Chuyên đề tính thể tích khối đa diện nguyễn trung kiên

NGUY ỄN TRUNG KIÊN 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ h ơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - tanb c B= , tanc b C= , 2 .AH HB HC= - 2 2 2 2 2 1 1 1 .AB AC AH AH AB AC AB AC = + ⇒ = + ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - .S p r= (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - 4 abc S R = H C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 2 ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B h= Ph ần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Lo ại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn n ội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc ,SB SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức + óp 1 . 3 ch V B h= + . LT V B h= Ta xét các ví d ụ sau: Ví d ụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 ,AB AD a CD a= = = . Góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp SABCD . HD giải: D ấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc v ới đáy ABCD’’ www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 3 Vì 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( )SBI và ( )SCI có giao tuy ến là SI nên ( )SI ABCD⊥ . Kẻ IH BC ⊥ ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD là 0 ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 2 IBC S IH BC ∆ = = 3 3 5 a . Từ đó tính được 3 3 15 5 SABCD V a= . Ví d ụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , , ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn ' ' B C , I là giao điểm của BM và ' B C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’ I nằm trong mặt bên ( ' ') BCC B vuông góc với đáy ( )ABC ’’ Ta có: - ' ' 'ABCA B C là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. ( ' ) I B BC ⊂ ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH BC ⊥ thì ( ) IH ABC ⊥ và I chính là trọng tâm tam giác ' ' BB C 2 4 ' ' 3 3 IH CI a IH BB CB ⇒ = = ⇒ = H I S D C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 4 Có 2 2 2 2 2 2 AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a ′ ′ = − = = = ⇒ = − = 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 IABC a V IH dt ABC a a a= = = ( đvtt) Ví d ụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2,AB a AD a SA a= = = và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) SAC vuông góc với mặt phẳng ( ) SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . Lời giải: +) Chứng minh ( ) ( ) SAC SMB⊥ . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3; 4 2 a a AC AB BC a a a BM AB AM a= + = + = = + = + = Gọi O AC BD= ∩ ;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm của tam giác ABD . Theo tính ch ất trọng tâm của tam giác ta có: 2 1 3 2 6 ; 3 3 3 3 3 a a AI AO AC BI BM= = = = = A M O B I H C C' B' A' www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 5 Nhận xét: 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a AI BI a AB+ = + = = , suy ra tam giác AIB vuông tại I . Do đó BM AI ⊥ (1) Mặt khác: ( ) SA ABCD⊥ nên SA BM⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) BM SAC ⊥ +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng ( )SAC vuông góc v ới đáy ( )ABCD ’’ Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: / / NO SA và 1 2 2 a NO SA= = Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB Diện tích tam giác đều AIB là: 2 1 1 3 6 2 . . 2 2 3 3 6 AIB a a a S AI BI= = = Thể tích khối tứ diện ANIB là: 2 3 1 1 2 2 . . 3 3 6 2 36 AIB a a a V S NO= = = N M I D C B A S O www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 6 Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với 3 , 2AB AC a BC a= = = . Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: D ấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ đó ta có lời giải sau: Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ) ABC và , , I H J lần lượt là hình chiếu của O trên , ,AB BC CA . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: , ,SI AB SJ AC SH BC⊥ ⊥ ⊥ Suy ra:    , ,SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( ) ( ) ( ) , ,SAB SAC SBC và mặt đáy Theo gi ả thiết ta có:    0 60SIO SJO SHO= = = Các tam giác vuông , ,SOI SOJ SOH bằng nhau nên OI OJ OH= = Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra , ,A O H thẳng hàng và H là trung điểm của BC Tam giác ABH vuông tại H , ta có: 2 2 2 2 9 2 2AH AB BH a a a= − = − = Diện tích tam giác ABC là: 2 1 1 . .2 .2 2 2 2 2 2 ABC S BC AH a a a= = = Ngoài ra: ABC S pr= , với ( ) 1 4 2 p AB AC BC a= + + = và r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC∆ . 2 2 2 2 4 2 ABC S a a r OH p a ⇒ = = = = www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 7 Tam giác SOH vuông tại O , ta có: 0 6 tan 60 2 a SO OH= = Thể tích khối chóp SABC là: 3 2 1 1 6 2 3 . .2 2. 3 3 2 3 ABC a a V S SO a= = = Ví d ụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A 3,AB a AC a= = . Biết đỉnh 'C cách đều các đỉnh , ,A B C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (C’AC) bằng 6 15 a .Tính thể tích khối chóp ' 'A ABC theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng ( ' ')ABB A và mặt phẳng đáy ( )ABC . Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh 'C cách đều các đỉnh , ,A B C ⇔ ' ' 'C A C B C C= = ’’ J H I S O C B A N H M C C' B' A' I K B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 8 - Hạ ' ( ) ' ' 'C H ABC C HA C HB C HC HA HB HC⊥ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ ⇔ = = Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . Ta có: /( ') /( ') 2 B ACC H ACC d d= . Hạ /( ') /( ') 1 3 , ' ( ') 2 15 H ACC B ACC a HM AC HN C M HN ACC d HN d⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = = . Ta có: 1 3 ' 3 2 2 a HM AB C H a = = ⇒ = từ đó tính được ' 2 .CC a= Có 3 ' ' 1 1 1 1 ' . ( ) . 3. . 3. 3 3 3 2 2 A ABC LT a V V C H dt ABC a a a= = = = - H ạ ' ( )A K ABC⊥ thì ' 'C HKA là hình chữ nhật . Gọi I HK AB = ∩ thì 1 / / 2 OI AC= suy ra I là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI AB ⊥ ⇒ Góc tạo bởi ( ' ')ABB A và đáy ( )ABC là  'A IK Ta có:  cos ' ' IK A IK A I = . Tính được  2 2 1 13 13 ; ' ' cos ' 2 2 2 ' 13 a a IK IK HK A I IK A K A IK A I = = = + = ⇒ = = Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành  0 2 , , 60AB a AD a BAD= = = SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng ( )SCD . Tính thể tích khối chóp SABCD biết 15 5 a HK = và điểm K nằm trong tam giác SCD Giải: Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở. D ấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là: ’’ SAB là tam giác đều Tức là ''SA SB= www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 9 Gọi E là trung điểm của ,CD F là trung điểm của ED Với giả thiết SA SB= ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( )ABCD thuộc đường thẳng chứa HF Hạ ( ) HK SF HK SCD ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 2 . ( ) 3 SABCD SHCD V V HK dt SCD= = Ta c ần tính diện tích tam giác SCD Ta có: 1 ( ) . ; 2 dt SCD SF CD= Mà 2 2 2 2 ; ;SF SK KF SK SH HK KF HF HK= + = − = − SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: 3,SH a HF= là đường cao tam giác đều HDE suy ra: 3 2 a HF = Thay số ta có: 3 15 10 a SF = Vậy: 3 2 . 3 1 3 15 3 . . .2 3 2 10 5 5 SABCD a a a V a= = 120° A H K E F D C B S www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 10 Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a và   0 90SAB SCB= = . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . Gi ải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp. H ạ ( )SH ABCD⊥ vì ( ) AB SH AB SHA AB HA AB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Chứng minh tương tự ta có BC HC HABC ⊥ ⇒ là hình vuông. Ta có HC BC ⊥ kẻ ( ) 2 HK SC HK SBC HK a ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Mặt khác ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 . 6 HK HC SH a HK HC HS HC HK = + ⇒ = = − Thể tích khối chóp 2 3 1 1 3 6 . 6. 3 3 2 2 SABC ABC a a V SH S a ∆ = = = Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= = , 2SD a= và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: K S C B A H www.VNMATH.com [...]... ( x > 0) Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng 2a3 ’’ 6 B Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ s thể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn... lần lượt là trung điểm của C ' B ' và C ' D ' 1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( AEF ) 2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng ( AEF ) Lời giải: 1) Dựng và tính diện tích thiết diện: Kéo dài EF cắt A ' B ' và A ' D ' lần lượt tại I và J Nối AI và AJ cắt BB ' và DD ' lần lượt tại P và Q Ngũ giác APEFQ là thiết diện của mặt... = 8 12 24 A D O B C Q D' P J A' O' B' I E K F C' H 2) Tính tỉ số thể tích: VAA ' IJ = VB ' PIE 1 1 3a 3a 3a 3 A ' A A ' I A ' J = a = 6 6 2 2 8 1 1 a a a a3 = B ' P.B ' I B ' E = = 6 6 3 2 2 72 Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF NGUYỄN TRUNG KIÊN 17 www.VNMATH.com Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF ) Ta có:... ADD ′A′) bằng 300 Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a và khoảng cách từ trung điểm N của BB ' đến mặt phẳng (C ' MA) Biết M là trung điểm của A ' D ' Giải: Ta có VABCD A ' B 'C ' D ' = AA '.S ABCD (1) Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều ABC , ACD nên: S ABCD = 2S∆ABC (a 3) = 2 4 2 3 3 3a 2 = (2) 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 20 www.VNMATH.com ˆ Gọi C ' M là đường cao của tam giác đều C ' A ' D ' thì... lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN Hd giải: Hạ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) SH cũng chính là đường cao khối chóp SBMDN Ta có SA2 + SB 2 = AB 2 ⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = AB a 3 = a ⇒ ∆SAM là tam giác đều ⇒ SH = 2 2 Dễ thấy S BMDN = 1 1 3a 3 S ABCD = 2a 2 Do đó V(SBMDN)= VSBMND = SH S BMDN = 2 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 35 www.VNMATH.com... tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải: - Tính thể tích khối chóp SABCD NGUYỄN TRUNG KIÊN 32 www.VNMATH.com Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) AB 3 = a 3 2 và SH = Gọi M là trung điểm của SB thì góc tạo bởi OM và AC cũng là góc tạo bởi SD và AC Suy... VPCIJ = VSABCD 18 32 Gọi V1 là thể tích phần khối chóp giới hạn bởi mặt phẳng ( PMN ) và mặt phẳng đáy của hình chóp ta có: V1 = VPCIJ − (VIBEM + VJDFN ) = 9 1  1  1 VSABCD −  VSABCD + VSABCD  = VSABCD 16 32  32  2 1 Gọi V2 là thể tích phần còn lại của khối chóp thì V2 = VSABCD 2 Vậy V1 = V2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 15 www.VNMATH.com S P E I A B F O M K N D C J Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA ' B '... trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA = −2 HB Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC theo a Giải: S K F H B A M E D C - Tính thể tích: Vì SH ⊥ (... AK là đường cao của khối chóp AKC ' M để quy khoảng cách về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 21 www.VNMATH.com Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả... BC cắt AC tại N Biết góc tạo bởi ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a (TSĐH A 2011) Giải NGUYỄN TRUNG KIÊN 28 www.VNMATH.com ˆ ˆ Ta có SA ⊥ ( ABC ); ABC = 900 ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = 2a 3 Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC Từ đó tính được V = 3a 3 - Kẻ đường thẳng ( d ) qua N song song với . chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công th ức tính tỉ s thể tích để tìm thể tích. R = H C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 2 ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B