Chuyên đề Số Phức luyện thi đại học

Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn    Một số phức là một biểu thức dạng a bi + , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 2 1i = − . Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi = + . i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi = + . Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . *+ Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo 0b = . + Số phức z a bi = + có 0a = được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ) và ' ' 'z a b i = + ( ', 'a b ∈ ¡ ) được gọi là bằng nhau nếu : 'a a = và 'b b = . Khi đó, ta viết: 'z z = .  !"#$ Mỗi số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi một điểm ( ; )M a b trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm ( ; )M a b biểu diễn một số phức z a bi = + Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo. %&'()*'+,- % Tổng của hai số phức 1 1 1 z a b i = + , 2 2 2 z a b i = + ( 1 1 2 2 , , ,a b a b ∈ ¡ ) là số phức 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )z z a a b b i + = + + + . *./0+1'( i, 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )z z z z z z + + = + + với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ £ ii, 1 2 2 1 z z z z + = + với mọi 1 2 ,z z ∈ £ iii, 0 0z z z + = + = với mọi z ∈ £ iv, Với mỗi số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ), nếu kí hiệu số phức a bi − − là z − thì ta có: ( ) 0z z z z + − = − + = . Số z − được gọi là số đối của số phức z . 2 Hiệu của hai số phức 1 1 1 z a b i = + , 2 2 2 z a b i = + ( 1 1 2 2 , , ,a b a b ∈ ¡ ) là tổng của hai số phức 1 z và 2 z − , tức là: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )z z z z a a b b i + − = − = − + − . *3#$1'()*'+,- Mỗi số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi ( ; )M a b cũng có nghĩa là véc tơ OM uuuur . Khi đó nếu 1 2 ,u u ur uur theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 ,z z thì: Trang 1 4567898:8;<= ;>?>.@4 4567898:8;<= ;>?>.@4 4AB8;>CD&4E 4AB8;>CD&4E <F.G+H+I+ JK+ <F.G+H+I+ JK+ Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn + 1 2 u u + ur uur biểu diễn số phức 1 2 z z + + 1 2 u u − ur uur biểu diễn số phức 1 2 z z − 2&'L M Tích của hai số phức 1 1 1 z a b i = + , 2 2 2 z a b i = + ( 1 1 2 2 , , ,a b a b ∈ ¡ ) là số phức: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . ( )z z a a b b a b a b i = − + + *8NO'+ + Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ), ta có: ( )kz k a bi ka kbi = + = + + 0. .0 0z z = = với mọi z ∈ £ . *./0+1'L i, 1 2 2 1 z z z z = với mọi 1 2 ,z z ∈ £ ii, .1 1.z z z = = với mọi z ∈ £ iii, 1 2 3 1 2 3 ( ). .( )z z z z z z = với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ £ iv, 1 2 3 1 2 1 3 .( )z z z z z z z + = + với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ £ MIPQ)*RS 1 T Số phức liên hợp của số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ) là a bi − và được kí hiệu là z . Như vậy, ta có: z a bi a bi = + = − *8NO'+ + Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z z = . Do đó ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau. + Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox. *./0+iVới mọi 1 2 ,z z ∈ £ ta có: 1 2 1 2 z z z z + = + ; 1 2 1 2 . .z z z z = ii, z ∀ ∈ £ , z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ), số .z z luôn là một số thực và 2 2 .z z a b = + U Mô đun của số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ) là số thực không âm 2 2 a b + và được kí hiệu z : 2 2 .z z z a b = = + . *8NO'++ 0z = khi và chỉ khi 0z = . V Nếu z là số thực thì mô đun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó. T&'WXY Z Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1 2 z z z − = . Thương 'z z của phép chia số phức 'z cho số phức z khác 0 là tích của 'z với số phức nghịch đảo của z , tức là 1 ' '. z z z z − = . Như vậy, nếu 0z ≠ thì 2 ' '.z z z z z = * Có thể viết 2 ' '. '. . z z z z z z z z z = = nên để tính 'z z ta chỉ cần nhân cả tử và Trang 2 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn mẫu số với z . Để ý rằng 2 .z z z = . *8NO'+ + Với 0z ≠ , ta có: 1 1 1 1.z z z − − = = . + Thương 'z z là số phức w sao cho .w 'z z = . Do đó, có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân. + ' 'z z z z   =  ÷   ; ' ' z z z z = ; 1 2 1 2 .z z z z = ; 1 2 1 2 z z z z + ≤ + [\./+W)* * Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1, (3 5 ) (7 3 )z i i = − − − 2, (4 3 )(4 5 )z i i = − + 3, 5 2 7(2 ) 3z i i i = + + − − 4, 14 (1 )z i = − 5, 5 (3 2 )(3 2 ) 5(1 2 ) 2z i i i i = + − + + + 6, 16 16 (3 ) (1 2 )z i i = − + 7, 8 (1 )z i = + 8, 3 (3 )z i = + 9, 3 2 (1 ) (1 )z i i = + − − 10, 2 1 i z i = + 11, 2 (1 2 )(2 ) 1 3 i i z i + = + 12, 2 (2 3 )(3 ) 6 17 i i z i − + = + * Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau: 1, 2 ( 3) 3(2 3)( 1)z i i i = − + − + 2, 3 3 (2 ) (3 )z i i = + − − 3, 7 7 1 1 2 z i i i   = −  ÷   4, 3 2 1 i i z i i − + = − + 5, 3 2 1 4 3 2 2 i z i i i − = + + + + 6, 3 (3 1)(2 ) (1 4 ) 1 i i z i i i − − = + + + 7, 18 18 20 ( 1 9 ) (4 5 ) (1 ) i i z i − + − = − 8, 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 i i z i i + − + = − + + − 9, 15 9 9 12 (1 3 ) 1 3 ( 3 ) i z i i i +   = + −  ÷ +   10, 33 10 1 1 (1 ) (2 3 )(2 3 ) 1 i z i i i i i +   = + − + + − +  ÷ −   11, 16 8 1 1 1 1 i i z i i + −     = +  ÷  ÷ − +     12, 2 99 1 (1 ) (1 ) (1 )z i i i = + + + + + + + *% Tìm z và tính z biết rằng: 1, 2 3z i = − + 2, 2 2z i = − 3, 2013z = − 4, 2014z i = 5, 2 3 (2 3)z i = − + + 6, 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i = + − + + *2 Cho số phức 1 3 2 2 z i = + . Tính: z ; z ; 1 z ; 3 z ; ( ) 2 z ; 2 1z z − + ; ( ) 2013 6 1 z − Trang 3 F&]^_+W F&]^_+W Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn *M Cho số phức 2 (1 2 )(2 )z i i = − + . Tính: z ; z ; z z + ; .z z *T Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1, 3 5 2 1 ( )x y xi y x y i + + = − + − 2, 3 (3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i + + − = + 3, 3 2 1 (2 )x yi y x i + = + + − 4, 2 1 ( 2 5)x y x y i + − = + − 5, 3 ( 2 )(2 ) 2 2 x yi x yi i − + = + 6, 2 2 (1 ) (4 3 ) 1 4x i y i xy i + + − + = + *U Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1, 2 3 (2 3 ) (2 1)(1 ) 5(7 10 )x i y i i − + + + = − + 2, 2 3 (2 )(3 ) ( 2 )( 2) 18 76x i i x y i i + + − − − = + 3, 3 (2 1)(2 ) ( 3 2 )(2 3 ) 6 85x i y i i i + − − − + − = − 4, 7 2 1 (3 ) ( 2)( ) 19 23 1 i x y y x i i i −   − + + − = − −  ÷ +   *Z Chứng minh rằng các số phức sau là số thực: 1, 3 2 2 3 (1 3 ) (4 3 ) (2 ) (3 80 ) i i z i i i + − = + + + 2, 2 2 (3 2 ) ( 2 ) 19 3 (1 2 ) i i z i i + − = − + 3, 7 7 (2 5) (2 5)z i i = + + − 4, 2013 2013 19 7 20 5 9 7 6 i i z i i + +     = +  ÷  ÷ − +     *` Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo: 1, 9 5 (1 3 ) (512 3)z i i i = + − + 2, 2 2 (5 1) (1 3 ) (8 10)z i i i = − − − − 3, 5 2 5 2 2 3 10 2 3 10 i i z i i + − = − − + 4, 52 2013 52 2013 (3 1)(79 7 ) 10(23 10 ) i i z i i + − = + + + − *Y Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1, 3 2 (1 )(2 3 ) i z i i + = + − 2, (1 )(2 ) (1 )(2 ) 2 2 i i i i z i i + + − − = − − + 3, 3 1 5 (2 ) 1 i z i i − = + − + 4, 2 4 7 (2 ) (1 ) 2 i z i i i − = − + + − + * Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo: 1, ( ) 2013 2 2 1 i i z z z α − = − + − 2, ( ) 3 2 1 z z z z z β − = + + − * Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: 1, 3 1 3 1 3 2 2 2 2 i i A     = − + −  ÷  ÷  ÷  ÷     2, 2 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (3 2 ) (2 ) i i B i i + − − = + − + 3, 3 3 3 3 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) i i C i i + + − = + − − 4, 2013 10 1 1 (1 ) (2 3 )(2 3 ) 1 i D i i i i i +   = + − + + − +  ÷ −   Trang 4 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn *% Tìm số phức z thoả mãn: 1, 0iz z i + − = 2, (3 2 ) 1 4i z i z − = − + 3, (1 5 ) 10 2 1 5i z i i − + + = − 4, 1 3 1 z i i i i + + + = + − 5, 2 3 1 3 2 1 1 i i z i − + − = − + 6, 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + 7, ( 2 3) 3 2i z i − = + 8, 2 ( 1)(1 ) 2 2 1 z i z i i i + + + − − = − *2 Tìm số phức z thoả mãn: 1, (4 3 ) (2 )(3 5 )i z i i − = + − 2, 2 3 4 11z iz i − = − 3, ( 2) (3 )( 1 3 )z i i z i + = − − + 4, 2 2 2 1 (3 ) 10 5 i z z i i + − + = − + 5, 3 7 3 (2 1) 2 1 i i i z + + = − + 6, 1 2 2 3 1 1 i z i z i i i − + − − + = + − 7, 2 z z = 8, 2 2 4z z i + = − 9, ( ) . 3 13 18z z z z i + − = + 10, ( ) 4 (2 ) 7 3 7z z i z i + − + = − 11, 2 2 (1 ) 5 5 1 iz i i z i i + + − − = − *M Tìm số phức z thoả mãn: 1, 5z = và z z = 2, 2 3z z + = và z z = − 3, 2 2 . 5z z z − = và z z = 4, ( ) 2 2 0z z + = và 1 1 3 z z − = − 5, 2 1 2z i z i + − = − + và 1 10 10 z = 6, 5z = và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó. *T Tìm số phức z thoả mãn: 1, 2 2 z z z = + 2, 5 3 1 0 i z z + − − = 3, 2 1 (2 3 ) 2 i i z i z z − − = + − 4, 3 ( 2 ) 1 2 i z i − = + 5, 2 1 ( 1)(1 ) 1 z z i z i − + + + = − 6, ( ) 2 . 2 10 3z z z z z i + − − = + 7, 1 5z − = và ( ) 17 5 . 0z z z z + − = 8, 1 2 5z i + − = và . 34z z = 9, (2 ) 10z i − + = và . 25z z = 10, 3 1z i iz − = − và 9 z z − là số thuần ảo *U Tìm số phức z thoả mãn: 1, 2 4 2z i z i − − = − và 1 2z i + − nhỏ nhất. 2, 1 2z i iz + − = − và (2 3 2 )( )z i z i + − + là số thuần ảo. 3, z nhỏ nhất và ( ) ( 1) 2z z i − + là số thực. 4, z nhỏ nhất và 3 2iz z i − = − − 5, z lớn nhất và ( ) 2 (1 )z z − + là số thuần ảo. Trang 5 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn *Z Tìm số phức z thoả mãn: 1, 2 52z i − − = và 4 2z i − + nhỏ nhất. 2, 1 2 3 4z i z i + − = + + và 2z i z i − + là số thuần ảo. 3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn: 1z = và ( ) 2 2 3z z − = *` Tìm số phức z thoả mãn: 1, 1 2 3 4z i z i + − = + − và 1 10z z i − + − = 2, 1 1 z z i − = − và 3 1 z i z i − = + 3, 2 5 3 3 2 z z i + = − và 5 1 1 z z − = − 4, 1 1 3 z z − = − và 2 2 z i z i − = + 5, 1 1 z i z + = − và ( 3)( 3 ) 9z z i + − = 6, 3 1 z i z i + = − và ( 2)( 5 2 ) 6z iz i − + − = 7, ( ) 2 2 0z z + = và 1 1 3 z z − = − 8, 2 1 2 z z i + = + và ( ) ( 1) 5z z i + − = *Y 1, Tìm số phức z sao cho w (2 3 )(2 )(3 2 )z i i i = − + − là 1 số thực. 2, Cho số phức z thoả mãn: 2 3z z i + = + . Tính 12 z . 3, Cho số phức z thoả mãn: 7 1 2 z z z − + = − . Tính 2z i z i + − . 4, Cho số phức z thoả mãn: 18 1 2 z z z − − = − . Tính 4 2 z i z i + − . 5, Cho số phức z thoả mãn: 2 3( 1 2 )z z i − = − + . Tính 2 3 w z z z = + + . 6, Cho số phức z thoả mãn: 4 1 z i z − = + . Tính 1 (1 )A i z = + + . 7, Cho số phức z thoả mãn: 2 2 z i z − − là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1T z z i = − + − . * 1, Cho hàm số: 3 2 ( ) 2 7 3f z z z z = − − − . Chứng minh rằng: w (1 ) (1 )f i f i = + + − là một số thực. 2, Cho số phức z x yi = + ( ,x y ∈ ¡ ) thoả mãn: 3 18 26z i = + . Tính giá trị của biểu thức: 2013 2013 ( 2) (4 )A z z = − + − . 3, Cho số phức 1 w 1 z z + = − . a, Xác định phần thực của w biết rằng 1z = và 1z ≠ . b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì 1z = . Trang 6 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn * a(+Sb+\4$c d 1,(FYY`) Tìm số phức z thoả mãn: (2 ) 10z i − + = và . 25z z = 2,([FYY) Tìm số phức z thoả mãn: 2z = và 2 z là số thuần ảo. 3,(<FYY) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: 2 ( 2 ) (1 2 )z i i = + − Cho số phức z thoả mãn: 3 (1 3 ) 1 i z i − = − . Tính z iz + . 4,(FYY) Tìm số phức z thoả mãn: 3 5 3 z z i + = + và 4 10z i z i − = + . 5,(<FY) Tìm tất cả các số phức z, biết: 2 2 z z z = + Tính z , biết rằng: ( ) (2 1)(1 ) 1 (1 ) 2 2z i z i i − + + + − = − 6,(FY) Tìm số phức z, biết rằng: 5 3 1 0 i z z + − − = . Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 3 1 3 1 i z i   + =  ÷  ÷ +   7,(<FY) Cho số phức z thoả mãn: ( ) 5 2 1 z i i z − = − + . Tính w biết 2 w 1 z z = + + . 8,([FY) Cho số phức z thoả mãn: 2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i + + + = + + . Tính mô đun của số phức w 1z i = + + . 9,([FY%) Cho số phức z thoả mãn: (1 )( ) 2 2i z i z i + − + = . Tính môđun của số phức w, biết 2 2 1 w z z z − + = . *% 1, Tìm số phức z thoả mãn: 1 5z z i − + − = và ( ) (2 )z i z − + là số ảo. 2, Tìm số phức z thoả mãn: ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 3z i z z i + + − = − 3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: w 4z i + = − và 3 3 w 7 28z i + = + 4, Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z z i z i − + = − và ( ) (2 )z i z − + là số thực. 5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: 1 3 1 3 n i z i   − =  ÷  ÷ −   là số thực và 2 2 5 2 3 n i z i − −   =  ÷ −   là số thuần ảo. 6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn 1 3 2 z z z + + = + , hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Trang 7 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn 7, Cho số phức z thoả mãn 2 6 13 0z z − + = . Tính 6 z z i + + . 8, Cho số phức z thoả mãn 2 2 4 0z z − + = . Tìm số phức 7 1 3 w 2 z z   + − =  ÷  ÷ +   . 9, Cho z là số phức thoả mãn (1 )( )z i z − + là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z i = − . 10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn (1 ) 2 3 1 i z i + + = − , hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất. *2 1, *Cho số phức z thoả mãn 2 3 4z iz z + = − . Tính 2013 2014 1 w z z = + . 2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: 3 4z z = . 3, Tính môđun của số phức z, biết 3 12z i z + = và z có phần thực dương. 4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: 2 12 2 (3 )z i z − = − 5, Tìm số phức z biết: ( ) 2 2 1 1 (1 )z z i z + + − = − . 6, Tìm số phức z biết: 2 2 2 . 8z z z z + + = và 2z z + = . 7, Tìm môđun của số phức z biết: 2 1 2 11 2z i iz z i − − + + = + . 8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 )i z − là số thực và 2 5 1z i − + = . 9, *Tìm số phức z sao cho 5 z và 2 1 z là hai số phức liên hợp của nhau. 10, Cho số phức 1 3 2 i z − + = . Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 P z z z z z z z z         = + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         *M 1, Cho số phức 11 1 1 i z i −   =  ÷ +   . Tính môđun của số phức: 2013 2014 2016 2021 w z z z z = + + + 2, Tính môđun của số phức z biết: 3 2 1 3 .(1 2 ) 1 i z i i   + = +  ÷  ÷ +   3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn 2 w z là số thực và w 2 3z + = . Tính môđun của số phức z. Trang 8 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn 4, Tìm số phức z thoả mãn: 2 (1 3 ) 1 iz i z z i − + = + . 5, Tìm môđun của số phức z, biết: 2 2 3 1 z z z z + + = + . 6, Cho số phức z thoả mãn: 6 7 1 3 5 z i z i + − = + . Tìm phần thực của số phức 2013 z . 7, Cho số phức z thoả mãn: 3 1 3 2 . 1 i z i z i   − + =  ÷  ÷ +   . Tính 2 .A z i z = + . 8, Tìm số phức z, biết: ( ) ( 1)(2 3 ) 1 (2 3 ) 14z i z i + − + + + = và 2z = . 9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức 2 w 2 1z z = + − có môđun lớn nhất. 10, *Cho số phức 0z ≠ thoả mãn 2z ≥ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: z i P z + = . *T Cho hai số phức 1 z và 2 z . Chứng minh rằng: 1, 1 2 1 2 z z z z + = + 2, 1 2 1 2 . .z z z z = 3, 1 2 1 2 . .z z z z = 4, 1 2 1 2 z z z z + = + 5, 1 1 2 2 z z z z   =  ÷   ( 2 0z ≠ ) 6, 1 1 2 2 z z z z = ( 2 0z ≠ ) *U Cho hai số phức 1 z và 2 z . Chứng minh rằng: 1, ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2z z z z z z + + − = + 2, ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1z z z z z z z z − − − = + − + 3, ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z + + − = + + 4, ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z + + − = + + *Z Cho hai số phức 1 z và 2 z . Chứng minh rằng: 1, 1 2 1 2 z z z z + ≤ + 2, 2 2 2 1 2 1 2 . .z z z z = 3, ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2z z z z z z ± = ± + 4, ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z + − = − 5, ( ) 3 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 3 3z z z z z z z z ± = ± + ± *` Cho số phức z thoả mãn 1z = . Chứng minh rằng: 1, 3 2 1 5 z i z + ≤ ≤ 2, 3 2 1 1 1 5z z z ≤ + + + + ≤ *%Y Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng: Trang 9 Giải Tch 12-Chuyên đ S phc LTĐH Nguyễn Quc Toàn x y z x y z x y z x y z + + ≤ + − + − + + − + + *% Cho hai số phức 1 z và 2 z đều có môđun bằng 1. Chứng minh rằng số phức 1 2 1 2 1 z z z z + + là số thực, với 1 2 1z z ≠ − . *% Giải các bài toán sau: 1, Cho hai số phức 1 z , 2 z thoả mãn: 1 2 1 2 0z z z z − = = > . Tính giá trị của biểu thức: 4 4 1 2 2 1 z z A z z     = +  ÷  ÷     . 2, Cho 1 z , 2 z là 2 số phức thoả mãn phương trình 6 2 3z i iz − = + và 1 2 1 3 z z − = . Tính 1 2 A z z = + . 3, Cho hai số phức 1 z , 2 z thoả mãn: 1 2 1z z = = và 1 2 3z z + = . Tính 1 2 z z − . 4, Cho 1 z , 2 z , 3 z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z = = = và 1 2 3 1z z z + + = . Chứng minh rằng: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 z z z z z z z z z = + + . 5, Cho hai số phức: 2 2 1 ( 1) (2 3 4)z a a a a i = + + + + − ( a ∈ ¡ ) và 2 3 2z i = − . Tìm giá trị của tham số a để 1 2 z z = . 6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt 1 z , 2 z thoả mãn điều kiện 1 2 z z = khi và chỉ khi 1 2 1 2 z z z z + − là số thuần ảo. *%% Giải các bài toán sau: 1, Cho hai số phức 1 z , 2 z thoả mãn: 1 3z = , 2 4z = và 1 2 37z z − = . Tìm số phức 1 2 z z z = . 2, Cho hai số phức 1 z , 2 z . Chứng minh rằng: 1 2 1 2 w z z z z = + là 1 số thực. 3, Cho hai số phức 1 z , 2 z thoả mãn: 2 2 1 2 1 2 z z z z + = . Tính 1 2 1 2 z z z z − + . 4, Cho 1 z , 2 z , 3 z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z = = = . Chứng minh rằng: 1 2 2 3 3 1 1 2 3 z z z z z z z z z + + = + + 5, Cho số phức 0z ≠ thoả mãn điều kiện: 3 3 1 2z z + ≤ . Chứng minh: 1 2z z + ≤ . Trang 10 [...]... phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, (2 − z )( z + i) là số thuần ảo z + 2 + 3i là số thuần ảo z −1 z + 2i 8, là số thuần ảo iz − 1 3, 2, z 2 − 2 z + 4i là số thực 7, iz + 1 + i là số thực z −1+ i 9, z+i là số thực iz − 1 Trang 11 Giải Tích 12 -Chuyên đề Số phức LTĐH Nguyễn Quốc Toàn Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, z 2 là số thực... ϕ được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức) Argument của số phức z được đo bằng rađian, mọi argument của z có dạng ϕ + k 2π ( k ∈ ¢ ) + r là môđun của số phức z, tức là r = z 2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: Xét hai số phức z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin... trên mặt phẳng phức thoả mãn: 1, M biểu diễn các số phức z + 1 − i , trong đó z − 1 + 2i = 3 2, M biểu diễn các số phức z − 2 + i , với 2 ≤ z − 1 − i < 3 Bài 9: Giải các bài toán sau: ( ) 1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 1 + i 3 z + 2 , biết z − 1 ≤ 2 2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2 z + 3 − i , biết: 2 2 a, 3z + i ≤ z.z + 9 b, 2 z + i ≤ 3 z.z + 1 1 + 3i ) 3, Cho số phức z = ( 16(1... và một argument của là − 3 z Bài 13: Cho hai số phức z1 = 2 + i 2 và z2 = 1 + i 3 1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên z13 2, Tính môđun và argument của các số phức z , z và 2 z2 3 1 2 2 π π và sin 12 12 π π π π   Bài 14: Cho hai số phức z1 = 3  cos + i sin ÷ và z2 = 2  cos + i sin ÷ 3 3 4 4   Viết dưới dạng lượng giác các số phức: z1 1 1 1, z1 z2 2, 3, 4, z2 z1 z2 3, Từ... thực, phần ảo của các số phức sau: 1, z = i9 4, z = ( ( 3−i 1 + 3i ) ) ( 6 2, z = 1 − 3i 21 ) 16 π π 5  3, z =  cos − i sin ÷i 1 + 3i 3 3  ( (1 + i )10 ( 1− i) 18  5 + 7i  5, z =  ÷  6+i  (1 − i)9 6, z = ) 7 10 ( 3 + i )9 Bài 2: Tìm số phức z sao cho: 1 1 1, z 5 và 2 là hai số phức liên hợp 2, z 4 và 3 là hai số phức liên hợp z z 3 32 10 + 22i 3 3, z và 2 là hai số phức liên hợp 4, z = 8... … Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức: 1, z = 3 2, z = −2i 3, z = 3 − 2i 4, z = −2 + i Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, z = 1 2, z ≤ 2 3, z − 1 + 2i = 4 4, z + i − 2 ≤ 3 5, 2 + z = 1 − i 6, 2 + z > z − 2 7, z − 4i + z + 4i = 10 8, 1 < z ≤ 2 9, 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2 Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 2 1,... − 3i ÷ là số thuần ảo ÷     Bài 6: Giải các bài toán sau: ( ) ( 6 1, Tính giá trị của biểu thức: A = 1 + i 3 (1 − i )5 + (1 + i )5 1 − i 3 2013 2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z + 1 z 2013 , biết z + ) 6 1 =1 z 1 3 3, Cho số phức z = − + i Tính w = z 2011 + z 2012 + z 2013 2 2 1 3 4, Cho số phức z = − i Tính C = 1 − z + z 2 − z 3 + z 4 − − z 9 + z10 2 2 5,(A-2013) Cho số phức z =... điểm biểu diễn số phức w, biết rằng: w − iz + z = 2 4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 3 , biết: z 2 z z + 1 = z ( 2 + 6iz ) Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i , −4 − 2i , 1 − 7i , −3 + 4i , 1 − 3i , −3 + 2i 1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho... có thể chứng minh được căn bậc n của số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng n   ϕ k 2π r  cos  + n  n   ϕ k 2π ÷+ i sin  + n  n  ÷ ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến n − 1  B-Phương pháp giải toán: B-Phương pháp giải toán: Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác ● Chuyển số phức từ dạng đại số z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ; a 2 + b 2... 2+ 6− 2 i 4(cos ( ) Bài 10: Cho số phức z có môđun bằng 1 Biết một argument của z là ϕ , tìm một argument của số phức: 1 1, w = 2 z 2 2, w = − 3, w = z + z 4, w = z 2 + z 2z Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết: 7π 1, z = 5 và một argument của iz là 9 2, z = 4 và một argument của i.z là π 1 −3π z và một argument của là 3 4 1+ i Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng: . Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo 0b = . + Số phức z a bi = + có 0a = được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số. số phức z a bi = + ( ,a b ∈ ¡ ), nếu kí hiệu số phức a bi − − là z − thì ta có: ( ) 0z z z z + − = − + = . Số z − được gọi là số đối của số phức z . 2 Hiệu của hai số phức. − + + = + . 8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 )i z − là số thực và 2 5 1z i − + = . 9, *Tìm số phức z sao cho 5 z và 2 1 z là hai số phức liên hợp của nhau. 10, Cho số phức 1 3 2 i z − + = .