nó vuông góc v i mặt phẳng ấy

( )

{

( )( )}

 Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông

góc v i đường thẳng này th vuông góc v i đường thẳng kia

 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng ong ong ường thẳng nào vuông

góc v i mặt phẳng này th cũng vuông góc v i mặt phẳng kia

üïïïÞ ^ýï

^ ïïþ

P

 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc v i mặt

phẳng th ba th giao tuyến c a chúng vuông góc v i mặt phẳng th ba đó

 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc th bất c đường thẳng nào

nào n m trong mặt phẳng này và vuông góc v i giao tuyến đều vuông góc v i mặt phẳng kiA.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc v i một trong hai đường thẳng ong ong th phải

vuông góc v i đường kia

b//c

üïïÞ ^ýï

üï

^ ïï Þ ^ýï

 Cách 4: ( d ng Định lý a đường uông g c Cho đường thẳng b n m trong mặt phẳng ( )P

và a là đường thẳng không thuộc ( )P đ ng thời không vuông góc v i ( )P Gọi a’ là h nh chiếu vuông góc c a a trên ( )P Khi đó b vuông góc v i a khi và ch khi b vuông góc v i a’

B

 Cách 2: Theo định lý 1 Trang 108 SGK 11 :

III HÌNH CH P ĐỀU

1 Định ngh a: ột h nh ch được g i là h nh ch đ u nếu c đáy là một đa giác đ u à c ch n

đường ca tr ng i t m c a đa giác đáy

h n t:

 nh chóp đều có các mặt bên là nh ng tam giác c n b ng nhau

Các mặt bên tạo v i đáy các góc b ng nhau

 Các cạnh bên c a h nh chóp đều tạo v i mặt đáy các góc b ng

nhau

2 ai h nh chóp đều thường gặp:

a nh chóp tam giác đều: Cho h nh chóp tam giác đều S A BC Khi

đó:

 áyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác c n tại S

 Chiều cao: SO

 Góc gi a cạnh bên và mặt đáy: SA O· = SBO· = SCO·

 Góc gi a mặt bên và mặt đáy: SHO·

A B

: nh chóp tam giác đều khác v i t i n đều

 ứ diện đ u c các m t là các tam giác đ u

 ứ diện đ u là h nh ch tam giác đ u c c nh n

 Góc gi a cạnh bên và mặt đáy: ·SA O = SBO· = SCO· = SDO·

 Góc gi a mặt bên và mặt đáy: SHO·

IV THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

OI

B

S

O

2 Thể tích khối l ng tr : V = B h.

:

B i n tích mặt đáy

:

h Chiều cao c a khối chóp

ưu ý: ng tr đ ng có chiều cao cũng là

Câ 1 Cho h nh chóp S ABC có đáy là tam giác đều ếu t ng độ ài cạnh đáy lên l n và độ ài

đường cao không đổi th th tích S ABC t ng lên bao nhiêu l n?

a

324

a

36

A a3 B

3

22

a

3

26

a

33

a

3

34

a

33

3

a

32

a

36

324

a

323

a

33

a

3

26

a

3

23

a

3

32

a

3

33

a



Câ 13 Cho h nh chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vuông góc v i mặt phẳng ABC Tính th tích khối chóp S ABC biết

ABa, ACa 3

A

3

612

3

64

3

26

34

Câ 14 Cho h nh chópS ABCD có đáyABCD là h nh thoi Mặt bên SAB là tam giác vuông c n tại 

S và thuộc mặt phẳng vuông góc v i mặt phẳng ABCD Tính th tích khối chóp S ABCD

biết BDa, AC a 3

334

a

3312

a

33

a



Câ 15 Cho h nh chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A nh chiếu c a S lên mặt phẳng

ABC là trung đi m H c a  BC Tính th tích khối chóp S ABC biết ABa, ACa 3,

2

A

366

332

336

362

Câ 16 Cho h nh chópS ABCD có đáyABCD h nh vuông cạnh a nh chiếu c a S lên mặt phẳng

a

32

a

332

a  nh chiếu c a S lên ABCD là 

trung đi m H c a AB Th tích khối chóp là

A

3

23

a

323

a

 C a3 12 D

33

a



Câ 18 nh chóp S ABCD đáy h nh thoi, AB2a, góc ·BAD b ng 120 nh chiếu vuông góc c a 0

S lên ABCD là I giao đi m c a đường ch o, biết 

3

39

3

23

3

33

a

3

33

a

3

23

a

3

22

a



Câ 23 Cho l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là h nh ch nh t, A A' A B' A D' Tính th tích

khối l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' biết ABa, ADa 3, AA'2a

Câ 24 Cho l ng tr ABC A B C ' ' ' có ABC là tam giác vuông tại A nh chiếu c a A' lên ABC là 

trung đi m c a BC Tính th tích khối l ng tr ABC A B C ' ' ' biết ABa, ACa 3,

' 2

AA  a

A

32

332

Câ 25 Cho l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là h nh thoi nh chiếu c a A lên ' ABCD là 

trọng t m c a tam giác ABD Tính th tích khối l ng tr ABCA B C' ' ' biết ABa,

3

23

3

22

Câ 26 Cho l ng tr ABC A B C ' ' ' Tính t ố ' '

' ' '

ABB C ABCA B C

a

3

34

a

3

36

a

312

a



Câ 28 ng tr tam giácABC A B C   có đáy tam giác đều cạnh a , góc gi a cạnh bên và mặt đáy b ng

300 nh chiếu A lên ABClà trung đi m I c a BC Th tích khối l ng tr là

A

3

36

a

3

32

a

3

312

a

3

38

Câ 33 Cho h nh chóp t giác đều S ABCD có chiều cao b ngh, góc gi a hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD)b ng  Tính th tích c a khối chóp S ABCD theo h và 

A

3 2

3

8 tan

h



Câ 34 Cho h nh chóp S ABCD có đáy ABCD là h nh vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc v i đáy

và mặt phẳng SAD tạo v i đáy một góc 60 Tính th tích khối chóp S ABCD

Câ 35 Cho h nh l ng tr đ ng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BCa, mặt

phẳng A BC tạo v i đáy một góc '  30 và tam giác A BC' có i n tích b ng a2 3 Tính th tích khối l ng tr ABC A B C ' ' '

A

338

Câ 36 Cho h nh l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh b nga nh chiếu vuông

góc c a A' trên ABC  là trung đi m c a AB Mặt phẳng AA C C' '  tạo v i đáy một góc

b ng 45 Tính th tích V c a khối l ng tr ABC A B C ' ' '

A.

3316

a

338

a

334

a

332

a

3

318

a

3

316

a

3

324

a

Câ 38 Cho h nh chóp đều S ABCD có đáy ABCD là h nh thoi t m O, AC2 3a, BD2a, hai

mặt phẳng SAC và  SBD cùng vuông góc v i mặt phẳng  ABCD Biết khoảng cách từ 

a

3

318

a

3

33

a

3

312

a

Câ 39 Cho h nh chóp t giác đều S ABCD , O là giao đi m c a AC và BD Biết mặt bên c a h nh

chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a Tính th tích khối chóp S ABCD theo

a

Câ 40 Cho h nh chóp t giác S ABCD có SAABCD ABCD là h nh thang vuông tại A và B

biết AB2a AD3BC3a Tính th tích khối chóp S ABCD theo a biết góc gi a

SCDvà ABCD b ng  60 0

A. 2 6a 3 B 6 6a 3 C 2 3a3 D.6 3a3

Câ 41 Cho h nh chóp t giác S ABCD có SAABCD, ABCD là h nh thang vuông tại A và B

biết AB2a.AD3BC3a Tính th tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ

Câ 42 Cho l ng tr tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc gi a đường thẳng BB và ' ABC b ng 

60, tam giác ABC vuông tại C và góc ·BAC 60 nh chiếu vuông góc c a đi m B' lên

ABC trùng v i trọng t m c a  ABC Th tích c a khối t i n A ABC' theo a b ng

A

313

108

a

37106

a

315108

a

39208

a

Câ 43 Cho h nh l ng tr đ ngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a Khoảng cách từ

t m O c a tam giác ABCđến mặt phẳng A BC b ng ' 

V

2

12

V

2

34

V

2

23

V

2

13

V

Câ 46 Cho h nh chóp t giác đều S ABCD có cạnh đáy b ng 2a, góc gi a hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD b ng ) 45, M N và P l n lư t là trung đi m các cạnh , SA SB và AB Tính th tích ,

V c a khối t i n DMNP

A.

36

a

34

a

312

a

32

a

323

a

Câ 48 Cho t i n ABCDcó các cạnh AB AC, và AD đôi một vuông góc v i nhau Gọi G G G1, 2, 3và

Câ 50 Cho h nh chóp t giác S ABCD có đáy là vuông; mặt bên (SAB là tam giác đều và n m trong )

mặt phẳng vuông góc v i đáy Biết khoảng cách từ đi m A đến mặt phẳng (SCD)b ng

Câ 52 Cho h nh chóp S ABC có ch n đường cao n m trong tam giác ABC; các mặt phẳng (SAB),

(SAC) và (SBC) cùng tạo v i mặt phẳng (ABC) các góc b ng nhau Biết AB25, BC17,

Câ 1 Cho h nh chóp S ABC có đáy là tam giác đều ếu t ng độ ài cạnh đáy lên l n và độ ài

đường cao không đổi th th tích S ABC t ng lên bao nhiêu l n?

24

36

H ớng dẫn giải:

Gọi t i n ABCD đều cạnha

Gọi H là h nh chiếu c a A lên BCD 

Câ 6 Cho S ABCD là h nh chóp đều Tính th tích khối chóp S ABCD biết ABa, SAa

322

a

326

a

33

Câ 7 Cho h nh chópS ABC có SAABC, đáyABC là tam giác đều Tính th tích khối chóp

a

3

34

a

33

ABC

a

3

312

S ABC

a V

3

32

36

H ớng dẫn giải:

2

3

1

2

A

B

CS

O

BCA

3

1

2

a

323

a

33

a

326

a



H ớng dẫn giải:

 0 2

3

3

23

3

32

3

33

a 

H ớng dẫn giải:

 0 2

3

3

.cos 45

Câ 13 Cho h nh chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vuông góc v i mặt phẳng ABC Tính th tích khối chóp S ABC biết

ABa, ACa 3

A

3

612

a

3

64

a

3

26

a

34

B

A

CDS

Câ 14 Cho h nh chópS ABCD có đáyABCD là h nh thoi Mặt bên SAB là tam giác vuông c n tại 

S và thuộc mặt phẳng vuông góc v i mặt phẳng ABCD Tính th tích khối chóp  S ABCD

biết BDa, ACa 3

3

34

a

3

312

a

33

Ta có: SAB c n SH ABSH ABCD v SAB  ABC)

3

Câ 15 Cho h nh chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A nh chiếu c a S lên mặt phẳng

ABClà trung đi m H c a BC Tính th tích khối chóp S ABC biết ABa, ACa 3,

3

32

a

3

36

a

3

62

H

Câ 16 Cho h nh chópS ABCD có đáyABCD h nh vuông cạnh a nh chiếu c a S lên mặt phẳng

32

332

1

a  nh chiếu c a S lên ABCD là 

trung đi m H c a AB Th tích khối chóp là

A

3

23

a

323

a

 C a3 12 D

33

Câ 18 nh chóp S ABCD đáy h nh thoi, AB2a, góc ·BAD b ng 120 nh chiếu vuông góc c a 0

S lên ABCD là I giao đi m c a đường ch o, biết 

3

39

3

23

3

33

H

S

BA

· 2 3

I

33

3

23

3

22

h a

a

V h S a

Câ 23 Cho l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là h nh ch nh t, A A' A B' A D' Tính th tích

khối l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' biết ABa, ADa 3, AA'2a

ABCDA B C D ABCD

Câ 24 Cho l ng tr ABC A B C ' ' ' có ABC là tam giác vuông tại A nh chiếu c a A' lên ABC là 

trung đi m c a BC Tính th tích khối l ng tr ABC A B C ' ' ' biết ABa, ACa 3,

A

32

332

3'

2

ABCA B C ABC

a

Câ 25 Cho l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là h nh thoi nh chiếu c a A' lên ABCD là 

trọng t m c a tam giác ABD Tính th tích khối l ng tr ABCA B C' ' ' biết ABa,

a

3

23

a

3

22

60

BAD nên tam giác ABD đều

ABD là tam giác đều cạnh a 3

3

a AH

2'

H

Ta có: BB C C' ' là h nh b nh hành

' ' ' '

12

A BB C C ABCA B C A A B C ABCA B C

' ' ' ' ' ' '

' ' '

ABB C ABB C ABCA B C

a

3

34

a

3

36

a

312

Câ 28 ng tr tam giácABC A B C   có đáy tam giác đều cạnh a , góc gi a cạnh bên và mặt đáy b ng

300 nh chiếu A lên ABC là trung đi m I c a  BC Th tích khối l ng tr là

A

336

332

3312

338

H ớng dẫn giải:

 0 2

3 ’ ’ ’

tan 30

3

a

H ớng dẫn giải:

AB

ABC C

A ABC ABC ABC A B C

A ABC ABC A B C

V V

C

A 'B'

C '

AB

C

A 'B'

M

N

Câ 33 Cho h nh chóp t giác đều S ABCD có chiều cao b ngh, góc gi a hai mặt phẳng (SAB và )

(ABCD)b ng  Tính th tích c a khối chóp S ABCD theo h và 

A

3 2

4tan

4tan

h

3 2

4

3 tan

h



Câ 34 Cho h nh chóp S ABCD có đáy ABCD là h nh vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc v i đáy

và mặt phẳng SAD tạo v i đáy một góc 60 Tính th tích khối chóp S ABCD

D

C

Câ 35 Cho h nh l ng tr đ ng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BCa, mặt

phẳng A BC tạo v i đáy một góc '  30 và tam giác A BC' có i n tích b ng a2 3 Tính th tích khối l ng tr ABC A B C ' ' '

A

3

38

Câ 36 Cho h nh l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh b nga nh chiếu vuông

góc c a 'A trên ABC  là trung đi m c a AB Mặt phẳng AA C C' '  tạo v i đáy một góc

b ng 45 Tính th tích V c a khối l ng tr ABC A B C ' ' '

A.

3316

a

338

a

334

a

332

Gọi H, M, I l n lư t là trung đi m

c a các đoạn thẳng AB, AC, AM

' ' ' '

ABC A B C ABC

234

ABC

a

Ta có IH là đường trung b nh c a tam giác

AMB , MB là trung tuyến c a tam giác đều

a

3

318

a

3

316

a

3

324

Câ 38 Cho h nh chóp đều S ABCD có đáy ABCD là h nh thoi t m O, AC2 3a, BD2a, hai

mặt phẳng SAC và  SBD cùng vuông góc v i mặt phẳng  ABCD Biết khoảng cách từ

a

3

318

a

3

33

a

3

312

Trong tam giác đều ABD, gọi là

trung đi m AB,

S

O I

2a 3

OI OK SO  

3

Câ 39 Cho h nh chóp t giác đều S ABCD , O là giao đi m c a AC và BD Biết mặt bên c a h nh

chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a Tính th tích khối chóp S ABCD theo

a

H ớng dẫn giải:

Gọi M là trung đi m c a CD,

trong SOM kẻ đường cao

Câ 40 Cho h nh chóp t giác S ABCD có SAABCD ABCD là h nh thang vuông tại A và B

biết AB2a AD3BC3a Tính th tích khối chóp S ABCD theo a biết góc gi a

M

Câ 41 Cho h nh chóp t giác S ABCD có SAABCD, ABCD là h nh thang vuông tại A và B

biết AB2a.AD3BC3a Tính th tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ

ABC

S  AB BCa

23

ACD ABCD ABC

Câ 42 Cho l ng tr tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc gi a đường thẳng BB' và ABC b ng 

60, tam giác ABC vuông tại C và góc ·BAC 60 nh chiếu vuông góc c a đi m 'B lên

ABC trùng v i trọng t m c a  ABC Th tích c a khối t i n A ABC' theo a b ng

A

313

108

a

37106

a

315108

a

39208

ặtAB2x Trong ABC vuông tại C có · 0

M H

60 

60 

a BC

Câ 43 Cho h nh l ng tr đ ngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a Khoảng cách từ

t m O c a tam giác ABCđến mặt phẳng A BC b ng ' 

Gọi M là trung đi m c a BC,

ta có A AM'   A BC'  theo giao tuyến

V

2

12