Chuyên đề thể tích khối đa diên hoàng văn phiên

www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 CHUN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ƠN TẬP KIẾN THỨC LỚP 8-9-10 A MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC cạnh góc vng, AB=c, AC=b Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’ Trung tuyến AM Định lí Py-ta-go: BC = AB + AC 2 AB = BH BC = c '.a, AC = CH BC = b '.a AB AC = AH BC 1 = + 2 AH AB AC BC=2AM sin B = AC AB AC AB , cos B = , tan B = , cot B = BC BC AB AC b = a sin B, c = a sin C , sin B = cos C B MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Định lý hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý hàm số cosin: a = b2 + c2 − 2bc.cos A C CÁC CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH Tam giác thường: 1 abc a +b+c S = a.h = ab.sin C = = p.r = p( p − a)( p − b)( p − c), p = 2 4R 2 Tam giác vuông A: S = a2 AB AC , tam giác cạnh a: S = Hình vng ABCD: S= AB.AD Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt khơng đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h chiều cao hình thang Hình bình hành: Đáy x chiều cao Tứ giác thường ABCD: S = AC.BD.sin( AC , BD) Hình trịn: S = π R D CHÚ Ý: Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác LỚP 11: A QUAN HỆ SONG SONG Đường thẳng song song với mặt phẳng: a / /( P) ⇔ a ∩ ( P) = ∅ d ⊄ ( P)  a d / / a ⇒ d / /( P) , a ⊂ ( P)  a / /( P)  b a ⊂ (Q) ⇒ d / /a , ( P) ∩ (Q) = d  c ( P) ∩ (Q) = d  ⇒ a / /d a / /( P) a / /(Q)  c ( P) / /(Q)  ( R) ∩ ( P) = a ⇒ a / /b ( R) ∩ (Q) = b  Hai mặt phẳng song song: ( P) / /(Q) ⇔ ( P) ∩ (Q) = ∅  a, b ⊂ ( P )  ⇒ (Q) / /( P) , a a ∩ b = I a / /(Q), b / /(Q)  ( P) / /(Q) b  ⇒ a / /(Q) , a ⊂ ( P ) B QUAN HỆ VNG GĨC Đường thẳng vng góc mặt phẳng: a ⊥ ( P) ⇔ a ⊥ c, ∀c ⊂ ( P)  a, b ⊂ ( P )  ⇒ d ⊥ ( P) , a a ∩ b = I  d ⊥ a, d ⊥ b   d ⊥( P )  b  a ⊂ ( P)  ⇒ d ⊥ a ⇔ d ' ⊥ a ,(ĐL đường vng góc- d’ hình chiếu d (P)) Hai mặt phẳng vng góc: ( P) ⊥ (Q) ⇔ ∠( P, Q) = 90 a ⊂ ( P) a  ⇒ ( P) ⊥ (Q) , a ⊥ (Q) ( P) ⊥ (Q)  b ( P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q) , a ⊂ ( P), a ⊥ d  Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt khơng đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên ( P) ⊥ (Q)   A ∈ ( P) c  ⇒ a ⊂ ( P) ,  A∈ a a ⊥ (Q)  ( P) ∩ (Q) = a d  ( P),(Q) ⊥ ( R) SĐT: 0979 493 934 ⇒ a ⊥ ( R) C KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chiếu đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường chéo đoạn vng góc chung D GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm, a’//a, b’//b Góc đường thẳng a mặt phẳng (P), a khơng vng góc với (P) góc a hình chiếu a’ a (P) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích hình (H) mp(P), S’ diện tích hình chiếu (H’) hình (H) mp(P’) đó: S ' = S cosϕ , ϕ = ∠( P, P ') LỚP 12: A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối lăng trụ: V=B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Thể tích khối lập phương cạnh a: V = a3 Thể tích khối chóp: V = B.h Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hồng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: V SABC = SA SB SC V SA ' SB ' SC ' SA' B 'C ' B CHÚ Ý: Đường chéo hình vng cạnh a a 2 Đường chéo hình lập phương cạnh a a 3 Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c a + b2 + c2 Trong tam giác cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài a , đường xuất phát từ đỉnh trùng Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác trùng nhau, (chú ý đường trung trực) Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên Hình chiếu đỉnh hình chóp tâm đáy, đáy tam giác tâm trọng tâm, đáy tứ giác tâm giao đường chéo Lăng trụ lăng trụ đứng, đáy đa giác CÁC LOẠI BÀI TẬP A-BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P): Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, (Q) ⊥ ( P) , (Q) ∩ ( P) = d Bước 2: Kẻ đường cao AH ⊥ d , H ∈ d ⇒ AH ⊥ ( P) ⇒ d ( A,( P)) = AH Bước 3: Tính AH Ví Dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, SA=3a, AB=a, BC=2a, ∠ABC = 60 Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt khơng đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 Giải: Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK Do AK hình chiếu vng góc SK lên (ABC) AK ⊥ BC ⇒ theo định lý đường vng góc SK ⊥ BC Trong tam giác SAK kẻ AH ⊥ SK, H thuộc SK ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A, SBC ) = AH Tính AH? Nhận xét thấy tam giác SAK vuông A, AH đường cao nên ta có: AH = AS + AK SA có nên ta cần tính AK Xét tam giác ABK vuông K, sin B = AK a ⇒ AK = AB.sin B = a.sin 60 = AB 13 9a 13a + ⇔ = ⇔ AH = ⇒ AH = 13 13 AH 9a 3a AH 9a 13a ⇒ d ( A, SBC ) = 13 ⇒ = KỸ THUẬT RỜI ĐIỂM (♫♫♫♫♫☺) Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính d ⇒d (M ,( P)) =d ( A,( P)) = ? Trong d ( A,( P)) = k Ở MA//(P) =k Dời điểm cắt nhau: Yêu cầu cần tính d ⇒ ( M ,( P)) ( M ,( P)) = ? Trong d ( A,( P)) = k Ở MA ∩ ( P ) = I d (M ,( P)) IM , = d IA ( A,( P)) Ví Dụ 2: D-2011 Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vng B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vng góc mặt đáy Biết SB= 2a 3, ∠SBC = 30 , d =? ( B,(SAC )) Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 Giải: Nhận xét: Ta thấy (SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ (ABC), SH đường cao tam giác SBC Nếu ycbt tính khoảng cách từ H đến (SAC) ta dễ dàng thực tương tự VD trước Vì ta sử dụng kĩ thuật rời điểm mà ta nói Rõ ràng BH cắt (SAC) C nên ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt d Vậy ta có: d ( B,SAC ) ( H ,SAC ) = CB CH Trong tam giác vuông SHB ta có: cos B = ⇒ CH = BC − BH = 4a − 3a = a ⇒ BH ⇒ BH = SB.cos B = 2a 3.cos30 = 3a SB CB =4 CH Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC) Kẻ HM ⊥ AC, HM hình chiếu vng góc SM lên (ABC) nên theo ĐL đường vng góc SM ⊥ AC Trong tam giác SHM kẻ HK ⊥ SM ⇒ d ( H , SAC ) = HK Lại có: SH = SB − BH = 12a − 9a = a 3, AC= BA2 + BC = 16a + 9a = 5a CH MH AB.CH 3a.a 3a = ⇔ MH = = = CA BA AC 5a 1 1 25 28 3a = + ⇒ = + = ⇒ HK = 14 HK HS HM HK 3a 9a 9a 3a ⇒ d ( H , SAC ) = 14 3a 6a ⇒ d ( B, SAC ) = = 14 ∆CMH ~ ∆CBA ⇒ VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO Đoạn vng góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo M thuộc a, N thuộc b, MN vng góc với a b nên MN gọi đoạn vng góc chung a b Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung Cách xác định khoảng cách hai đương thẳng chéo a b: Bước 1: Xác định (P) chứa b (P)//a Bước 2: Lấy A thuộc a cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) ⇒ d =d =d (a,b) (a,( P)) ( A,( P)) Ví Dụ 1: A-2010 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, M, N trung điểm AB, AD H giao điểm cuả MD NC, biết SH vng góc đáy, SH= a d =? ( MD,SC ) Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 Giải: Trước tiên ta chứng minh MD ⊥ CN Thật vậy, ∆DAM = ∆CDN nên ∠C = ∠D mà ∠D + ∠D = 90 ⇒ ∠D + ∠C = 90 2 1 ⇒ ∠CHD = 90 ⇒ MD ⊥ CN ⊥ Ta có MD ⊥ SH(gt), MD ⊥ CN suy MD ⊥ (SHC) H Qua H kẻ đường thẳng HK ⊥ SC, ta có: HK ⊥ SC, HK ⊥ MD ⇒ HK đoạn vng góc chung MD SC Lại có tam giác SHC vng H(gt) ⇒ HK = HS + HC (1) a   Trong tam giác vng CDN có CN = CD + DN = a +   = 5a2 a = CH CD CD2 2a 2a = ⇔ CH = = = CD CN CN a 5 1 19 2a 57 (1) ⇒ = + = ⇒ HK = 19 HK 3a 4a 12a Mà ∆CHD ~ ∆CDN ⇒ Ví Dụ 2: A-2011 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vng B, AB=BC=2a (SAB), (SAC) vng góc với đáy, M trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N, ∠( SBC , ABC ) = 60 d (SN , AB) =? Giải: Do (SAB), (SAC) vng góc với mặt đáy nên SA ⊥ (ABC), mặt phẳng qua SM, //BC cắt AC N mà M trung điểm AB nên N trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB ⇒ AB//(SNx) ⇒ d ( AB, SN ) = d ( A, SNx) Qua A kẻ AK ⊥ Nx (K thuộc Nx), tam giác SAK kẻ đường cao AH Ta có Nx ⊥ AK, Nx ⊥ SA ⇒ Nx ⊥ (SAK) ⇒ Nx ⊥ AH ⇒ AH ⊥ SK, AH ⊥ Nx ⇒ AH ⊥ (SNx) ⇒ AH = d ( A, SNx) Ta có tam giác SAK vng A nên: AK = MN = AH = AS + AK (1) BC = a, ∆ SAB vng A nên ta có: SA ⇒ SA = AB.tan B = 2a.tan 60 = 2a AB 1 13 2a 39 2a 39 (1) ⇒ = + = ⇒ AH = ⇒ d ( AB, SN ) = 12a a 12a 13 13 AH tan B = Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hồng Văn Phiên www.MATHVN.com SĐT: 0979 493 934 Ví Dụ 3: A-2012 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác cạnh a H thuộc AB cho HA=2HB, hình chiếu S lên (ABC) trùng với H, ∠( SC , ABC ) = 60 d =? (SA,BC ) Giải: Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx) ⇒ d (SA, BC ) = d ( BC , SAx) = d ( B, SAx) Mà ta thấy H chân đường cao hình chóp nên tính khoảng cách đến mặt dễ hơn, ta sử dụng quy tắc rời điểm từ B sang H d ( B, SAx) AB = = (*) d ( H , SAx) AH Ta tính d ( H , SAx) =? Kẻ HF ⊥ Ax, tam giác SHF kẻ đường cao HJ Ta có AF ⊥ HF, AF ⊥ SH (gt) ⇒ AF ⊥ (SHF) ⇒ AF ⊥ HJ ⇒ HJ ⊥ AF, HJ ⊥ SF ⇒ HJ ⊥ (SAx) d ( H , SAx) =HJ BH ∩ (SAx) = A ⇒ Do SH ⊥ (ABC) nên tam giác SHF vuông H ⇒ HJ = HF + HS (1) Ta tính HF HS Trong tam giác AHF có AF//BC nên ∠A = ∠B = 60 , 1 2a FH 2a a AH = ⇒ sin A = ⇒ FH = AH sin A = sin 60 = AH 3 2a 2 2a 7a ) + a − .a.cos60 = 3 a SH a 21 mà tam giác SHC vng H nên ta có: tan C = ⇒ HC = ⇒ SH = HC.tan 60 = HC 3 24 a 42 (1) ⇒ = + = ⇒ HJ = 12 HJ a 7a 7a Trong tam giác AHC có: HC = AH + AC − AH AC.cos A = ( (*) ⇒ d ( B, SAx) = a 42 a 42 ⇒ d ( BC , SA) = 8 B-BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẤN ĐỀ 1: ĐƯỜNG CAO CỦA KHỐI ĐA DIỆN Đường cao khối chóp a Khối chóp S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC tam giác cạnh a - SH ⊥ ( ABC ) ⇔ H tâm đáy Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com GV: Hoàng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 2 − AH = b2 −  a  - SH = h = SA    3 2a a - Chú ý: − AH = AM = , = 3 BC a a − AH = R = = = 2sin A 2sin 60 − If a = b ⇒ SABC tứ diện a2 a a2 , S ⇒ h = a2 − = = AB AC.sin A = △ ABC 3 b Khối chóp S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD hình vng cạnh a - SI ⊥ ( ABCD) ⇔ I tâm đáy, I = AC ∩ BD a 2 - SI = h = b −       2 Đường cao khối chóp khơng a Nếu khối chóp S.ABC… có cạnh bên SA=SB=SC=b SH ⊥ ( ABC ) ⇔ HA = HB = HC = R, R bán kính đường trịn (ABC) Hệ quả: Nếu đường xiên hình chóp hình chiếu chúng BC AB + AC − BC R= , cos A = 2sin A AB AC ⇒ sin A = − cos2 A sin A > h = SH = SA2 − HA2 = b2 − R b Nếu khối chóp S.ABC… có mặt bên vng góc với đáy, giả sử (SAB) ⊥ (ABC…) − SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) − SH = h = SA.sin A,cos A = AS2 + AB − SB 2 AS AB ⇒ sin A = − cos2 A c Nếu khối chóp S.ABC… có hai mặt bên cắt vng góc đáy, giả sử (SAB), (SAC) ⊥ (ABC…) =>SA ⊥ (ABC…) => SA=h Đường cao khối lăng trụ, khối hộp a Nếu hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ => đường cao độ dài cạnh bên Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com 10 GV: Hồng Văn Phiên SĐT: 0979 493 934 b Nếu hình lăng trụ, hình hộp khơng đứng ta tìm đường cao giống hình chóp khơng (các TH tương tự) Đó là, ta tính chiều cao từ đỉnh mặt đáy đến mặt (chú ý chọn đỉnh cho tính dễ nhất) => Vậy, tính chiều cao hình chóp để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺ Ví Dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a SA=a, ∠SAB = ∠SAD = ∠BAD = 60 V =? S ABCD Giải: Do ∠SAB = ∠SAD = 60 ⇒ SA = SB = SD Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm tâm tam giác BAD Mà ∆BAD cạnh a, nên tâm ∆BAD trọng tâm H tam giác a =a a2 = AC.BD = ⇒S ABCD 2 a Xét ∆BAD có AH = AO = 3 Ta có: BD = a, AC = AO = a a ) = 3 1 a a a3 ⇒V = SH S = = S ABCD ABCD 3 Xét tam giác SHA có SH = SA2 − AH = a − ( Ví Dụ 2: D-2008 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A, B AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vng góc với mặt đáy, tam giác SAD vng S, SA=a Tính V =? S ABCD Giải: Do ABCD hình thang vng nên: S 3a = ( AD + BC ) AB = ABCD 2 Tam giác SAD vuông S mà SA = suy ∠SAD = 30 AD , Ta có: SD = AD − SA2 = 4a − a = a Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH a ⇒ SH = SD = 2 1 a 3a a3 ⇒V = SH S = = S ABCD ABCD 2 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên www.MATHVN.com 11 SĐT: 0979 493 934 Ví Dụ 3: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy hình vng cạnh a Các mặt bên hình thoi, biết ∠AA ' B ' = ∠AA ' D = 60 Tính V =? ABCD A'B 'C 'D' Giải: Do mặt bên hình thoi nên A ' A = A ' B ' = A ' D ' Mà ∠AA ' B ' = ∠AA ' D = 60 ⇒ ∆A ' AB ', ∆A ' AD ' tam giác cạnh a Vậy AA’=AB’=AD’=a suy chân đường cao hạ từ đỉnh A hình lăng trụ tâm tam giác A’B’D’ Mà tam giác A’B’D’ vuông A’ nên tâm tam giác A’B’D’ trung điểm H B’D’ Có: a a 2 a ) = ⇒ AH = AA '2 − A ' H = a − ( , S = a2 A'B 'C 'D' 2 a 2 a ⇒V = AH S = a = ABCD A' B 'C 'D' A'B 'C 'D ' 2 A' H = VẤN ĐỀ 2: TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: V SABC = SA SB SC V SA ' SB ' SC ' SA' B 'C ' Ví Dụ 1: Olympic Tốn 30-4 Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, =? ∠BSA = ∠BSC = ∠CSA = 60 Tính V S ABC Giải: Giả sử a