Toán học - Tin tức chuyen de tich phan

Toán học - Tin tức chuyen de tich phan tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: '( ) ( )=F x f x , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ( ) ( )= + ∫ f x dx F x C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • '( ) ( )= + ∫ f x dx f x C • ( ) ( ) ( ) ( )   ± = ±   ∫ ∫ ∫ f x g x dx f x dx g x dx • ( ) ( ) ( 0)= ≠ ∫ ∫ kf x dx k f x dx k 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số Nếu ( ) ( )= + ∫ f u du F u C và ( )=u u x có đạo hàm liên tục thì: ( ) . '( ) ( )     = +     ∫ f u x u x dx F u x C 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: = − ∫ ∫ udv uv vdu • 0 = ∫ dx C • = + ∫ dx x C • 1 , ( 1) 1 α α α α + = + ≠ − + ∫ x x dx C • 1 ln= + ∫ dx x C x • = + ∫ x x e dx e C • (0 1) ln = + < ≠ ∫ x x a a dx C a a • cos sin= + ∫ xdx x C • sin cos= − + ∫ xdx x C • 2 1 tan cos = + ∫ dx x C x • 2 1 cot sin = − + ∫ dx x C x • 1 cos( ) sin( ) ( 0)+ = + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 sin( ) cos( ) ( 0)+ = − + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 , ( 0) + + = + ≠ ∫ ax b ax b e dx e C a a • 1 1 ln= + + + ∫ dx ax b C ax b a GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1) 2 1 ( ) – 3= +f x x x x 2) 4 2 2 3 ( ) + = x f x x 3) 2 1 ( ) − = x f x x 4) 2 2 2 ( 1) ( ) − = x f x x 5) 2 2 1 ( ) sin .cos =f x x x 6) 2 2 cos 2 ( ) sin .cos = x f x x x 7) 2 ( ) 2 sin 2 = x f x 8) 2 ( ) tan=f x x 9) 2 ( ) cos=f x x 10) ( ) 2 sin 3 cos2=f x x x 11) ( ) ( ) – 1= x x f x e e 12) 2 ( ) 2 cos −       = +         x x e f x e x HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 1) 3 ( ) 4 5; (1) 3= − + =f x x x F 2) ( ) 3 5 cos ; ( ) 2π= − =f x x F 3) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 − = = x f x F e x 4) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 + = = x f x F x 5) ( )= 3 2 1 ; ( 2) 0 − − = x f x F x 6) 1 ( ) ; (1) 2= + = −f x x x F x 7) ( ) sin 2 .cos ; ' 0 3 π      = =       f x x x F 8) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 − + = = x x f x F x 9) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) + + − = = + x x x f x F x 10) 2 ( ) sin ; 2 2 4 π π      == =       x f x F VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( ) ∫ f x dx bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = ( ) . '( )     g u x u x thì ta đặt ( ) '( )= ⇒ =t u x dt u x dx . Khi đó: ( ) ∫ f x dx = ( ) ∫ g t dt , trong đó ( ) ∫ g t dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ( ) ∫ g t dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): 1) 10 (5 1)− ∫ x dx 2) 5 (3 2 )− ∫ dx x 3) 5 2− ∫ xdx 4) 2 7 (2 1)+ ∫ x xdx 5) 3 4 2 ( 5)+ ∫ x x dx 6) 2 5+ ∫ x dx x 7) 2 1.+ ∫ x xdx 8) 2 3 3 5 2+ ∫ x dx x 9) 2 (1 )+ ∫ dx x x f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 −a x sin , 2 2 π π = − ≤ ≤x a t t hoặc cos , 0 π= ≤ ≤x a t t 2 2 +a x tan , 2 2 π π = − < <x a t t hoặc cot , 0 π= < <x a t t GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3 10) 4 sin cos ∫ x xdx 11) 5 sin cos ∫ x dx x 12) 2 tan cos ∫ xdx x 13) 3− ∫ x x e dx e 14) 2 1 . + ∫ x x e dx 15) ∫ x e dx x 16) 3 ln ∫ x dx x 17) 1+ ∫ x dx e 18) tan 2 cos ∫ x e dx x HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): 1) 2 3 (1 )− ∫ dx x 2) 2 3 (1 )+ ∫ dx x 3) 2 1 .− ∫ x dx 4) 2 4 − ∫ dx x 5) 2 2 1 .− ∫ x x Chun đề : Tích phân ứng dụng Chun đề : Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Nguyên Hàm khái niệm nguyên hàm : - Cho hàm số f ( x ) xác ñịnh K Hàm số F ( x ) ñgl nguyên hàm hàm f ( x ) K : F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K - Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K họ nguyên hàm f ( x ) K : ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C∈ℝ - Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có ngun hàm K Tính chất: - ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C - ∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx - ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ( k ≠ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp: ∫ dx = x + C ∫ 0dx = C xα +1 ∫ x dx = α + + C , α (α ≠ −1) ∫ x dx = ln x + C ax +C ln a ( < a ≠ 1) x x ∫ e dx = e + C x ∫ a dx = ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = - cos x + C ∫ cos ∫e ax + b x ∫ sin dx = tan x + C dx = ax +b e +C a ( a ≠ 0) x dx = − cot x + C ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C Nitro Trang PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Chun đề : Tích phân ứng dụng ∫a ∫a ∫ dx x = arctan + C +x a a Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ( a ≠ 0) ∫a xdx = ± ln a ± x + C ±x dx x ±a 2 = ln x + x ± a + C ∫ ( a > 0) x a2 x a − x + arcsin + C a 2 ∫ dx x+a = ln +C −x 2a x − a dx a −x 2 xdx x ±a 2 = arcsin x +C a = ± x2 ± a + C ( a > 0) ∫ a − x dx = ∫ x a2 x ± a dx = x ± a ± ln x + x ± a + C 2 2 ∫ cos ( ax + b )dx = a sin ( ax + b ) + C ( a ≠ ) ∫ sin ( ax + b )dx = − a cos ( ax + b ) + C ( a ≠ ) Phương pháp tính ngun hàm: a Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f ( u )du = F ( u ) + C u = u ( x ) có đạo hàm liên tục : ∫ f u ( x ) u ' ( x )dx = F u ( x ) + C b Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u , v hai hàm số có đạo hàm liên tục K : ∫ udv = uv − ∫ vdu B Các vấn ñề thường gặp : I Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm ñịnh nghĩa Dạng 1: Chứng minh F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ( a, b ) 1.1 Phương pháp: Ta thực theo bước sau + Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) ( a, b ) Nitro Trang PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Chun đề : Tích phân ứng dụng + Bước 2: Chứng tỏ F ' ( x ) = f ( x ) Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ∀x ∈ ( a, b ) Chú ý: Nếu thay ( a, b ) [ a, b] phải thực hien sau + Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) ( a, b ) - Xác ñịnh F ' ( a + ) - Xác ñịnh F ' ( b − )  F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )   + Bước 2: Chứng tỏ  F ' ( a + ) = f ( a )  −  F ' ( b ) = f ( b ) 1.2 Bài Tập: ) ( Bài 1: CMR hàm số F ( x ) = ln x + x + a với a > nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + a ℝ e x Bài 2: CMR hàm số F ( x ) =   x + x + e x f ( x) =  2 x + Khi x ≥ Khi x < nguyên hàm hàm số Khi x ≥ ℝ Khi x < HD: Xét trường hợp x ≠ x = Với trường hợp x = dùng định nghĩa để tính đạo hàm bên trái bên phải  ln ( x + 1)  Bài 3: CMR hàm số F ( x ) =  x 0   ln ( x + 1)  f ( x ) =  x2 + − x 1  Khi x ≠ nguyên hàm hàm số Khi x = Khi x ≠ Khi x = Nitro Trang PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Chun đề : Tích phân ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội Dạng 2: Xác ñịnh giá trị tham số ñể F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ( a, b ) 2.1 Phương pháp: Ta thực theo bước sau + Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) ( a, b ) + Bước 2: ðể F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ( a, b ) , ñiều kiện F '( x) = f ( x) ∀x ∈ ( a, b ) Dùng ñồng hàm ña thức ñể suy giá trị tham số Chú ý: Nếu thay ( a, b ) [ a, b] phải thực hien sau + Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) ( a, b ) - Xác ñịnh F ' ( a + ) - Xác ñịnh F ' ( b − )  F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )   + Bước 2: Chứng tỏ  F ' ( a + ) = f ( a )  −  F ' ( b ) = f ( b ) ⇒ giá trị tham số 2.2 Bài Tập: Bài 1: Xác ñịnh a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax + bx + c ) e −2 x nguyên hàm hàm f ( x ) = − ( x − x + ) e −2 x  x2 Bài 2: Xác ñịnh a, b ñể hàm số F ( x ) =  ax + b x ≥ nguyên hàm hàm x > 2 x x ≤ f ( x) =  ℝ 2 x > HD: Xét trường hợp x ≠ x = Với trường hợp x = dùng định nghĩa để tính đạo hàm bên trái bên phải Bài 3: Xác ñịnh hệ số a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax + bx + c ) x − nguyên hàm Nitro Trang PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Chun đề : Tích phân ứng dụng hàm f ( x ) = 20 x − 30 x + khoảng 2x − Biên Soạn : Lê Kỳ Hội 3   , +∞  2  Dạng 3: Tìm số tích phân 3.1 Phương pháp: + Dùng cơng thức học, tìm ngun hàm F ( x ) = G ( x ) + C (1) + Dựa vào đề đa cho tìm số C + Thay giá trị C vào (1) , ta có ngun hàm cần tìm 3.2 Bài Tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm f ( x ) = x3 + 3x + 3x − Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm f ( x ) = sin ( x + 1) biết F ( ) = x π  π biết F   = 2 II Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Phương pháp: + Biến ñổi biểu thức hàm số ñể sử dụng ñược bảng nguyên hàm Chú ý: ðể sử dụng phương pháp cần phải : - Nắm vững bảng nguyên hàm - Nắm vững phép tính vi phân Bài Tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau 1 f ( x ) = x − x + x 2 x4 + f ( x ) = x2 (x = x −1 f ( x ) = x f ( x ) f ( x ) = x + x + x f ( x ) = Nitro Trang PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland − 1) x2 −3 x x Chun đề : Tích phân ứng dụng f ( x ) = tan x f ( x ) = Biên Soạn : Lê Kỳ Hội f ( x ) = cos x sin x.cos x 10 f ( x ) = cos x sin x.cos x 11 f ( x ) = 2sin 3x cos x 12 f ( x ) = e x ( e x − 1)  e− x  13 f ( x ) = e ...Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 124  Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN  Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản 1/   bb aa k.f(x)dx k f(x)dx 2/         b b b a a a f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx 3/     b c b a a c f(x)dx f(x)dx f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1.      dx x c; kdx kx c 2.          1 x x dx c, ( 1) 1 3.   dx ln x c x 4.   xx e dx e c 5.      x x a a dx c (0 a 1) lna 6.   cosxdx sinx c 7.     sinxdx cosx c 8.   2 dx tanx c cos x 9.     2 dx cotx c sin x 10.     tanxdx ln cosx c 11.   cotxdx ln sinx c (u = u(x)) 1.          1 u u u'dx c ; ( 1) 1 2.   u' dx ln u c u 3.   uu e u'dx e c 4.      u u a a u'dx c (0 a 1) lna 5.   u'cosudx sinu c 6.     u'sinudx cosu c 7.   2 u' dx tanu c cos u 8.     2 u' dx cot u c sin u 9.     u'tanudx ln cosu c 10.   u'cotudx ln sinu c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 125 Đặc biệt: u(x) = ax + b;         1 f(x)dx F(x) c f(ax b)dx F(ax b) c a 1.         1 1 (ax b) (ax b) dx c a1 2.      dx 1 ln ax b c ax b a 3.    ax b ax b 1 e dx e a 4.         x 1 a dx ln x c 5.      1 cos(ax b)dx sin(ax b) c a 6.       1 sin(ax b)dx cos(ax b) c a 7.      2 dx 1 tan(ax b) c a cos (ax b)       2 dx 1 8. cot(ax b) c a sin (ax b) 1 9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c a            1 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a 11.      22 dx 1 x a ln c 2a x a xa B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân 2 1 2x 1 I dx x(x 1)     Giải I = 2 1 (x 1) x dx x(x 1)    = 2 1 11 dx x 1 x       =   2 1 6 lnx(x 1) ln ln3 2    . Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Tính tích phân:     1 0 2x 1 I dx x1 Giải     1 0 2x 1 I dx x1 =       1 0 3 2 dx x1 =    1 0 2x 3ln x 1 = 2 – 3ln2. Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính các tích phân sau:        2 4 3 2 2 1 x x 3x 2x 2 I dx xx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 126          4 3 2 2 22 x x 3x 2x 2 x 2 x3 x x x x =     2 12 x3 x 1 x           2 2 1 12 I x 3 dx x 1 x         2 3 1 x 3x ln x 1 2ln x 3 I =  16 3 ln 38 Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân:    x 1 dt I(x) t(t 1) , với x > 1. Từ đó tìm x lim I(x) Giải I(x) =         xx 11 dt 1 1 dt t t 1 t t 1 =         x x 1 1 t lnt ln t 1 ln t1 =   x1 ln ln x 1 2             xx x1 lim I x lim ln ln ln2 x 1 2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Tính tích phân:   4 sinx 0 tanx e cosx dx    Giải               4 4 4 sinx sinx 0 0 0 I tanx e .cosx dx tanxdx sinx 'e dx =        sinx 4 4 0 0 ln cosx + e    2 2 ln 2 e 1 . Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân:    3 3 1 dx I xx Giải                            22 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 dx 1 x x 1 x 1 1 2x I dx dx dx x x 2 x x x(1 x ) x 1 x 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 127             22 1 33 ln ln(x 1) lnx ln x 1 x 2 11      2 x 3 1 6 3 ln ln ln ln 22 12 1x Bài 7: Tính tích phân : I =   2 2 0 x xdx . Giải Tính               2 1 2 2 2 2 0 0 1 I x x dx x x dx x x dx Do : x 0 1 2 x 2 x  0 +  Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Chứng minh: Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    Công thức 1: dx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 1 x C dx x C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c du u C = + ∫    Công thức 2: n 1 n x x dx C n 1 + = + + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do 1 1 1 1 n n n n x x C x x dx C n n + + ′   + = ⇒ = + Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó : Nguyên hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. (K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng) VD1 :  Hàm F(x) = 2 1 x  là một nguyên hàm của f(x) = 2x Vì :   ' 2 1 x  =2x  Hàm f(x) = 1 2 x có 1 nguyên hàm là x vì   ' 1 2 x x  VD2 : Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau a) f(x) = 2 x b) f(x) = sinx c) f(x) = cosx Giải: a) f(x) = 2 x Vì ' 3 2 1 3 x x        nên F(x) = 3 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 x Chú ý : Ta để ý rằng 3 1 3 x + c ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 x . ( vì sao ???) b) Lập luận tương tự ta tìm được F(x) = cos x là một nguyên hàm của f(x) = sinx và ta cũng có cos x c  ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) = sinx c) Tương tự a , b Nhận xét :  Ta thấy ngay rằng, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).C là một hằng số tùy ý .Bạn đọc lí giải điều này là tại sao để hiểu thêm về định nghĩa nguyên hàm nhé ^^. Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224  Ngược lại , nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm khác của f(x) đều sai khác với F(x) một hằng số cộng. Điều này có nghĩa là, nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) thì tồn tại số C sao cho F(x) = G(x) + C (hoặc G(x) = F(x) + C) Chứng minh :Thật vậy , ta giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) khi đó ta xét :   ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( )F x G x F x G x    = ( ) ( ) 0 f x f x   Suy ra ( ) ( )F x G x =C, vậy F(x) = G(x) + C (đpcm) Lúc này ta kí hiệu : ( )f x dx  để chỉ tập hợp ( hay họ ) tấc cả các nguyên hàm của f(x) 2.Tính chất của nguyên hàm : 1.1 ' ( ) ( ) f x dx f x C   1.2 . ( ) ( )k f x dx k f x dx    với k là một hằng số ( tức là ta có thể đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân) 1.3   ( ) ( ) ( ) g( )f x g x dx f x dx x dx       (tức là nguyên hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)các nguyên hàm tương ứng) Chú ý : Hàm dưới dấu tích phân theo biến gì thì vi phân d phải là biến đó . tức là : hàm f(t) thì vi phân phải là dt , hàm f(u) thì vi phân phải là du . Cụ thể là : ( ) ( ) f t dt F t C   hoặc (u) (u) f du F C   Nguyên hàm dạng (u)f dt  hay (x)f dt  là không tính được . VD : Tìm nguyên hàm   2015 1 x dx   . Nhận xét : nguyên hàm này có dạng u dx   với   1 2015 u x          Nói chung , nếu không biến đổi thì đây là nguyên hàm không cơ bản và do đó không áp dụng công thức cơ bản để tính được . Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 3.Bảng các nguyên hàm cơ bản : Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Hàm số hợp tương ứng (dưới đây u = u(x)) 0 dx C  dx x C   1 1 x x dx C         (  ≠ -1) 1 ln dx x C x    x x e dx e C   ln x x a a dx C a    cos sin xdx x C   sin cos xdx x C    2 1 tan cos dx x C x    2 1 cot sin dx x C x     0 du C  du u C   1 1 u u du C         (  ≠ -1) 1 ln du u C u    u u e du e C   ln u u a a du C a    cosudu sinu C   sinu cosu du C    2 1 tanu cos du C u    2 1 cotu sin du C u     B.MỘT SỐ CHÚ Ý KHI TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Chú ý 1 : Gặp nguyên hàm của một tổng các hàm thì ta thường tách thành từng tổng các nguyên hàm để tính cho đỡ phức tạp . VD1 : Tìm 3 2 (4 2 1)x x dx    Giải 3 2 (4 2 1)x x dx    = 3 2 4 2 1x dx x dx dx      Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224 = 4 3 1 2 3 4 2 4 3 x x C C x C     = 4 3 4 2 4 3 x x x C   ( với 1 2 3 C C C C   ) Chú ý 2 : một số công thức biến đổi hay hay dùng  m m m n a a   1 n n x x   Chú ý 3 : công thức hay quên  ln x x a a dx C a    ; ví ... b ) − F ( a ) a - ðối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức b ∫ b b a a f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dx = ∫ f ( u ) dx = = F ( b ) − F ( a ) a - Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số... - b )   Sö dông =  sin a b ( )   + sin ( x + a ) − ( x + b )  1 = cos ( x + a ) cos ( x + b ) sin ( a − b ) cos ( x + a ) cos ( x + b )  sin ( a - b )   Sö dông =  sin ( a -. .. Trang PDF Software 25 100 Portable Document Lane Wonderland Chun đề : Tích phân ứng dụng - Nắm vững bảng nguyên hàm Biên Soạn : Lê Kỳ Hội - Nắm vững phép tính vi phân Bài tập: Bài 1: Tính tích