Chuyên đề thể tích khối đa diện

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 HÌNH HỌC LỚP 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC NÂNG CAO ( Bài tập từ trang 28 đến trang 36 ) Bài 15 Cho tam giác ABC cố định điểm S thay đổi Thể tích khối chóp S.ABC thay đổi hay không : a/ Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC b/ Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với cạnh đáy c/ Đỉnh S di chuyển đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)? Giải a/ Hai mặt phẳng song song khoảng cách chúng khơng đổi , thể tích S.ABC khơng đổi b/ Thể tích thay đổi ví (P) song song với cạnh đáy khoảng cách từ S đến (ABC) thay đổi c/ Khoảng cách từ điểm đường thẳng song song với mặt phẳng đến mặt phẳng Vì , thể tích S.ABC khơng đổi Bài 16 Hãy chia khối tứ diện thành khối tứ diện cho tỷ số thể tích hai khối tứ diện số k cho trước ( k>0) Giải Gọi B diện tích đáy BCD khối tứ diện ABCD.M điểm chia CD theo tỷ số k AH đường cao khối tứ diện Khi ta có : A VS ABC = S BCD AH Nếu M điểm chia CD theo tỷ số k : MC = k ⇔ MC = kMD Hai tam giác BCM BDM có MD D B chiều cao kẻ từ B xuống đáy CD : H M S BCM CM V = = k ⇒ S BCM = k S BDM DM VS ABDM C Vậy : M điểm chia thỏa mãn yêu càu tốn Bài 17 Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' , biết AA'B'D' khối tứ diện cạnh a Giải A' D' Gọi thể tích khối hộp V Thể tích khối chóp A.A'B'C'D' V' V'=2 VA A ' B ' D ' Ta có : VA A ' B ' D ' Do : V'= 2 a 3 1 a3 = a a −  ÷ = 3 ÷ 12   a3 a3 Vậy Vh = 2V ' = V B' C' A B D C Bài 18 Tính thể tích khối lăng trụ n giác có tất cạnh a Giải Tính diện tích đáy B Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Xét tam giác có cạnh a ( Ví dụ OAB -AB=a) Góc ∠AOB = 3600 ⇒ gọi H trung điểm AB thì: n Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 AH a AO = R = = AB a 1800  180   1800  = ; ∠AOH = AH= Do sin  2sin  ÷ ÷ 2  n   n  Vậy S AOB 3600 = OA.OB sin n    ÷ 0 0 180 180 1 a ÷ sin 180 cos 180 = a cot 180 = OA sin cos = 2 2 2 n  1800  ÷ 2sin   ÷÷  n   a2 1800 Diện tích đáy n lần diện tích tam giác OAB suy B = n cot n a2 1800 na 1800 = cot Cho nên thể tích khối trụ : V = a.n cot n n Bài 19 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác ABC vng A AC=b, ∠ACB = 600 Đường thẳng BC' tạo với mặt phẳng (AAC'C) góc 300 a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC' b/ Tính thể tích khối lăng trụ cho Giải A' C' Do tam giác ABC vuông A BA ⊥ AC ⇒ BA ⊥ ( AA'C'C ) ⇔ BA ⊥ AC ' Vì B' AC' hình chiếu BC' mặt phẳng 300 (AA'C'C) suy góc BC'A 300 Trong tam giác vng ABC ta có AB = AC.tan 600 = b , A 2 2 BC = AB + AC = 3b + b = 2b 600 C b/ Tính thể tích khối lăng trụ Trong tam giác vuông ABC' ( vng A ) ta lại B có AC ' = AB cot 300 = b 3 = 3b BC'=2AB= 2b Trong tam giác BCC' ta có : CC ' = ( BC ') − ( BC ) = 12b − 4b = 2b Vậy thể tích khối lăng trụ : V = S ABC CC ' = 1 AB AC.CC ' = b 3b.2 2b = b3 2 Bài 20 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a , điểm A' cách ba điểm A,B,C , cạnh AA' tạo với đáy góc 600 a/ Tính thể tích khối lăng trụ b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' hình chữ nhật c/ Tính tổng diện tích mặt bên ( gọi diện tích xung quanh )? Giải a/ Vì A' cách điểm A,B,C hình chiếu vng góc H A' trùng với tâm đáy Nhưng đáy lại tam giác H trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp , trọng tâm tam giác ABC : AH = a Trang a = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 Trong tam giác AHA' có A'H=AH tan 600 = C' A' a =a Do B' A 60 C H I B VLT = S ABC A ' H = 1 a3 AB AC.sin 600 A ' H = a a= 2 b/ Chứng minh BCC'B' hình chữ nhật Ta có :  BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ ( AHA ') ⇔ BC ⊥ AA'   BC ⊥ A ' H  BC ⊥ BB ' ⇐ BCC ' B ' hình chữ nhật Nhưng AA'//BB'//CC' : ⇔   BC ⊥ CC ' c/ Tính diện tích xung quanh Ví AH=a tam giác AHA' nửa tam giác cạnh 2a : AA'=2AH=2 a 2a Vì diện tích hình chữ nhật BCC'B' BC.BB'=a.2a= = 3 2a ⇔ S BCC ' B ' = 2a (1) Mặt khác hai hình bình hành ABB'A' ACC'A' S ' = S = S ABB ' A ' 2a Trong tam giác vuồng A'BH ta có : A ' B = A ' A = A ' C = Trong tam giác cân ABA' Ta có : S ABA ' = 1 a 13 a 13  2a   a  ABA ' I = a  − ÷ = ⇒ S ABB ' A ' = S ABA ' = ÷ 2 3  3 2 Do : S xq = a 13 2a a + a = 3 ( ) 13 + = a2 3 ( 13 + ) Bài 21 Gọi M nằm tứ diện ABCD Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến bốn mặt tứ diện số không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính tổng cạnh tứ diện a Giải A Gọi V thể tích tứ diện Nếu tứ diện cho cố định V khơng đổi Gọi h1 = d ( M , BCD ) , h2 = d ( M , ABC ) , h3 = d ( M ; ACD ) , h4 = d ( M ; ABD ) Nếu coi M làm đỉnh thể tích tứ diện tổng khối chóp có đáy bốn mặt tứ diện , chiều cao h1 , h2 , h3 , h4 Cho nên ta có : V = [ S BCD h1 + SABC h2 + S ACD h3 + S ABD h4 ] Nhưng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 M B H D C Trang Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 tứ diện bốn mặt tứ diện có diện tích S Vì : 1 V = B ( h1 + h2 + h3 + h4 ) = Bh ⇒ 3 ⇔ h1 + h2 + h3 + h4 = h Với h khoảng cách từ đỉnh xuống mặt đối diện h 2 a 3 a a tính : ⇔ h = AB − AH = a −  ⇒ h1 + h2 + h3 + h4 = ÷ = 3 ÷ 3   2 Bài 22 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm AA' Mặt phẳng qua M ,B'C' chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ? Giải Gọi cạnh tam giác a ( BC=a ), chiều cao tam giác h : AH=h , ta có : 11 11 VM ACBB ' = VM ABC + VBCC ' B ' = BC AHAM + BC.BB ' AH = BC AH ( MA + BB ' ) 32 23 a 31  a B' A' = a h ( 1)  + 1÷h = 2  Mặt khác : VLT = Bh = a a a2 h = h C' Vì thể tích cịn lại : VM BCC ' A ' = VLT − VM ABCB ' Do : M B a2 a2 a2 = h − h= h 8 A H VM ACBB ' =1 VM BCC ' A ' C Bài 23 Cho khối chóp S.ABC Tren ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A',B',C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' Chứng minh : V SA SB SC = V ' SA ' SB ' SC ' Giải Giả sử ta vẽ bên Gọi H H' chân đường cao kẻ từ A A' xuống mặt phẳng SBC Gọi góc SB SC α ⇒ ( SB; SC ) = α A A' Ta có : VS A ' B 'C ' = S SBC A ' H ' S H' C' B' B H C ⇔ VS A ' B 'C ' = 11 SB '.SC 'sin α A ' H ' 32 Tương tự , ta có : ⇔ VS ABC = Trang 11 SB.SC sin α AH 32 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 SB.SC.sin α AH V SB SC AH = = ( 1) Nhưng tam giác SA'H' đồng Cho nên : V ' SB '.SC '.sin α A ' H ' SB ' SC ' A ' H ' AH SA V SA SB SC = = dạng với tam giác SAH suy : Thay vào (1) : A ' H ' SA ' V ' SA ' SB ' SC ' Bài 24 Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm cạnh SC , mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Giao hai đường chéo O AM cắt SO I , kẻ qua I đường thẳng song song với BD cắt SB SD F E Như thiết diện mà (P) cắt khối đa diện tứ giác AEMF Gọi : V1 = VS AEF ,V2 = VS EF ,V = VS ABCD ,V0 = VSABD = VS CBD = M E D V Vì M trung điểm SC I trọng tâm tam giác SAC suy : S SE = (1) SO A I F C O B Nếu EF // BD ta có tỉ số : V1 SA SE SF 2 SE SF SI = = = (2) = = = (1) Theo 23 , ta có : V0 SA SD SB 3 SD SB SO V2 SE SF SM 2 = = = = (2) Và : V0 SD SB SC 3 18 V1 + V2 2 = + = = ⇔ VS AEMF = V1 + V2 = V0 = V Lấy (1) +(2) vế với vế : V0 9 3 VS AEMF 13 V = = Do thể tích phần cịn lại : V − = V Tỉ số hai thể tích : VAEMF ABCD 2 3 Bài 25 Chứng minh có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' : VA ' B 'C ' D ' =k VABCD Giải Giả sử tâm vị tự O Theo đầu : OB ' = k OB  OA ' A ' H ' = =k OA ' = k OA ⇒ ∆OA ' H ' ~ ∆OAH ⇒ OA AH  OH ' = k OH VA ' B 'C ' D ' OA ' OB ' OC ' = =k Do : VABCD OA OB ' OC ÔN CHƯƠNG I ( tập từ trang 30 đến trang 36- Kể phần trắc nghiệm ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 Bài ( Tr-30 -HH12NC) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành phần Tính thể tích phần Giải A Gọi tứ diện khối chóp C.ABD , S diện tích đáy ABD , h chiều cao CH ( kẻ từ C xuống mặt B' D' phẳng ABD ) : V = Sh B Mặt phẳng ( CB'D') chia khối chóp thành phần tích VC AB ' D ' ,VC BB ' D ' D hai khối chóp : C.AB'D' C.BB'D'D có chiều cao S AB ' D ' = D 1 B ' D '.h '; S ABD = BD.h 2 C S h VC AB ' D ' AB ' D ' 11 1 S ⇒ S AB ' D ' = BD h = S ABD ⇒ = = AB ' D ' = 22 VC ABD S ABD S ABD h VC AB ' D ' V 3V = = Do thể tích phần cịn lại V- = Tỉ số thể tích khối : VC BB ' D ' D 3 4 Bài 2.( Tr-31-HH12NC) Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh trung diểm cạnh AB,BC,CC',C'D', D'A' AA' nằm tren mặt phẳng mặt phẳng chia khối hộp thành hai phần tích Giải Gọi O giao hai dường chéo hình hộp Ta thấy MN RQ song song với AC A'C' MNQR hình bình hành suy MQ D' R A' NR qua O ( giao hai đường chéo ) Tương tự Q NP SR song song với BD NPRS hình bình hành NR PS qua S B' C' O Hay nói cách khác điểm M,N,P,Q,R,S A O D thuộc mặt phẳng M P Do O tâm khối hộp , đồng thời O tâm N hình bình hành vừa Cho nên O tâm đối xứng hình hộp (P) chia khối B C hộp thành hai phần tích ( ĐPCM ) Bài (Tr 31-HH12NC) Cho khối tứ diện ABCD, E , F trung điểm hai cạnh AB CD Hai mặt phẳng ABF CDF chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện a/ Kể tên khối tứ diện ? b/ Chứng tỏ khối tứ diện tích c/ Chứng tỏ khối tứ diện ABCD khối tứ diện khối tứ diện nói ? Giải A a/ Các khối tứ diện BCFE, ADFE, BDFE CAEF E b/ Ta có nhận xét sau : - Khối tứ diện BCFE coi khối chóp E.BCF khối tứ diện BCFE ta coi khối chóp B E.BDF Hai khối chóp có chiều cao ( Trang D Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 F C Chun đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 khoảng cách từ E đến mặt phẳng BCD) hai đáy có diện tích hai khối chóp tích VE BCF = VE BDF (1) - Tương tự hai khối chóp E ADF E.ACF có chiều cao ( khoảng cách từ E đến ADC) diện tích hai đáy ADF ACF nha VE ACF = VE ADF (2) Mặt khác : Gọi H' hình chiếu E (BCD) H hình chiếu A (BCD) 2 EH' 1/2 AH suy VE BCD = VABCD = V ⇒ VEBCF = V Tương tự ta chứng minh : VE ACF = VE ADF = V Tóm lại khối tứ diện tích 1/4 thể tích khối tứ diện c/ Nếu ABCD khối tứ diện (ABF) (CDF) hai mặt đối xứng : Trục EF biến C thành D biến D thành A biến BCEFF thành DAEFF tương tự biến ACEFF thành BDEFF khối tứ diện Bài ( Tr31-HH12NC) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy S AA' =h Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA',BB' CC' A1 , B1 , C1 Biết : BB1 = b, AA1 = a, CC1 = c a/ Tính thể tích phàn khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P) b/ Với điều kiện a,b,c thể tích hai phần ? Giải Vì BB' song song với mặt phẳng (AA'C'C) B' A' khoảng cách từ điểm B' B1 B đến mặt phẳng (AA'C'C ) k B1 Ta có : C' 1 ( c + a) VA1B1C1 ABC = VB1 ABC + VB1 ACC1 A1 = Bb + x BH 3 (Do CC1 A1 A hình thang vng) x.BH Nhưng : B = 1 Cho nên VA1B1C1 ABC = Bb + B ( c + a ) = B ( a + b + c ) 3 b a C1 B A H C ( Với x cạnh tam giác ABC) Tương tự cách tính , thể tích khối trụ cịn lại : 1 VA1 B1C1 A ' B ' C ' = B ( h − a ) + ( h − b ) + ( h − c )  = B 3h − ( a + b + c )      b/ Nếu hai thể tích : S Bài (tr31-HH12NC) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ? Giải Gọi V' thể tích khối chứa cạnh AA' , cịn V'' thể tích cịn lại Thì (B'C'M) cắt (ABC) theo giao tuyến MN song song với BC C N A B M A' C' Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 H B' Trang Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 1 1 Ta có : S AMN = MN AH ' = B ' C ' A ' H 2 2 1 = B ' C ' A ' H = S A ' B 'C ' 4 11 S AB 'C ' SA ' Khi : V'= VS A ' B 'C ' − VS AMN = S' AB 'C ' 2AA' − 34 7S AA' = A' B 'C ' = Vhop 12 12 Suy : V''= V-V'= Vhop − Vhop = Vhop 12 12 V ' 12 = = Đó tỉ số hai khối Do : V '' 12 5 Bài ( Tr12-HH12NC) Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a , đáy tam giác vng cân có : AB=BC=a Gọi B' trung điểm SB , C' chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (AB'C') ? c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ? Giải S - Vì SA=a =AB=BC tam giác ASB tam giác vuông cân suy AB ' ⊥ SB a/ Thể tích khối chóp S.ABC V : C' 1 a3 V = S ABC SA = a a = 3 B' C b/ Chứng minh SC vng góc với (AB'C')  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇔ BC ⊥ AB '  BC ⊥ BA Ta có ⇔  ( 1) A Mặt khác : B  AB ' ⊥ BC ⇔ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC (2)   AB ' ⊥ SB  SC ⊥ AB ' ⇒ SC ⊥ ( AB ' C ') (3) ( Đpcm) Nhưng :   SC ⊥ AC ' c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ? Xét hai tam giác vuông đồng dạng : SC'A SAC suy : SC ' SA = SA SC SC ' SA2 SA2 a2 = = = = 2 SC SC SA + AC a + 2a VS A ' B 'C ' SA SB ' SC ' 1 1 a3 = = = ⇒ VS A ' B 'C ' = VS ABC = Mặt khác ta lại có : VS ABC SA SB SC 6 6 ⇔ Vậy : VS A ' B 'C ' = a3 ( đvtt ) 36 PHẦN TRẮC NGHIỆM Bài 12.(Tr33-HH12NC) Nếu ba kích thước khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thể tích tăng lên Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012 A k lần B k lần C k lần D k lần Giải Ta biết : V = abc ⇒ V ' = ka.kb.kc = k abc = k 3V Vậy đáp án C Bài 13.(Tr33-HH12NC) Tổng diện tích mặt hình lập phương 96 Thể tích khối lập phương : A 64 B 91 C 84 D 48 Giải Như ta biết , hình lập phương có mặt diện tích S mặt 96: = 16 Mặt khác kích thước cạnh hình vng x = 16 → x = Vì thể tích khối lập phương : 16.4=64 ( đvtt ) Đáp án A đáp án Bài 14.(Tr33-HH12NC) Ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân có cơng bội Thể tích hình hộp cho 1728 Khi kích thước hình hộp : A 8,16,32 B 2,4,8 C 3, 3,38 D 6,12,24 Giải Gọi cạnh hình hộp abc ( a