PHAN HUY KHẢI
Trang 3Chương I DAISO TO HOP Chuyên đề | HOAN VI, CHINH HOP, 16 HOP 1 TĨM TẤT LÍ THUYẾT a) Hốn vị
Cho tập hợp A gồm n phần tit (n 2 1) Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đĩ, ta được một hốn vị các phần tử cũa tập hop A
Số tất cã các hốn vị của tập hợp A sẽ kí hiện là E„
Ta cĩ P„
ở đây nf — 12 , 5) Chữnh hop
Cho tập hợp A gồm n phần tir (a > 1) và số nguyên k với 0 < k < n Khi lấy xa k phân tử cũa lập bợp A và sắp xếp chứng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tir ofa A Số tá cả các chỉnh hợp chặp K của n sẽ kí hiệu là A* (a Tues AR = „ với quy ước O! = 1 ©)Tổ hẹp
Trang 4*, vdi moi 0 <k <n, nngnyén dương, k nguyên khơng âm
we Che CE, wie 1<k <n, ka mguyen,
Dé phan biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần hài ý đến nhận xét sau
ˆ_~ Chỉnh hợp là cách chọn k phản tử Irong n phần tử mà “quan tân" đến thứ tự
sắp xếp
Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong a phẩu tử mà “khơng quan tâm” đến
thứ tự sắp Xếp
Vice phan biệt đúng lúc nào đấy
trọng Nếu chọn nhằm cách sử dụug, chỉnh hợp, lúc nào đãy tổ hợp là rất quan t quả phép tính đĩ nhiên sẽ hồn tồn khác
2 CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
LOẠI 1 Các bài tập tính giá trị của các biểu thức cĩ chứa các đại Tượng vẻ số chính họp, số tổ hợp, số hốn vị
Phuong pháp giải : Để tính được giá trị của các biểu thúc này chỉ cần thuộc
Trang 5Ấp địng cơng thức Cả: = =uổtcmo Tu, 8) 412i “3121 “612 =15+⁄2156336 72 49, ‘Vi dy 3 Cho him 36 f(s) = him 96 fx) Giải ‘Ham số f(x) xác định khi hệ sau đây thoả mãn x+1>0 x>-I <24Đ<x+1eâ |4<x <9 â x= 4,5,6.7.8,9 (ð đây Z là tập xe5 xeZ Số nguyên)
Vay tap xác định của hàm số fú) là (2
Trang 6Vay mién xée dinh cũa hàm số là D = {1 ;
Trang 7‘Vidu 7 1, Rut gọn biển thức S„ = 2 Tỉnh Siuo¿ Gide mỊ 1.Ta cĩ; A} = an — Ủín =2) (8k ED, a(a - liín -2X(n - 3n - 4)(n - 5)+n(n Đín~2Xn- 3n a(n ~ 1)(n — 2) — 3) — ney, 2a Bios) (8
ata ~ Hin = 2(a — 3)
2 Ap dung : Khi = 1004, hi Synq = 1000? — Loaonnd
LOAL 2 Gidi phuong trình, hợp, số tổ hợp và hốn vị
tất phương trình liên quan đến số chính Phuong phép giải : Dễ giải các bài tốn thuộc loại này, ta tiến hành theo bude san đây
— Dặt điểu Kiện để bất phường trình, phương tảnh cĩ nghũa Ngồi các điều kiện bình thường đối với mọt phương tình, bất phương trình nĩi chủng, cần đặc biết lưu ý các điều kiện sau nĩi về sự tổn tại các xố tổ hợp, số chỉnh hợp, xố họn vị, Cụ
thé AS.CK.b, oo nghia khi n nguyên đương, k nguyên khơng am va 0 Sk <n,
— Sử dụng các cơng thức tính A},CR,P„ để quy phương trình, bất phương
trình bạn đầu về các phương nình, bất phương tình đại xố quen thuc
— Đối chiến với điều kiện đặt ra ở bước 1 (căn đặc biệt lưu ý các điều kiện vẻ tính nguyên cửa nghiệm) để loại bỏ bớt các nghiệm ngoại hủ
Ví du 1 Giải phương tình 2P„ + 6A2 — PyA2 =12,
Giải
Xét phương trinh 2P, + 6A2 ~ P,A? = 12 a)
Điều kign fd (1) c6 nghis fh n= 2, ne Z @
Trang 8ay (n~2} (n~2)!t => 2at+ 6(n — lìn — niín — lộn -12- 0 Ta cĩ (1) €3 2nk 6 12=0 © 2(n6)~ nứa —1Ì(n!—6) = 0© (I!—6l2—n(n— DJ) 0 nt-6=0 In el") w n-2-0 | a 2 | ln=z lÏn-+
"Đối chiếu với điều kiện (2), thì 'Vậy (1) cơ hệ nghiệm n =2 và n 1 bị loại ie -Ví đụ 2 Tìm số tự nhiên n thố mãn Cả 2 52032 + chet} = 100 Giải Xét phuong tinh CZCR~* + 2032 + C3c® 3 = 10 ay
` Điểu kiện để (1) cĩ nghĩa là n > 3, ne 2 @
Trang 9Giải Xĩt nhương trình Cĩ + Cả = 3Cỗ„¡ a Điển kiện để (1) cĩ ngha fa n > 5 @ (Chủ ý khi n> 5, thìn +1 >6) ! Ta thấy () cị — © @-4 Do in| 1)! —nt@ +s (a 4= (n= 50 4);61- 4156; yf Mes ost lên GB) ee) 5 3 10 <2 + 2(n=4) = (14 Din —4) <> So 0 TC
-Đối chiều với điều kiện (2), thì giá trị n= - bị loại "Vậy n = 6 là nghiệm duy nhất của (1)
Chế ÿ : Tả cố thể giải (1) như sau : Áp dụng cơng thức CỆ,¡ = CE + CRTÍ, tạ cĩ Oy eo OLDE ee L (â-®5! = 5162 Goi, =n-4~2<n—6,
"Ta thu lại kết quả trên
‘Vi du 4, Giải các phương trình
Trang 10(}©(n~3)!~720— @ ín—5)! © (œ1 3)! ~ 72lIn! > S (n+ Im + 2\n + 3) = 720 @ ‘Do đ nguyên dương (a > 5) nen từ 720 = 8.9.10 suy nà n+1— 8 © n= 7 (thoả mãn 8 > 5n £ Z)
Viyn=7hi \ghiệm duy nhất của (2) “Chĩ ý : Di nhiên (2) cĩ thể giải như sau : () <3 nỄ + 6nỄ + Lin + 6 — 720 €3 nẲ + 6n? + 1Í — 714 = 0 © (An —7NHỂ + 13n + 102) =0 @ đ- 7=U 5n =7, (do nỄ + lân + 102> 0 vì n> 5) “Ta thu Tại kết qua tren 2) Xét phường trình, 1 a) Điều kiện để (1) cĩ ngiữa là x > ý: x> by > kb xye% Tacs (yo EADIE! & W)Hx-D) 2 o> xix = Ẩ©x?+x-T2= =-9 (loại do x >i, x © Z)
'Vậy nghiệm của (1) la
Trang 11——— =-Đ%œ-s SHO D8) -8&~ -8)-9 x-8=3 [x= x-8=-3 ” [x=S(loaidox > 10) e6=87 =9 c|
‘Vay (1) cĩ nghiệm duy nhất x = 11
4) Xĩt phương trinh P,A? + 72 = 6(A2 + 2P,) @) Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là: x > 2, x eZ, 1 & =i pee (ey © xixte T(x — 2! = Gxt 1281 —2)! ©xI@†=6)- 12x! DG 6) = 0 — 6x — 2)!f(x — x— 12] = 0 Ta cĩ (1) <> x! +aa) 20 (ROK - 2)? - x - 12) - 0 @ Đuxz2=(x—2)!>0nên Ø) > Gh 6? — x Ch + 6C} + 6C} = 90? — lần, Giữ
Xét phuong tinh Ch + 6C2 +6C} - on? — 14n a)
Điều kiện để (1) cĩ nghĩa làn > 3,n c Z Q
Ta cĩ areas = 0n” — lần
Ta Oe Oy @-pa 7"
© ns 3ngn—1) + (n — 2)(n — l)n = nn 14) ®
Trang 12vin> 3 nêu 3) €>l+ 3ín—l) (n 2)(n~l)=9n- 14 2 2 [a= nˆ~3n+2—9n+14= 0< nỄ ~n 1 14 ~ 0 | 2 >l+3n~3 Đối chiếu với điều kiến (2), thì nghiệm đ = 2 bị loại, vậy n = 7 là nghiêm duy nhất của (1) ‘VE du 6 (Để thủ tối nghiệp THPT — 2008) “Tìm số tự nhiên n thoả mãn phương trình C2 Giải Xết phương trình 3CẬ ~ Az,y — 7 — Ú« a * /n>2 Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là ‹n+l>2<»n>2,n+#- „ Q) neZ » mao} — —MnEI7 =0 <3 3n(n = 1)~ 2n(n + 1)— 14
Trang 13nt Tos (he 2 2 (n=28- Dar (n Yn =n, a Vi 0B Sata Go (n— 2X04 CSn-24-8<0© 2xnz4, a “Từ (2) (8 suy màn = 3n 2 Vậy () cĩ hệ nghiệm làn = 3 và # 'Yí dụ 8 Tìm số tự nhiên ä thoả mãn bất phương trình Sn+2 1đ Đa đạn 9 ‘ Giải 7 “Xét bất phương tình S22 đua w Di€u kien dé 1) cĩ ngữ | @ e6 (1) c> ——Đ ín-2jln+2M AD! = <0 ie lH en: @-m Any @ Do (1)! = (n= 2}! = 1), nen @©1~ 7 ®— an c0 4(n=D~13<0en «T7, a ?
TRỢ) & (9 suy m 2< š TẾ anew hay ne | 6)
Vay (5) 1 tgp hop ất cả các số mbit thod man (1),
Vidy 9 Giải bất phương tình 2 A3, — a2 <£c3 —10,
Giải
Trang 14Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là n > 3, n © Z @ = at (a—D! n(n-331 gs GR=D2a 2 DE thy (D <> 5 2n - 2 10 (n~ Dn<{n=2Xn = I)+10 ©> nữn - D)~ nín - ) S(n~ 2/@- 1) + 10 © HP <n”—3n +12 Ân~12<Ùe> n <4 @) Từ (2) (3) suy ra n = 3 hoặc n=4, t9 4 Vay (4) l tap hợp nghiệm cũa bất phương trình (1) 'Ví dụ 10 Giải bất phương trình @) Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là Ìn + >4 e> f sả b«z ` (n=3)!2n+l)!t 116 ST Em 84 — + Ì ty nn+) 3 42 € nŠ+n—42 >0 Ta cĩ (1) co n>6 ° h <-T(Ioai don > 3), ‘Vay nghiệm của (1) là n > 6, n e2
LOẠI 3 Chứng minh các hệ thức về các số chỉnh hợp, hốn vị và tổ hợp
Phương pháp giải : Để giải các bài tốn thuậc loại nầy chỉ cần thuộ cơng thức tính các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hốn xị, các tính chất của các số này, Dĩ nhiên cần sử dựng thành thạo các quy lắc biến đổi biểu thức đại số và các phương pháp chứng minh hệ thức đại số đã biết từ cấp hai
16
Trang 16
-Ví dụ 3 Cho n, k là cấu số nguyên và n > k > 3 Chứng mình hệ thức Cũ +3CE pack? + CR3 C2,
Giải
Sit dung cong thie Ch = Ch) + CA} voi n > k + Ï (k > 1), và biến đổi vế
phải của hệ thức cần chứng minh, ta cĩ
Trang 17‘Vidu 6 Cho n nguyên đương, chứng minh bất đẳng thức YP, < Giải = Sen —— Ta cĩ t[Ÿn <—C2,¡<>W123 n Pa $a © ân 4= <— 26123 1< 52”, a ‘Theo bất đẳng thức Cơsi, ta cổ tn_ nữ) n+ ae 2 2n 2 @ ‘Tit (2) suy ra (1) đúng Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi n Vi du 7, Cho u, r, k là các số nguyên thoả mãn n 2 r > k >0 Chứng mình hệ thức CRCC = CEC"-k Giải
Tar6 VI=-—T TS TT TM (OG KE RG Ne! cọ
oi (a HIKE = K)= —_Wek) _ Œ = )Œ — E)! "Đĩ là điều phải hứng minh 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO
LOẠI 1 Giải hệ phương trình, bất phương trình liên quan đến các số chỉnh hợp, số tổ hợp và số hốn
Trang 19'Ví dụ 2 Tìm các số tự nhiên x.y thoả mãn hệ phương trình sau day AX”!:A} ;:C} ¡—21: 60:16, Giải ` "`" Xết hệ phương trình AY ¡:CÝ ¡ 21:60:10 Apt 2 ay, © ° of - ha =f, @ tái l8 yl Để hệ (1), (2) cĩ nghĩa điều kiện là Jx—1>y>0 eJx>y+1— G) x-l>0 wy eB mye VI Ta cĩ (2) sọ Ÿ St Ta cĩ (2) so = eo Thay y =3 vào (1) và cĩ xi 4)! 7 (x=2)Wœ = Út K eo ` (x-3Mx- 2) 20 5x +6) K=7 x+42 0| 6 : % Đối ch ấu với điều kiện (3) thì loại nghiệm x = 5
Vay he đã cho cĩ nghiệm là x =7 ; y =3 Đĩ là cập số ự nhiên duy abst can sim,
Trang 20Vi du 3, (Dé thi tot nghiệp THPT — 2004) Giải bất phương trình hai ẩn n k (với n, k > 0) sau Tài <60AR/3 đ—k)! Giải “Xét bất phương trình tế hít phương tình ES < OAR} GOATS a 1 n>K : +300 27k Điều kiện để ('c6 nghia ta 1" ike 2 ke220% | [ake z In.keZ Don, k>0, nên điều kiện là n >, n, k là các số tự nhiên @ Ta cĩ 5 l 0e +9)! cán E3 cny4yuy3)<— (a-KỊI ` (n-k+Dl u-k+l GỠ - > (n+4)(n + Sn ks 1) < 60 @) Vì n>k=2n—k+1>1= (n+ 4n + S)(n — k + 1) > (n + 4n + 5) “Xết các khả năng sau :
Trang 21+ Nến n=3, Ta cĩ
@) 786k) < 60 © 4—k < SỐ ca TỐ, 56 56
Ket hop vik <3 suy ak =3,
"Tĩm lại nghiệm của (1) là các cặp (n k) san đây (ask) € [00): 4120); ;1);;2): Ÿ +5C} = 90 Vi du 4, Giải hệ phương trình { ee | saz -2c¥ = 80, Giải ¥ 4 SCY 3 90 X&hphonng tan [242 ao a {5A3 - 2Cš = 80 ® Điều kiện để hệ (1) & Ø2) cĩ nghĩ là x 2 ÿ >0; š >0; x, ÿ € Z ÍA} =20 srace vay ode 7 9 (CX = 10 @) 1W(3) di dé y1CX = 20 6) “Từ (4) (5) suy rụ y! =2 = eye? "Thay lại vào (3) và cĩ A$ =20< 20 © x(x =1) +20 &-?2! 5 [x-5 ©32~x -20=0@|Š [x= 4 (oai + do x > 0) Vay be (1) @) cĩ nghiệm là = š ý =2,
Chi § + Bể ngồi (1) là một bất phương tình hệ ấn (khơng thếy bĩng đúng của hg), nhung thuc chat wong cách gii ta đã sử dụng các kiến thức về giải bệ bất phukrig trình (eu thé trong cách giấi trên la đã sử dụng phương pháp thế, một
0øng pháp tryền thống để giải các bài tốn về Ệ)
Trang 22
LOẠI 2 Các bài tốn dẫn đến việc giải phương trình, bất phương trình với các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hốn vị
Các bãi tốn trong mục này ngay từ đầu chưa cĩ dang phương trình Phương trình chỉ xuất hiện sau khi ta diễn giải các yêu cầu của đầu hài thành dang phương trình (giống như trong các bài tốn “giải bài tốn bảng cách lập phương trình” đã biết từ cấp hai) Phương pháp giải :
Chọn ẩn số (Âu là số nguyên khơng âm)
dụng các yêu cầu của đầu bài để biểu thi các đại lượng clua biết khác
theo ẩn và đến dạng các số tổ hợp, hoặc số chỉnh hợp, hoặc số hốn vi
— Lập phương trình Với ẩn đặt ra Đĩ sẽ là một phường trình với các số tổ hợp, số chỉnh hợp hoặc số hốn vị,
Giải phương trình đĩ sẽ đí đến kết quả cần tìm
‘Vi du 1, Cho tập hợp Á pốm n phẫu tử, n > 7 Tìm n biết rằng số tập hợp con gồm 7 phẩn tử cũa A bang hai lân số lập hợp con gồm 3 phân tữ của A
Giải
“Ta thấy số tập hợp con gồm 7 phẫn tử của A là Cả, cịnCả sẽ là số tập hợp
con cĩ 3 phần từ cũ A, Theo bài ra la cĩ phương trình sau : đề: a) Điều kiện đối với (1) là: n > 7,n © Z Tacd a! a 1 _ 2
O© Gani aa ° 4567 |= 5.6.78 =(n- 6Xn Sn điện 3) AK
Trang 23n=11 n=-2n-11 @on27) ø lê Ín°~9n~22= 0 ° u=-60 ° 2 $ n~9n+60 9 |
"Ta thu lại kết quả trên :
`Ví dụ 2 (Để tH tuyển xinh Đại học, Cao đẳng Khối - 2002)
Cho đã giác đểu ÁjA2 A+„( 2) nội tiếp đường trịn O Biết rằng số tam siác c6 3 đỉnh trong 2n điểm A.As A2, gấp 20 lần số hình chữ nhậi cố 4 đỉnh
trong 2n dim Ay Ag Agg- Tim a Gidi Số tam giác cĩ 3 đình trong 2n điểm Ảo: Àj: <5 Aza 18 Ch
Một đa giác đều 2n dinh, thì cĩ n dường chéo Â%
xuyên tâm Cứ hai đường chéo xuyên tâm thì lập
mộ: hình chữ nhật cĩ 4 đỉnh nằm trong 2n
điểm A¡;Àa: : Aa, Vì thế số hình chữ nhật
Theo yêu cầu để ra Ja: 'Điễu kiện để (1) cĩ nghĩa là a-> 2; n € Z On)! _.ọ nỈ Œn-3J3! ^ (n~2) Qo 232n gp Ge Dee: Wi 6 Ta cĩ: Œ) © @ Do n> 2ynén ta 08 + (2) at
'Vậy n= 8, tức da giác đều đã cho là thập lục giác đều
Vi du 3, Cho hai đường thẳng song song đ; và dy Trêu đường thing dy cĩ 10 điểm phân biệt, trên đ; cĩ n điểm phân biệt Biết rằng cĩ 2800 tam giác cĩ đỉnh là các điểm đã cho Tìm n
Trang 24Giải Cĩ hai loại tam giác
— Một đình trên dị, hai đỉnh trên dạ He Do cĩ 10 cếch chọn một điểm trên dị ch chọn hai điểm trên d;, nên sở tam wae gide logi nay a 16C2 Hìh 2 — Hai đỉnh trên d,, một đình trên dạ,
Đo cĩ Củycách chọn hai đỉnh trên dị đà CÍ cách chọn một đỉnh trênđ;„ nen số tam giác loại này là C#yC}, — nCJp
‘Theo bai ra ta cĩ phương trình : 10C? + nCịa = 2800 a
Điền kiện đặt ra với (1) là n > 2,n € Z Gj uf on Tad () @ to @ par" "e2 800 © 5n(n ~ 1) + 45n = 2800 <> n? + 8a - 560 — 0 sịn=20 n— 28 (loại do n >2)
Vay tren đạ cĩ 20 điểm
Vidu 4 (Dé thi tuyén sinh Đại học, Cao đẳng Khối B - 2006)
Trang 25Ta cĩ al We TT aa (a=3)(n=2)
‘Vay lập hop A c6 18 phẩn tữ Bảy giờ bài tốn trờ thành :
Tim gid trị lớn nhất của Cử: với k € „I8] Muốn vậy ta xết bất phường tink : Chk < CH! G) 1s! Tacé @) c> —— TẾ = + — K)I& + DỊ ektl<B-kok< Do k nguyén nên k = 1,2, Tong te Chy > Ch! o> k> Ze k = 910, i Từ đĩ dị đến 8 1: 3 ) ly < Ch < Che << Ch, < Of > Ci > CHE >.> 4
Bay giờ từ (9 cĩ max Cặy = Của (1 <k# 18)
‘Vay số tập hợp con gồm 9 phần tử của A là số tập hợp con lớn nhất (số đĩ là “5582 tập hợp con gồm 9 phần tử của A)
Trang 26K 0 @0xk<5keZ @ # GH TD! 1 SE TP Sớx (6—kŒ-kì (&+lŒ+2) (6 (+ Dik +2)+ (6-10 - É) =2 - Kk +2) 2 Jere eo See d-009 CA hai giá trị ầm được đều thoả mãn (2) Vậy của k - +k“= 4 là hãi giá tị cẩn
1OẠI3 Chứng minh các hệ thức vẻ số tố hợp, số chính hợp và số hốn vị “Phương pháp giải : hương pháp giải các bài tốn thuộcloại aay tương tự như Phương pháp đã trình bày trong loại 3 ở mục 2 Ỡ đây trong một số bài cĩ thể sử: ‘lung dén phương pháp quy nạp tốn học (nếu thấy cần thiết),
Trang 27'Nếu sử dựng phép qu ap, ta farm như sau + >Vớin=32, ta cĩ: VT= —: Vay he thức đúng khi n = * Giá sử hệ thức đá đúng đến = k tức là ta cớ a Tneo(1),00:VT= E1, tại K XŒ+tD kŒcD kửl Vậy hệ thức cũng dúng khi n = k + L
Trang 28_Vậy hệ thức cần chứng minh cưng đồng khi n =
“Tbeo nguyên lí quý nạp suy ra điều phải chứng minh
‘Vi du 3 Ching minh ring véi moi nguyên, n > 1, ta cổ : 2 ch a2 r3 G Với mội k= 1,2 na cĩ ck tín —- oe «@ ‘Vay ta cĩ về trái (VT) cũa hệ thức cân chứng minh là +10 tal kei (n+) VT=n+(i=1)+(n~2)+ +1 = Cễ ¡=VP “Chú ý : Phép chứng mình sử dụng trong ví dụ trên, gọi là phép biến đổi “đại điện” Trong ví dụ trên về tri A mot tổng của n số hạng cĩ cấu trúc "giống nhau” # `YI hết chỉ cân tính một dại diện (ð ví đụ tên đại diện này là k~C, ) rối suy ra Cụ biểu thức tương tự cho các số hạng cịn lại 4 BÀI TẬP Bài 1 1) Chứng mình rằng với mọi n,k € 2; n > k + l; k > l, la cĩ hệ thức Abe AR + kAk 2) Cho a> r 2 Inte Z Ching minh ang Ch
Bat 2.Chon>m>0; n,m eZ Chứng mình ring mel = act!
Bài 3 Cho n > k > 4,n,k e Z Chứng minh ring
Cÿ +4CE"T ~6CE"? + ack? 4 cht
Trang 29
‘Bai 5, Giải các phương trình sau :
1) Px? — Pạx =8 3) AŠ +5A2 = 2(x + 15)
2) 2A2 +50= Aễ, 4 CR =5A3:6
Tài 6 Giải các bất phượng trình sau : a J5 5 4) Ania Wig 8 pe ne 2 DĐ —— =
Bài 7, Giải hệ phương trình CŸ ¡ : CY! cy!
Bài 8, Giải hệ phương tình (A}_¡ + yA3~F); A}U =10:2:1
Đáp số và hướng dẫn giải bài tập Bài 4, Đáp số : k= 4 hoặc k = 8
mais ipsa [FE x=4 2x=5
Bài 6, Đáp số : 1) n= 3 hoặc n=4 hoặc n= 5 2)n=5, 6,7,8, 9, J0, Bài 7 Đấp số: x =8; y =3, Bài 8 Đáp số : x =7; y = 3 Chuyênđể 2 CÁC BÀITỐNVỀPHÉPĐẾM 1.TĨM TẤT LÍTHUYẾT Quy lắc cộng và quy phép đếm, một trong những 4) Quy lắc cộng
Giả xử một cơng việc cĩ thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Cĩ n cách thực higm phương én A con phương án B cĩ thể thực hiện theo m cách Khi đĩ cong việc cĩ thể thực hiện bởi m + n cách
Trang 30hiện theo mị cách (i = 1,
1) Khi 46 cơng việc cĩ thể thực biện bởi mị + tạ — + nụ cách,
“Thực chat cba quy tắc cộng phần ánh sự kiện sau của lf thuyết tập hợp - Giả sử AI, Á, Ak ]à k tập hợp cĩ hữu hạn phần tử vã đơi một rời nhan, tức MAI DÀj =Ø với mọi j, Lsi< j <n
KW 6 [Ay Ag Ga Ag] = [Ai] + a] ta [Ag day que [AG]
bien s6 luong phién vit via tap hap A; i= Lk: edn [Ay AD UU Ag] Ia 6h
Iweng phan tir cia ap hop Ay U Ay U WAg
b) Quy tée nhin
Giả sử mội cơng việc nào đĩ bao gồm hai cong doan A va B Cang doan A cĩ thể lầm theo m cách Với mỗi cách thực hiện cộng đoạn A, thì cơng đoạn lồ cĩ thể Tầm theo n cách Khi đĩ cơng việc cĩ thể thực hiện theo m.n cách
MG rộng tụuy tắc trên, ta cĩ quy tắc nhân cho một cơng việc bao gồm nhiều cơng đoan nhĩr sau
Gia sir mot cơng việc nào dé bao gồm k cơng đoạn Ai, A„,
Ai cổ thể làm theo ; cách Với mỗi ch thực hiện cơng doan Ay, thi cơng đoạn why» Cơng đoạn _A; cĩ thể lầm theo nạ cách, tiếp đến cơng đoạn Á; cĩ thể làm theo nạ cách, cuối cùng là cơng đoạn A, cĩ thể làm theo nụ cách Khi đĩ cơng việc cần làm cĩ thể thực hiện theo nạn2 m,, cách Để giải những bai ton vé phép đếm, ta cần xử dựng thành thạo hai quy tic tren 2 : DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
LOAT 1 Sử dụng nhường pháp trực tiếp để giải các bài tốn về phép đếm
Thương pháp giải : Phường pháp này giải quyết trực tiếp các yêu cấu bài tốn dara
Nối cách khác "hỏi gì, đếm nấy” là nội dung của nhương pháp này Dựa vào Yên cầu dấu bài a lựa chọn hoặc quy lác cong, hone quy tắc nhân một cách thích hợp để giải Đặc biệt lưu ý sữ dhụng các phép tính sở tổ hợp, số chỉnh hợp hoặc số hốp vị cho chính xác
Xeenhắc lại : Khi đếm nếu khơng quan tăm đến thứ tự thì ta dùng Số Tổ Tiợp, cịn nếu quan lâm đến thứ tự thì ta đờng Số Chỉnh Hợp (nỗi tiêng lä Số Hốn Vị),
Trang 31
Ví du 1, Bộ mon Hoa h trường đại học cĩ 10 giáo viên nam, 15 giáo viên att Cĩ hao nhiêu cách thành lập mội bội đồng gồm 6 nỷ viên của tổ bộ mơn để trong Hội đồng phải cĩ cả nam, cá nữ và số uỷ viên nam ít hơn số uỷ viên nữ ?
Giải
Vi hoi đồng gổm 6 uý viên, nền để thoả mán yêu cấu để ra thì chỉ cĩ hai cách thành lập bội đồng như sau >
1) Hội dồng cĩ 1 uý viên nam, 5 uỷ viên nữ
2) lơi đồng cĩ 2
viên nam , 4 uỷ viên nữ,
:ập hợp cách thành tập hội dống theo bai cách trên, Và Á là tập hợp cách think Sp hội đồng thoả mãn
Tach AL AYU Ag: ALO Ay =
Goi Ay vi Ay tường ứng
Theo quy lắc cộng ta [A = [Ay ¡ |A; a Mặt khác, theo quy tie abies thi
Al=Else
Thay vào (1), tá cĩ |A| = 91455 các!
.Ví tụ 2 (Để thi tuyển sinh Đại học Cao đắng khối E
Trang 32csc! ‘Theo quy tắc nhân [Aj] 22750 (A¿|= CỀsCỆC(ạ = 10500 ; |A;| = C2, ChCP ~ 23625
Từ (1) ta cĩ |A| — 56875 cách chọn để kiểm tra
‘Vi dy 3 C6 5 nhà tốn học nam, 3 nh tốn bọc nữ và 4 nhà vật lí ram Cần lập đồn cơng túc 3 người cĩ cả nam và nữ, cĩ cả nhà tốn học và nhà vật lí Hỏi cổ bao nhiêu cách lập đồn ?
Giải
Chi cĩ 3 khả năng sau để lập đồn cơng tác :
1) Một nhà tốn học nữ, một nhà vật lí ram, một nhà tốn học nam
“Theo quy tắc nhân, số cách chọn này là CỤCCI, = 60,
3) Một nhà tốn học nữ, hai nhà vật lí nam,
‘Theo quy tắc nhân số cách chọn này là 3) Hai nhà tốn học nữ, một nhà vật lí nam
“Theo quy lắc nhân, số cách chọn may Ta CC) = 12
“Theo quy tắc cơng, số cách lập đồn cơng tác là 60 + 18 + 12
90 cách Vay cĩ 00 cách lập đồn cơng tác
Ví dụ 4 Trong một tổ học sinh của lớp 12A cĩ Đ nam, 4 nữ Thấy giáo muốn chen 3 bọc sinh để làm trực nhật lớp học, trong đĩ phái cĩ ít nhất học sinh nam Tồi thấy giáo cĩ thể cĩ bao nhiều cách chọn ?
Giải
Gọi Ay 1k tập hợp cách chọn học sinh trực nhật, trong đĩ cĩ 1 nam, 2 nữ ‘Ag là tập hợp cách chọn 2 nam, Ì nữ và Ay là tập hợp cách chọu 3 nam để làm trực nhạt lớp Gợi A là tập hợp cách chọn 3 hoc sinh trực nhật theo yêu cầu
Trang 33Từ (1), ta cĩ |A| =48 1 112 + 56 = 216 cách phân cơng trực nhật
Ví dụ 5 Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm Š chữ số khác nhau và nhất thiết phải cĩ hai chữ số 1, 5 3
Giải
Tà sử dụng quy tắc nhân để giấi bài toần trên như sau :
Bước 1 : Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí dể đặt 1 và 5, Việc lựa chọn này phụ thuộc cả vào thứ tự của vị trí Vị số cách chọn ở bước † là ny ~ AZ = 20 Bước 2 + Với 3 vị trí cịn lại ta dat 3 số trong 3 số cần lại, Việc lựa chọn này ích chọn ở bước 2 là nạ = A‡ = 60
cũng phụ thuộc vào thứ tự của vị tí Vay số ‘Theo quy tắc nhân, số các số được lập là n
tị; — 20:60 = 1200 số, Ví dụ 6, (Để thị tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B- :2005)
Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người gém 12 nam, 3 nữ Hỏi cĩ bao nhiên cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đồ về giúp đỡ 3 tỉnh miễn nĩi, sao cho mdi tỉnh cổ 4 nam, nữ } Giải Đầu tiên ta chọn 4 nam, 1 nữ cho tỉnh thứ nhất Theo quy tắc nhận ta cĩ số cách chọn ny là nị = CỈ,C| = 1485, ay Sau đồ chọn 4 nam (trong 8 nam cịn lại) và | nit (trong 2 nữ cồn lại) cho tinh thứ hai, Số cách chọn n; là ny = CC) = 140 (2) Dĩ nhiên 4 nam, J nd cin tai sé phân cho tỉnh thứ ba Lại theo quy tắc nhan, xế cách chọn lã n = mị.nạ = 1485.140 = 207 900
‘Tém lại cĩ 207 900 cách phân cơng
Ví dụ 7, Trên giá sách cĩ 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách iếng Pháp khác nhau Hỏi cĩ bao nhiên
cách chọn 3 quyển sách với hai rhứ tiếng 7
Giải
Trang 34
‘Ag là tập bợp cách chọn 3 cuốn sách gdm hai thứ tiếng Anh và Pháp
“Gọi A {2 céch chon 3 quyển sách gồm hai thứ tiếng, ta cĩ A= ALU Ag Ag, trong dé Ay.Ag, Ay doi một rồi nhan
“Theo quy tắc cộng, tacé |] = JAy| L|As]| + lAa| ay
cĩ lai cách chọn 3 cuốn sách gốm lui thứ tiếng, Để tính |Ai| tà lưu ý rỉ Việt và Anh — Hinge là 2 quyển iếng Việt, I quyền tiếng Anh — Hoặc là 2 quyển liếng Anh, Ì quyền tiếng Việi ‘Then quy lắc cộng và quy tác nhân, thì 360 + 280 ~ 640 @ lAl= šclo Hồn toần tương ty, & 66 |A:|= CâyCÿ + CậC¡o = 270 + 150 = 420 @) A:|- Các4 + cá § = 168 + 120 = 288, 4 Thay (2)(3)4) vào (1Ÿ và cĩ |A| = 640 ~ 420 + 266 = 1348 "Vậy cĩ 1348 cách chọn 3 quyển sách trên giá theo yêu cấu
Trang 35Vi du 9 Mot top học cĩ 50 học sinh Cần phan cong 4 ban quét sản trường và 3 hạn xén cây, Bằng hai cách đềm khác nhau hãy ching minh đẳng thức C9, C4 = cá cĩ + Och = ch ch Giải Để tìm số cách phân cong học sinh, ta giải theo hai cách sau day Cách! "Bước 1 + Chọn ra 9 học sinh trực nhật trong số 50 em Số cách chọn là nị = Cận
Trang 36
2) Tuy nhiền ý nghĩa củ bài tập trên là ở chỗ ; Bằng cách sử đụng phép đố mỗi sự kiện nào đĩ (theo các cách khác nhau) sẽ cho phép ta chứng 1minh được các hệ thứu về số tổ hợp, số chỉnh hợp
Vi dy 16 Một đấy cĩ 5 phế đành cho 3 nan sinh và 2 nữ xinh Cĩ bao nhiều cách sắp xếp chỗ ngồi nếu
1) Ngồi chỗ nào cũng được?
2) Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kế?
a Giải
1) Đây chính là số hốn vị của 5 người (mỗi cách hỗn vị 5 người chính là một cách sắp xếp chỗ ngổi) Vậy số cách xếp trong trường hợp này là 5! = 120
2) VI ngồi xen kế nên cách xếp li : Nam Nữ Nam Nữ Nam Bute: : Sip xép chỗ ngồi cho 3 nam sinh Số cách xếp là 3! = 6
Bude 2 : Sắp xếp chỗ ngồi cho 2 nữ sinh §
cách sếp là 2| =2 “Theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi là n = mịn; = 6.2 — 12,
Vi du LL Gieo đồng thời 3 con sức
số chăm trên mặt xuất hủ chấm khác nhau?
Hơi cĩ bao nhiều trường hợp tổng tủa 3 cơn súc sắc là 9 vã mỗi mặt xuất hiện số Giải "Ta hãy phán 9 lấn tổng của 3 số Khác nhau chọn trong tập hợp các số {; 2; 3; 45:6] Tổ thấy 9=1+2+6=1+3+5=2+3~4 Bài tốn được giải bằng quy tắc nhân sau :
Bude 1: Chọn 3 số mà tổng bằng 9 như trên Cĩ 3 cách chọn
Buác 2 : Với mỗi cách chọn 3 số cổ nạ = 31! ~ 6 cách ra chấm trên 3 con sĩc sắc Theo quy tắc nhân số trường hợp xây ra là n ~ nạn; — 3⁄6 — 18
LOẠI 2 Sử dụng phương pháp gián tiếp để giải các bài tốn về phép đếm Phương pháp giải : Phường nhấp này dựa trên nguyên lí "Đểm những cái khơng cần đếm, dể biết những cái cần đếm” Nĩi cách khác theo ngơn ngữ của lĩ thuyết tập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất dựa vào "phép lấy phần bù”, ‘Nhu vay ta cần tiến hành theo ba bước sau :
Trang 37— tiểm các khã năng khơng thoả mãn yêu cầu đễ bai, giả sử số khả năng đĩ là ¥ — Hiệu X — Ý là số các khả năng thoả mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 1 Mội người cĩ 7 áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đĩ cĩ 3 cà vạt mầu vàng, Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn bộ áo - chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt vàng ? cà vạt nếu như đã Giải Goi A là tập hợp tất cả các cách chọn bộ áo ~ cà vạt, Theo quy tắc nhân, ta cĩ lAi= cj.C§ = 7.5 5 Goi Ba tip hop tat cd các cách chọn áo trắng — cà vạt trắng Theo quy tác nhân [Bl = C}.ch =3.2- 6
Gọi C là lập hợp cách chọn bộ áo - cà vạt theo đúng yêu cầu (đã áo trắng tht cả vại khơng văng) Tá cĩ A - BUC; BNC =i
‘Theo quy lắc cong thi [Al = |B{ ¡ {cl :2 |Cl = lal IB] = 'Vậy cĩ 29 cách chọn bộ áo — cà vạt (heo yêu cầu để ra, “Nhận Xét:
1) Cách giải trên là dựa vào “phương pháp gián tiếp”, ở đầy E là tập hợp cách chọn bộ áo - cà vạt khơng thoả mãn yêu cầu để bãi
2) Ta hay giải lại bài tốn trên bằng phương pháp “trực tiếp” như sau Goi ¿ là tập hợp cách chọn bộ áo —
cả vạt, rong đĩ áo khơng phải mầu trắng (khi đĩ cà vạt màu gì cũng được), Theo quy tắc nhân, Ia cĩ
ial!
Gọi A; là tấp hợp cách chọn bộ áo - cà vạc, trong-đĩ áo mầu trắng (khi đĩ cả vạt Khơng phải mầu vàng, vì thế sẽ chọn cả vạt trong 3 cà vạt khơng phải mầu vàng)
Trang 38Vi du 2 (Dé tin tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối Ð - 2004)
Đội thanh niên xung kích của một trường nhổ thơng cố 12 học sinh gồm Š học sinh kip T, 2 học sinh lớp J, và 3 học sink Ip H Cin chọn 4 học sinh dị làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc khơng quá 2 trong 3 lớp trêu Hồi zĩ ba nhiêu cách chọn như vậy 2 Giải Gĩi Á là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 bọc sinh a Goi B fi tap hop moi cách chon 4 hoc sinh sao chơ cĩ đủ mặt học sinh 3 lớp (thư vậy B Le lập hợp mọi cách chọn 4 hoc sinh Khong thes min yêu câu đầu bài) Muốn vậy là phải chon 1 lớp cĩ 2 học sinh, mỗi lớp cịn lại chọn 1 học sinh Ta cĩ ngay [Al = “Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân, ta cĩ |B|= C$C}C} ¡ CÍCẬC) + CỊCÀCỶ —120 + 90 + 60 =
“Gọi C là tập hợp sách chon 4 học sinh thoả mãn yêu cầu để ra ROring A = BUC: BAC = 2, vậy theo quy tắc cộng ta cĩ
lAl=ls{+ lcl= |l=|Al- 8l @)
Thay (1342) vào(3), ta cĩ |C = 495 - 270 = 225,
"Như vậy số cách chọn là 225
Nhận xé! Ta gi ụ trên bằng "phương pháp trực tiếp
Gọi A là tập hợp cách lựa chọn 4 học sinh chỉ từ một lớa Dễ thấy Ibeo quy
ác cộng |Á| = C§ + C‡ = 5+ =6, ay
ai
(hoặc chọn 4 học sinh lớp T, hoặc chọn 4 học sinh lớp L)
oi B 1a tap hop cách lựa chọn 4 học sinh từ 2 lớp Khi đĩ theo quy tắc cộng
tà lại cĩ B= By U By U By, e)
Trang 39
thoặc chọn 3 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, hoac chon mai lớp T, L 2 học sinh, hoạe chọn | hoc sinh lớp T, 3 học sinh lớp L.)
Tồn tồn tương tự, tạ cĩ C‡Cš = 30 :30~ 5 < 65 @ø |Ba|= CậC| - Cậcã + CủCỶ = 12+ 18 ¿4 = 34 (6) 19, @ ách lựa chọn 4 bọc sinh theo yêu cầu Ta cĩ D=AUB:ANB=3 (8) Thay (4),(5),(6) vio (3), và cĩ [Bj = 120+ 65 ¡ 34 = Goi DBR tap hope
Theo quy tic céng t 66 [D] = |
‘Thay (1), (7) vio (8) và 66 [D| — 6 + 219 — 225 ‘Ya thu lai kết quả trên
Các bạn tự bình luận về tính hugu qua của trợng phương phấp
Vi du 3 Ở một trường tiểu học cĩ 50 em là bọc sinh giỏi xuất sắc, trong đĩ cĩ 4 cấp anh em sinh: đi Cân chọn ra 3 học vinh trong số 50 em trên để đi dự trại hè Hồi cĩ bao chiêu cách chon ma troag nhĩm 3 em được chọn khơng cĩ cặp sinh đổi nào ?
Giải
Goi A là tập hợp cách chọn 3 em tuỳ ý trong 50 em, ta co Lal = CZ, = 19600 Goi B fa tap hợp cách chọn 3 em trong số 5 cụm, trong đĩ cĩ Ì cặp snh đơi (gr © BH Lin ip ou tn ft sé sử dựng quy te nhan de ti ee fa ia
Bude I : Chon cap sinh doi, $6 each chon 1a ny — 4
Bước 2 : Chọn 1 em cịn lại trong 48 em Số cách chọn Ha ny = 48
Vay [Bl = nạn; = 4.48 = (92 *~ BUC ,62€ =ở — lAI= I61+ le o> IC) 211-161 5 1300-192 = 19409 Kết luận : Số cách chọn 3 em theo yêu cầu là 1720
“Nhận sĩt : Các bạn hãy thừ giải lại ví de trên bằng "phương pháp trực tiếp” để thấy rõ sự hiệu quả của "phương pháp gián tiển” đối với ví dụ này,
hụ 4 C6 ï2 cây giống thuộc 3 ioại : cam, chanh, quít trong đĩ cĩ 6 cam, 4 chanh, 2 quit Cén chon ra 6 cây giống để trồng sao cho cĩ đủ 3 loại cây Hỏi cĩ Đao nhiều cách chon cáy giống như trên ?
Trang 40Giải Goi A là tập hợp tất cả các cách chọn 6 cây giống trong F2 cấy Khi đĩ ta cổ |ãi= Cũ - 924 a Gọi B là tấp hợp các cách chon 6 cí fing khơng đủ 3 loại Khi đố B= By UB, By UB, (2)
G day B),B.B5,Bg tuong img 1a tap hợp cách chọn 6 cây tồn cam ; 6 cây
gốm hai loại cam - chánh ; cam - guít; chánh - gut 4 Đo BỊ,B;,B;,Bạ đơi một rồi nhau nên theo quy tắc cơng tà cố B]= ty Bal +B + [Ba @
Tiển nhiên ta 66 |By| = C8 =1 @
"Theo quy tắc cộng và nhân, ta cĩ Fc) = c8c} + Cl} + C2} = 244904804 15=200 (5) 12415 = 27 6 o Thay (4),15),(6),7) vào (3) ta cĩ [Bl = 1 + 209 + 27 + 8 (8) Gọi C là cách chọn 6 cây giống theo yêu cầu Ta cĩ |C| = |A| — ÌBỈ Từ (1), (8) suy ra [Cl = 924 — 2: 682 Vay cĩ 682 cách chọn 6 cây giống theo yêu cầu
“Nhận xĩt + Xết cách giải bằng “phương pháp trực tiếp” thí dụ trên ¡ Để chọn ra 6 c giống đủ loại cĩ các khả năng sau 1) quýt 4 cam, Ì chánh 2) 1 quýt, 3 cam, 2 chanh, 3) 1 guý 2 cam, 3 chanh 4) 1 quýt, 1 cam, 4 chanh,