Chuyên đề Số Phức và Đại số tổ hợp

Chuyên đề Số Phức và Đại số tổ hợp

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 1 Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức   cos sinz r i   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) * 22 r a b là môđun của z. *  là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r            1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu   cos sinz r i   ,   ' ' cos ' sin 'z r i   thì: *     . ' . ' cos ' sin 'z z r r i           *     cos ' sin ' '' zr i zr           2. Công thức Moivre: *nN thì     cos sin cos sin n n r i r n i n          3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức   cos sinz r i   (r > 0) là cos sin 22 ri      và cos sin 22 ri      B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 +2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1 zzA  . ĐS: A=20 2. Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 4 11 0zz   . Tính giá trị của biểu thức   22 12 2 12 zz A zz    . ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i) 2 (2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz iz iz 2 734    . ĐS: a. a=2, b=3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: 22zi   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS:     2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i        . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn   102  iz và 25. zz . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 6. Tìm số phức z thỏa mãn:     1 11 3 12 z zi zi zi              . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i. 7. Giải phương trình: 4 1 zi zi       . Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 2 ĐS: z{0;1;1} 8. Giải phương trình: 2 0zz . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 9. Giải phương trình: 2 0zz . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, 13 22 zi 10. Giải phương trình: 2 43 1 0 2 z z z z     . HD: Chia hai vế phương trình cho z 2 . ĐS: z=1±i, 11 22 zi   . 11. Giải phương trình: z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 z z i z i       . 12. Cho phương trình: (z + i)(z 2 2mz+m 2 2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - 2i 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3 iz 2 2iz2 = 0. b. z 3 +(i3)z 2 +(44i)z7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện   243  iz . ĐS: (x3) 2 +(y+4) 2 =4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 22z i z z i    . ĐS: 2 4 x y  . 17. Trong các số phức thỏa mãn 3 23 2 zi   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3 23 2 zi    …      22 9 23 4 xy    . * Vẽ hình |z| min z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 zi   . 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a.   10 9 (1 i) 3i   . b.   7 5 cos sin 1 3 33 i i i      . HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực 1 16  , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 + … + (1+i) 20 . HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 2 10 , phần ảo: 2 10 +1. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 3 II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:   ! ! kn n A k n   , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:   !! ! knk n C k n   , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton   nn n nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba   11222222110  . Công thức số hạng tổng quát: kknk nk baCT    1 , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2          x x , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1          x x với x>0. ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        5 3 1 , biết rằng   37 3 1 4     nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức   !1 3 34 1     n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1   nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 4 3 M 5. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12   n nnn CCC  , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2  n nnn CCC  . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x(12x) 5 +x 2 (1+3x) 10 . ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n3 =26n. ĐS: n=5 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 4 9. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 4 2 243 nn n n n n C C C C     . ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11               (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n , biết: 3 n C n 0 3 n1 C n 1 +3 n2 C n 2 3 n3 C n 3 + … +(1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0          , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11    n nn 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó nN* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0  n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . ĐS: a 8 =126720 16. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C nn         , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho   20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12    n n n nnnn CnCCCC  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1x)] 8 . ĐS: 238 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC                                                                        3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 5 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n . b. Tính các tổng S 1 =1C n 2 +C n 4 C n 6 +… S 2 =C n 1 C n 3 +C n 5 … 21. Chứng minh rằng C 100 0 –C 100 2 +C 100 4 –C 100 6 + … –C 100 98 +C 100 100 =–2 50 . o0o . Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 1 Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn. thực 2 10 , phần ảo: 2 10 +1. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC VĨNH KIỆT (TRƯƠNG VĂN KÌM) 3 II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!=