Chuyen đe thê tich khoi chop(Bổ sung)

MỞ ĐẦU : Trong chương trình phổ thông , Hình học không gian là một mơn học rất khó đối với học sinh , do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện cụ

Trang 1

Trường THPT Trà cú - Tổ Tốn Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh Chuyên đề :

A MỞ ĐẦU :

Trong chương trình phổ thông , Hình học không gian là một mơn học rất khó đối với học sinh , do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện cụ thể ở đây là thể tích khối chóp, khối lăng trụ, do đĩ trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT-Tuyển sinh ĐH-CĐ ,bài tốn HHKG là phần chung cho cả hai ban Nhưng đa số học sinh thường bỏ hoặc làm sai bài tốn này Để giải được bài tốn này học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành

giải bài toán Chính vì thế tơi quyết định chọn chuyên đề “Thể tích khối đa diện “, nhưng do thời gian thực hiện chuyên đề cĩ hạn , nên ở đây tơi chỉ trình bày phần “Thể tích của khối chĩp “ để quý Thầy Cơ

và các em học sinh tham khảo , đồng thời đĩng gĩp ý kiến để chuyên đề này hồn chỉnh hơn Xin chân thành cám ơn !

B.NỘI DUNG :

I.Hệ thống lại kiến thức cơ bản :

1 Tam giác thường:

Diện tích của tam giác: * 1. . .sinµ

2

ABC

S∆ = AB AC A ; 1

2

ABC

S∆ = BC AH

2 Các tam giác đặc biệt :

a Tam giác vuơng :

+ Định lý pitago:BC2 = AB2+AC2

+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuơng

sinµ = Đối =

Huyền

b B

a ; µ = =

Kề cos

Huyền

c B

a ; µ = =

Đối tan

Kề

b B

c

+ Diện tích tam giác vuơng: 1

2

ABC

S∆ = AB AC

b Tam giác cân:

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến

+ Tính đường cao và diện tích :AH =BH.tanµB, 1

2

ABC

S∆ = BC AH

c Tam giác đều:

+ Đường cao của tam giác đều : = = 3

2

h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3

2 )

( )

4

ABC

S∆ = AB

Trang 01

h

H

A

c

a

b

C B

A

B

A

G

C M

Trang 2

Trường THPT Trà cú - Tổ Toán Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh

3 Tứ giác

a Hình vuông

+ Diện tích hình vuông :S ABCD =(AB)2( Diện tích bằng cạnh bình phương)

+ Đường chéo hình vuông AC BD AB= = 2

+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2 )

b Hình chữ nhật

+ Diện tích hình vuông :S ABCD =AB AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD

4 Thể tích khối chóp:

+ Thể tích khối chóp : = 1

3

Trong đó :B là diện tích đa giác đáy , h : là đường cao của hình chóp

5 Các khối chóp đặc biệt :

a Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD)

B

b Khối chóp tứ giác đều

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O

+ SO ⊥ (ABCD)

Trang 02

O

B

D

A

C

O

h S

B

A

C H

A

C

D M O

O

C D

B A

S

Trang 3

Trường THPT Trà cú - Tổ Tốn Chuyên đề :Thể tích khối đa diện GV thực hiện : Trần Phú vinh

Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:

Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mp đáy Hình chóp đều

B

S

A

C

B

S

O

Đa giác đáy : Hình chóp tam giác đều Tam giác vuông  Hình chóp tứ giác

 Tam giác cân

Tam giác đều

 Hình vuông, chữ nhật

6 Nhắc lại cách xác định gĩc :

Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở cuối năm lớp 11 và

đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được

học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12 sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách vận dụng

Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc

Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

B

S

A

C

B

S

M O

1 Gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Trang 03

45 O S

C D

B A

O C D

B A

S

Trang 4

a)Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P)

b)Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d /

2 Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :

a) Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

b) Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)

c) Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

 Bài tập :

1.Xác định góc :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với (ABCD) bằng 45 0 Hãy xác định góc đó.

Giải

Ta có : AC hc= (ABCD)SC ⇒ ·( ,(SC ABCD)) ( ,= ·SC AC SCA)= · =45o

Bài 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 0 Hãy xác định góc đó.

Giải

Gọi M là trung điểm BC

Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC

(ABCD)⊃AM ⊥ BC

(SBC) ⊃SM ⊥ BC ( vì AM =hc(ABCD SM) )

⇒ ·((SBC),(ABCD)) (=·SM AM, )=SMA· =60o

D

Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · ACB=600,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng

− Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)

 Lời giải:

* Ta có :AB = a , AB hc= (ABC SB) ⇒(·SB ABC,( )) (=·SB AB, )=SBA· =45o

* ∆ ABC vuông tại B có AB = a, ·ACB=600

⇒ S ABC 1 . 1 . 3 2 3

BA BC a

* ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µB=450 ⇒ SA AB= tan 45o =a

Trang 04

60

M O

S

C

S

B

C A

45 O S

C D

B A

Trang 5

1.Khối chĩp cĩ đáy là tam giác :

Bài 1 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một gĩc bằng 60 0 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

 Sai lầm của học sinh:

− Gọi M là trung điểm BC

− Ta cĩ AM ⊥ BC , SM ⊥ BC ⇒ ·(( ),( )) (· , ) · 60o

SBC ABC = SM AM =SMA=

(Hình vẽ sai)

 Lời giải đúng:

* Ta cĩ : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC

AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuơng tại B)

SB ⊥ BC ( vì AB hc= (ABC SB) ) ⇒ ·((SBC ABC),( )) ( ,= ·SB AB)=SBA· =60o

* ∆ ABC vuơng tại B cĩ AB = a 3 ,BC =a

⇒ S ABC 1 . 1. 3. 2 3

a

* ∆ SAB vuơng tại A cĩ AB= a, µB=600⇒ SA AB= tan 60o =3a

*:

.

 Nhận xét:

− Học sinh khơng lý luận để chỉ ra gĩc nào bằng 60o , do đĩ mất 0.25 điểm

− Học sinh xác định gĩc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh khơng nắm rõ cách xác định gĩc và cứ hiểu là gĩc SMA với M là trung điểm BC

o Nếu đáy là tam giác vuơng tại B (hoặc C), hình vuơng và SA vuơng gĩc với đáy thì gĩc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là gĩc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến

o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuơng gĩc với đáy hoặc là hình chĩp đều thì gĩc giữa mặt bên và mặt đáy là gĩc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến

Bài

bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một gĩc

bằng 45 0 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

 Sai lầm của học sinh: ⇒ ·(( ),( )) · 45o

SBC ABC =SBA=

 Lời giải đúng:

* Ta cĩ : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC

AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A)

Trang 05

60

M S

B

C A

60

S

B

C A

45 M S

B

C A

Trang 6

SM ⊥ BC ( vì AM =hc(ABC SM) ⇒ ·((SBC),(ABC)) (=·SM AM, )=SMA· =45o

* ∆ ABC vuơng cân tại A cĩ ,BC = a 2 ⇒ AB = BC = a và AM = 2

2

a

⇒ S ABC 1 1 2

a

AB AC a a

* ∆ SAM vuơng tại A cĩ AM= 2

2

a , ¶ 0

45

2

Bài 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA

vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng

Ta cĩ : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = a 3

BC= AC −AB =a ⇒ S ABC 1 . 1. 2. 2 2

a

SA= SB −AB =a * . 1 1 2 2 3 2

Bài 3 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuơng

gĩc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

− Tam giác ABC vuơng , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng

Ta cĩ : AC = a 2 , SB = a 3

2

AC

BA BC= = =a

⇒ S ABC 1 1 2

a

BA BC a a

* ∆ SAB vuơng tại A cĩ SA= SB2−AB2 =a

*

.

AC 120

vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Trang 06

B S

Trang 7

* ∆ ABC cân tại A, · 0

AC 120

B = , BC = 2a 3 ,AB = AC = BC = 2a

Xét ∆ AMB vuơng tại M cĩ BM = a 3 , Â = 600

a

ABC

2AM BC 2 a a a

.

a

Bài 5: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

− Hình chĩp tam giác đều cĩ đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC

+ O là trọng tâm của tam ABC

+ AM là đường cao trong ∆ ABC

− Đường cao của hình chĩp là SO ( SO ⊥ (ABC))

* S.ABC là hình chĩp tam giác đều

∆ ABC đều cạnh a 3, tâm O , SO ⊥ (ABC) , SA=SB=SC = 2a

* ∆ ABC đều cạnh a 3 ⇒ AM = 3 3 3

a

ABC

a

* ∆ SAO vuơng tại A cĩ SO= SA2−AO2 =a 3

− Học sinh vẽ “sai” hình chĩp tam giác đều vì

+ khơng xác định được vị trí điểm O + khơng hiểu tính chất của hình chĩp đều là SO ⊥ (ABC) + khơng tính được AM và khơng tính được AO

− Tính tốn sai kết quả thể tích

Bài 6 :Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Trang 07

A

C

B

S

M O

M S

B

C A

Trang 8

Giải

− Tứ diện đều ABCD có các tính chất

+ tất cả các cạnh đều bằng nhau + tất cả các mặt là các tam giác đều

+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy

− Đường cao của hình chóp là AO ( AO ⊥ (BCD))

* ABCD là tứ diện đều cạnh a

Gọi M là trung điểm CD

Ta có : AB = AC = AD = AC = CD = BD = a

∆ BCD đều cạnh a, tâm O ⇒ AO ⊥ (BCD)

* ∆ BCD đều cạnh a ⇒ BM = 3

2

a

3 BM =3 a2 =a3 ⇒ S BCD 2 3

4

2 2

 Bài tập tương tự :

Bài tập 1 (TN THPT PB năm 2008 - lần 1):

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài tập 2:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Tính thể tích của khối chóp, biết:

a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm

b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600

c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600

Bài tập 3 (TN THPT PB năm 2007- lần 1):

Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích của khối chóp S ABC

Bài tập 4: (TN THPT PB năm 2008 - lần 2):

Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác ABC vuông đỉnh B, đường thẳng SA vuông góc với với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a; BC = a 3 và SA = 3a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

Bài tập 5 (TN THPT năm 2009):

Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Biết ·BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S ABC theo a

Bài tập 6:

Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp, biết:

a) SB hợp với đáy một góc 300 b) (SBC) hợp với đáy một góc 450

Bài tập 7: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là a, b, c

Tính thể tích khối tứ diện S ABC theo a, b, c

với mặt phẳng (ABC) bằng 60 0

Trang 08

A

C

D B

M O

Trang 9

Bài 9 : Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt

phẳng đáy và SB = a 5.Tính thể tích khối chĩp S.ABC

2 Khối chĩp cĩ đáy là tứ giác :

Bài

1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a 2 , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SC = a 5.Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

Giải

− Vẽ đáy là hình vuơng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng

− ABCD là hình vuơng ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng

Ta cĩ : ABCD là hình vuơng cạnh a 2 , SC = a 5

2 ABCD

* Ta cĩ : AC = AB 2 = a 2 2 2= a

∆ SAC vuơng tại A ⇒ SA= SC2−AC2 =a

*

3 2

.

a

đáy và SA= AC = a 2 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

Giải

− Vẽ đáy là hình vuơng ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng

− Biết AC và suy ra cạnh của hình vuơng (Đường chéo hình vuơng bằng cạnh nhân với 2 )

Ta cĩ : SA = AC = a 2

* ABCD là hình vuơng :AC = AB 2 ⇒

2

AC

AB= =a ;

2

ABCD

S =a , SA = a 2

.

a

Bài 3: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

Trang 09

D

C S

D

C S

Trang 10

Giải

− Hình chóp tứ giác đều có :

+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O

+ SO ⊥ (ABCD) + tất cả các cạnh bên bằng nhau

− Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O

SO ⊥ (ABCD) , SA=SB=SC =SD =a 3

* Diện tích hình vuông ABCD :⇒ AC = 2a 2 ⇒ AO=AC 2 2 2

a

ABCD

* ∆ SAO vuông tại O có SO= SA2−AO2 =a

*

3 2

.

a

 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên

− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều

+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông + không SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD)

+ không tính được AC và không tính được AO

− Tính toán sai kết quả thể tích

 Bài tập tương tự :

Bài tập 1

:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Tính thể tích của khối chóp, biết:

a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm

b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600

c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600

Bài tập 2 :

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Bài tập 3:

Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết SA = BC = a

Bài tập 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên là a 3 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Trang 10

O

C D

B A

S

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	664 KB