chuyên đề thể tích khối đa diện

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghóa : Thể tích khối đa diện số dương có tính chất sau : a Hai khối đa diện thể tích b Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ c Khối lập phương có cạnh thể tích Thể tích khối hộp chữ nhật ĐL : V = abc với a,b,c ba kích thước khối hộp chữ nhật ĐL : V = a3 với a cạnh hình lập phương Thể tích khối chóp ĐL : V = Sđáy h với h chiều cao Thể tích khối lăng trụ ĐL : V = Sđáy h với h chiều cao B VÍ DỤ Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI HỘP Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dài chiều cao Giải Ta có : V = 2.3.4 = 24 Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dài đường chéo hình hộp hợp với mặt đáy góc 30o Giải g∆ABC vuông B neân AC2 = AB2 + BC2 = + = ⇒ AC = gTa coù : C'C ⊥ (ABCD) ⇒ C = hc(ABCD)C' ⇒ AC = hc(ABCD)AC' · · ⇒ (AC';(ABCD)) = C 'AC = 30o Vì ∆C'AC vuông C nên C'C = AC.tan30o = Ta coù : V = AB.BC.C'C = 3 = =2 Ba kích thước hình hộp chữ nhật làm thành cấp số nhân có công bội Thể tích 64 Tìm kích thước Giải Gọi kích thước nhỏ x với x > ba kích thước hình hộp chữ nhật x , 2x , 4x Vì : V = x.2x.4x = 8x3 Theo đề : V= 64 ⇔ 8x3 = 64 ⇔ x3 = ⇔ x = (nhận) Vậy : Ba kích thước cần tìm 2,4,8 Tính thể tích khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 Giải Gọi a cạnh hình lập phương ta có diện tích mặt hình lập phương a2 Theo đề : Tổng diện tích mặt 24 hay S = 6a2 = 24 ⇔ a2 = ⇔ a = Vậy thể tích hình lập phương V = a3 = 23 = Các đường chéo mặt bên hình hộp chữ nhật 5, 10, 13 Tính thể tích hình hộp Giải Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' có AC = 5,AB' = 10,AD' = 13 Đặt : AB = a, AD = b,AA ' = c ta coù : a2 + b2 = AC2 = a =   2   b + c = AD ' = 13 ⇔ ⇔ b = c2 + a2 = AB'2 = 10 c =    Vậy thể tích khối hộp chữ nhaọt laứ V= abc = 1.2.3 = Giáo Viên Lê văn Ch ơng - - CHUYÊN Đề THể TÝCH Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cm Khi tính độ dài cạnh hình lập phương Giải Gọi a (với a > 0) cạnh hình lập phương Khi thể tích hình lập phương V = a3 Thể tích hình lập phương cạn h tăng thêm 2cm V' = (a+2)3 a = (nhận) Theo ñeà : V' − V = 98 ⇔ (a+2)3 − a3 = 98 ⇔ a + 2a − 15 = ⇔  a = −5 (loại) Vậy cạnh hình lập phương cho a = 3cm Đáy hình hộp đứng hình thoi cạnh a , góc nhọn 60o Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Tính thể tích hình hộp Giải · gABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o ⇒ ∆ABD tam giác cạnh a BD = a  ⇒ a =a AC = 2AO =  gTheo đề : Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp nên AC = B'D = a g∆B'BD vuông B nên BB'2 = B' D2 − BD2 = 3a2 − a2 = a Vaäy V= SABCD BB' = 2.SABD BB' = a2 a3 a = Cho hình hộp với sáu mặt hình thoi cạnh a , góc nhọn 60o Tính thể tích hình hộp Giải Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' Kẻ A'K ⊥ AB A'H ⊥ (ABCD) suy A'H ⊥ BD (1) Vì BD ⊥ AC,BD ⊥ A'C' nên BD ⊥ (AA'C'C) (2) Từ (1),(2) suy H ∈ AC · g∆A'KA vuông K có A ' AK = 60o nên AK = a a · g∆AKH vuông K có AKH = 30o nên AH = a ⇒ A'H = a2 g∆ABD laø tam giác cạnh a nên SABD = a2 a a3 Vaäy V = SABCD A ' H = 2SABD ' A ' H = = Đáy hình hộp hình thoi có cạnh 6cm góc nhọn 45o, cạnh bên hình hộp dài 10cm tạo với mặt phẳn g đáy góc 45o Tính thể tích khối hộp Giải · Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' với BAD = 45o · Kẻ A'H ⊥ (ABCD) H A ' AH = 45o = 18 2 10 ∆A ' HA vuông cân H nên A'H = =5 2 Vậy thể tích hình hộp laø V = SABCD A ' H = 18 2.5 = 180(cm ) Ta coù : SABCD = AB.AD.sin 45o = 6.6 10 Với bìa hình vuông , người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12cm , gấp lại thành hình hộp chữ nhật nắp Nếu dung tích hộp 4800cm , tính độ dài cạnh bìa Giải Gọi x cạnh bìa ( x > 24) Khi gấp lại ta hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông có cạnh x − 24 chiều cao h = 12 Khi thể tích hình hộp V = (x − 24)2 12  x = 44 (nhận) Theo đề : V = 4800 ⇔ (x − 24)2 12 = 4800 ⇔ (x − 24)2 = 400 ⇔ x − 24 = ±20 ⇔   x = (loại x > 24) Vậy cạnh bìa có độ dài 44cm - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH · 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60 o, AB' hợp với đáy (ABCD) góc α Tính thể tích hình hộp Giải g∆ABD tam giác cạnh a neân SABD = a2 a2 a2 = g∆ABB' vuông B nên BB' = AB.tanα = a tan α ⇒ SABCD = 2.SABD = Vậy thể tích hình hộp V = SABCD BB' = a2 3 a tan α = a tan α 2 Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Gọi khối tứ diện cho ABCD Khi ta coi khối chóp A.BCD Kẻ AH ⊥ (BCD) H tâm tam giác BCD ( tâm đường tròn ngoại tiếp ) Gọi M trung điểm BC Ta cóù : AH = ∆AHD vuông H nên : 2 a a AM = = 3 a 3a2 a ) = a2 − = 1 a2 a a3 Vaäy : VABCD = VA.BCD = SBCD AH = = 3 12 AH = AD2 − AH = a2 − ( Chú ý : Tứ diện coi khối chóp theo cách khác ( Lấy đỉnh làm chuẩn ) Cho khối chóp tam giác có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABC) H H tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC · · Vì H = hc S ⇒ AH = hc AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60 o (ABC) (ABC) · ∆SHA vuông H có SAH = 60o neân AH = SA.cos60o = = , 2 3 SH = AH.tan60o = Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = AH = 2 2.AM Maø ∆ABC có đường cao AM nên AB = = = 3 ⇒ SABC = AB2 3 = 4 Vậy thể tích khối chóp V = 1 3 S SH = 3= ABC 4 Cho khối chóp tam giác có cạnh bên mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABCD) H H tâm tam giác ABC Gọi N trung điểm AB Khi : CH ⊥ AB hay NH ⊥ AB (1) Vì H = hc (ABCD)S ⇒ NH = hc (ABCD)NS nên theo đlí ba đường vuông ta có SN ⊥ AB (2) · · Từ (1),(2) ⇒ ((SAB);(ABCD)) = SNH = 45o ∆SNH vuông H , ta coù : SH = NH.tan45o = NH ∆SHC vuông H , ta có : SC2 = SH + HC2 ⇔ = NH2 + (2NH)2 ⇔ NH = Do : SH = NH = Vì ∆ABC có đường cao CH nên CH = 3NH = AB 2CH ⇒ AB = = =2 3 2 AB (2 3) ⇒ SABC = = =3 4 1 Vậy thể tích khối chóp V = SABC SH = 3.1 = 3 Maø CH = Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ⊥ (ABC) Mặ t bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối chóp Giải Gọi M trung điểm BC , ∆ABC nên AM ⊥ BC (1) ñl3ñ ⊥ Do AM = hc(ABC)SM, AM ⊥ BC  SM ⊥ BC (2) → Mặt khác : (SBC) ∩ (ABC) = BC (3) · · Từ (1),(2),(3) ⇒ ((SBC);(ABC)) = SMA = α ∆SAM vuông A neân SA = AH.tanα = a 1 a2 a a3 tan α Vậy thể tích hình chóp V= SABC.SA = tan α = tan α 3 - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH Cho khối chóp tam giác có cạnh bên a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối chóp Giải Gọi khối chóp tam giác cho S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH ⊥ (ABC) H H tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC · · Vì H = hc S ⇒ AH = hc AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = α (ABC) (ABCD) · ∆SHA vuông H có SAH = α nên AH = SA.cosα = a.cosα SH = AH.tanα = a cos α.tanα = asin α 3 Mặt khác : AH = AM ⇒ AM = AH = a cos α 2 2.AM Maø ∆ABC có đường cao AM nên AB = = a cos α = 3a cos α 3 ( 3a cos α)2 3 3a2 cos2 α = 4 1 3a2 cos2 α 3 Vậy thể tích khối chóp V = SABC SH = asi n α = a cos2 α sin α 3 4 ⇒ SABC = Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , BC = a ; SA = SB = SC = mặt bên SAB hợp với đáy góc 60o a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) c) Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải a) Dựng SH ⊥ (ABC) a vaø a ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Vì ∆ABC vuông A nên H trung điểm BC Ta có : SA = SB = SC = a a 3a2 a ) −( ) = ⇒ SH = 2 · · b) Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ AH = hc(ABC)AS ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60 o Do SH2 = SB2 − HB2 = ( SH · · ∆SAH vuoâng H nên tanSAH = = ⇒ SAH = acr tan AH c) Gọi M trung điểm AB Do SH ⊥ (ABC) ⇒ H = hc(ABC)S ⇒ MH = hc(ABC)MS mà HM ⊥ AB (1) HM // AC đlí đ ⊥  MS ⊥ AB (2) → · · Từ (1),(2) ⇒ (SA;(ABC)) = SAH = 60o ∆SHM vuông H , ta có : MH = SH.tan60o = a a a = ⇒ AC = 2MH = , 3 a a a a MB = HB2 − MH2 = ( )2 − ( ) = ⇒ AB = 2MB = 6 1 a a a2 ⇒ SABC = AB.AC = = 2 3 a2 a a3 ⇒ V = SABC SH = = 12 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B' trung điểm SB , C' chân đườn g cao hạ từ A ∆SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh SC vuông góc với mp(AB'C') c) Tính thể tích khối choùp S.AB'C' HD 1 a a3 a) Ta coù : VS.ABC = SABC SA = a = 3 b) Ta coù : BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB' (1)  BC ⊥ SA ∆SAB cân A nên SB ⊥ AB' (2) Từ (1),(2) suy AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC Mặt khác : AC' ⊥ SC nên SC ⊥ (AB'C') c) Ta có 1 VS.AB' C' = SC'.SAB' C' = SC'.AB'.B'C' a g∆SAB vuông cân A, ta có : SB = a 2,AB' = SB' = SB = 2 g∆SAC vuông cân A, ta có : SC = SA + AC2 = SA + AB2 + BC2 = 3a2 ⇒ SC = a SA = SC'.SC ⇒ SC' = SA a2 a = = SC a 3 a B'C' SB' a = = = ⇒ B'C' = BC SC a 6 a a a a Vaäy V = = 6 36 - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH Tính thể tích khối chóp tứ giác , mặt đáy có cạnh , cạnh bên 11 Giải Gọi hình chóp tứ giác S.ABCD H tâm mặt đáy ABCD Ta có : SH ⊥ (ABCD) H AH = AC = 2 Vì ∆SHD vuông H nên SH = SD − HD = 11 − = 1 Vaäy V = SABCD SH = 2.3 = 3 10 Cho hình chóp tứ giác có diện tích đáy diện tích mặt bên Tính thể tích hình chóp Giải Gọi hình chóp cho S.ABCD , H tâm mặt đáy ABCD M trung điểm CD gCạnh đáy : a = = gMặt beân : SSCD = ⇔ CD.SM = ⇔ SM = 2 gChieàu cao : SH = SM2 − HM = − = Vaäy thể tích khối chóp V = 1 S SH = 4.1 = ABCD 3 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông đường chéo AC = Biết SA ⊥ (ABCD) cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đá y góc 30o Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ A = hc(ABCD)S ⇒ AC = hc(ABCD)SC · · ⇒ (SC;(ABCD)) = SCA = 30o g∆SAC vuông A nên SA = AC.tan30 o = AC ) =2 1 gV = SABCD SA = = 3 3 = ⇒ SABCD = AB2 = ( 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh , cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = AB = a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh : BD ⊥ SC c) Tính góc tạo SC mặt phẳng (SBD) d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải a) Ta có : SA ⊥ (ABCD) Gọi H tâm hình vuông ABCD gNối S H SH ⊥ BD (Đlí đ ⊥ ) nên SBCD = BD.SH a 2 a a a2 2 g∆ASH vuông A : SH = SA + AH = a + ( ) = ⇒ SBCD = a = 2 2 BD ⊥ AC ( hai đường chéo hình vuông) b) Ta có :  ⇒ BD ⊥ (SAC) mà SC ⊂ (SAC) neân BD ⊥ SC BD ⊥ SA ( SA ⊥ (ABCD)) · · c) Kẻ CK ⊥ SH CK ⊥ BD ( BD ⊥ (SAC)) ⇒ CK ⊥ (SBD) ⇒ K= hc(SBD)C ⇒ (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí hàm số cosin ∆SCH ta : 2 2 · · · HC2 = SH + SC2 − 2SH.SC.cos HSC ⇒ cos HSC = ⇒ HSC = acr cos 3 1 a d) V = SABCD SA = a2 a = 3 12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA = SB = SC = SD = a a) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABCD theo a b) Tính cosin góc nhị diện (SBA,SAD) HD a) gStp = SABCD + 4.SSAB = a2 + gV = a2 = (1 + 3)a2 a 2 a a a3 SABCD SH , ta coù : SH = SA − HA = a2 − ( ) = ⇒ V= a2 = 2 · b) Gọi M trung điểm SA , ta có : BM ⊥ SA DM ⊥ SA ⇒ α = BMD góc phẳn g nhị diện (SAB,SAD) Áp dụng đlí hàm số cosin ∆BMD ta : 3a2 3a2 3a2 · · · BD2 = MB2 + MD2 − 2MB.MD.cos BMD ⇒ 2a = + − .cos BMD ⇒ cos BMD = − 4 - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 13 Cho hình chóp tứ giác có cạ nh đáy a cạnh bên hợp với đáy góc α Tính thể tích khối chóp tứ giác HD Gọi hình chóp tứ giác S.ABCD mặt đáy hình vuông ABCD có tâm H · · · · Kẻ đường cao SH , ta có SAH = SBH = SBH = SBH = α a tan α 1 a a Vaäy V = SABCD SH = a2 tan α = tan α 3 Xét ∆SAH vuông H nên SH = AH tanα = 14 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc α Tính thể tích khối chóp tứ giác HD Gọi hình chóp cho S.ABCD , H tâm mặt · đáy ABCD M trung điểm CD SMH = α a tan α 1 a V = SABCD SH = a2 tan α = a3 tan α 3 SH = HM.tan α = 15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh · đáy AB = a SAB = α Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a α HD Gọi H tâm đáy ABCD M trung điểm AB Khi : SH ⊥ (ABCD) HM ⊥ AB đlí đ ⊥ Vì H = hc(ABCD)S ⇒ HM= hc(ABCD)SM  SM ⊥ AB → a a2 ∆SMA vuông M neân SH = SM − HM = ( tan α)2 − = a2 a = (tan2 α − 1) ⇒ SH = tan α − 1 a a3 Vaäy V= SABCD SH = a2 tan α − = tan α − 3 π π Với điều kiện tan α − > ⇔ < α < 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đường cao a mặt bê n tam giác cân có góc đỉnh α HD · gGọi BSH = β Áp dụng đl cosin vào ∆SBD vaø ∆SBC :  BD2 = 2SB2 (1 − cos2β) ⇔ BC2 = 2SB2 sin β  ⇒ sin β = − cos α 2 BC = 2SB (1 − cos α) ⇔ cos α = cos β   gSABCD = BC2 = 2HB2 = 2a2 tan2 β = 2a2 ⇒ S= 4a2 sin2 cos α − cos2 β cos2 β = 2a2 − cos α cos α α 1 gV = SABCD SH = 3 α 2α sin a = 4a cos α cos α 4a2 sin2 17 Tính thể tích khối tám mặt có cạnh a Giải Gọi khối tám mặt cho ABCDE O tâm hình vuông BCDE có cạnh a Vì mặt BCDE chia khối tám mặ t thành hai phần nên : 1 a a3 VABCDEF = 2.VABCDE = .SBCDE AO = .a2 = 3 18 Cho hình lập phương có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh tâm mặt hình lập phương Giải Khối lập phương có cạnh bằn g a Khi khối tám mặt tạo thành có mặt chéo ABFD a 2 Thật : ∆AOB vuông O tâm khối tám mặt , cạnh : có AF = a , BD = a Dó : cạnh a a a AB = OA + OB2 = ( )2 + ( )2 = 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt thành hai phần nên : 1 a 2 a a3 VABCDEF = 2.VA.BCDE = .SBCDE AO = .( ) = 3 2 ( xem hình 17 ) - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 19 Cho khối tứ diện có cạnh a Tính thể tích khối tám mặt mà đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện a Giải Khối tám mặt tạ o thành có cạnh Thật : Gọi P,Q,R trung điểm cạnh AB,CD,BC Khi : PQ vuông góc với AB, CD Tam giác APQ vuông P Ta coù : PQ = AQ − AP = ( a a a ) −( ) = 2 ∆PRQ vuoâng R PQ = RP + RQ ⇔ 2RP = PQ = a2 a2 a a ⇒ cạnh RP = ⇒ đường cao AO = 4 Maët BCDE chia khối tám mặt nh hai phần neân : ⇒ RP = 1 a a a3 VABCDEF = 2.VA.BCDE = .SBCDE AO = .( )2 = 3 24 a · 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD = 60o, SA = SC = , SB = SD a) Tính thể tích khối chóp b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD) c) Tính Stp hình chóp Giải a) Gọi O = AC ∩ BD SA = SC SO ⊥ AC,AC ⊂ (ABCD)  Ta coù : SB = SD ⇒ ⇒ SO ⊥ (ABCD) O trung điểm AC BD SO ⊥ BD,BD ⊂ (ABCD)  ⇒ O = hc(ABCD)S ⇒ SO đường cao S.ABCD gOA = a ( đường cao ∆ABD cạnh a ) 5a2 3a2 a − = 4 1 a a2 gSABCD = 2SABD = .OA.BD = .a = 2 2 1 a a a ⇒ V = SO.SABCD = = 3 2 12 b) Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD) AC ⊥ BD (đ/c hình thoi) AC ⊥ (SBD)  Ta có : AC ⊥ SO ( SO ⊥ (ABCD)) ⇒  ⇒ (SAC) ⊥ (SBD) AC ⊂ (SAC) SO ⊂ (SBD)  c) Stp = 4SSCD + SABCD ( Vì ∆SCD = ∆SBC = ∆SAB = ∆SAD ) g∆SOA vuông O , ta có : SO = SA − AC2 = SD + SC + DC a( + + 2) = 2 Áp dụng công thức He-rông ta đượ c : SSCD = p(p − SD)(p − SC)(p − DC) a p − SD = ( + − 3) (1) a p − SC = ( − + 2) (2) a p − DC = ( + − 2) (3) a2 11 a2 a2 Vaäy : SSCD = [( + 5)2 − 2][4 − ( − 5)2 = 60 − 16 = 16 16 a2 11 a2 a2 ⇒ Stp = + = ( 11 + 3) 2 gTính SSCD : Vì nửa chu vi p = Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , chiều cao 2a Tính thể tích lăng trụ Giải Gọi lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Ta có : V = AA '.SABC = 2a a2 a3 = 2 Moät lăng trụ đứng có chiều cao 20cm Mặt đáy lăng trụ tam giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích 30cm Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình lăng trụ Giải Gọi hình lăng trụ ABC.A'B'C' g∆ABC vuông B , AC = 13cm SABC = 30cm , AA ' = 20cm Goïi x,y hai cạnh góc vuông ∆ABC Điều kiện : < x,y < 13 - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH x2 + y = 132 = 169    Theo đề :  ⇔ (x + y) − 2xy = 169 xy = 60   xy = 30 2  (x + y)2 = 169 + 2xy = 289 ⇒ x + y = 17 → Vaäy : Sxq = CVi đáy × cạnh bên = (17+13) × 20 = 600cm Stp = Sxq + 2.Sđáy = 600 + 2.30 = 660cm 3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 37,13,30 diện tích xung quanh 480 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Chu vi đáy khối lăng truï : 2p = 37+13+30 = 80 ⇒ p = 40 480 Chiếu cao khối lăng trụ : h = =6 80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy khối lăng trụ : S = 40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180 Vậy thể tích khối lăng trụ : V = S.h = 1080 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy góc 30o có chiều cao Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi khối lăng trụ ABC.A'B'C' Kẻ A'H ⊥ (ABC) H · · Ta có : H = hc A ' ⇒ AH = hc AA ' ⇒ (AA ';(ABC)) = A ' AH = 30o (ABC) Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 (ABC) Diện tích : S = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 ∆A ' HA vuông H : A'H = AA'.sin30o = = Thể tích : V = S.h = 336 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19,20,37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ Giải 19 + 20 + 37 gNửa chu vi đáy : p = = 38 gDiện tích đáy : S = 38(38 − 19)(38 − 20)(38 − 37) = 114 19 + 20 + 37 76 gChieàu cao : h = = 3 76 Vậy thể tích khối lăng trụ V = Sh = 114 = 2888 · Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ∆ABC vuông A , AC = a , ACB = 60o.Đường thẳng BC′ , tạo với mp(AA′C′C) góc 30o a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′ b) Tính thể tích khối lăng trụ cho Giải a) Tính AC' g∆ABC vuông A nên AB = AC.tan60o = a gTa coù : AB ⊥ AC,AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) ⇒ A= hc(AA 'C' C)B · · ⇒ AC'= hc BC' ⇒ (BC';(AA 'C'C)) = BC' A = 30 o (AA 'C'C) ∆AC'B vuông A ⇒ AC' = AB a = = 3a tan30o 1/ b) gAA'= AC'2 − A 'C'2 = (3a)2 − a2 = 2a gSABC = a2 Vaäy : VABC.A′B′C′ = AA '.SABC = 2a a2 = a3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh a , AA' ⊥ (ABC) Tính thể tích khối ABCC'B' Giaûi VABCC'B' = VABC.A'B'C' − VAA'B'C' = a a2 a2 a3 − a = 4 Cho lăng trụ xiên ABC.A ′B′C′có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A lên mp Vì I = hc(ABC)A ' ⇒ AI = hc(ABC) AA ' (ABC) trùng với trung điểm I BC , cạnh bên tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối lăng · · ⇒ (AA ';(ABC)) = A ' AI = 60o trụ Giải a 3a · ∆A ' IA vuông I nên A'I = AI.tanA ' IA = 3= Theo đề : A'I ⊥ (ABC) 2 ⇒ A'I đường cao khối lăng trụ nên V = A'I.SABC 3a a2 3 3a3 Vaäy : V = A'I.SABC = = a ∆ABC có đường cao AI = - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a, điểm A' cách ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy góc 60o a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC'B' hình chữ nhật c) Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ Giải a) Gọi O tâm tam giác ABC Vì A'A = A'B = A'C nên A'O ⊥ mp(ABC) · Vaäy : A ' AO = 60o a =a a2 a3 Vậy thể tích cần tìm V = SABC A 'O = a = 4 b) Vì BC ⊥ AO neân BC ⊥ AA' hay BC ⊥ BB' Vậy : BB'C'C hình chữ nhật c) Gọi H trung điểm AB Ta có : Từ ñoù ta coù : A'O = AO.tan60o = AO = Sxq = 2.SAA ' B' B + SBB'C 'C = 2.A 'H.AB + BB'.BC = a2 (2 + 13 ) 10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác ABC vuông B AB = a , BC = 2a , AA' = 3a Một mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA' cắt đoạn thẳng CC' BB' M N a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB b) Chứng minh : AN ⊥ A'B c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN d) Tính diện tích ∆AMN Giải 1 a) VC.A 'AB = VA '.ABC = SABC AA ' = a.2a.3a = a3 b) Ta coù : CB ⊥ AB,CB ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABC)) , suy : CB ⊥ (A'AB) Mặt khác : AN ⊥ CA' ( CA' ⊥ (AMN)) Suy : AN ⊥ A'B (đlí đường ⊥ ) c) Ta coù : VA '.AMN = VM.AA ' N = VM.AA 'B ( Vì NB//AA') = VC.AA ' B ( MC//(AA'B)) = a3 3.VA '.AMN d) SAMN = = A'I 3a3 (3a) = a2 14 a + (2a)2 + (3a)2 11 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc đường thẳng AB' mặt phẳng (BB'C'C) ϕ a 2sin ϕ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ c) Tính thể tích lăng trụ Giải a) Gọi I trung điểm BC  AI ⊥ BC · Ta coù :  ⇒ AI ⊥ (BB'C'C) ⇒ AB' I = ϕ AI ⊥ B'I  AI ⊥ BB' a) Chứng minh : AB' = ∆AB'I vuông I , ta coù : AB' = AI a = sin ϕ 2sin ϕ b) ∆AB'B vuông B nên BB'2 = AB'2 − AB2 = ⇒ BB' = a sin ϕ c) V= SABC BB' = 3a2 4sin2 ϕ a − 4sin ϕ ⇒ Sxq = 3a 2sin ϕ a2 a 2sin ϕ − sin ϕ = − a2 = 3a2 sin2 ϕ − sin ϕ = a3 8sin ϕ (3 − 4sin ϕ) 3a2 sin ϕ − sin ϕ − sin ϕ · 12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′ C′ có đáy tam giác ABC cân A , ABC = α ; BC′ hợp với mặt đáy (ABC) góc β Gọi I trung điểm cạnh AA′ · Biết BIC = 90o a) Chứng tỏ BIC tam giác vuông cân b) Chứng minh : tan2 α + tan2β = Giải a) Gọi H trung điểm BC ∆ABC cân A nên AH ⊥ BC (1) Mặt khác : AI ⊥ (ABC) ⇒ A = hc(ABC)I ⇒ AH = hc(ABC)IH (2) Từ (1) , (2) suy : IH ⊥ BC ( Đlí đường ⊥ ) ⇒ ∆BIC vuông I , có đường cao IH vừa trung tuyến nên cân I - - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH AH 2AH b) ∆AHB vuông H cho tanα = = BH BC · Mặt khác : C = hc(ABC)C' ⇒ BC = hc(ABC)BC' ⇒ C' BC = β ∆BCC' cho tanβ = CC' AA ' = BC BC Mặt khác : ∆IAH vuông H cho IA + AH = IH2 ⇒ Chia hai veá cho AA '2 BC2 + AH = 4 BC2 AA '2 4AH ta : + = ⇔ tan α + tan β = BC2 BC2 Vấn đề : TỈ SỐ THỂ TÍCH (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' V SA SB SC Chứng minh : = V ' SA ' SB' SC ' Giải Gọi H , H' theo thứ tự hình chiế u vuông góc A,A' lên mặt phẳng (SBC) Ta có : S,H,H' thẳng hàng , chúng nằm hình chiếu vuông góc tia SA lên mặt phẳn g (SBC) AH.SABC V SA SB SC Khi : = = V' SA ' SB' SC' A ' H '.SSB' C' (Baøi 25-P29 SGK) Chứng minh có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện V A'B'C'D' A ' B'C' D ' = k VABCD Giải Gỉa sử có phép vị tự V tỉ số k tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' Khi : gV biến đường cao AH hình chóp ABCD thành đường cao A'H' hình chóp A'B'C'D' Do : A'H' = k AH gV biến ∆BCD thành ∆B'C' D ' nên SB'C' D' = k SBCD VA ' B'C' D' SB'C' D' A ' H ' Suy : = = k2 k = k VABCD S AH BCD (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Giải Gọi V1 thể tích phần chứa điểm A V2 thể tích phần lại Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta có : V AB' AC AD ' 1 1 = A.B'CD' = = = ⇒ VA.BCD AB AC AD 2 1 ⇒ VA.B'CD' = VA.BCD ⇒ VA.B'CD ' = V ⇒ V1 = V 4 Suy : V2 = V V1 V2 (Baøi 2-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh trọng tâm mặt tứ diện cho Giải Gọi G1,G ,G3 ,G G trọng tâm ∆ABC,∆ABD, ∆ACD,∆BCD tứ diện ABCD Xét phép vị tự tâm G tỉ số k = − , ta có : V (ABCD) = (G1G 2G3G ) (G;− ) VG G G G 1 1 V Suy : = = hay VG G G G = VABCD 3 27 27 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện số k > cho trước Giải Lấy điểm E caïnh AC cho AE = kCE Haï AM , AN vuông góc với mp(BDE) M N AM.SBDE V AM AE Khi : A.BDE = = = =k VC.BDE CN CE CN.SBDE - 10 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD G giao SO với AM SG G trọng tâm ∆SAC Vậy : = SO Vì mp(P) song song với BD nên cắt mp(SBD) theo giao tuyến B'D' qua G B'D'//BD ( với B' ∈ SB,D' ∈ SD) SB' SD ' SG Suy : = = = SB SD SO Mp(P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần : khối chóp S.AB'MD' khối đa diện ABCDB'MD' V V SA SB' SD' 2 Ta coù : S.AB' D' = = = ⇒ S.AB' D' = VS.ABD SA SB SD 3 VS.ABCD VS.MB' D' SM SB' SD ' 2 V = = = ⇒ S.MB' D' = VS.CBD SC SB SD 3 VS.ACBD V V + VS.MB' D' 1 V Suy : S.AB' MD' = S.AB' D' = + = ⇒ S.AB' MD' = VS.ACBD VS.ACBD 9 VACBDB' MD' Chú ý : Để áp dụng công thứ c tính tỉ số thể tích buộc phải chia khối đa diện cho thành khối tứ diện (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm AA' Mặt phẳng qua M,B',C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi a cạnh ∆ABC V thể tích khối lăng trụ : V = VABC.A'B'C' = AA '.SABC = a Kẻ CH vuông góc với AB , ta có : a2 a3 = 4 1 a a a3 V' = VC.ABB' M = CH.SABB' M = (a + ).a = 3 2 a3 V V' Do : C.ABB' M = = =1 VCC' B' A ' M V − V ' a3 a3 − (Bài - P31 SGK) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phầ n Giải a3 Gọi I giao điểm đường thẳng MB' đường thẳng AA' , N giao điểm IC' AC Thiết diện khối lăng trụ cắt mp(B'C'M) hình thang cân B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa cạnh AA' V2 thể tích phần lại Gỉa sử khối lăng trụ có đáy S chiều cao AA' = h Khi : 1 V1 = VAMN.A ' B' C' = VI.A ' B'C' − VI.AMN = SA ' B' C' IA '− SAMN IA = 3 1 S 7 = S.2h − h = Sh = VABC.A ' B'C' = (V1 + V2 ) 3 12 12 12 V Từ suy : 12V1 = 7( V1 + V2 ) ⇔ = V2 Goïi a cạnh lăng trụ , ta có : VLT = C BÀI TẬP Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc Biết BC = a , tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS : V = Cho hình chóp S.ABC coù SA ⊥ AB, SA ⊥ BC , BC ⊥ AB Bieát AB = BC = a 3, SA = a Tính thể a3 a3 Một khối chóp tam giác có cạnh đáy 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài tạo với tích khối chóp S.ABC ĐS : V = đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp ĐS : V = 16 a µ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , A = 60o , SA = SB = SD = a) Tính thể tích khối chóp VS.ABCD = b) Chứng minh raèng : (SAC) ⊥ (SBD) a3 12 a2 ( + 3) Cho S.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy AB = a cạnh bên SB = b Tính thể tích hình chóp HD : Kẻ SH ⊥ (ABC) H tâm tam giác ABC M trung điểm BC , ta : a a2 2 2 c) Tính Stp hình chóp AM = ,SH = Stp = 9b − 3a ⇒ V = 36 9b − 3a - 11 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông C có cạnh huyền AB = 2a Gọi H K hình chiếu A SC SB a) Tính thể tích khối chóp H.ABC VH.ABC = b) Chứng minh : AH ⊥ SB vaø SB ⊥ (AHK) a3 2a3 21 Tính thể tích khối hộp ABCD.A ′B′C′D′ Biết khối chóp C.C′B′D′ tứ diện cạnh a c) Tính thể tích khối chóp S.AHK VH.ABC = V= a3 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ∆ABC tam giác cạnh a , hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy SA = 2a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính Stp khối chóp Đáp số : a) V= a3 b) Stp = a2 (8 + + 19) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy A , ta lấy điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặ t đáy góc 30o,mặt bên (SDC) tạo với mặt đáy góc 60o a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh hình chóp c) Tính góc cạnh bên SC mặt đáy 30 2 · b) Sxq = 2(1 + 3) c) SCA = arctan 10 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh bên SA vuông gó c mặt đáy, SA=AB= a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh : BD ⊥ SC · c) Tính (SC,(SBD)) Đáp số : a) V = d) Tính thể tích hình chóp Đáp số : a) SSBD = a2 2 · c) HS C = arccos d) VS.ABCD = a3 11 Cho hình lăng trụ ABC.A ′B′C′ có chiều cao h hai đường thẳng B′C,BC′ vuông góc với Tính thể tích lăng trụ V= h3 12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm M Gọi H trực tâm tam giác ABC , K trực tâm tam giác BMC a) Chứng minh raèng : MC ⊥ (BHK) , HK ⊥ (BMC) b) Khi M thay đổi d , Tìm GTLN thể tích tứ diện KABC V= a3 48 13 Trên cạnh CD tứ diện ABCD lấy điểm M cho CM = CD Tính tỉ số thể tích hai tứ V diện ABMD ABMC Đáp số : ABDM = VABCM 14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C′ Tính tỉ số thể tích khối chóp A.BB′C′C khối lăng trụ ABC.A′B′C′ V Đáp số : A.BB'C'C = VABC.A'B′C′ - 12 - ... V = SABCD BB'' = a2 3 a tan α = a tan α 2 Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Gọi khối tứ diện cho ABCD Khi ta coi khối chóp A.BCD Kẻ AH ⊥ (BCD) H tâm tam giác... Tính thể tích khối chóp H.ABC VH.ABC = b) Chứng minh : AH ⊥ SB vaø SB ⊥ (AHK) a3 2a3 21 Tính thể tích khối hộp ABCD.A ′B′C′D′ Biết khối chóp C.C′B′D′ tứ diện cạnh a c) Tính thể tích khối. .. 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B'' D'' trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB''D'') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Giải Gọi V1 thể tích phần chứa điểm A V2 thể tích phần lại