MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tính thể tích khối đa diện (khối chóp, khối lăng trụ,…) là bài toán thường gặp trong các đề thi đại học – cao đẳng và tốt nghiệp. Đây là bài toán tương đối khó đối với nhiều học sinh có tư duy hình học không gian hạn chế. Chính vì vậy mà trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhận thấy sự vất vả của nhiều học sinh khi phải học dạng toán này. Do đó, chuyên đề này, tôi muốn giới thiệu với các em học sinh một số phương pháp giải bài toán tính thể tích. Nhằm giúp các em dễ tiếp cận với dạng toán này và có nhưng định hướng giải khi gặp dạng toán này. II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 phương pháp thường dùng tính thể tích  Tính diện tích bằng công thức. + Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…. + Sử dụng công thức tính thể tích.  Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.  Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.  Tính thể tích bằng tỉ số thể tích. Bài giải tham khảo  Do BC A B BC A B BC A A ì ï ^ ï ¢ ^Þ í ¢ ï ^ ï î . Giáo viên: Trần Văn Công Trang 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Thí dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'A BC A B C có đáy A BC là tam giác vuông tại ,B BC a= , ( ) 'mp A BC tạo với đáy một góc 0 30 và 'A BCD có diện tích bằng 2 3a . Tính thể tích khối lăng trụ. B A ’ C ’ B ’ A C 3 0 o a Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức  Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…). Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…  Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết. Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác. CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015  Và · ( ) ( ) ' ( ) ( ' ) BC A B A BC BC A B A BC A BA BC A BC A BC ì ï ^ Ì ï ï ï ¢ ^ ÌÞ í ï ï = Ç ï ï î là góc giữa ( )A BC và ( )A BC .  Ta có: 2 2. 1 2. 3 . 2 3 2 A BC A BC S a S A B BC A B a BC a ¢ D ¢ D ¢ ¢ = = = =Þ . · · 0 0 . cos 2 3.cos 30 3 . sin 2 3.sin 30 3 A B A B A BA a a A A A B A BA a a ¢ ¢ = = = ¢ ¢ ¢ = = =  Vậy: 3 . ' ' ' 1 1 3 3 . . . . . .3 . . 3 2 2 2 A BC A B C AB C a V B h S A A A B BC A A a a a ¢ ¢ = = = = = (đvtt). Thí dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'A BC A B C có đáy A BC là tam giác vuông tại · 0 , , 60A A C a ACB= = . Đường chéo 'BC của mặt bên ( ) ' 'BC C C tạo với mặt phẳng ( ) ' 'mp A A C C một góc 0 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a . Bài giải tham khảo  Ta có: ( ) A B AC A B A CC A A B AA ì ï ^ ï ¢ ¢ ^Þ í ¢ ï ^ ï î . Do đó A C ¢ là hình chiếu vuông góc của BC ¢ lên ( )A CC A ¢ ¢ . Từ đó, góc giữa BC ¢ và ( )ACC A ¢ ¢ là · 0 30BC A ¢ = .  Trong tam giác vuông A BC : 0 . t an 60 3A B A C a= = .  Trong tam giác vuông 'A BC : 0 . cot 30 3. 3 3A C AB a a ¢ = = = .  Trong tam giác vuông 'ACC : 2 2 2 2 ' ' (3 ) 2 2CC A C A C a a a= - = - = .  Vậy, thể tích lăng trụ là: 3 1 1 . . . ' . 3. .2 2 6 2 2 V B h A B A C CC a a a a= = = = (đvdt). Bài giải tham khảo Cách giải 1.  Ta có: ( ) BC A B BC SBA BC SB BC SA ì ï ^ ï ^ ^Þ Þ í ï ^ ï î . Giáo viên: Trần Văn Công Trang 2 B ’ A C B ’ A ’ C ’ a 6 0 0 3 0 o Thí dụ 3. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011) Cho hình chóp .S A BC có đáy A BC là tam giác vuông cân tại ( ) , ,B A B a SA ABC= ^ , góc giữa ( ) mp SBC và ( ) mp A BC bằng 0 30 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Tính thể tích khối chóp .S A BM theo a . B A S M C 3 0 o N CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ã ã 0 ; 30 SB C A BC BC BC SB SBC SBC A BC SBA BC A B A BC ỡ ù =ầ ù ù ộ ự ù ù ^ = =ị è ị ớ ờ ỳ ù ờ ỳ ở ỷ ù ù ^ è ù ù ợ . Ke // MN BC . Do ( ) BC SBA^ nờn ( ) MN SBA^ va luc o, MN la ng trung binh SB CD ( ) 1 2 2 BC a MN = =ị Luc o: ( ) . . 1 . . 2 3 S AB M M SA B SA B V V S MN D = = . Tim: SA B S D ? Trong SA BD vuụng tai A , ta co: 0 0 3 t an 30 . t an 30 3 SA a SA A B A B = = =ị . ( ) 2 1 1 3 3 . . . . 3 2 2 3 6 SA B a a S SA A B a D = = =ị Thờ ( ) ( ) 1 ; 3 vao ( ) 2 3 . . 1 3 3 2 . . 3 6 2 36 S ABM M SA B a a a V V= = =ị (vtt). Cach giai 2. 3 . 1 1 1 3 3 . . . . . 3 3 2 3 18 S ABC A BC a a V S SA a a D = = = (vtt). 3 . . . . 2 3 . . 2 2 36 S A BC S A BC S A BM S A BM V V SA SB SC SM a V V SA SB SM SM = = = = =ị (vtt). Bai giai tham khao Ta co: ( ) ( ) { } ( ) ( ) SB C A BC BC A B SBC BC A B A BC ỡ ù ^ = ù ù ^ị ớ ù ^ è ù ù ợ . Thờ tich khụi chop .S A BC : . . 1 . . 3 S AB C A SBC SBC V V S A B D = = . ( ) 2 3 . . 1 .2 3.3 2 3 1 3 S A BC A SB C V V a a a= = =ị (vtt). Tim khoang cach t B ờn ( ) mp SAC ? Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang 3 Thi du 4. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D 2011) Hinh chop .S A BC co ay A BC la tam giac vuụng tai , 3 , 4B BA a BC a= = , ( ) ( ) SB C A BC^ . Biờt ã 0 2 3, 30SB a SBC= = . Tinh thờ tich khụi chop .S A BC va khoang cach t B ờn ( ) mp SAC S C B A 3a 4a 2 3a 0 30 CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015  Ta có: ( ) . . 1 . . ; 3 S ABC B SA C SA C V V S d B SAC D é ù = = ê ú ë û ( ) ( ) . 3. ; 2 S A BC SA C V d B SA C S D é ù =Þ ê ú ë û .  Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 9 12 21A B SBC A B SB SA AB SB a a a^ ^ = + = + =Þ Þ .  Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong SB CD : · 2 2 2 2. . .cosSC BC BS BC BS SBC= + - 2 2 2 2 3 16 12 2.4 .2 3. 4 2 SC a a a a a= + - =Þ .  Trong A BCD vuông tại B : 2 2 2 2 2 2 9 16 25A C A B BC a a a= + = + = .  Nhận thấy: 2 2 2 2 2 2 21 4 25SA SC a a a A C SAC+ = + = = ÞD vuông tại S .  Do đó, diện tích tam giác SA C là: ( ) 2 1 1 . . .2 . 21 21 3 2 2 SA C S SC SA a a a D = = = .  Thay ( ) ( ) 1 , 3 vào ( ) ( ) 3 2 3.2 3 6 7 2 ; 7 21 a a d B SA C a é ù = =Þ ê ú ë û . Bài giải tham khảo  Vì ( ) mp SBI và ( ) mp SCI cùng vuông góc với ( ) mp A BCD , nên giao tuyến ( ) SI A BCD^ .  Kẻ IH BC SH BC^ ^Þ (định lí 3 đường vuông góc).  Ta có: · 0 60SHI = là góc giữa hai ( ) mp SBC và ( ) mp A BCD .  Thể tích khối chóp .S A BCD : ( ) . 1 . . 1 3 S A BCD A BCD V S SI= .  Tìm ?SI Trong SIHD vuông tại I , ta có: 0 . t an 60 . 3SI IH IH= = . Gọi ,M N tương ứng là trung điểm của ,A B BC . Vì IN là đường trung bình của hình thang A BCD , nên ta có: . 1 2 3 . . ? 3 2 2 2 S AB CD A BCD A B CD a a a V S SI IN + + = = = = . Mà: · · . cos .cosIH IN HIN IN MCB= = (do · HIN và · MCB là các góc có cạnh tương ứng vuông góc). · . cos . MC IH IN MCB IN BC = =Þ Giáo viên: Trần Văn Công Trang 4 Thí dụ 5. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009) Cho hình chóp .S A BCD có đáy là hình thang vuông tại A và , 2 ,D A B A D a CD a= = = , góc giữa hai ( ) mp SBC và ( ) mp A BCD bằng 0 60 . Gọi I là trung điểm của A D . Biết rằng ( ) mp SBI và ( ) mp SCI cùng vuông góc với ( ) mp A BCD . Tính thể tích khối chóp .S A BCD S D A M B C N H I 6 0 0 CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 2 2 2 2 3 2 3 5 . . 2 5 4 A D a a a IN MB MC a a = = = + + . ( ) 3 5 3 15 . 3 . 3 2 5 5 a a SI IH= = =Þ .  Tìm ABCD S ? ( ) ( ) ( ) 2 2 .2 3 3 2 2 A BCD DC A B A D a a a S a + + = = = .  Thay ( ) ( ) 2 , 3 vào ( ) 3 2 . 1 3 15 3 15 1 . .3 3 5 5 S ABCD a a V a= =Þ (đvtt). Bài giải tham khảo  Gọi H là trung điểm của A D thì SH A D^ .  Do ( ) ( ) SA D A BCD^ nên ( ) SH A B CD^ . Và SA DD đều 3 2 a SH =Þ .  Kẻ ( ) // MK SH K HBÎ ( ) MK A BCD^Þ và 3 2 4 SH a MK = = .  Vậy: 1 . . 3 CMNP CNP V S MK D = 2 3 1 3 . 3 . . 3 8 4 96 a a a = = (đvtt). Bài giải tham khảo  Gọi O là tâm của của đáy A BCD .  Trong SA CD , ta có NO là đường trung bình nên: ( ) ( ) // NO SA NO A BCD SA A BCD ì ï ï ï ^Þ í ï ^ ï ï î Giáo viên: Trần Văn Công Trang 5 Thí dụ 6. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007) Cho hình chóp .S A BCD đáy là hình vuông A BCD cạnh a , mặt bên SA D là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy A BCD . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của , ,SB BC CD . Tính thể tích khối tứ diện CMNP . S H A D C B M N P K Thí dụ 7. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006) Cho hình chóp .S A BCD có đáy A BCD là hình chữ nhật với , 2,A B a A D a SA a= = = và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,A D SC và I là giao điểm của BM và A C . Tính thể tích khối tứ diện A NIB . S A D C B M N I O CHUYấN THNG 11 NM HC: 2014 2015 ( ) NO A BI^ị hay NO la ng cao cua hinh t diờn A NIB . Va ( ) 1 2 2 SA a NO = = Ta co : ( ) . 1 . . 2 3 A NIB N A IB A IB V V S NO D = = . Tim ? A IB S D = Do I la trong tõm A BDD nờn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 . 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 6 . . . 3 3 3 2 3 A C A C A D DC AD A B a A I A O A D a BI BM A B A M A B ỡ ù + + ù ù = = = = = = ù ù ù ị ớ ù ổ ử ù ữ ỗ ữ ù = = + = + = ỗ ữ ù ỗ ữ ỗ ù ố ứ ù ợ Nhõn thõy: 2 2 2 2 2 2 3 6 3 3 a a A B a A I BI A IB ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ = = + = + ịD ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ vuụng tai I . ( ) 2 1 1 3 6 2 . . . . 3 2 2 3 3 6 A IB a a a S A I BI D = = =ị . Thay ( ) ( ) 1 , 3 vao ( ) 2 3 . 1 2 2 2 . . 3 6 2 36 N A IB a a a V = =ị (vtt). Bai giai tham khao Goi ,M N la trung iờm cua ,A B A C . Khi o, G la trong tõm cua A BCD . Do hinh chiờu iờm 'B lờn ( ) mp A BC la G nờn ( ) 'B G A BC^ ( ) ã ã 0 ; ' 60BB A BC B BG ộ ự = =ị ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ . Giỏo viờn: Trn Vn Cụng Trang 6 A B CD M I Thi du 8. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2009) Cho lng tru tam giac . ' ' 'A BC A B C co 'BB a= , goc gia ng thng 'BB va ( ) mp A BC bng 0 60 , tam giac A BC vuụng tai C va goc ã 0 60BAC = . Hinh chiờu vuụng goc cua iờm 'B lờn ( ) mp A BC trung vi trong tõm cua A BCD . Tinh thờ tich cua khụi t diờn 'A A BC theo a . A B C A B C G N M 6 0 0 B A C N M G CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 • Ta có: ( ) ' 1 1 . . ' . . . ' 1 3 6 A A BC AB C V S B G A C BC B G D = = . • Tìm 'B G ? Trong 'B BGD vuông tại G và có · 0 ' 60B BG = nên nó là nữa tam giác đều cạnh là 'BB a= ( ) 3 ; ' 2 2 2 a a BG B G= =Þ .  Tìm ,A B BC ? Đặt 2AB x= . Trong A BCD vuông tại C có · 0 60BAC = nên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao là BC . , 3 2 A B A C x BC x= = =Þ Do G là trọng tâm A BCD 3 3 2 4 a BN BG= =Þ . Trong BNCD vuông tại C : 2 2 2 BN NC BC= + ( ) 2 2 2 2 2 3 9 9 3 2 13 3 3 16 4 52 3 3 2 13 2 13 a A C a x a a x x x a BC ì ï ï = ï ï ï ï = + = =Û Û Þ Þ í ï ï = ï ï ï ï î  Thế ( ) ( ) 2 , 3 vào ( ) 3 ' 1 3 3 3 3 9 1 . . . 6 2 108 2 13 2 13 A A BC a a a a V = =Þ (đvtt).  Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó khăn vì hai lí do: + Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao. + Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.  Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau: + Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn. + Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.  Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = . Chứng minh: Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC). Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng. Giáo viên: Trần Văn Công Trang 7 Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số) S A ’ B ’ C ’ A B C H H ’ CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 Ta có: ' ' . ' ' ' ' ' ' . . 1 . ' ' 3 1 . 3 SB C S A B C A SB C S ABC A SBC SBC S A H V V V V S A H D D = = ( ) 1 '. '. sin . ' ' '. '. ' 2 1 . . . . sin . 2 SB SC A H SB SC SA Ðpcm SB SC SA SB SC A H a a = = Þ . Trong đó: · · ' 'B SC BSC a = = . Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm ', ', 'A A B B C Cº º º . Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,… Bài giải tham khảo a/ Tính thể tích khối chóp .S A BC . Ta có: . 1 . . 3 S A BC A BC V S SA D = và SA a= . Mặc khác: A BCD vuông cân ở B và có: 2A C a= nên A BCD là nữa hình vuông có đường chéo 2A C a= Þ cạnh A B BC a= = . 2 1 . 2 2 A BC a S A B BC D = =Þ . Vậy: ( ) 2 3 . 1 1 . . . . 3 3 2 6 S A BC AB C a a V S SA a Ðvtt D = = = . b/ Tính thể tích khối chóp .S A MN . Gọi I là trung điểm của BC , G là trọng tâm của SB CD . Ta có: 2 3 SI SG = . Do ( ) // // 2 3 SM SN SG mp BC MN BC SB SC SI a = = =Þ Þ . ( ) 3 3 . . . . 4 4 4 2 . . . 9 9 9 6 27 S A MN S A MN S ABC S ABC V SM SN a a V V Ðvtt V SB SC = = = = =Þ Þ . Giáo viên: Trần Văn Công Trang 8 Thí dụ 9. Cho hình chóp .S A BC có đáy là A BCD vuông cân ở ( ) , 2, ,B A C a SA mp A BC SA a= ^ = . a/ Tính thể tích khối chóp .S A BC . b/ Gọi G là trọng tâm của SB CD , ( ) mp a đi qua A G và song song với BC cắt ,SC SB lần lượt tại ,M N . Tính thể tích khối chóp .S A MN . S A B C M N G I Thí dụ 10. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006) Cho hình chóp .S A BC có đáy là A BCD đều cạnh a và ( ) SA A BC^ , 2SA a= . Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên cạnh ,SB SC . Tính thể tích khối .A BCKH theo a . CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 Bài giải tham khảo  Ta có: ( ) . . . . . . 1 A BCK H S A HK S A BC A BCKH S A BC S AHK V V V V V V+ = = -Þ .  Do A BCD đều cạnh a và 2SA a= nên: ( ) 2 3 . 1 1 3 3 . . . .2 2 3 3 4 6 S A BC ABC a a V S SA a D = = = .  Ta lại có: . 2 2 . . . . . . S A HK S A BC V SA SH SK SH SB SK SC V SA SB SC SB SC = = 2 2 4 2 2 2 2 2 2 16 16 . 25 5 .5 SA SA a SA A B SA A C a a = = = + + . ( ) . . 16 . 3 25 S A HK S A BC V V=Þ . Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . . . . 16 9 3 3 1 , 2 , 3 . . 25 25 50 A B CKH S ABC S ABC S ABC a V V V V Ðvtt= - = =Þ Bài giải tham khảo  Kẻ ( ) // MN CD N SDÎ thì hình thang A BMN là thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) A BM .  Ta có: . . 1 2 S A BN S A BD V SN V SD = = . ( ) . . . 1 1 1 2 4 S A BN S ABD S A BCD V V V= =Þ .  Mặt khác: . . 1 1 1 . . 2 2 4 S BMN S B CD V SM SN V SC SD = = = . ( ) . . . 1 1 2 4 8 S BMN S BCD S ABCD V V V= =Þ .  Mà: ( ) . . . 3 S A BMN S A BN S BMN V V V= + .  Kết hợp: ( ) ( ) ( ) . . 3 1 , 2 , 3 8 S A BMN S A BCD V V=Þ . . .A BCDNM S AB CD S AB MN V V V= -Þ . Giáo viên: Trần Văn Công Trang 9 S A B C H a K 2a Thí dụ 11. Cho khối chóp tứ giác đều .S A BCD . Một mặt phẳng ( ) a qua ,A B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. S A B C M N D CHUYÊN ĐỀ THÁNG 11 – NĂM HỌC: 2014 – 2015 . . . 3 5 8 8 A BCDNM S AB CD S ABCD S A BCD V V V V= - =Þ . . 3 5 S A BMN A BCDNM V V =Þ . Bài giải tham khảo  Gọi I SO A M= Ç . Ta có: ( ) // // A EMF BD EF BDÞ .  Ta có: . 1 . . 3 S A BCD A BCD V S SO= với 2 ABCD S a= . Trong SOAD có: 0 6 . t an 60 2 a SO A O= = 3 . 6 6 S ABCD a V =Þ .  Mặt khác: . 2 S AEMF SA MF SA ME SA MF V V V V= + = và . 2 2 S AB CD SA CD SA BC V V V= = Xét khối .S A MF và khối .S A CD có: 1 2 SM SC = Và trong SA CD có trọng tâm I , // 2 1 . 3 3 SA MF SA CD V SI SF SM SF EF BD SO SD V SC SD = = = =Þ Þ . ( ) 3 3 3 . . 1 1 6 6 6 2. 3 6 36 36 18 SA MF SA CD S A BCD S AEMF a a a V V V V Ðvtt= = = = =Þ Þ . Bài giải tham khảo  Gọi ,O H lần lượt là tâm của A BCD và trung điểm A B .  Do ( ) , ,MS MA d A MNP d S MNP é ù é ù = =Þ ê ú ê ú ë û ë û ( ) . . 1 A MNP S MNP V V=Þ .  Mặt khác: . . 1 . . 4 S MNP S A BP V SM SN SP V SA SB SP = = . . . 1 1 1 1 1 . . . . . . 4 4 3 12 2 S MNP S ABP AB P V V S SO A B HP SO D = = =Þ ( ) ( ) 2 3 2 . 1 6 . . . 2 24 2 48 S MNP a a V a a a Ðvtt= - =Þ .  Từ ( ) ( ) ( ) 3 . 6 1 , 2 48 A MNP a V Ðvtt=Þ . Giáo viên: Trần Văn Công Trang 10 Thí dụ 12. Cho hình chóp tứ giác đều .S A BCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 0 . Gọi M là trung điểm SC . Mặt phẳng đi qua A M và song song với BD , cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích khối chóp .S A EMF . Thí dụ 13. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008) Cho hình chóp tứ giác đều .S A BCD có cạnh đáy A B a= , cạnh bên 2SA a= . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của , ,SA SB CD . Tính thể tích tứ diện A MNP . M A B N C D S P O H . – 2015 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tính thể tích khối đa diện (khối chóp, khối lăng trụ,…) là bài toán thường gặp trong các. em học sinh một số phương pháp giải bài toán tính thể tích. Nhằm giúp các em dễ tiếp cận với dạng toán này và có nhưng định hướng giải khi gặp dạng toán này. II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 phương pháp. với đáy một góc 0 30 và 'A BCD có diện tích bằng 2 3a . Tính thể tích khối lăng trụ. B A ’ C ’ B ’ A C 3 0 o a Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp