Chuyen de So Phuc Luyen Thi Dai Hoc

+  được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức...[r]

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH 12 *CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC * §1 Số phức A-Tóm tắt lý thuyết: 1, Khái niệm số phức: *Định nghĩa 1: Một số phức là biểu thức dạng a  bi , đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i  Kí hiệu số phức đó là z và viết z a  bi i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực và b gọi là phần ảo số phức z a  bi Tập hợp các số phức kí hiệu là  *Chú ý: + Mỗi số thực a xem là số phức với phần ảo b 0 + Số phức z a  bi có a 0 gọi là số ảo hay là số ảo + Số vừa là số thực vừa là số ảo *Định nghĩa 2: Hai số phức z a  bi ( a, b   ) và z ' a ' b ' i ( a ', b '   ) gọi là : a a ' và b b ' Khi đó, ta viết: z  z ' 2, Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức z a  bi ( a, b   ) biểu diễn điểm M (a; b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại điểm M (a; b) biểu diễn số phức z a  bi Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo 3, Phép cộng và phép trừ số phức: *Định nghĩa 3: Tổng hai số phức z1 a1  b1i , z2 a2  b2i ( a1 , b1 , a2 , b2   ) là số phức z1  z2 (a1  a2 )  (b1  b2 )i *Tính chất phép cộng số phức: i, ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ) với z1 , z2 , z3   ii, z1  z2 z2  z1 với z1 , z2   iii, z  0  z  z với z   iv, Với số phức z a  bi ( a, b   ), kí hiệu số phức  a  bi là  z thì ta có: z  ( z )  z  z 0 Số  z gọi là số đối số phức z *Định nghĩa 4: Hiệu hai số phức z1 a1  b1i , z2 a2  b2i ( a1 , b1 , a2 , b2   ) là tổng hai số phức z1 và  z2 , tức là: z1  ( z2 ) z1  z2 (a1  a2 )  (b1  b2 )i *Ý nghĩa hình học phép cộng và phép trừ số phức: Mỗi số phức z a  bi ( a, b   ) biểu diễn M (a; b) có nghĩa là    u véc tơ OM Khi đó , u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì:   + u1  u2 biểu diễn số phức z1  z2   u1  u2 + biểu diễn số phức z1  z2 4, Phép nhân số phức: *Định nghĩa 5: Tích hai số phức z1 a1  b1i , z2 a2  b2i ( a1 , b1 , a2 , b2   ) z1.z2 a1a2  b1b2  ( a1b2  a2b1 )i là số phức: *Nhận xét: + Với số thực k và số phức z a  bi ( a, b   ), ta có: kz k (a  bi ) ka  kbi + 0.z  z.0 0 với z   *Tính chất phép nhân số phức: i, z1 z2  z2 z1 với z1 , z2   ii, z.1 1.z  z với z   iii, ( z1 z2 ).z3 z1.( z2 z3 ) với z1 , z2 , z3   iv, z1.( z2  z3 )  z1 z2  z1 z3 với z1 , z2 , z3   5, Số phức liên hợp và mô đun số phức: *Định nghĩa 6: Số phức liên hợp số phức z a  bi ( a, b   ) là a  bi và kí hiệu là z Như vậy, ta có: z a  bi a  bi *Nhận xét: + Số phức liên hợp z lại là z , tức là z  z Do đó ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với + Hai số phức là liên hợp với và các điểm biểu diễn chúng đối xứng qua trục Ox *Tính chất: i, Với z1 , z2   ta có: z1  z2 z1  z2 ; z1.z2 z1.z2 2 ii, z   , z a  bi ( a, b   ), số z.z luôn là số thực và z.z a  b *Định nghĩa 7: Mô đun số phức z a  bi ( a, b   ) là số thực không âm a  b và kí hiệu z : z  z z  a  b z 0 *Nhận xét: + z 0 và + Nếu z là số thực thì mô đun z là giá trị tuyệt đối số thực đó 6, Phép chia cho số phức khác 0: z z' *Định nghĩa 8: Số nghịch đảo số phức z khác là Thương z phép chia số phức z ' cho số phức z khác là tích z ' với số phức z  z z ' z '.z z'  1  z '.z z z nghịch đảo z , tức là z Như vậy, z 0 thì z ' z '.z z '.z z'   z z z z *Chú ý: Có thể viết nên để tính z ta cần nhân tử và z.z  z z mẫu số với Để ý 1.z   z  *Nhận xét: + Với z 0 , ta có: z z' + Thương z là số phức w cho z.w  z ' Do đó, có thể nói phép chia cho số phức khác là phép toán ngược phép nhân z' z'  z' z'    z1 z2  z1 z2 z1  z2  z1  z2 z z z z +  ; ; ; B-Phương pháp giải toán: Dạng 1: Tính toán và Chứng minh Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức sau: 1, z (3  5i)  (7  3i) 2, z (4  3i)(4  5i) 3, z 5  2i  7(2  i )  3i 14 4, z (1  i ) 7, z (1  i ) 16 16 5, z (3  2i )(3  2i)  5(1  2i )  2i 6, z (3  i ) (1  2i ) 3 8, z (3  i) 9, z (1  i )  (1  i ) 2i (1  2i)(2i) (2  3i )(3  i ) z z z 1 i  3i  17i 10, 11, 12, Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun số phức sau: 3 1, z (i  3)  3(2i  3)(i  1) 2, z (2  i)  (3  i) 1 1 z   i7   2i  i  3, 2i  z  4i  3i  i 2 5, 18 z 7, 4, 6, z 3 i  1 i z  8, (1  3i )15  1 z  i   12 i  (  i )  9,  1 i   1 i  z      i    1 i  11, i i (3i  1)(2  i)  i (1  4i) 1 i 18 (  9i ) (4  5i ) (1  i) 20 16 z  2i   2i   3i  3i 33  1 i  10 z    (1  i)  (2  3i)(2  3i)  i  1 i  10, 99 12, z 1  (1  i )  (1  i )   (1  i ) z Bài 3: Tìm z và tính biết rằng: 1, z   i 2, z   2i 3, z  2013 5, z 2   (2  3)i 4, z 2014i 6, z (1  i )(3  2i )  3i 2013 z  i z  z z   2 Tính: ; z ; z ; z ; Bài 4: Cho số phức ; z  z 1; z Bài 5: Cho số phức z (1  2i)(2  i) Tính: ; z ; z  z ; z.z Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1, x  y  xi 2 y   ( x  y )i 2, x(3  5i)  y (1  2i ) 9  14i  3, 3x  yi 2 y   (2  x)i ( x  yi )(2 x  yi ) 2  i 5, 4, x  y  ( x  y  5)i 2 6, x  (1  i) y  (4  3i) xy 1  4i Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1, x(2  3i )  (2 y  1)(1  i )  5(7  10i) 2, (2 x  i )(3  i )  ( x  y )(i  2) 18  76i 3, (2 x  1)(2  i )  y (  2i )(2  3i) 6  85i  1 i  (3x  y )    ( y  2)( x  i )  19  23i  1 i  4, Bài 8: Chứng minh các số phức sau là số thực: (1  3i )3 (4  3i ) z (2  i) (3  80i  i ) 1, (3  2i ) (  i ) 19 z  3i (1  i ) 2, 2013  19  7i   20  5i  z     7  9 i    6i  3, z (2  i 5)  (2  i 5) 4, Bài 9: Chứng minh các số phức sau là số ảo: 1, z (1  3i)  i (512i  3) z  2i  2i   10i  10i 2013 2 2, z (5i  1) (1  3i )  (8i  10) z 52  2013i 52  2013i  (3  1)(79  7i) 10(23  10i) 3, 4, Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo số phức sau:  2i (1  i )(2  i ) (1  i )(2  i) z z  (1  i )(2  i )  i i 1, 2,  5i 7 i z  (2  i )3 z (2  i)  (1  i)  1 i i 3, 4, Bài 11: Hỏi số phức sau là số thực hay số ảo: 20132 2 i z3  z z   z z z 1, z1 2, Bài 12: Tính giá trị biểu thức sau:    i 3 A     2   1, 1 i 3    2   (1  2i )  (1  i) B (3  2i )  (2  i ) 2, (2  i )3  (2  i )3  1 i  C D    (2  i )3  (2  i )3  1 i  3, 4, Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn: 1, iz  z  i 0 2, (3  2i) z 1  i  z 2013  (1  i )10  (2  3i )(2  3i )  i 3, (1  5i) z  10  2i 1  5i 2i   3i z i  3i   i 3  i   3i 2 z  z i 4,  i 5,  i 6,  i z  2i ( z  1)(1  i )   2i  1 i 7, (  i 3) z   i 8, Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn: 1, (4  3i ) z (2  i )(3  5i ) 2, z  3iz 4  11i  i  z z 1  (3  i ) 10  5i 4, i 3i  5, (2i  1) z  3, ( z  2)i (3i  z )(  3i ) 1 i z   i z  3i   1 i 1 i 6, 7, z  z 8, z  z 2  4i 9,  z  z  (2  i)  z 3i  10, 11,   z.z  z  z 13  18i (1  i ) z   5i  2iz  2i 1 i Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z 5 4, và z  z  z  z 2, z  z 3 z 1 0 z  và và z  z 3, z.z  z 5 và z  z 10  z   i  z   2i 10 5, và z z 5 6, và phần thực nó lần phần ảo nó Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn:  i (2  3i ) z 5i  2 i 2 z  0 z z z z  z z 1, 2, 3, (  i )3 z  2i 4, 5, z  5 17 z  z  z.z 0 7, và   ( z  1)(1  i)  z z 1 i 8, 6, z   2i 5   z.z  z  z  z 10  3i và z.z 34 z  3i   iz z  (2  i )  10 9, và z.z 25 10, Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn: z   4i  z  2i z   2i 1, và nhỏ 2, 3, 4, z   i  iz  z z nhỏ và và z z là số ảo và (2 z   2i)( z  i ) là số ảo  ( z  1) z  2i  là số thực iz   z   i nhỏ và    z (1  z ) z 5, lớn và là số ảo Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn: z   2i z   i  52 1, và nhỏ z  2i z   2i  z   4i 2, và z  i là số ảo 3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn: z 1 và   z2  z  Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn: 1, z   2i  z   4i z z  3i 1 1 z  i z  i 2, và z z  2i 1 2 z  z  i 4, và z  3i 1 ( z  2)(iz   2i) 6 z  i 6, và z  z   i  10 và z 2 z  1 z  z  i 3, và z i 1 ( z  3)( z  3i ) 9 z  5, và z 2 1 ( z  1) z  i 5 z  i 7, 8, và Bài 20: 1, Tìm số phức z cho w  z (2  3i)(2  i)(3  2i ) là số thực  z2  z 0 z 1 z  và   12 2, Cho số phức z thoả mãn: z  z 3  i Tính z z  2i z z 1  z  Tính z  i 3, Cho số phức z thoả mãn: z  4i z  18 z  1 z  Tính z  2i 4, Cho số phức z thoả mãn: 5, Cho số phức z thoả mãn: z  z 3(  2i ) Tính w z  z  z i A   (1  i ) z z  6, Cho số phức z thoả mãn: Tính z  2i 7, Cho số phức z thoả mãn: z  là số ảo Tìm giá trị nhỏ biểu T z 1 z i thức: Bài 21: 1, Cho hàm số: f ( z ) z  z  z  Chứng minh rằng: z w  f (1  i )  f (1  i ) là số thực 2, Cho số phức z x  yi ( x, y   ) thoả mãn: z 18  26i 2013 2013 Tính giá trị biểu thức: A ( z  2)  (4  z ) z 1 w z  a, Xác định phần thực w biết z 1 và z 1 3, Cho số phức z 1 b, Chứng minh rằng: Nếu w là số ảo thì Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm: z  (2  i)  10 1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: và z.z 25 z  2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: và z là số ảo 3,(A-2010) Tìm phần ảo số phức z, biết rằng: z (  i ) (1  2i ) (1  3i )3 z z  iz  i Tính Cho số phức z thoả mãn: z 3 5 z  4i  z 10i z  i 4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn: và 5,(A-2011) Tìm tất các số phức z, biết: Tính z , biết rằng: z2  z  z   (2 z  1)(1  i )  z  (1  i ) 2  2i 6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: z 5i  0 z  1 i  z    i   Tìm phần thực và phần ảo số phức:  z i  2  i w Tính biết w 1  z  z 2(1  2i ) (2  i ) z  7  8i  i 8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: Tính mô đun số phức w  z   i 7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn: z 1 9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: (1  i )( z  i)  z 2i z  z 1 w z2 Tính môđun số phức w, biết z  z 1  i  Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: 2, Tìm số phức z thoả mãn:  ( z  i)  z  2 z  3i  (2  z ) i  z và   là số ảo 3 3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: z  w 4  i và z  w 7  28i   z  z  2i 2 z  i (2  z ) i  z 4, Tìm số phức z thoả mãn: và là số thực 5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ cho: n n  3 i  5 i   z1   z2     i  là số thực và   3i  là số ảo z 1  6, Trong tất các số phức z thoả mãn môđun nhỏ zz 3 2 7, Cho số phức z thoả mãn z  z  13 0 Tính z , hãy tìm số phức có z i  1  z  w   2  z   8, Cho số phức z thoả mãn z  z  0 Tìm số phức 9, Cho z là số phức thoả mãn (1  z )(i  z ) là số ảo Tính giá trị lớn nhất, T z i giá trị nhỏ biểu thức (1  i ) z 2   i 10, Trong tất các số phức z thoả mãn , hãy tìm số phức có môđun nhỏ và số phức có môđun lớn w  z 2013  z  3iz 4  z z Tính 2, Tìm tất các số phức z thoả mãn điều kiện: z 4 z 3, Tính môđun số phức z, biết z  12i  z và z có phần thực dương Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn 4, Tìm phần thực và phần ảo số phức z biết rằng: 5, Tìm số phức z biết:   z   z  (1  i) z 6, Tìm số phức z biết: z  z.z  z 8 và z  z 2 z  12 2i (3  z ) 2014 7, Tìm môđun số phức z biết: z   2i  iz  z 11  2i z   5i 1 8, Tìm số phức z thoả mãn: (1  3i ) z là số thực và 9, *Tìm số phức z cho z và z là hai số phức liên hợp 10, Cho số phức z   3i Tính giá trị biểu thức: 1  1  1  1  P  z     z     z     z   z  z   z   z   11  1 i  z     i  Tính môđun số phức: Bài 25: 1, Cho số phức w  z 2013  z 2014  z 2016  z 2021   3i  z   (1  2i)  1 i  2, Tính môđun số phức z biết: z z  w 2 3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn w là số thực và Tính môđun số phức z iz  (1  3i ) z z 1 i 4, Tìm số phức z thoả mãn: z2  2z  z z 1 5, Tìm môđun số phức z, biết: z  7i z   3i Tìm phần thực số phức z 2013 6, Cho số phức z thoả mãn:  1 i  z  i.z    i   Tính A  z  2i.z 7, Cho số phức z thoả mãn:   ( z  1)(2  3i)  z  (2  3i) 14 z 2 và 9, Tìm số phức z có môđun 1, đồng thời số phức w z  z  có môđun lớn z 2 10, *Cho số phức z 0 thoả mãn z i P z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 8, Tìm số phức z, biết: Bài 26: Cho hai số phức z1 và z2 Chứng minh rằng: 1, z1  z2  z1  z2 2, z1.z2  z1.z2 3, z1.z2  z1 z2 z  z1  z1 z1    z z z2 4, z1  z2  z1  z2 5,   z2 ( z2 0 ) 6, Bài 27: Cho hai số phức z1 và z2 Chứng minh rằng: 1, 2, 2  z1 z2  z1  z2 2   z  z2  2    z    z   z   z1 z2  z1  z2   z1 4,  z1 z2  z1  z2   z1 z2 3,  z1  z2  z1  z2 2 z1  z2 ( z2 0 ) 2 2 Bài 28: Cho hai số phức z1 và z2 Chứng minh rằng: 1, z1  z2  z1  z2 z1  z2   z1  z2  z12   4, 2, z1.z2  z1 z2 z22 Bài 29: Cho số phức z thoả mãn z  2i 1 5 z 1, z z 5,   z 1 z z 3,   z12 2 z1 z2  z22 z13 3 z12 z2  z1 z22 z 23 Chứng minh rằng:   z   z  z 5 2, Bài 30: Cho các số phức x, y, z Chứng minh rằng: x  y  z x y z  x yz   x yz Bài 31: Cho hai số phức z1 và z2 có môđun z1  z2 Chứng minh số phức  z1 z2 là số thực, với z1 z2  Bài 32: Giải các bài toán sau: z  z  z1  z2  1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: 4 z  z  A       z2   z1  Tính giá trị biểu thức: z1  z2  z  i   3iz 2, Cho z1 , z2 là số phức thoả mãn phương trình và A  z1  z2 Tính z  z2 1 z z  z  z 3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: và Tính z  z2  z3 1 4, Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn và z1  z2  z3 1 Chứng minh rằng: z1 z2 z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 z1 (a  a  1)  (2a  3a  4)i a   5, Cho hai số phức: ( ) và z2 3  2i Tìm giá trị tham số a để z1  z2 z  z2 6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt z1 , z2 thoả mãn điều kiện z1  z2 và z1  z2 là số ảo Bài 33: Giải các bài toán sau: z 3 z2 4 z  z  37 1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: , và z z z2 Tìm số phức 2, Cho hai số phức z1 , z2 Chứng minh rằng: w  z1 z2  z1 z2 là số thực z1  z2 2 z  z2 3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1  z2 z1 z2 Tính z  z2  z3 1 4, Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z z  z z  z z  z1  z2  z3 Chứng minh rằng: 2 3 1 z  2 z  2 z z 5, Cho số phức z 0 thoả mãn điều kiện: Chứng minh: Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm  u ● Véc tơ ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi  M ( x ; y ) z  x  yi OM ● Điểm biểu diễn số phức , tức là biểu diễn số phức đó ● Tập hợp điểm M ( x; y ) thoả mãn: 2 + Ax  By  C 0 , A  B  : là đường thẳng + MA MB : là đường trung trực đoạn thẳng AB + y ax  bx  c , a 0 : là Parabol 2 + ( x  a)  ( y  b)  R : là đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R 2 + ( x  a)  ( y  b)  R : là hình tròn tâm I (a; b) , bán kính R + MF1  MF2 2a , F1F2 2c  2a : là Elip MF1  MF2 2a F1 F2 2c  2a + , : là Hypebol … Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức: 1, z 3 2, z  2i 3, z 3  2i 4, z   i Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z 1 z 2 z   2i 4 1, 2, 3, z  i  3  z 1 i 2 z  z  4, 5, 6, z  4i  z  4i 10  z 2  z   i 2 7, 8, 9, Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z 1,  z  5   4, z  z   4i 3, z  i  (1  i ) z 5, (D-2009) 2, z là số ảo z  (3  4i ) 2 (B-2010) z  z   i 2 z  i  z  z  2i z   2i  z   2i 6, 7, 8, Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, z  z   z   2i  4, z i 1 z  i 7, 2, z  i 3  z2  z 3, 5, (2  3i ) z  2i  m 0 z  2i 1 z  8, 6, 4 (1  i ) z  (1  i) z 2 z  z  3i 2 z 9, Bài 5: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 1, (2  z )( z  i ) là số ảo z   3i 3, z  là số ảo 2, z  z  4i là số thực iz   i 7, z   i là số thực z  2i z i 8, iz  là số ảo 9, iz  là số thực Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: 2 1, z là số thực âm 2, ( z  i) là số ảo 3, ( z  i ) là số thực âm 5, z  i là số ảo 4,  ( z  i)2  z z i 6, z  i là số thực dương Bài 7: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z   2i 0 log z  i 1 1, 2, (1  i) z (1  i ) z 3, z  2 log 1 2 z  1  z z   z  26 z   z 4, 5, 6, z   z  4 z  2i  z  2i 6 z   z  8 7, 8, 9, Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn: z   2i 3 1, M biểu diễn các số phức z   i , đó  z  1 i  2, M biểu diễn các số phức z   i , với Bài 9: Giải các bài toán sau:   w  1 i z  z  2 1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức , biết 2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 z   i , biết: a, z  i  z.z    3i  z 3, Cho số phức b, z  i 3 z.z  c, z   3i 5 16(1  i)5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng: w  iz  z 2 z z z   z   6iz  4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w iz  , biết: Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức  3i ,   2i ,   2i ,  7i ,   4i ,  3i ,   2i 1, Chứng minh các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 2, Tìm điểm Q mặt phẳng phức cho tứ giác MNPQ là hình bình hành Điểm Q biểu diễn số phức nào? 3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn Tìm tâm và tính bán kính đường tròn đó  u Bài 11: Các véc tơ , v mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức    u.v  zz ' z z ' u v  zz' z z' z , z ' Chứng minh: 1, 2,   z'    3, Nếu u 0 thì u , v vuông góc và z là số ảo §2.Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai A-Tóm tắt lý thuyết: 1, Căn bậc hai số phức: *Định nghĩa: Căn bậc hai số phức z là số phức w cho w z *Phương pháp xác định bậc hai số phức: Xét số phức z a  bi Gọi w  x  yi là bậc hai số phức z + Nếu a 0, b 0 thì z 0 có đúng bậc hai là w 0 + Nếu a  0, b 0 thì bậc hai z là w  a + Nếu a  0, b 0 thì z a  nên w    x  y a w z   2 w  x  y  xyi  xy b (*) + Nếu b 0 thì ta có nên Giải hệ (*) để xác định các giá trị x, y 2, Phương trình bậc hai: Xét phương trình bậc hai: az  bz  c 0 (1) , với a, b, c   và a 0 Ta có biệt thức  b  4ac z1  z2  b 2a + Nếu  0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trùng nhau: + Nếu  0 , gọi  là bậc hai  thì phương trình (1) có hai nghiệm  b  b  z1  z2  2a ; 2a phân biệt: *Nhận xét: Hệ thức Viét đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức: b c z1  z2  z1 z2  a; a B-Phương pháp giải toán: Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai Bài 1: Xác định bậc hai số phức sau: 1, z 2i 2, z  2i 4, z   3i 7, z   6i 5, z   3i 8, z   5i Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 1, z  z  11 0 2, z  z  10 0 3, z   4i 6, z 4  5i 9, z 46  14 3i 3, z  z  0 6, z  (4  5i ) z  11 13i 0 2 4, z  3z  0 5, z  (i  5) z   i 0 Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 1, z  3(1  i) z  5i 0 (D-2012) 2, z  2(2  i) z   4i 0 3, z  (1  3i ) z  2(1  i ) 0 5, z  2(5  2i) z  28  4i 0 4, z  (3  4i ) z   5i 0 6, z  (5  14i) z  2(5i  12) 0 Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 1, iz  2(1  i ) z  0 2, z  2(2  i) z   8i 0 3, z  (1  i ) z   3i 0 4, z  (1  i) z  10  11i 0   z   3i z  16  3i 0 6, 2(1  i ) z  4(2  i) z   3i 0 Bài 5: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phương trình: 3z  z  0 Tính giá trị các biểu thức: 2 3 5 A  z  z B  z  z C  z  z 2 1, 2, 3, 5, z13 z23 D  z2 z1 4, Bài 6: Chứng minh rằng: z z E  2 z2  z1  5, z12  z2 z22  z1 F  z  z2  6, 1, Hai số phức liên hợp z và z là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực 2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức là z thì z là nghiệm nó Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm: 1, z1 5  2i và z2 5  2i 2, z1   5i và z2   5i 3, z   i 4, z 4  i 5, z   3i Bài 8: Tìm hai số phức biết: 1, Tổng chúng  i và tích chúng 5(1  i ) 2, Hiệu chúng 6i và tích chúng 2(7  6i ) Bài 9: Giải các bài toán sau: 1, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  z  10 0 Tính giá trị A  z1  z2 các biểu thức: 2, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  z  0 Tính giá trị B  z12  z22 các biểu thức: 3, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  z  0 Tính giá trị P  z1  1 2013   z2  1 2013 các biểu thức: 4, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  2 z  0 Tính giá trị 2013 2013 các biểu thức: P  z1  z2 5, Gọi z1 , z2 là nghiệm phức phương trình: 2(1  i ) z  4(2  i) z   3i 0 A  z1  z2 Tính giá trị các biểu thức: 6, Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm phương trình: z  z  0 Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn: z  z1  1 z  z z2  7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 phương 1 i z2  z1 2 Tính diện tích trình: z  z  0 và điểm B biểu diễn số phức tam giác OAB, với O là gốc toạ độ   3i    3i  8, Tìm tất các số thực b, c cho số phức 12 (2  i) (1  i) là nghiệm phương trình: z  8bz  64c 0 9, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  z  11 0 Tính giá trị P các biểu thức: z1  z 2  z1  z2  a b c  10, Giả sử a, b, c là số phức thay đổi thoả mãn và z là nghiệm  1 1 z  2 phương trình: az  bz  c 0 Chứng minh rằng: 11, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình: z  z  0 Tính giá trị A các biểu thức: z1  z2  z1 z2 z1  z2 Dạng 2: Phương trình quy bậc hai Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 3 1, z  0 2, z i 3, z  i 0 6, z  z z  4 4, z  0 5, z  0 Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 3 1, 3z  z  10 z  0 2, z  z  z  2 0 3, z  2(1  i) z  3iz   i 0 5, z  (2i  1) z  (3  2i) z  0 4, z  z  (3  2i ) z   i 0 6, z  2(1  i ) z  (4  9i ) z   7i 0 3 7, z  (4  5i ) z  4(2  i) z  8i 0 8, iz  z  (1  4i) z  0 Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 4 1, z  3z  0 2, z  z  25 0 3, z  (2  i ) z  2i 0 4, z  z  27iz  27i 0  z 1  ( z  3) 6,  z  z    z  z   12 0 8, 5, z  6(1  i) z   6i 0 7, z  (1  3i) z  2i  0 Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 0 1, ( z  i)  z    z  i  0 z 3,  i   z  2iz  1 0 5, ( z   3i )  6( z   3i )  13 0 z 2,  z  ( z  3)( z  2) 10 zi  1 4,  z 6,  8( zi  1)  15 0  z    z  z  z    z 0 2 z iz   z  1  iz    0  0   3   2 z  i z  i z  i z  i     7, 8, Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy) 1, z  z  z  z  0 2, z  (1  2i ) z  2(1  i ) z  (1  2i ) z  0 3, z  (3i  4) z  2(2  3i) z  (3i  4) z  0 4, z  (1  2i ) z  2(1  i ) z  (1  2i ) z  0 5, z  (7  i ) z  2(5  i ) z  (7  i ) z  0 6, z  (3  i ) z  (4  3i) z  2(3  i ) z  0 7, z  (6  10i ) z  (15i  8) z  (6 10i ) z  0 Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức: z2 z  z   z  0 ( z  2)  ( z  2)  z  14 z 13  0 1, 2, 3, z  z  z  z  0 z 5, 2  z    z  3z   36 0 4 7, ( z  i)  ( z  3i) 256 9, z  z  z  z  z  0 11, z  z  z  z  0 4, z  z  z  z  16 z  32 0 z 6, z 8,  3z    z  11z  30  60  1  z  8iz  15  105 10, ( z  1)( z  2)( z  4)( z  7) 34 12, z  z  z  16 z  12 0 Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích: z  z  z  z  ( z  1)( z  az  b) 2, Giải phương trình: z  z  z  z  0 Bài 8: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích: z  3z  z  63 ( z  3)( z  az  b) 2, Giải phương trình: z  z  3z  63 0 Bài 9: Cho phương trình: z  (2  2i ) z  (5  4i ) z  10i 0 (1) Chứng minh (1) có nghiệm ảo, từ đó giải phương trình (1) Bài 10: Cho phương trình: z  2(1  i ) z  3iz   i 0 (1) 1, Chứng minh z 1 là nghiệm phương trình (1) 2, Tìm các số thực a, b để có phân tích: z  2(1  i ) z  3iz   i ( z  1)( z  az  b) 3, Giải phương trình đã cho Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z i : z  (3  i) z  (3  4i ) z   mi 0 Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho Bài 12: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích: z  z  14 z  (2 z  1)( z  az  b) 32 2, Giải phương trình: z291450 Bài 13: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích: z  z  z  z  ( z  1)( z  az  b) 2, Giải phương trình: z  z  z  z  0 Bài 14: Gọi z1 , z2 , z3 là các nghiệm phức phương trình: 27 z  0 ( z1  z2  z3  1) T z1  z22  z32 Tính giá trị biểu thức: Bài 15: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức phương trình: z  z  z  z  0 1 1 T 2 2 2 z1 z2 z3 z4 Tính giá trị biểu thức: Bài 16: Cho phương trình: 3z  z  3z  z  0 (1) 1, Chứng tỏ z 1  i là nghiệm phương trình (1) 2, Tìm các còn lại phương trình (1) Dạng 3: Hệ phương trình phức Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:  z1 z2   5i  z1  z2  z1 z2 3  z  w 3(1  i )  2  2  3 z1  z2   2i z1  z2  z1 z2  z  w 9(  i )    1, 2, 3, 3iz  w   z  3w 2  3i 3 z  (1  i ) w   14i    z  3w  7i 4,  z  w 5  2i 5,  6,  iz  (2i  1) w   9i Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:  (2  i ) z  (3  2i ) w  10  8i  z  w 3   2 1, (3  2i ) z  (   i) w 3  6i 2, 3z  w  3zw  z  0  z  w   2 3,  z w  w  z  2w  0  z  (2  i) w 2  2 5,  z  3iw 5  15i  z  (4  i) w 7  2 4, 3z  (1  3i ) w 291  53i  (3  i ) z  2(2  i ) w 2(1  3i )  6, 2(2  i ) z  (2  3i) w 5  4i Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:  z  w 5  i  z  w  zw 3   2 z  w  8(1  i ) z  w  4(1  i)   1, 2,  z  w  5(2  z )  z  3w  z   w  z  5(2  w)  4, 5,  2w  3z  w Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:  z  w   2i  3 2 z  w  z w  zw 45  60i  3,  z  10iz  42i 6w 11  6,  w  10iw  42i 6 z 11  x  y  z 4  2i  x  iy  z  10 0    x  y  z   5i  x  y  2iz  20 0  x  y  3z 9  2i  i ( x  y )  (1  i ) z 30 1,  2,  3, Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau: (1  2i) z  (1  2i) z 6   z  2i z  z  0    z1  z2  z3 1   z1  z2  z3 1  z z z 1  §3 Dạng lượng giác số phức A-Tóm tắt lý thuyết: 1, Số phức dạng lượng giác: Dạng z r (cos   i sin  ) với r  , gọi là dạng lượng giác số phức z 0 +  gọi là argument số phức z, xác định số đo góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức) Argument số phức z đo rađian, argument z có dạng   k 2 ( k   ) + r là môđun số phức z, tức là r z 2, Nhân và chia số phức dạng lượng giác: Xét hai số phức zr(cosi1n) ; z2 r2 (cos 2  i sin 2 ) Khi đó ta có: z z r r cos(1   )  i sin(1   ) + 2 , với r1 0, r2 0 z1 r1   cos(1   )  i sin(1   )  z r2 + , với r1 0, r2  3, Công thức Moivre: Xét số phức z r (cos   i sin  ) , với số nguyên dương n ta có: n z n  r (cos   i sin  )  r n  cos n  i sin n  (cos   i sin  ) n  cos n  i sin n  *Chú ý: i, Với r 1 ta có ii, Căn bậc hai số phức z r (cos   i sin  ) ( r  ) là hai số phức             r  cos  i sin   r  cos      i sin      r  cos  i sin  2 2  và   2    2 iii, Từ công thức Moivre, ta có thể chứng minh bậc n số phức z r (cos   i sin  ) gồm n số phức phân biệt biểu diễn dạng n    k 2 r  cos   n n     k 2     i sin    n   ; với k nhận các giá trị nguyên từ đến n   n B-Phương pháp giải toán: Dạng 1: Biểu diễn số phức dạng lượng giác 2 ● Chuyển số phức từ dạng đại số z a  bi ( a, b  ; a  b  ) sang dạng lượng giác sau: + Tính r  z  a  b2 cos   + Tìm  thoả mãn đồng thời a b sin   r và r Khi đó dạng lượng giác cần tìm z là z r (cos   i sin  ) ● Mỗi số phức z có nhiều argument,  là argument thì argument n có dạng   k 2 ( k   ) và z có argument là n ● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy z1 , z2 có z1 argument là 1 , 2 thì z1 z2 và z2 có argument là 1  2 , 1  2 Bài 1: Viết các số phức sau dạng lượng giác: 1, z i 2, z 1  i 3, z   i 4, z 1  3i 5, z   i 6, z   i 7, z   3i 8, z 9  3i Bài 2: Viết các số phức sau dạng lượng giác: 1,   z   3i (1  i ) z 2, i  1 i  9,  z   3i (1  i ) z 3, z   i 4 z 2i  3 i   2i 6, z (1  i)(  2i)i 1   3i z    z  2 i  (  3i )  2i z  3(1  i )(   i )   1 i 7, 8, 9, Bài 3: Viết dạng lượng giác và tìm bậc hai số phức sau: 4, 5,  1, z (3  i )(1  3i ) 2, (i  3)(1  12i ) z  2i 4, 7,   z   3i (  i ) Bài 4: 1, Tính cos   z   2i   z   3i (1  3i)   17i  z 6,  z   i (1  7i )(1  2i)  z  2i   3i (3  3i)  i 5, 8, 3, z 9,  11  3i 2   5i (  i )  3i  (  i ) i   sin và   z 1   i 2, Viết dạng lượng giác số phức:  Bài 5: Tuỳ theo góc , viết các số phức sau dạng lượng giác: 1, z 1  cos   i sin  2, z 1  cos   i sin  3, z 1  cos   i sin  4, z 1  cos   i sin  5, z 1  sin   i cos   6, z 1  sin   i cos    cos   i sin  z  cos   i sin  9, 7, z cos   i(1  sin  ) 8, z cos   i(1  sin  )  sin   i cos  z z   cos   i sin     cos   i sin    cos   i sin  10, 11, Bài 6: Viết dạng lượng giác và tìm bậc hai số phức sau:        z   cos  i sin  z cos  i sin z sin  i cos 6  2,  17 17 17 17 1, 3,      z 9   cos  i sin  z 1  cos  i sin 6  6,  6 5, Bài 7: Tìm argument và tính môđun số phức sau:  zcosin 4, 7 1, z   6i 4, z 2   i z 2, z   15i 5, z 2   i  11 3i  3i z 3, z 2   i 6, z (4  7i )(   11i)   3i  5i z  5i  2i 4  2i i 7, 8, 9, Bài 8: Tìm argument và tính môđun số phức sau:    z1cosin z 1  sin  i cos 5 1, 12 2, 2 z  2i (1  i )   3, 5,  z   3i  Bài 9: 1, Tính 2013 (1  i )6    2i   3i cos   z 4, 2013 6, (1  i )   z  10     i   33  19 3i 3 i  2i (1  i )6  13 3i   sin 12 và 12    i sin ) 6 z 6 2 6 i 4(cos   2, Xác định môđun và argument số phức: Bài 10: Cho số phức z có môđun Biết argument z là  , tìm argument số phức: w  2 2z 1, w 2 z 2, 3, w z  z 4, w z  z Bài 11: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức z, biết: 7 z 5 1, và argument iz là z 4 và argument i.z là   3 z z  và argument  i là 3, Bài 12: Tìm số phức z dạng lượng giác biết rằng: 5 z 2 1, và argument (1  i) z là 12   3i z 2, z z 9 và argument là 2,  3, z z  và argument z  argument z  cộng  với 4, z  và argument z 2  i là   z (1  i )  3i  z   13  3i 16 và argument 5, là 12 z 3  1 2z  i  2z 6, và argument z  là 7, 8, z   z  3i  và argument i.z là z  i 2z  z 2  3i  và argument z là Bài 13: Cho hai số phức z1   i và z2 1  i 1, Tính môđun và argument hai số phức nói trên z13 2 2, Tính môđun và argument các số phức z1 , z2 và z2   cos sin 12 và 12 3, Từ đó suy giá trị chính xác       z1   cos  i sin  z2 2  cos  i sin  3  và 4   Bài 14: Cho hai số phức Viết dạng lượng giác các số phức: z1 1 1, z1 z2 2, z2 3, z1 4, z2 Bài 15: Cho các số phức z1   i , z2   2i và z3  z1 z2 1, Viết z1 , z2 , z3 dạng lượng giác 2, Từ đó suy giá trị chính xác 3, Tính w  z1 z2 cos 7 7 sin 12 và 12 z Bài 16: Viết dạng lượng giác số phức:  2 i  2013 5     sin  i sin    2014 Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toán Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau: 1,  z i  z  3i 3 i   2,  z   3i 21  16    z  cos  i sin  i  3i 3  3,  10 (1  i) 18 1 i z   7i  z    (1  i )9  6i  4, 5, Bài 2: Tìm số phức z cho: 1, z và z là hai số phức liên hợp 6,  10 (  i )9 2, z và z là hai số phức liên hợp 32 10  22i z3  z  3i 3, và z là hai số phức liên hợp 4, Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:   (1  i )10  i  10 21 (1  i )    3i A D  i  10 C   B      1 i 3  i   3i  4,  1 i  1, 2, 3, Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?    11i  z     7i  1, 2013     3i  z    3i   2, n n n  13  9i  (7  17i) n z   z (2  3i ) n  12  3i  4, 5, Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho: n   3i  z    3i   3, n   59  11 3i  z  3  2i  6, 2n n  3 i  5 i   z1   z2     3i  là số thực và   3i  là số ảo Bài 6: Giải các bài toán sau: n  1, Tính giá trị biểu thức:  2, Tìm phần thực, phần ảo số phức 3, Cho số phức z    A   i (1  i)5  (1  i)5  i w z 2013  z 2013  z  1 z , biết i 2 Tính w  z 2011  z 2012  z 2013 z  i 2 Tính C 1  z  z  z  z   z  z10 4, Cho số phức 5,(A-2013) Cho số phức z 1  3i Viết dạng lượng giác số phức z Tìm phần thực, phần ảo số phức w (1  i ) z