TÀI LIỆU TOÁN CỦA MOON.VN CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Chứng minh: Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    Công thức 1: dx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 1 x C dx x C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c du u C = + ∫    Công thức 2: n 1 n x x dx C n 1 + = + + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do 1 1 1 1 n n n n x x C x x dx C n n + + ′   + = ⇒ = +   + +   ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 1 1 n n u u du C n + = + + ∫ + V ớ i 1 2 2 2 2 2 dx dx du n x C u C x x u = − ⇒ = = + ←→ = + ∫ ∫ ∫ + V ớ i 2 2 1 1 2 dx du n C C x x u u = − ⇒ = − + ←→ = − + ∫ ∫ Ví dụ: a) 3 2 3 x x dx C = + ∫ b) ( ) 5 4 4 2 2 2 5 x x x dx x dx xdx x C + = + = + + ∫ ∫ ∫ c) 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 x x x x x x x dx dx xdx x dx C x C x x − − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 n u du x I x dx x d x I C + = + = + + → = + ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2010 2010 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2011 n u du x I x dx x d x I C − = − = − − − → = − + ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 du u d x dx I I C C x x x x + = = → = − + = − + + + + + ∫ ∫ g) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 3 4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5 4 4 3 8 I x dx x d x I x C x C = + = + + ⇒ = + + = + + ∫ ∫    Công thức 3: ln dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1 ln ln dx x C x C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được ln du u C u = + ∫ + ( ) 1 ln 2 1 1 2x 2 ln ax 1 ax ax ln 2 2 2 dx x k C d ax b dx k b C dx b a b a k x C k x  = + +  +  + = = + + →  + +  = − − +  −  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 3 3 1 1 1 2 ln 4 dx x x dx x dx dx x x C x x x x   + + = + + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 3 2 1 1 ln 3 2 3 2 3 3 2 3 du u d x dx I I x C x x + = = → = + + + + ∫ ∫ c) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 d x x x dx dx x dx xdx x x x C x x x x + + +   = + = + = + = + + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 4: sinx cos dx x C = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) cos sin x sinx cos x C dx x C ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c sinu cos du u C = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin2 os2 2 b dx b d b b C xdx c x C a a + = + + = − + + → = − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) 3 2 2 1 1 1 sinx sinx cos 2 1 2 1 2 2 1 d x dx x x dx x xdx dx x dx x x x x −   + + = + + = − + =   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 2 2 1 cos ln 2 1 5 2 x x x C = − + − + b) ( ) ( ) 4 3 3 1 3 1 3 sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3 4 3 4 3 2 4 4 3 2 4 d x dx x dx xdx xd x c x x C x x x −   + = + = + = − + − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) sin sinx sin3 2 x x dx   + +     ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ; 2 2 2 ; 3 3 3 2 2 2 2 3 x x d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x     = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =         T ừ đó : ( ) ( ) 1 1 sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x     + + = + + = + +         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 1 1 2cos os2 os3 2 2 3 x c x c x C = − − − +    Công thức 5: cos sin xdx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) in cos cosx inx s x C x dx s C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c cosu sin du u C = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 os ax os ax ax sin ax os2 sin 2 2 c b dx c b d b b C c xdx x C a a + = + + = + + → = + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 1 5 cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1 1 1 x x x dx xdx dx dx x x x C x x −     − + = − + − = + + − + +     + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 2 1 cos2 sin x os2 sinx sin 2 cos 2 2 x x x dx c xdx dx xdx x x C + − = + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ c) ( ) 2 1 os2 1 1 1 1 1 1 sin os2 os2 2 sin2 2 2 2 2 4 2 4 c x xdx dx c x dx x c xd x x x C −   = = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 6: 2 tan cos dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 2 1 tan tanx cos cos dx x C C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được 2 tanu os du C c u = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 tan tan2 cos cos cos 2 2 d ax b dx dx ax b C x C ax b a ax b a x + = = + + → = + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 2 2 1 1 cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2 cos cos 2 dx x x dx xdx xdx x x x C x x   + − = + − = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 4 1 2 1 2 2 cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4 d x d x dx dx I dx x x x x x x   − − = + = + = −     − − − − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 os 1 1 tan 2 1 ln 5 4 2 2 du c u x x C → = − − − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 os 2 2 3 2 1 1 tan 3 2 cos 3 2 2 cos 3 2 2 du c u d x dx I I x C x x − = = − → = − − + − − ∫ ∫    Công thức 7: 2 cot x sin dx C x = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 2 2 1 cot cot x sin dx x C C sin x x ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 2 cotu sin du C u = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot ax cot2 sin ax sin ax sin 2 2 d b dx dx b C x C b a b a x + = = − + + → = − + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn a) 6 5 5 2 2 1 1 cos2 2 cos2 2 sin2 cot sin sin 2 3 dx x x x dx xdx x dx x x C x x   − + = − + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2 1 3 1 1 1 cot 1 3 cot 1 3 sin 1 3 3 sin 1 3 3 3 du u d x dx I I x C x C x x − = = − → = − − −  + = − +   − − ∫ ∫ c) 2 sin 2 2 2 2 2cot 2 sin sin 2 2 du u x d dx x I I C x x         = = → = − +                 ∫ ∫    Công thức 8: x x e dx e C = + ∫ Ch ứ ng minh: Thật vậy, do ( ) x x x x e C e e dx e C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được u u e du e C = + ∫ + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 ax 1 2 x k x k ax b ax b ax b k x k x e dx e C e dx e d b e C a a e dx e C + + + + + − −  = +   = + = + →   = − +   ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 4 4 1 1 2 1 4.2 sin 3 sin 3 2 3 sin 3 x x x d x dx e dx e dx dx e d x x x x x x x − + − + − +   − + = − + = − − + − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 cot3 8 2 3 x e x x C − + = − + + + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 1 4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3 3 3 x x x e c x dx e dx c x dx e d x c x d x + + + + − = + − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 4 1 sin 1 3 3 3 x e x C + = − − +    Công thức 9: ln x x a a dx C a = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ln ln ln ln x x x x x a a a a C a a dx C a a a ′   + = = ⇒ = +     ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c u u a du a C = + ∫ + ( ) 1 1 kx m kx m kx m a dx a d kx m a C k k + + + = + = + ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3ln2 2ln3 u x x a dux x x x x x I dx dx dx d x d x I C = + = + = + → = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 2 4 3 2 4 2ln2 4 x x x x x x x x e dx dx e dx d x e d x e C − − + − + − + + − = − = − − − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • 0 dx C = ∫ • dx x C = + ∫ • 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ≠ − + ∫ α α α α • 1 ln dx x C x = + ∫ • x x e dx e C = + ∫ • (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ • cos sin xdx x C = + ∫ • sin cos xdx x C = − + ∫ • 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ • 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ • 1 cos( ) sin( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = + + ≠ ∫ • 1 sin( ) cos( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = − + + ≠ ∫ • 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a + + = + ≠ ∫ • 1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng a) ( ) (4 5) ( ) (4 1) x x F x x e f x x e  = −   = −   b) 4 5 3 ( ) tan 3 5 ( ) 4tan 4tan 3 F x x x f x x x  = + −   = + +   c) 2 2 2 2 4 ( ) ln 3 2 ( ) ( 4)( 3) x F x x x f x x x    + =     +    −  =  + +  d) 2 2 2 4 2 1 ( ) ln 2 1 2 2( 1) ( ) 1 x x F x x x x f x x  − + =   + +  −  =  +  Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau 1) 2 1 – 3 x x dx x   + =     ∫ 2) 4 2 2 3 x dx x + = ∫ 3) 2 1 x dx x − = ∫ 4) 2 2 2 ( 1) x dx x − = ∫ 5) ( ) 3 4 x x x dx+ + = ∫ 6) 3 1 2 dx x x   − =     ∫ 7) 2 2sin 2 x dx = ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 8) 2 tan xdx = ∫ 9) 2 cos xdx = ∫ 10) 2 2 1 sin .cos dx x x = ∫ 11) 2 2 cos2 sin .cos x dx x x = ∫ 12) 2sin3 cos2 x xdx = ∫ 13) ( ) – 1 x x e e dx = ∫ 14) 2 2 cos x x e e dx x −   + =     ∫ 15) 3 1 2 1 x x e dx x +   + =   −   ∫ Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F ( x ) c ủ a hàm s ố f ( x ) tho ả đ i ề u ki ệ n cho tr ướ c: a) 3 ( ) 4 5; (1) 3 f x x x F = − + = b) π = − = ( ) 3 5cos ; ( ) 2 f x x F c) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 x f x F e x − = = d) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 x f x F x + = = e) − = − = 3 2 1 ( ) ; ( 2) 0 x f x F x f) 1 ( ) ; (1) 2 f x x x F x = + = − g)   π = =     ( ) sin2 .cos ; ' 0 3 f x x x F h) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 x x f x F x − + = = i) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) x x x f x F x + + − = = + k) 2 π π ( ) sin ; 2 2 4 x f x F   = =     BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm s ố g ( x). Tìm nguyên hàm F ( x ) c ủ a hàm s ố f ( x ) tho ả đ i ề u ki ệ n cho tr ướ c: a) π   = + = =     2 ( ) cos ; ( ) sin ; 3 2 g x x x x f x x x F b) π = + = = 2 ( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0 g x x x x f x x x F c) 2 ( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2 g x x x x f x x F = + = = − Bài 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) : a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 . . ( ) 3 10 4 F x mx m x x Tìm m f x x x   = + + − +  = + −   b) 2 2 ( ) ln 5 . . 2 3 ( ) 3 5 F x x mx Tìm m x f x x x  = − +  +  =  + +  Bài 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) : Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn a) 2 2 2 ( ) ( ) 4 . , , . ( ) ( 2) 4 F x ax bx c x x Tìm a b c f x x x x   = + + −  = − −  b) 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x e   = + +  = −   Bài 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −   = + +  = − − +   b) 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −   = + +  = − +   Bài 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , . 2 3 ( ) cos b c F x a x x x Tìm a b c f x x   = + + +   =  b) 2 2 ( ) ( ) 2 3 . , , . 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x Tìm a b c x x f x x  = + + −  − +  =  −  Bài 6. Tính các nguyên hàm sau: 1) ( ) 5 1 2 I x x dx = + ∫ 2) 3 5 2 7 1 3 I x dx x   = −     ∫ 3) ( ) 5 2 3 3 3 4 2 I x x x dx = − + ∫ 4) 3 4 2 5 1 2 4 x I x dx x x   = − +       ∫ 5) 5 1 x+ dx x I   =     ∫ 6) 4 6 2 2 3 x I dx x + = ∫ Bài 7. Tính các nguyên hàm sau: 7) ( ) 2 7 1x I dx x − = ∫ 8) ( ) 2 3 8 2 1 I x dx = − ∫ 9) ( ) 2 2 9 2 4 x I dx x + = ∫ 10) 4 3 2 10 2 3 2 1 x x x I dx x + − + = ∫ 11) 2 11 x x x x I dx x − − = ∫ 12) 12 3 1 1 I dx x x   = −     ∫ Bài 8. Tính các nguyên hàm sau: 13) 3 13 1 I x dx x   = −     ∫ 14) 2 14 3 1 I x dx x   = +     ∫ 15) ( ) 2 3 15 2 3 x x I dx x − = ∫ 16) ( ) ( ) 4 16 2 I x x x x dx = − − ∫ 17) 17 5 1 (2 3) I dx x = − ∫ 18) 18 4 1 ( 3) x I dx x + = − ∫ Bài 9. Tính các nguyên hàm sau: 19) 19 π sin 2 7 x I dx   = +     ∫ 20) 20 sin2 sin 3 x I x dx   = +     ∫ 21) 21 sin 2 x I x dx   = +     ∫ 22) 22 π 1 sin 3 sin 4 2 x I x dx   +   = + −         ∫ 23) 2 23 cos 2 x I dx = ∫ 24) 2 24 sin 2 x I dx = ∫ Bài 10. Tính các nguyên hàm sau: 26) 26 2 cos 4 dx I x = ∫ 27) ( ) 27 2 cos 2 1 dx I x = − ∫ 28) ( ) 2 28 tan 2 I x x dx = + ∫ 29) 4 29 tan I x dx = ∫ 30) 2 30 cot I xdx = ∫ 31) ( ) 31 2 sin 2 3 dx I x = + ∫ Bài 11. Tính các nguyên hàm sau: 32) 32 1 cos6 dx I x = − ∫ 33) 2 2 33 2 1 cot dx I x x x   = + +     ∫ 34) 2 34 1 dx 3 2 I x x   = +   +   ∫ 35) 2 35 1 sin 2 5 I x dx x   = −   −   ∫ 36) 36 2 dx 3 x I x + = − ∫ 37) 37 2 1 4 3 x I dx x − = + ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Bài 12. Tính các nguyên hàm sau: 38) 38 6 5 x I dx x = − ∫ 39) 2 39 11 3 x x I dx x + + = + ∫ 40) 2 40 2 5 1 x x I dx x − + = − ∫ 41) 3 2 41 3 2 1 2 x x x I dx x + + + = + ∫ 42) 3 2 42 4 4 1 2 1 x x I dx x + − = + ∫ 43) 2 43 4 6 1 2 1 x x I dx x + + = + ∫ Bài 13. Tính các nguyên hàm sau: 44) 2x 3 44 I e dx − + = ∫ 45) 3 1 45 cos(1 ) x I x e dx −   = − +   ∫ 46) 2 1 46 . x I x e dx − + = ∫ 47) 47 2 2 sin (3 1) x I e dx x −   = +   +   ∫ 48) 48 2 2 cos x x e I e dx x −   = +     ∫ 49) ( ) 1 2 4 3 49 2 x x I e dx − + = − ∫ Bài 14. Tính các nguyên hàm sau: 50) 50 1 2 x I dx = ∫ 51) 51 2 7 x x I dx = ∫ 52) 2 1 52 3 x I dx + = ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 xdx d x d x a d a x = = ± = − − 6. ( ) ( ) ( ) 2 cot cot cot sin dx d x d x a d a x x = − = − ± = − 2. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 x dx d x d x a d a x = = ± = − − 7. ( ) ( ) ( ) 2 dx d x d x a d a x x = = ± = − − 3. sin (cos ) (cos ) ( cos ) xdx d x d x a d a x = − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( ) x x x x e dx d e d e a d a e = = ± = − − 4. cos (sin ) (sin ) ( sin ) xdx d x d x a d a x = = ± = − − 9. ( ) ( ) ( ) ln ln ln dx d x d x a d a x x = = ± = − − 5. ( ) ( ) ( ) 2 tan tan tan cos dx d x d x a d a x x = = ± = − − 10. ( ) ( ) 1 1 dx d ax b d b ax a a = + = − − Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 1 x I dx x = + ∫ b) 2 10 2 (1 ) I x x dx = + ∫ c) 2 3 3 1 x dx I x = + ∫ Lời giải: a) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 ln x xdx d d x d x a du d u u    = = = ±         =   Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 (ln ) ln 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 . 2 2 2 1 1 1 du d u u C u d x d x x I dx I x C x x x = = + + = = = ←→ = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d x a u u du d n +    = = = ±           =    +    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 10 10 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 22 x I x x dx x d x C + = + = + + = + ∫ ∫ c) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 3 2 3 1 3 3 2 x x dx d d x a du d u u    = = ±         =   Ta có ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 . 3 3 3 1 1 2 1 d x d x x dx x I C x x x + + + = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 4 1 I x x dx = − ∫ b) 5 2 1 dx I x = − ∫ c) 6 5 2 I x dx = − ∫ Tài liệu bài giảng: 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng [...]... học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b Nếu bậc của P(x) lớn... diện ĐH Y Hà Nội) 2 Học online: www .moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số II MẪU SỐ LÀ... www .moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải Nhận xét: Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích. .. diện ĐH Y Hà Nội) 2 Học online: www .moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số III MẪU SỐ... dx 10) I10 = ∫ dx x x3 + 1 1 + 3ln x ln x 12) I12 = dx x ∫ 14) I14 = ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ( dx x 1+ x ) 2 Học online: www .moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 2 PP lượng giác hóa Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt  a 2 −... trực tuyến tại: www .moon.vn 3 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng dx 1 x = arc tan   + C 2 +a a a dx 1 x+a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C dx 1 x−a ∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C dx 2 ∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C ∫x 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫ 4) I 4 = ∫ x 2 dx x2 + 4 1 3x − 2 x 2 2) I 2 = ∫ dx Học trực tuyến tại: www .moon.vn 5) I 5 = ∫... năng xảy ra với Q(x) TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số P( x) P ( x) 1 A B  Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )  → = =  +  Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a  x − x1 x − x2  Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã... quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung ' Ví dụ: 3x − 4 x + 1 = 2 1  ( x − 1)  x −  : sai 3  Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu,...  1 1 du du 1 1  1 − − −  + − − − =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C  du = − 1− u 1+ u ∫1+ u 1− u  1− u 1+ u ∫1+ u ∫1− u 1− u 1+ u 2 Học trực tuyến tại: www .moon.vn 2 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 − + ln + C  I 3 = → − + ln +C = − + ln + C u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1... bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x) TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3 Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy) P ( x) A B C Ta có Q( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a (