Chuyen đe thê tich khoi chop(Bổ sung)

Trường THPT Trà cú - Tổ Tốn Chun đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Chun đề : A. MỞ ĐẦU : Trong chương trình phổ thông , Hình học không gian là một mơn học rất khó đối với học sinh , do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện cụ thể ở đây là thể tích khối chóp, khối lăng trụ, do đó trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT-Tuyển sinh ĐH-CĐ ,bài tốn HHKG là phần chung cho cả hai ban .Nhưng đa số học sinh thường bỏ hoặc làm sai bài tốn này . Để giải được bài tốn này học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác đònh giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Chính vì thế tơi quyết định chọn chun đề “Thể tích khối đa diện “, nhưng do thời gian thực hiện chun đề có hạn , nên ở đây tơi chỉ trình bày phần “Thể tích của khối chóp “ để q Thầy Cơ và các em học sinh tham khảo , đồng thời đóng góp ý kiến để chun đề này hồn chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn ! B.NỘI DUNG : I.Hệ thống lại kiến thức cơ bản : 1. Tam giác thường: Diện tích của tam giác: * µ 1 . . .sin 2 ABC S AB AC A ∆ = ; 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = 2. Các tam giác đặc biệt : a. Tam giác vng : + Định lý pitago: 2 2 2 BC AB AC= + + Tỷ số lượng giác trong tam giác vng µ = = Đối sin Huyền b B a ; µ = = Kề cos Huyền c B a ; µ = = Đối tan Kề b B c + Diện tích tam giác vng: 1 . . 2 ABC S AB AC ∆ = b. Tam giác cân: + Đường cao AH cũng là đường trung tuyến + Tính đường cao và diện tích : µ .tanAH BH B= , 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = c. Tam giác đều: + Đường cao của tam giác đều : = = 3 . 2 h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3 2 ) + Diện tích : 2 3 ( ) . 4 ABC S AB ∆ = Trang 01 h H A B C c a b C B A A B C H B A G C M Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh 3. Tứ giác a. Hình vuông + Diện tích hình vuông : 2 ( ) ABCD S AB= ( Diện tích bằng cạnh bình phương) + Đường chéo hình vuông = = . 2AC BD AB + OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2 ) b. Hình chữ nhật + Diện tích hình vuông : . ABCD S AB AD= ( Diện tích bằng dài nhân rộng) + Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD 4. Thể tích khối chóp: + Thể tích khối chóp : = 1 . . 3 V B h Trong đó :B là diện tích đa giác đáy , h : là đường cao của hình chóp 5. Các khối chóp đặc biệt : a. Khối tứ diện đều: + Tất cả các cạnh đều bằng nhau + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) B b. Khối chóp tứ giác đều + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O + SO ⊥ (ABCD) Trang 02 O B D A C O A B D C h S B A C H A C D M O O C D B A S Trường THPT Trà cú - Tổ Tốn Chun đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mp đáy Hình chóp đều A C B S A C B S O Đa giác đáy : Hình chóp tam giác đều Tam giác vuông  Hình chóp tứ giác  Tam giác cân Tam giác đều  Hình vuông, chữ nhật 6. Nhắc lại cách xác định góc : Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12 sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách vận dụng Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc Góc Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng A C B S A C B S M O 1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): Trang 03 45 O S C D B A O C D B A S Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh a)Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P) b)Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d / 2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) : a) Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) b) Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) c) Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b  Bài tập : 1.Xác định góc : Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với (ABCD) bằng 45 0 . Hãy xác định góc đó. Giải Ta có : = ( )ABCD AC hc SC ⇒ · · · = = = ( ,( )) ( , ) 45 o SC ABCD SC AC SCA Bài 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 0 . Hãy xác định góc đó. Giải Gọi M là trung điểm BC Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC (ABCD) ⊃ AM ⊥ BC (SBC) ⊃ SM ⊥ BC ( vì ( ) SM ABCD AM hc= ) ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABCD SM AM SMA= = = D Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · 0 60ACB = , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)  Lời giải: * Ta có :AB = a , ( ) SB ABC AB hc= ⇒ · · · ( ,( )) ( , ) 45 o SB ABC SB AB SBA= = = * ∆ ABC vuông tại B có AB = a, · 0 60ACB = ⇒ 0 3 tan 60 3 3 AB a a BC = = = ⇒ 2 ABC 1 1 3 . 3 S . . . 2 2 3 6 a a BA BC a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µ 0 45B = ⇒ .tan 45 o SA AB a= = * 2 3 . 1 1 . 3 . 3 . . . . 3 3 6 18 S ABC ABC a a V S SA a= = = Trang 04 60 M O S A B C 45 60 S B C A 45 O S C D B A Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh 1.Khối chóp có đáy là tam giác : Baøi 1 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Sai lầm của học sinh: − Gọi M là trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC , SM ⊥ BC ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SM AM SMA= = = (Hình vẽ sai)  Lời giải đúng: * Ta có : AB = 3a , (SBC) ∩ (ABC) = BC AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B) SB ⊥ BC ( vì ( ) SB ABC AB hc= ) ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SB AB SBA = = = * ∆ ABC vuông tại B có AB = 3a ,BC =a ⇒ 2 ABC 1 1 . 3 S . . 3. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µ 0 60B = ⇒ .tan 60 3 o SA AB a= = *: 2 3 . 1 1 . 3 . 3 . . . .3 3 3 2 2 S ABC ABC a a V S SA a= = =  Nhận xét: − Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60 o , do đó mất 0.25 điểm − Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến. Baøi 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Sai lầm của học sinh: ⇒ · · (( ),( )) 45 o SBC ABC SBA= =  Lời giải đúng: * Ta có : AB = 3a , (SBC) ∩ (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A) Trang 05 60 M S B C A 60 S B C A 45 M S B C A Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh SM ⊥ BC ( vì ( ) SM ABC AM hc= ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 45 o SBC ABC SM AM SMA = = = * ∆ ABC vuông cân tại A có ,BC = 2a ⇒ AB = BC = a và AM = 2 2 a ⇒ 2 ABC 1 1 S . . . 2 2 2 a AB AC a a ∆ = = = * ∆ SAM vuông tại A có AM= 2 2 a , ¶ 0 45M = ⇒ 2 .tan 45 2 o a SA AB= = * 2 3 . 1 1 2 . 2 . . . . 3 3 2 2 12 S ABC ABC a a a V S SA= = = Baøi 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = 3a . * ∆ ABC vuông tại B nên 2 2 BC AC AB a= − = ⇒ 2 ABC 1 1 . 2 S . . 2. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có 2 2 SA SB AB a= − = * 2 3 . 1 1 . 2 . 2 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Baøi 3 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: Ta có : AC = a 2 , SB = 3a . * ∆ ABC vuông, cân tại B nên 2 2 AC BA BC a= = = ⇒ 2 ABC 1 1 S . . . 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có 2 2 SA SB AB a= − = * 2 3 . 1 1 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Baøi 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , · 0 AC 120B = ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Trang 06 A C B S A C B S Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh  Lời giải: * ∆ ABC cân tại A, · 0 AC 120B = , BC = 2a 3 ,AB = AC = BC = 2a Xét ∆ AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 60 0 ⇒ AM = 0 3 tan 60 3 BM a a= = ⇒ 2 ABC 1 1 S . . .2 3 . 3 2 2 AM BC a a a ∆ = = = , SA = a * 3 2 . 1 1 . 3 . . . . 3. 3 3 3 S ABC ABC a V S SA a a= = = Baøi 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O + Gọi M là trung điểm BC + O là trọng tâm của tam ABC + AM là đường cao trong ∆ ABC − Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC))  Lời giải: * S.ABC là hình chóp tam giác đều Gọi M là trung điểm BC ∆ ABC đều cạnh 3a , tâm O , SO ⊥ (ABC) , SA=SB=SC = 2a * ∆ ABC đều cạnh 3a ⇒ AM = 3 3 3. 2 2 a a = ⇒ 2 2 3 AO= . . 3 3 2 a AM a = = ⇒ 2 0 ABC 1 1 3 3 . 3 S . .sin 60 . 3. 3. 2 2 2 4 a AB AC a a ∆ = = = * ∆ SAO vuông tại A có 2 2 . 3SO SA AO a= − = * 2 3 . 1 1 3 3 . 3 . . . . 3 3 4 4 S ABC ABC a a V S SA a= = =  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì + không xác định được vị trí điểm O + không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC) + không tính được AM và không tính được AO − Tính toán sai kết quả thể tích Baøi 6 :Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a Trang 07 A C B S M O M S B C A Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Tứ diện đều ABCD có các tính chất + tất cả các cạnh đều bằng nhau + tất cả các mặt là các tam giác đều + gọi O là trọng tâm của tam giác đáy − Đường cao của hình chóp là AO ( AO ⊥ (BCD))  Lời giải: * ABCD là tứ diện đều cạnh a Gọi M là trung điểm CD Ta có : AB = AC = AD = AC = CD = BD = a ∆ BCD đều cạnh a, tâm O ⇒ AO ⊥ (BCD) * ∆ BCD đều cạnh a ⇒ BM = 3 2 a ⇒ 2 2 3 3 BO= . . 3 3 2 3 = = a a BM ⇒ 2 BCD . 3 S 4 ∆ = a * ∆ AOB vuông tại O có ( ) 2 2 2 2 3 6 3 3   = − = − =  ÷  ÷   a a AO AB BO a *: 2 3 1 1 3 6 . 2 . . . . 3 3 4 3 12 = = = ABCD BCD a a a V S AO  Bài tập tương tự : Bài tập 1 (TN THPT PB năm 2008 - lần 1): Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh SA vuông góc với BC. b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích của khối chóp, biết: a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm. b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . Bài tập 3 (TN THPT PB năm 2007- lần 1): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài tập 4: (TN THPT PB năm 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông đỉnh B, đường thẳng SA vuông góc với với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a; BC = a 3 và SA = 3a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài tập 5 (TN THPT năm 2009): Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết · BAC = 120 0 , tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a. Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) .Tính thể tích khối chóp, biết: a) SB hợp với đáy một góc 30 0 . b) (SBC) hợp với đáy một góc 45 0 . Bài tập 7: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là a, b, c. Tính thể tích khối tứ diện S ABC theo a, b, c. Bài tập 8: Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= 3 ; góc giữa các cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Trang 08 A C D B M O Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Baøi 9 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABC 2 .Khối chóp có đáy là tứ giác : Baøi 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng − ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = 5a * ( ) 2 2 ABCD S 2 2a a= = * Ta có : AC = AB. 2 = 2. 2 2a a= ∆ SAC vuông tại A ⇒ 2 2 SA SC AC a= − = * 3 2 . 1 1 2 . . .2 . 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = Baøi 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng − Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )  Lời giải: Ta có : SA = AC = a 2 * ABCD là hình vuông :AC = AB. 2 ⇒ 2 AC AB a= = ; 2 ABCD S a= , SA = a 2 * 3 2 . 1 1 . 2 . . . . . 2 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = Baøi 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Trang 09 A B D C S A B D C S Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tứ giác đều có : + đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O + SO ⊥ (ABCD) + tất cả các cạnh bên bằng nhau − Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))  Lời giải: * S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO ⊥ (ABCD) , SA=SB=SC =SD = 3a * Diện tích hình vuông ABCD : ⇒ AC = 2a. 2 ⇒ AC 2 2 AO= 2 2 2 a a= = ⇒ ( ) 2 2 ABCD S 2 4a a= = * ∆ SAO vuông tại O có 2 2 SO SA AO a= − = * 3 2 . 1 1 4 . . .4 . 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = =  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều + không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông + không SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD) + không tính được AC và không tính được AO − Tính toán sai kết quả thể tích  Bài tập tương tự : Bài tập 1 :Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp, biết: a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm. b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . Bài tập 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Bài tập 3: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết SA = BC = a Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên là a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Trang 10 O C D B A S