hệ thống bài tập về thể tích khối đa diện

   HTHNG I TP VTHCH KHI A DIN ThS. NGUYN TH M Trng THPT Chuyên i ng A. t vn  Nhng nm gn ây, trong c thi tuyn sinh i c luôn mt i n nh c không gian câu i thng xoay quanh vn vthch khi a din. i vi c sinh luôn mt i n .  !"p c sinh !#i quy$t i n %y, tôi & xây d'ng “ Hthng i t(p vthch khi a din ” vi vic phân )ngc i n thng g*p theo c mô nh a din c ph+ng ,p !#i cho t-ng )ng n. Trong m.i )ng n luôn )/minh a c i t(p t'luyn &p s !"p c sinh kh0c sâu ph+ng ,p 1ng thi v(n )/ng t' !#i quy$t c i n. B. Giair quyt vn   !#i quy$t c vn &2nh y 3trên, hthng i t(p 4c chia nh 2 phn : Phn I: 5c i n nh thch khi a din Phn II: 6ng )/ng 7a thch  nh #ng ch t- mt im $n mt m*t ph8ng, #ng ch gia hai ng th8ng 9o nhau. 1. Tính th tích khi a din 5hai ph+ng ,p nh thch khi a din, ph+ng ,p nh tr'c ti$p  nh !n ti$p. 1.1. Tính trc tip Vi ph+ng ,p nh tr'c ti$p, :y o mô nh, c nh cht /th7a a din ;ta <c =nh 4c ng cao 7a a din . Di ây ph+ng ,p nh thch cho hai mô nh khi p khi lng 2/. 1.1.1. Th tích khi chóp  tính th tích khi chóp ta cn nh din tích a giác áy)i ng cao 7a nh p. Tùy vào iu kin c7a t-ng khi chóp mà ta có th xác =nh 4c chân ng cao và t- ó tính  dài ng cao và tính 4c th tích áy. Di ây mt s)ng nh p thng g*p. Dng 1. Hình chóp có các cnh bên bng nhau hoc các cnh bên hp vi áy các góc bng nhau: chân ng vuông góc h t nh trùng vi tâm ng tròn ngoi tip a giác áy. Ví d 1: Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a, góc AOB = 60 0 , góc BOC = 90 0 , góc COA = 120 0 . Tính th tích khi chóp O.ABC . >!#i >i H  chân ng vuông c  t- O xung m*t ph8ng (ABC). Do OA = OB = OC nên HA = HB = HC do H tâm ng 2?n % i ti$p tam !c ABC. @p )/ng =nh m scosin ta nh 4c AC a 3;BC a 2 = = suy ra tam !c ABC              vuông i B do tam ng 2?n % i ti$p 7a tam !c 2:ng vi trung im 7a AC. suy ra 2 2 a OH OA HA 2 = − = 3 1 a 2 V OH.dtABC 3 12  = = i tp tng t: i 1. Cho khi chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các cnh bên h4p vi áy các góc bAng nhau và bAng 60 0 . Tính th tích khi chóp S.ABC. 3 25 3 V a 2 = i 2. Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác nhn và cân 3 A, AB = AC = a, góc B = góc C = α , các cnh bên cùng to vi áy mt góc bAng ( ) 0 0 90 < < β β . Tính th tích khi chóp S.ABC. 3 cos .tan .a V 6 = α β Dng 2. Hình chóp có các mt bên hp vi áy các góc bng nhau: chân ng cao h t nh ch u c nh a a giác áy Ví d 2. Cho khi chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các m*t bên h4p vi áy các góc bAng nhau và bAng 60 0 . Tính th tích khi chóp S.ABC. >!#i >i H  chân ng vuông c  t- S xung mp(ABC). T- H  HE, HF, HG ln l4t vuông c vi AC, BC, AB. Khi c c SHE, SFH, SGH ln l4t  c c gia mp(ABC)  c mp(SAC), (SBC)  (SAB). Theo !# thi$t c c SHE, SFH, SGH bAng nhau do  c tam !c vuông SHE, SFH, SGH bAng nhau suy ra HE = HF = HG do H tâm ng 2?n ni ti$p tam !c ABC. Theo công thBc Herong ta nh 4c 2 S 2 6 S 6 6a r a p 3 =  = = Suy ra 0 SH r.tan 60 2 2 = =  3 V 6 3a = Dng 3. Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi áy (hoc có hai mt bên vuông góc vi áy): ng cao ca hình chóp chính là cnh bên ó (hoc là giao tuyn ca hai mt bên ó). Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t, AB = a, cnh SA vuông góc vi áy, cnh SC to vi áy góc 45 0 và to vi mp(SAB) góc 30 0 . Tính th tích khi chóp S.ABCD.                  >!#i Ta  c BSC  c gia SC mp(SAB)  c ACS SC  c gia SC  mp(ABCD). *t BC = x 2 2 SA AC a x  = = + . Trong tam !c SBC SB = x 3 . Theo =nh Pitago cho tam !c SAB  2 2 2 SB SA AB = + 3 a 2 x a SA a 2 V 3  =  =  = Bi tp tng t: (A – 09 ). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông ti A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc gia 2 m*t ph8ng (SBC) và (ABCD) bAng 60 0 . Gi I là trung im c7a cnh AD. Bi$t hai m*t ph8ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc vi mp(ABCD), tính th tích khi chóp S.ABCD theo a. 3 3 15a V 5 = Dng 4. Hình chóp có mt mt bên vuông góc vi mt áy thì chân ng cao h t nh thuc giao tuyn ca mt bên và mt áy ó. Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a, m*t bên SAB là tam giác cân ti S, góc ASB = α . Tính th tích khi chóp S.ABCD. >!#i >i H trung im 7a AB. Do tam !c SAB cân nên SH vuông c vi AB. Theo !#thi$t mp(SAB) ( ) mp ABCD ⊥ nên theo =nh Cv giao tuy$n 7a 2 mp vuông c ta  ( ) SH ABCD ⊥ . Trong tam !c SHA ta  3 1 1 1 SH a.cot V SH.dtABCD a .cot 2 2 3 6 2 =  = = α α i tp tng t: Cho hình chóp có áy là mt tam giác vuông cân cnh góc vuông bAng a. M*t bên qua cnh huyn vuông góc vi áy, hai m*t bên còn li u to vi áy mt góc 45 0 . Tính th tích khi chóp. 3 a V 12 = 1.1.2. Th tích khi lng tr Dng 1. Khi lng tr ng: ng cao chính là cnh bên. Ví d 5. Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác cân Dnh A. Góc gia AA’ và BC’ là 30 0 và kho#ng cách gia chúng là a. Góc gia hai m*t bên qua AA’ là 60 0 . Tính th tích lng tr/.                       >!#i >i I  trung im 7a BC ( ) AI BCC'B' AI a  ⊥  = . Tam !c ABC u 2a BC 3  = . Ei  c BCC’  c gia hai mp(ABB’A’)  (ACC’A’) 3 2a 3 CC' a V CC'.dtABC 3  =  = = Dng 2. Lng tr xiên Lng tr/ xiên rt a dng,  xác =nh ng cao c7a lng tr/ kF t- Dnh ta ph#i v(n d/ng các ph+ng pháp khác nhau  d'ng ng vuông góc t- im $n m*t ph8ng. Ví d 6. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’ có các cnh bên bAng a, áy ABCD là hình ch nh(t, AB a 3;AD a 7. = = Hai m*t bên (ABB’A’) và (ADD’A’) ln l4t to vi áy góc 45 0 và 60 0 . Gi H là hình chi$u vuông góc c7a A’ trên mp(ABCD). H thuc min ch nh(t ABCD. Tính th tích hình hp. >!#i *t A’H = h . GF HK//AD, HI//AB suy ra c AKH = 45 0 do HK = h. Ei  c A’IK = 60 0 2 2 2 2 h 4 HI AH AK HK h 3 3  =  = + = H9t tam !c vuông A’AH  2 2 2 3 AA' AH A 'H h a 7 = +  = 3 ABCD.A'B'C 'D' V A'H.dtABCD 3a  = = i tp tng t:. Cho lng tr/ ABC.A’B’C’ có áy là tam giác u cnh a, A’A = A’B = A’C = b. a) Tính b theo a  m*t bên ABB’A’ h4p vi áy góc 60 0 b) Tính th tích lng tr/ theo a (vi b tìm 4c 3 câu a). 3 a 3 V 8 = 1.2. Tính gián tip 1.2.1. Phân chia khi a di n c!n tính th tích thành các khi a di n n gi"n hoc ghép thêm vào khi a di n c!n tính  c khi a di n ã có cách tính th tích. Ví d 7. Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có tt c# các cnh bAng a. M*t ph8ng i qua A’B’ và trng tâm c7a tam giác ABC c0t AC và BC theo thB t' ti E và F. Tính th tích khi chóp C.A’B’FE. >!#i                                    Ta mp(CA’F) chia khi p C.A’B’FE nh 2 khi p CA’EF CA’B’F, do  C.A'B' FE CA'EF CA 'B'F V V V = + . I 2 2 3 FK AC FK BM . .a 3 3 2 ⊥  = = (trong  BM  ng cao 7a tam !c u ABC).J  mp(ABC) ( ) ( ) AA'C'C FK A 'FC ⊥  ⊥ Do  3 3 CA 'EF F.CA 'E 1 1 2 3 1 3 V V FK.dtA 'CE . . . .a a 3 3 3 2 2 18 = = = = >i N trung im 7a B’C’ suy ra A’N vuông c vi mp(BCC’B’) suy ra 3 3 CA 'B'F A'FCB' 1 1 3 2 1 3 V V A' N.dtB'CF . . . a a 3 3 2 3 2 27 = = = = Suy ra thch khi p C.A’B’FE  3 5 3a V 54 = 1.2.2. Dùng t s th tích  tích th tích c7a khi a din H ta tính tD s th tích c7a H và khi H’, trong ó th tích c7a khi H’ có th tính 4c mt cách t+ng i +n gi#n, t- ó suy ra th tích c7a khi H. Ví d 8. Cho hình chóp S.ABC có OA = a, OB = b, OC = c, góc AOB = 60 0 , góc BOC = 90 0 , góc COA = 120 0 . Tính th tích khi chóp S.ABC . >!#i Trên c tia OB OC ly c im M  N sao cho OM = ON = a. Theo )/1 ta  3 OAMN a 2 V 12 = . Ei  OABC OAMN V OB OC b c . . V OM ON a a = =  suy ra OABC abc 2 V 12 = i tp tng t i 1 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a, SA vuông góc vi áy, SA = 2a. Gi B’. D’ ln l4t là hình                               chi$u vuông góc c7a A lên SB và SD. M*t ph8ng (AB’D’) c0t SC ti C’. Tính th tích hình chóp S.AB’C’D’. 3 16a V 45 = i 2 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi, AC c0t BD ti O, SO vuông góc vi áy, OA = 2a, OB = a, SO = 2 2 a . Gi M là trung im c7a SC, m*t ph8ng (AMB) c0t SD ti N. Tính th tích khi chóp S.ABMN. 3 V 2a = 2. ng dng th tích  tính khong cách T- công thBc th tích hình chóp 1 V h.S 3 = , trong ó h là chiu cao và S là din tích áy , ta có th tính kho#ng cách t- mt im $n m*t ph8ng thông qua th tích c7a khi chóp. Ví d 9. Cho hình hp ch nh(t ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= 2a, AA’ = a. M là im trên on AD sao cho AM = 3 MD. Tính kho#ng cách t- M $n mp(AB’C) . >!#i >i h #ng ch t-M $n mp(AB’C).Khi  M.AB'C M.AB'C AB'C AB'C 1 3V V h.S h 3 S =  = Ta V M.AB’C = V B’.AMC = 3 2 1 1 1 3 a BB'.dtAMC a. .2a 3 3 2 4 4 = =  Tam !c ACB’ cân i C (AC 2 = B’C 2 = 5a 2 ) nên ng trung tuy$n CI 1ng thi  ng cao. Ta  2 2 2 2 2 AB'C 9a 3a 3a CI CA AI CI S 2 2 2 = − =  =  =  a h 2  = i tp tng t Ví d 1. (D – 07 ) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông ti A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cnh bên SA vuông góc vi áy, SA = a 2 . Gi H là hình chi$u vuông góc c7a A trên SB. Tính kho#ng cách t- H $n mp(SCD). a d 3 = Ví d 2 Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông ti B, cnh SA vuông góc vi áy. Gi E là hình chi$u vuông góc c7a A trên SC. Bi$t AB = a, BC = b, SA = c. Tính kho#ng cách t- im E $n m*t ph8ng (SAB).                     2 2 2 2 bc d a b c = + + Ví d 3. Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a và SA vuông góc vi m*t ph8ng (ABC). Tam giác ABC có AB= BC= 2a, góc · 0 120 ABC = . Tính kho#ng cách t- im A $n mp(SBC). 6 ( ,( ) 22 a d A SBC = 3. Bài tp tng hpc sinh tluyn Bài 1 Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có cnh áy bAng a. Gi SH là ng cao c7a hình chóp. Kho#ng cách t- trung im I c7a SH ti m*t bên (SBC) bAng b. Tính th tích khi chóp S.ABCD. 3 . 2 2 2 3 16 S ABCD a b V a b = − Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi cnh a, · 0 60 BAD = , SA vuông góc vi m*t ph8ng (ABCD), SA= a. Gi C’ là trung im c7a SC. M*t ph8ng (P) i qua AC’ và song song vi BD, c0t các cnh SB, SD ln l4t tai B’, D’. Tính th tích c7a khi chóp S.AB’C’D’. 3 . ' ' 3 18 S ABC D a V = Bài 3. Tính th tích khi tB din ABCD, bi$t AB = a, AC = b, AD = c và · · · 0 60 BAC CAD DAB= = = 2 12 ABCD abc V = Bài 4, Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có cnh áy bAng a, góc gia cnh bên và m*t áy bAng ( ) 0 0 0 90 ϕ ϕ < < . Tính tan c7a góc gia hai m*t ph8ng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a và ϕ . 3 . 2 tan 6 S ABCD a V ϕ = Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông ti B, cnh SA vuông góc vi áy, góc · 0 60 ABC = , BC= a, 3 SA a = . Gi M là trung im c7a cnh SB. a) ChBng minh mp(SAB) vuông góc vi mp(SBC). b) Tính th tích khi tB din MABC. 3 4 MABC a V = Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có tt c# các cnh u bAng nhau. Bi$t th tích là 3 9 2 2 V a = . Tính  dài cnh c7a hình chóp 3 x a = Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, cnh a, hai m*t ph8ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc vi m*t áy. SA = a. Gi H và K ln l4t là chân ng vuông góc h t- A $n các cnh SB, SD.    a) Tính kho#ng cách t- H $n m*t ph8ng (SCD). b) ChBng minh ( ) SC AHK ⊥ . c) Tính th tích c7a hình chóp O.AHK a d 2 2 = , 3 a V 24 = Bài 8. (D – 08 ) Cho lng tr/ Bng ABC.A’B’C’có áy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cnh bên AA’= 2 a . Gi M là trung im cnh BC.Tính theo a th tích c7a khi lng tr/ ABC.A’B’C’ và kho#ng cách gia hai ng th8ng AM, B’C 3 . ' ' ' 2 2 ABC A B C a V = ; 7 ( ; ' ) 7 a d AM B C = Bài 9. (B - 06). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t vi AB = a; AD = a 2 ; SA = a và SA vuông góc vi mp(ABCD). Gi M và N ln l4t là trung im c7a AD và SC; I là giao im c7a BM và AC. ChBng minh (SAC) ⊥ (SMB) và tính V ANIB . 3 a 2 V 36 = Bài 10. (B – 08 ) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh 2a;SA = a; SB = a 3 ; (SAB) ⊥ (ABCD). Go= M và N ln l+t là trung im c7a các cnh AB và BC. Tính th tích khi chóp S.BMDN. 3 3a V 3 = Bài 11. ( D - 06). Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác u cnh a, SA = 2a và SA vuông góc vi (ABC). Gi M và N ln l4t là hình chi$u vuông góc c7a A trên các ng th8ng SB và SC. Tính th tích khi chóp A.BCNM 3 3 3a V 50 = Bài 12 (A – 07) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh a, m*t bên SAD là tam giác u và nAm trong m*t ph8ng vuông góc vi áy. Gi M, N ,P ln l4t là trung dim c7a SB, BC, CD. ChBng minh AM vuông góc vi BP và tính th tích khi tB din CMNP. 3 3a V 96 = Bài 13. (A – 08 ) Cho hình lng tr/ ABC.A’B’C’ có cnh bên bAng 2a, áy ABC là tam giác vuông ti A; AB = a, AC = a 3 và hình chi$u vuông góc c7a Dnh A’ trên (ABC) là trung im c7a cnh BC.Tính theo a th tích khi chóp A’.ABC 3 a V 2 = Bài 14. (B – 09 ). Cho hình lng tr/ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gia ng th8ng BB’ và mp(ABC) bAng 60 0 ; tam giác ABC vuông ti C và · 0 60 BAC = . Hình chi$u vuông góc c7a im B’ trên mp(ABC) trùng vi trng tâm c7a tam giác ABC. Tính th tích khi tB din A’ABC theo a.    3 9a V 208 =  i 15. (D – 09 ) Cho hình lng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông ti B, AB = a, A’C = 3a, AA’ = 2a. Gi M là trung im c7a A’C’, I là giao im c7a AM và A’C. Tính theo a th tích khi tB din IABC và kho#ng cách t- A $n mp(IBC). 3 4a 2 5a V ;d 9 5 = = C. Kt lun i &2nh y 4c hthng c )ng n vnh thch khi a din  Bng )/ng 7a thch, theo t-ng )ng mô nh a din vi c )/minh a c i t(p t+ng t'cho m.i )ng n c sinh t'luyn nhAm kh0c sâu ph+ng ,p mi.K i ra, tôi Lng &a ra hthng c i t(p tMng h4p ;n$u c sinh & n0m ch0c c ph+ng ,p )ng n 3trên ch0c ch0n NO !#i quy$t 4c c i t(p %y mt ch t+ng i +n !#n. Qua th'c t$ !#ng )y phn thch khi a din theo hthng c i t(p 3trên, tôi thy c sinh khi b0t u m c i t(p vnh c không gian &=nh hng không ?n khn. Trong c nm ti$p theo, trong qu2nh !#ng )y trau d1i ki$n thBc, n$u thêm c )ng i, c ph+ng ,p m i tôi NOxin bMsung  Dnh sPa ti$p. Do thi gian  n,  i không 2nh i thi$u Nt, rt mong nh(n 4c s' ng p 7a c thy cô i n thin h+n.    HTHNG I TP VTHCH KHI A DIN ThS. NGUYN TH M Trng THPT Chuyên i ng NhAm !"p c sinh !#i quy$t i n vthch khi a din, tôi &xây d'ng “ Hthng ! i tp vth"#ch khi a din ” vi vic phân )ng c i n thng g*p theo c mô nh a din theo ph+ng ,p !#i. Th'c t$cho thy, sau khi c sinh 4c c theo hthng i t(p %y, c em & !#i quy$t c i t(p vthch khi a din mt ch =nh hng 2Q2ng không ?n khn. . s th tích  tích th tích c7a khi a din H ta tính tD s th tích c7a H và khi H’, trong ó th tích c7a khi H’ có th tính 4c mt cách t+ng i +n gi#n, t- ó suy ra th tích c7a. ti N. Tính th tích khi chóp S.ABMN. 3 V 2a = 2. ng dng th tích  tính khong cách T- công thBc th tích hình chóp 1 V h.S 3 = , trong ó h là chiu cao và S là din tích áy , ta có. th tích khi tB din MABC. 3 4 MABC a V = Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có tt c# các cnh u bAng nhau. Bi$t th tích là 3 9 2 2 V a = . Tính  dài cnh c7a hình chóp 3 x a = Bài 7.