chuyên đề số phức luyện thi 2015 – GV lê bá bảo

Chuyên S PH C CHUYÊN Luy n thi S : I- LÝ THUY T: 1/ T p h p s ph c: 2/ S ph c (d ng ⊂ ⊂ PH C ⊂ i s ): ∀ ∈ i H c 2015 ⊂ ⊂ ∈ ∈ = + =− Nh n xét: + + 3/ Hai s ph c b ng nhau: = = ⇔ = + = = ∈ = = + = ⇔ x = b 4/ Bi u di n hình h c: S ph c = + (a, b∈ c bi u di n b i i m ( ) hay b i = ( ) mp(Oxy) 5/ C ng tr s ph c: Cho = + + = + + + − = ( ) ( ) 6/ Nhân hai s ph c: = ( = ( )+( − a y + )+( − O M(a;b) ) − ) + 7/ S ph c liên h p c a s ph c = + = − a) = + = + = b) s th c ⇔ = ; z s thu n o ⇔ = − 8/ Mô un c a s ph c: = + a) = b) ≥ ∀ ∈ 9/ Chia hai s ph c: Lúc ó: + + = = ( ( + + + = − ! = = ⇔ = + )( )( = − = ) =( ) = = − = )( + − 2) = + = ) = s thu n o ⇔ = = = ) ≠ + L u ý: 1) = + s th c ⇔ = LUY N T P: Ch ng minh r ng: ∀ ! ! ∈ , ta có: ≠ ( + ! + ≤ + = = ∀! ∈ Th c hi n phép tính sau: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -1- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C # (" − $ ) + ( + % ) ( & − ) +" & ) " (" − ) + (" + ) " * 3) Tính bi u th c sau: , a) ! " ! % ! $ ! ! ! b) ( )!( + + − c) % / $ # " ( + " )!( + - ( ( ( −' )−( −% + )( ( − T % )!( )( + + Luy n thi i H c 2015 ( − % )( " + $ ) ) −% )+( + )( − ó suy cách tính )!( + ) ! ( +( +" )( −" )+ 2# 3# a) + + )( " + $ ) + π + " π + ' d) π " π ' π * ' ( "( π + ' %$ + $ + π + " ( −% ) " c) % +" b) +- d) " +$ )( %$ + %$ ) ( & , + , )( π $ + ) − $ −% ∈ v i π ) ) (" + ) −% ( + ) $ ( ( ) "" +( − ) + π " % ) $) %$ + + π ,$ + % + ( % π " π − ( $ " ' :;< =7 >? @ A > BC + CD >H # a) Ph n th c b ng i ph n o ,$ % + " E + & d) Ph n o b ng l n ph n th c c ng + ) π , &B (F + , " π + &9 + = C; CG < − < +" − = − π + + < ) * Ph n th c b ng ph n o " ) ) + = − h) T ng bình ph ng c a ph n th c ph n o b ng 1, ph n th c không âm k) Ph n th c không v t ph n o l) Ph n o l n h n m) Ph n o < , ph n th c > T ng t : 1) + + " = % 2) − + − = 3) − = − + 4) −( ) =% 5) + = − 7) − % + + % = 8) ≤ + − ≤ 7) Tìm s ph c , bi t: a) = ! b) = $! 8) Tìm s th c ! tho mãn i u ki n: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -2- 6) + > − &I + CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C # + = $+ ( ) + ( − + ) = (" − + " + ( " − ) = + + ( − ") +" + ) % Ch : S ) + (% + − − ") = $− = PH C VÀ M T S ( )( + )=( − − + ) + + = + + = ⇔ − ⇔ = + + c ( − ) − ) = $+ − + + = − ho c )+ + = = + = = = + = ! = =− =− = = K t lu n: Có s ph c th a y.c.b.t là: = ! Bài t p 3: Tìm s ph c th a mãn: * Gi i (2) ta ( B N = * Gi i (1) ta ( )( + +( + = + = # + = = ∨ = − ⇔ ( − = − + (" − Khi ó: = ⇔( + ⇔ )( = ) ) Bài t p 2: Tìm s ph c , bi t r ng + +( + D NG TOÁN C + Suy ra, ph n th c c a G i ý: t = + + +( − ( * Bài t p 1: Tìm ph n th c c a s ph c , bi t r ng G i ý: Ta có ( & Luy n thi i H c 2015 + ) + "( − ) = $ − ' ) +" c & = − = −% + ) ( − ) + = + − −% = * + − = − +" + % = G i ý: # ( +" & ( − + − d) t ) ) = − ⇔ ( +" −% = ⇔ = ) −( − " ) − " = =− + +" −%( + ) , % , % = − = + − )( + ) $ $ $ $ =− ⇔ = % = − ( ( − + " )( − − +" ⇔ = + ( +) = + Khi ó: = )= + % ( + % )( " − % ) % = = + "+ % $ $ $ Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -3- CLB Giáo viên tr TP Hu ) ) Chuyên S PH C = −% ⇔( + + Luy n thi )+ ( )= − −% ⇔" − +% " Nh n xét: Trong ví d trên, ta tìm s ph c ) + = t = + Khi ó: " = ⇔ =% = " =% = V y ( + = − ⇔ − + = − = − ⇔ )+( + ⇔ ( + = = = c = + − = ⇔ ( − − + )+( ) − = + = = ∨( − = ) + = =− = = " =− " + − =− ! " + ! " = = = − = + − = ! =− = K t lu n: Có s ph c th a y.c.b.t là: % ⇔ nh ngh a hai s ph c b ng = = * Gi i (2) ta d a vào ⇔ )= − ho c = c − )= − − + = * Gi i (1) ta * = −% ⇔ i H c 2015 =− Ta có: + = − ⇔ ⇔ + =− − + = − ⇔ ⇔ + =− − K t lu n: Có s ph Bài t p 4: Xét i % ( − )( + ) − Giáo viên: LÊ BÁ B + = − ⇔ + =− + + =( − ) + = (− + ) ⇔ = =− c th a y.c.b.t là: = ! = ! = − m A, B, C m t ph ng theo th t bi u di n s ph c +' "− O 0935.785.115 -4CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi a) Ch ng minh ABC tam giác vuông cân b) Tìm s ph c bi u di n i m D cho ABCD hình vng G i ý: % a) Ta có = − V y ( − ) − ( − )( + ) = " + , suy ( " ) T ng t +' = "− ,v y = Lúc ó, ta có ( ) ! = ! i H c 2015 = = = + Tam giác ABC vuông cân t i B b) G i D nh th t c a hình vng ABCD Do ABC tam giác vuông cân nên yêu c u =− toán t ng ng v i = ⇔ ( − −") = ( − )⇔ ⇔ (− − ) =− V y D bi u di n s ph c = − − CH D NG L : NG GIÁC C A S PH C I- LÝ THUY T: Cho s ph c ≠ Gi s i m M i m m t ph ng bi u di n s ph c S o (ra ian) c a m i góc l ng giác có tia u Ox, tia cu i OM c g i m t argument c a Nh n xét: N u ϕ m t argumen c a , m i argument c a có d ng ϕ + π D ng l ng giác c a s ph c: = + Xét s ph c ≠ Gi s mơ un c a thì: = ( ϕ + = + = ( ϕ+ ϕ) G i ϕ m t argument c a D ng i s c a : D ng l ng giác c a : = = + ϕ) ϕ= Trong ó: = = + ϕ= Nhân chia s ph c d !i d ng l ng giác: Cho hai s ph c = ( ϕ + ϕ )! = (ϕ = Lúc ó: (ϕ = +ϕ ) + −ϕ ) + (ϕ (ϕ Công th c Moa-vr": Cho s ph c = ( ϕ+ ϕ) = ( +ϕ −ϕ = ( ϕ + ϕ )v i > ! > ) ) ( ϕ+ ϕ) ϕ+ ϕ) C#n b c hai c a s ph c d !i d ng l ng giác: Cho s ph c = ( ϕ + ϕ ) ! > Khi ó có hai c n b c hai là: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -5- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C ϕ Luy n thi ϕ + ϕ − ϕ + II- BÀI T P MINH H$A: Bài t p 1: Cho ! nghi m c a ph ϕ = ϕ +π + +π + + = Bài t p 2: Tìm s ph c G i ý: t = + ! ( + + = − +" = = = (− ) = ( − ) + ( −") −( + −( + − = )+( − = $ + ) +( − − )= = − )=( ) + ( = − ) +( = ) − =" =% =$ = K t lu n: V y có hai s ph c th a y.c.b.t = " + % ! = $ Bài t p 3: Vi t s ph c sau d i d ng l ng giác: − " # − " ( + ) & + G i ý: ( ) "= a) Ta có: − − π + " = = $ + = $ ⇔ + = ⇔ ) +" = th a mãn ) ! ∈ M t khác, ta có ( + ng trình = Ta có: = Tính giá tr! bi u th c ng trình G i ý: Xét ph Lúc ó: + = − −" = + i H c 2015 − π π + = " ϕ+ π + % % ϕ Lúc ó: ( − b) T " )( + )= "= ng t : − Lúc ó: " − + − " − − = π π + π " π + % + + " π % − − − i = ϕ+ ϕ= π = % − π + = " % + π + − π π % π " = − π " − π + % − π " − π % % = c) Bi n " + π π + π π −ϕ + Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -6- − π π + − π −ϕ CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S V y d ng l PH C Luy n thi ng giác c a π π −ϕ + i H c 2015 −ϕ Bài t p 4: Tùy theo góc ϕ , vi t s ph c sau d i d ng l ng giác: − ϕ− ϕ # & ( − ϕ− ϕ )( + ϕ + + ϕ+ ϕ G i ý: a) Xét s ph c: ϕ = ϕ− ϕ+ − + ϕ = ϕ ϕ + − ϕ ϕ π ϕ = ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = # ϕ ϕ − − ϕ − ϕ + π = # ϕ + ϕ) ϕ − π + − π T (1) suy ra: *N u # *N u # *N u # ϕ ϕ ϕ > , s ph c có d ng l ng giác (1) < , s ph c có d ng l ng giác − # = , s ph c khơng có d ng l l ng giác xác !nh) b) Xét s ph c: = ( − =% = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ T (2) suy ra: *N u ϕ − + ϕ ϕ− ϕ< − d ng l ϕ d ng l ϕ (− π ϕ+ ϕ − ng giác (vì ϕ − = ng giác c a s ph c + ϕ− π ϕ( π khơng có d ng i câu a, ta có: ϕ) ϕ− là: ϕ π là: π +ϕ + *N u ϕ = , s ph c khơng có d ng l ng giác (vì l ng giác xác !nh) Bài t p 5: Xác !nh ph n th c ph n o c a m i s ph c sau: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -7- = + ng giác c a s ph c ϕ) = − π ϕ ) D a vào bi n ϕ+ ϕ + ϕ ϕ> *N u ϕ )( + ϕ ϕ− ϕ ϕ = +ϕ khơng có d ng CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C ( # ) + ( Luy n thi "+ ) π & - " π − $ " ( i H c 2015 + " ) G i ý: a) Xét s ph c π = ( ( ) + "+ ) - % = π ' $ π $π - % + có ph n th c b ng − V y π + "π = - $π + = "π + % ( π)=− π+ ' ' ph n o b ng ' b) Xét s ph c π = " = V y π − $ " − π " ( + " + − ) = − π + " π + " π " π " có ph n th c b ng ph n o b ng Bài t p 6: Cho s ph c a) = − + %−" Tìm π π " " = ( π + " π)= π+ nguyên d s th c ng b) : s thu n o G i ý: = Ta có: = + %−" π ( ) % = ( + )( % + " ) = $ $+ $ $ =( + ) π = % + π % π + % π a) s th c ⇔ b) s thu n o ⇔ % = ⇔ π % π % =% = π⇔ = ⇔ π % = π ( ) ∈ =% + + π⇔ Bài t p 7: Xác !nh ph n th c ph n o c a s ph c + ( ∈ ) , bi t + = G i ý: = Cách 1: Ta có: + = ⇔ − + = ⇔ = TH 1: V i = π " + π " + " − " = = π " π " + − π " π " , Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -8- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S + PH C π = Luy n thi π + " + " π π = " K t lu n: Khi + = − " π " π + " π = + + − π − " " " + " π = π − π + " ng t + " π = TH 2: T π + π + " i H c 2015 π + " π − + " = " ' π = = = Cách 2: ( H c sinh H% V&N RƠN 12A Niên khóa 2008- 2011) + " = Ta có: + = ⇔ − + = ⇔ − " = Xét π = " π + = ( ) " π = " + Suy ra: " ' + " ( ) " ' π + ) ' G i ý: Ph ng trình ⇔ ( − % Suy Lúc ó: = = ( − ) ) = π " " π − " π+ = + (− ) − + = − ta c"ng có π + " Hồn tồn t ng t cho TH l i Bài t p 8: G i nghi m c a ph ng trình Tính giá tr! bi u th c: " = " = (− π = ' π =− = + = + = ( = − ) = −% + = ( ) % $ " + ( ) % $ " = ( −% ) $ " + ( −% ) $ " '$ " + =− %$ " Bài t p t "ng t : Bài t p 1: Cho s ph c a) Tìm = = − + − ( − b) Tìm ) ( ∈ − ≤ Bài t p 2: Xét s ph c th a mãn i u ki n ) c) Tìm % − − có mơ un nh nh#t = '− (1) a) Tìm t p h p i m M bi u di n s ph c th a mãn (1) b) Trong s ph c th a mãn (1), tìm s ph c có argument d Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -9- ng nh nh#t CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 Bài t p 3: Trong s ph c th a mãn − $ ≤ " , tìm s ph c có argument d ng nh nh#t Bài t p 4: Cho A, B, C, D theo th t i m m t ph ng bi u di n s ph c ( ) ( % + "+ " ! ) + " + " ! + " ! " + Ch ng minh: B n i m A, B, C, D n m m t $ng tròn Bài t p 5: Ch ng minh # ( ( + + ) ' +( − ' ) +( − ) ' ) ' ng th c sau: - =− & ( ( + − Bài t p 6: Vi t s ph c =( # ) − % d i d ng l cho + Bài t p 8: Cho sau: ϕ Cho m t s nguyên d = + a) ϕ+ minh r ng: N u ! Bài t p 10: Cho α = ∈ ! ! + − b) ! " ! $ + Tính ( +α = )( +α% ϕ = t = ( +α ) $ ng Ch ng minh h th c ng ng bi u di n s ph c − th ng hàng m t s th c " − " " − − = Tìm giá tr! l n nh#t c a ϕ Bài t p 9: Cho ba i m " ) ng giác Bài t p 7: Cho s ph c = = (− − − + ( = + ) ) )( +α, ) ( ! ! +α " Ch ng )v i ≥ Bài t p 11: Cho = "− Tìm hàm h p + " = ( ( ( ))) $ CH GI I PH : NG TRÌNH TRÊN T P S I- LÝ THUY T: C#n b c hai c a s th c âm: =− K # L J CM N &@ ( − =− 5Q + ! N &@ # O# − # O# − $ 5R + S TN &@ ± # O# − P + $( ± CM N &@ $ 0C PH C # O# − = −$ ± Ph "ng trình b c nh't v!i h( s ph c: JU + Q + 2V = ! ∈ ⇔ = ∈ ( ≠ ) Ph "ng trình b c hai v!i h( s th c: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -10- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên G i ý: S PH C Luy n thi i H c 2015 + < Gi s ta có (ng th$i + < t ( + ( (*) ( = + + ) ! ∈ + ) Lúc ó ⇔ − ) +% C ng (1)- (2) v theo v ta Bài t p 10: Cho ( < ! ∈ < c: ( ( + + + )+% )+ ( ) +( + Ch ng minh r ng: % = + < − ) )< < ( vô lý ) Suy p.c.m + ∈ G i ý: gi i toán này, ta s d ng m t tính ch t quan tr ng c"a s ph c liên h p là: ∈ ⇔ = = + = − Th t v y: Gi s Ta có: = ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = = ∈ Tr l i toán trên: + = + = + = % % ∈ ( p.c.m ) Ta có: % = - Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -27- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 TUY/N T P THI H - C QU C GIA Ph n t luy n: 01: Cho s ph c z 02: Cho s H A- 2014 ph c z th a mãn i u ki n z + ( + i ) z = + 5i Tìm ph n th c ph n o c a s H B- 2014 ph c z th a mãn i u ki n z + (1 − i ) z = − 9i Tính mơ un c a s ph c z 03: H D- 2014 Cho s ph c z th a mãn i u ki n ( z − z )(1 + i ) − z = 8i − Tính mơ un c a s ph c z 04: H A- 2013 Cho s ph c z = + 3i Vi t d c a s ph c w = (1 + i ) z i d ng l ng giác c a z Tìm ph n th c ph n o 05: H D- 2013 Cho s ph c z th a mãn i u ki n (1 + i )( z − i ) + z = 2i Tính mơ un c a s ph c z − 2z + z2 06: A- 2012 w= Cho s ph c z th a mãn 5( z + i ) = − i Tính mơ un c a s ph c w = + z + z z +1 07: B- 2012 G i z1 z2 hai nghi m c a ph ng trình z − 3iz − = Vi t d ng l ng giác c a z1 z2 08: D- 2012 (1 + 2i ) Cho s ph c z th a mãn ( + i ) z + = + 8i Tính mô un c a s ph c w = z + + i 1+ i 09: D- 2012 Gi i ph ng trình z + (1 + i ) z + 5i = t p s ph c 10: A- 2011 a) Tính mô un c a s ph c , bi t: ( b) Tìm t#t c s ph c , bi t: = )( − + )+( )( + − )= − + 11: B- 2011 a) Tìm s ph c , bi t: − $+ " − = b) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c 12: D- 2011 Tìm s ph c , bi t: − ( + " ) = " + " + = −- 13: A- 2010 a) Tìm ph n o c a s ph c , bi t = ( Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -28- + )( − ) CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi ( − " ) Tìm mô un c a s ph c + − 14: B- 2010 Tìm t p h p i m bi u di n s ph c th a mãn − = ( + b) Cho ph c th a mãn: 15: D- 2010 Tìm s ph c 16: A- 2009 G i = + tr! c a bi u th c = = th a mãn: ) s thu n o nghi m ph c c a ph 17: B- 2009 Tìm s ph c i H c 2015 " ng trình: + + = Tính giá = $ tho mãn : − ( + )= 18: D- 2009 Tìm t p h p i m bi u di n s ph c z th a mãn i u ki n a − ( " − % )= 19: (C - 2010) 1) Cho s ph c ( th a mãn: o c a s ph c 2) Gi i ph ng trình −( + ) +( − ) + + + )( + = ) = −( + ) Tìm ph n th c ph n t p h p s ph c 20: (C - 2009) 1) Cho s ph c th a mãn: ( ) − = + +( + ) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c 2) Gi i ph ng trình − − − = − t p h p s ph c 21: (C - 2011) 1) Cho s ph c 2) Cho s ph c ph c th a mãn: ( − ) ( − ) + th a mãn: + = ) + − + Tính mơ un c a s ph c = Tìm ph n th c ph n o c a s 22: (C - 2012) 1) Cho s ph c m t ph ng t a 2) G i th a mãn: ( − (Oxy) hai nghi m c a ph − =( − + ) − ng trình Tìm t a + + i m bi u di n = Tính + 23: (C - 2013) 1) Cho s ph c c a s ph c =( + 2) Gi i ph 24: (C - 2014) Cho s ph c th a mãn: ( + ) +( − ) = + Tìm ph n th c ph n o ) ng trình z + ( − 3i ) z − − 3i = t p th a mãn: − = + Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -29- s ph c Tìm ph n th c ph n o c a s ph c CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 TUY/N T P THI H - C QU C GIA Ph n g i ý áp án: 01: H A- 2014 Cho s ph c z th a mãn i u ki n z + ( + i ) z = + 5i Tìm ph n th c ph n o c a s ph c z G i ý: 3a + b = a=2 t z = a + bi ( a, b ∈ ) T gi thi t suy ra: ⇔ a −b = b = −3 Do ó s ph c z có ph n th c b ng ph n o b ng −3 02: H B- 2014 Cho s ph c z th a mãn i u ki n z + (1 − i ) z = − 9i Tính mơ un c a s ph c z G i ý: ( a, b ∈ ) T t z = a + bi 5a − 3b = a=2 ⇔ 3a + b = b=3 gi thi t suy ra: Do ó mơ un c a s ph c z b ng 13 03: H D- 2014 Cho s ph c z th a mãn i u ki n ( z − z )(1 + i ) − z = 8i − Tính mơ un c a s ph c z G i ý: t z = a + bi ( a, b ∈ ) T gi thi t suy ra: ( a + bi ) − ( a − bi ) (1 + i ) − ( a + bi ) = 8i − 3a + 4b = a=3 ⇔ 2a − b = b = −2 ⇔ Do ó mơ un c a s ph c z b ng 13 04: H A- 2013 Cho s ph c z = + 3i Vi t d i d ng l c a s ph c w = (1 + i ) z ng giác c a z Tìm ph n th c ph n o G i ý: π π + i = cos + i sin 2 3 Ta có: z = + 3i = Suy ra: z = 25 cos Do ó: w = 16 ( 5π 5π + i sin = 16 − 3i 3 ( ) ( ) ) + + 16 − i V y w có ph n th c b ng 16 ( ) ( ) + ph n o b ng 16 − 05: H D- 2013 Cho s ph c z th a mãn i u ki n (1 + i )( z − i ) + z = 2i Tính mơ un c a s ph c w= z − 2z + z2 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -30- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên G i ý: Cách 1: S PH C Luy n thi ( a, b ∈ ) T gi thi t suy z t suy ra: ( + i ) z = −1 + 3i ⇔ z = i t z = a + bi Cách 2: T gi thi i H c 2015 w = 10 w Suy ra: w = −1 + 3i Do ó mơ un c a w b ng 10 06: A- 2012 5( z + i ) Cho s ph c z th a mãn = − i Tính mơ un c a s ph c w = + z + z z +1 G i ý: ∈ ) ≠− t = + ( Ta có: ( + + )= − ⇔( )+( − − − + ) − − = = ⇔ − + = ⇔ = = w = + z + z = + (1 + i ) + (1 + i ) = + 3i Suy ra: z = + i V y w = 13 07: B- 2012 G i z1 z2 hai nghi m c a ph giác c a z1 z2 ng trình z − 3iz − = Vi t d ng l ng G i ý: Ph ng trình z − 3iz − = có bi t th c ∆ = Suy ph = + ng trình có hai nghi m: =− + D ng l ng giác c a s ph c là: = D ng l ng giác c a s ph c là: π = π + π π + 08: D- 2012 Cho s ph c z th a mãn ( + i ) z + (1 + 2i ) = + 8i Tính mơ un c a s ph c w = z + + i 1+ i G i ý: Ta có: ( + i ) z + (1 + 2i ) = + 8i ⇔ ( + i ) z = + 7i ⇔ z = + 2i 1+ i w = + 3i V y w =5 09: D- 2012 Gi i ph ng trình z + (1 + i ) z + 5i = t p s ph c G i ý: Ph ng trình z + (1 + i ) z + 5i = có bi t th c ∆ = − Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -31- =( − ) CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Suy ph ng trình có hai nghi m: Luy n thi − ( 10: A- 2011 a) Tính mơ un c a s ph c , bi t: ( b) Tìm t#t c s ph c , bi t: = = ( − )−( + G i ý: a) G i = + Lúc ó: ( ( ⇔( = )+( + )( + )− ( ) +( − ( + )+ ( )+( + )+( − − )=− )( + )+( − − + )( − )= − + ) )( + )+( + − ∈ − − ⇔( ( )=− − )+ − − = i H c 2015 + − ) − )= − = − − )= − + )−( + − − ⇔ + ) = − = = + − =− ⇔ =− − K t lu n: = b) G i = + Lúc ó: = − ⇔ = ( ∈ + ⇔( + + + =− Suy ra: ) ⇔ ) = + + − ⇔ − + = + + − =− ( )= + ( ) = ( ) ho c ( ) = − ho c ( )= K t lu n: V y có s ph c th a yêu c u toán = − − =− + =− − 11: B- 2011 a) Tìm s ph c , bi t: − $+ " − = b) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c G i ý: a) G i = + ( ∈ ), + = " + " + ≠ Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -32- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S − Lúc ó: PH C $+ ⇔ " − = ⇔ − −$− + =− " ( ) = (− Suy ra: $+ " − = + = ⇔ + − −$ − ) ( Lúc ó: = + " + )=( = ,( = π + π) π+ "π =− − V y s ph c π = 12: D- 2011 Tìm s ph c , bi t: − ( + " G i ý: G i = + ( Lúc ó: − ( + " ⇔ − − " − (" − " π % + π % π + = + = −- ) ∈ ) ) = − + = "π + % % có ph n th c b ng ph n o b ng + = ) − π = " ) =− " K t lu n: V y có s ph c th a yêu c u tốn b) Ta có: + + " − − = ⇔ ) ho c ( − i H c 2015 − ( "− − − −$= + ⇔ Luy n thi −( +" = −- ⇔ + ) = −- ⇔ )( − −" = − −- = ⇔ " −" = )= =− V y = − 13: A- 2010 a) Tìm ph n o c a s ph c , bi t b) Cho ph c th a mãn: = ( = − " ) ( + )( − ) " − + Tìm mơ un c a s ph c G i ý: ( + = $− = a) Ta có: Suy ra: )( − ) = $+ b ng − −, b) Ta có: − " = −, = = −% − % − Suy ra: + = −% − % + ( − + % ) = −, − , V y ph n o c a s ph c ( V y + ) =, " = −% + % 14: B- 2010 Tìm t p h p i m bi u di n s ph c th a mãn − = ( + ) G i ý: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -33- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Bi u di n s ph c = + +( − ⇔ ( − = Ta có: ) ) + =( − ( ) b i i m +( − ⇔ ) +( ) + ) = ( )+( ⇔ G i ý: G i = + ( = Ta có: − = + ) $ng tròn tâm = th a mãn: = − = = V y: = + Ta có: − = − − + = − − ng trình: + + = Tính giá =− − = ( −( + )=( tho mãn : − ( + )= = $ ) ∈ )+( − = $⇔ M t khác: Gi i h (1), (2) ta có: ( − ) = $ (2) ) = ( ) ho c −( + )= ⇔( − ) +( − ) = + ( )=( ) K t lu n: V y có s ph c th a yêu c u toán = + = 18: D- 2009 Tìm t p h p i m bi u di n s ph c z th a mãn i u ki n a − ( " − % G i ý: Bi u di n s ph c Ta có: 17: B- 2009 Tìm s ph c G i ý: G i = + = = + ) = ⇔ G i ý: Ph ng trình + + = có ∆ = − = Suy ph ng trình có nghi m là: = − + = − s thu n o V y s ph c c n tìm là: + 16: A- 2009 G i nghi m ph c c a ph Lúc ó: ( + + Yêu c u toán th a mãn ⇔ tr! c a bi u th c i H c 2015 ) ∈ + + + − V y t p h p i m M bi u di n s ph c 15: D- 2010 Tìm s ph c Luy n thi m t ph ng (Oxy) − (" − % )= = + ⇔ b i i m ( + )= ( ) m t ph ng (Oxy) ) − (" − % ) = V y t p h p i m M bi u di n s ph c ⇔ ( − ") + ( + % ) = % $ng tròn tâm ( − ) = 19: (C - 2010) Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -34- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi 1) Cho s ph c o c a s ph c 2) Gi i ph ng trình G i ý: 1) G i = + Ta có: + ( V y ph n o c a ) + −( + ) = − + + = −( + ) Tìm ph n th c ph n t p h p s ph c = + ) ( − = − V y ph ng trình có hai nghi m: 20: (C - 2009) th a mãn: ( =− + = )=− + =( − − ) = )( + =− ⇔ = b ng − b ng ph n th c a 1) Cho s ph c ) + = + ⇔ ng trình có bi t th c ∆ = ( + 2) Ph ) +( − ) ∈ ( − ( th a mãn: i H c 2015 ) − = + +( + ) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c 2) Gi i ph − − − ng trình G i ý: 1) H th c gi thi t tr thành: ( = − ) + t p h p s ph c = + ⇔ = − V y ph n o c a b ng − ph n th c a b ng 2) i u ki n: ≠ Ph ng trình t ng ng v i: − ( + Ph =( − ng trình có bi t th c ∆ = − = + V y ph ng trình có hai nghi m: 21: (C - 2011) 1) Cho s ph c th a mãn: 2) Cho s ph c ( + th a mãn: ph c = = + ) ( + + + = ) + + − Tính mơ un c a s ph c = Tìm ph n th c ph n o c a s G i ý: 1) G i = + ( )( ∈ ) Ta có: (− V y = 2) Ph ng trình có bi t th c ∆ = V y ph − ) ) + + + )+( )= − − + ⇔ = − = ⇔ = = = + = ng trình có nghi m: ( = + + ) − = = + Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -35- = − CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C V y ph n th c c a Luy n thi b ng i H c 2015 b ng − ph n o c a 22: (C - 2012) 1) Cho s ph c m t ph ng t a 2) G i th a mãn: − ) −( ) − V y i m 2) Ph ng ng v i: − = ⇔ (− − + bi u di n ng trình ã cho t ( V y + ) − = + − = ) Tìm t a − ng trình + + ⇔ = m t ph ng t a ng ) −( − ) − =( − + − (Oxy) hai nghi m c a ph G i ý: 1) Ph ng trình ã cho t ( ( + i m bi u di n = Tính + (Oxy) ng v i: − ) = ⇔( − )( − + )= = = − ⇔ 23: (C - 2013) 1) Cho s ph c c a s ph c =( + 2) Gi i ph ) th a mãn: ( + ) +( − ) = + Tìm ph n th c ph n o ng trình z + ( − 3i ) z − − 3i = t p s ph c G i ý: 1) Ta có: ( + 2i ) z + ( − i ) = + i ⇔ ( + 2i ) z = + 5i ⇔ z = + i Suy ra: w = ( + i )(1 − i ) = − i V y w có ph n th c b ng ph n o b ng −1 2) Ph ng trình z + ( − 3i ) z − − 3i = có bi t th c ∆ = −1 Suy ∆ = i Nghi m c a ph ng trình ã cho z = −1 + 2i ho c z = −1 + i 24: (C - 2014) Cho s ph c th a mãn: − = + Tìm ph n th c ph n o c a s ph c G i ý: 2a − b = a=3 ⇔ t z = a + bi ( a, b ∈ ) T gi thi t suy ra: 2b − a = b=4 Do ó s ph c z có ph n th c b ng ph n o b ng BÀI T P T LUY N: 14) T t nghi(p 2008 51 + 2? O# & B 15) T t nghi(p 2008 L2 \ Q + 2V Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -36- = − ( + " + = ) +( 2K − " @ ) CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C 16) T t nghi(p 2009 \ Q + 2V \ a − = "− 2K @ W7 >? O# = " − % W7 >? O# = +$ +' +$= + a) Tìm s ph c 2K $ @ = "− % +−$ − c) Tìm ph n th c, ph n o mô un c a s ph c 19) (THTT/1 /2009) Kí hi u Tính giá tr! s ph c " 5VC % 51 N &@ = =( +" hai nghi m ph c c a ph − 3+i 20) Ch ng minh z = 1+ i 5VC ! − , bi t s ph c b) Tìm c n b c hai c a s ph c ng trình : = − " W7 >? " \ Q + 2V T t nghi(p 2011 21) Gi i ph + 2K + = @ i H c 2015 O# ,a − % + = Q + 2V " T 17) T t nghi(p 2010 T = + T Luy n thi )( − )−% ng trình: − + = 12 m t s th c 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i + − C; ! C; # O# % = (− +% )+ ( ) " + = +- 1 1 + + + v i z1 ≠ 0; z2 ≠ 2 z1 + z2 z1 z2 ( z1 + z2 ) z1 z2 25) Tìm giá tr! nh nh#t c a | z | n u | z − + 2i |= 26) Cho bi t z + = a Tìm s ph c z có mơdun l n nh#t, mô un nh nh#t z # $+ b) 27) Tìm s nguyên x,y cho s ph c z = x + yi tho mãn z = 18 + 26i 28) Cho hai s ph c z1! z2 tho mãn z1 = z2 = z1 + z2 = Tính z1 − z2 29) Tìm t p h p i m bi u di n m t ph ng ph c s ph c ω = + i z + bi t r ng s ph c z tho mãn: z − ≤ 30) 51 CY> =7 >? ! O# # 6−i 1) z = 2) z = ( − 3i ) − ( − i ) 3) z = − 3i + (1 − i ) + 2i Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -37- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C 31) Tìm s ph c th a mãn: a) 32) + = − + Luy n thi + − m t s thu n o + a) Tìm ph n o c a s ph c , bi t: + " = ( b) Tìm ph n th c c a s ph c , bi t: − ( + 33) a) Tìm ph n th c c a s ph c =( + ) − ) " ) =( + ) ∈ v i = b) i H c 2015 , th a mãn ph ng trình: + % ( − ") + + % ( + - ) = " −( +" + b) Tìm ph n o c a s ph c , bi t: M TS ) = BÀI T P THÊM: S PH C: Bài t p 1: ( THTT 2011) Tìm z ∈ th a mãn: z = z + z (Xem l#i !) Bài t p 2: (D b* 2012) a) Tìm GTLN GTNN c a z v i z = ( m − ) + (1 − m ) i 2 b) Gi i ph ng trình ( z − i ) ( z + i ) − z + = Bài t p 3: (D b* 2012) a) Cho z ∈ th a mãn: z = Ch ng minh r ng: z + ≤ b) Tìm z ∈ Bài t p 4: a) Tìm z ∈ th a mãn: z (1 − 2i ) = ( + 4i )( − i ) ( ) ( ) − (1 + ) (1 − i ) z − 4i = th a mãn: z = ( z + 1) − i + ( z + 1) + i = 14 b) G i z1 , z2 nghi m c a ph ng trình: z 2012 Tính giá tr! bi u th c A = z12012 + z2 Bài t p 5: Tìm z tr $ng h p sau: z2 + 2z + a) z = z +1 b) + i ( − 3i ) z = + 2−i z z z − 2i thu n o z +i d) z + 12i = z z có ph n th c d ng c) z + − 2i = z + + 4i e) z + (1 + 3i ) z = 25 + 21i f) z + z.z + z = z + z = z + 2i z −7 Tính z −i z−2 Bài t p 7: Tìm t p h p bi u bi u di n s ph c z , tr $ng h p sau: a) z + − 2i = z + − 2i b) z − + z + = 10 Bài t p 6: Cho z ∈ th a mãn: z + = n Bài t p 8: Ch ng minh r ng n u a + bi = ( c + di ) a + b = ( c + d ) ∀n ∈ n G i ý: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -38- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S a + bi = ( c + di ) PH C n Luy n thi a + bi = ( c + di ) a + b2 = ( c2 + d ) n a + bi = ( c + di ) n = ( c + di ) i H c 2015 2n n Bài t p 9: a) Tìm b, c ph ng trình z + bz + c = nh n z = + i m t nghi m b) Gi i ph ng trình z − z + z − z − 16 = Bài t p 10: Tìm s a, b, c th a mãn z − (1 + i ) z + (1 + i ) z − 8i = ( z − ) ( z + bz + c ) T ó gi i ph ng trình z − (1 + i ) z + (1 + i ) z − 8i = Bài t p 11: Cho α = cos G i ý: G i $ = r ( cos % + i sin % ) 2π 2π + i sin Tìm s ph c β th a mãn β = α 3 $ = r ( cos3% + i sin 3% ) 2& 2& + i sin Ta có: r ( cos3% + i sin 3% ) = cos 3 r=33 r=33 ⇔ 2& 2& k 2& 3% = + k 2& %= + 2009 Bài t p 12: Gi i ph ng trình (1 + i ) z + 2i = z − 2008 (1 − i ) z + (1 − 2i ) z + (1 − i ) z − 2i = Bài t p 13: Gi i ph ng trình , bi t r ng ph trình có m t nghi m thu n o 2010 2008 2006 Bài t p 14: Ch ng minh r ng (1 + i ) = 4i (1 + i ) − (1 + i ) Bài t p 15: ( THTT 2012) Cho z ∈ ng th a mãn: z − z = ( −1 + 2i ) Tính z + z 24 5π 5π Bài t p 16: ( THTT 2010) Ch ng minh s ph c z = + cos + i sin 6 b ng có ph n o z + − 5i = z +3−i Bài t p 18: Tìm t p h p bi u bi u di n s ph c z bi t z + + z − = Bài t p 17: ( THTT 2010) Tìm s ph c z có mơ un nh nh#t th a mãn Bài t p 18: Tìm t p h p bi u bi u di n s ph c z + − i , bi t z + i ≤ z.z + 1 = , tính S = z 2011 + 2011 z z Bài t p 20: Tìm m ph ng trình sau ây có úng m t nghi m ph c: 2 z + ( i − 2m ) z + ( m − 2m − 2mi ) z + m 2i − 2mi = , bi t r ng ph ng trình có m t nghi m Bài t p 19: Cho s ph c z th a mãn z + thu n o Bài t p 21: a) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c: z = + i + i + 2i + 3i + + 2011i 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -39- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 b) Cho s ph c z = − 3i Hãy tính ph n th c, ph n o c a z 4n , bi t r ng n ∈ * log log ( n − n + ) = ( n − 2n + ) th a mãn: n − 2n + + 3 G i ý: a) Ta có z − iz = + i + + i 2012 − 2011i 2013 = 1+ i (1 − i 2010 ) − 2011i = − z (1 − i ) 2i − 2011i = − 2012i 1− i 1− i − 2012i z= = 1007 − 1005i 1− i V y ph n th c c a z b ng 1007 ph n o c a z b ng −1005 b) t t = n − 2n + , ta c ph ng trình 3t + 4t = 5t t=2 Suy ra: z12 = cos − 2π 2π + i sin − 3 n = 3∈ * 12 = 212 cos ( −4π ) + 212 i sin ( −4π ) = 212 V y ph n th c c a z12 b ng 212 ph n o c a z12 b ng Bài t p 22: Tìm t p h p i m m t ph ng bi u di n s ph c z cho th c G i ý: G i z = a + bi ( a, b ∈ Ta có: ) z +i s z +i z = a − bi a + (1 − b ) + 2abi a + ( b + 1) i a + (1 − b ) i z + i a + bi + i a + ( b + 1) i = = = = ∈ 2 z + i a − bi + i a + (1 − b ) i a + (1 − b ) a + (1 − b ) a=0 2ab = ⇔ a + (1 − b ) i ≠ ⇔ b=0 a≠0 b ≠1 K t lu n: V y t p h p i m bi u di n s ph c z nh)ng i m n m hai tr'c t a lo i i m ( 0;1) Bài t p 23: Tìm s ph c z có mơ un b ng cho z − + 2i nh nh#t THI T P CHÍ TỐN H$C TU4I TR5 01: THTT 01/2014 1) Tìm s ph c z có mơ un nh nh#t, bi t r ng: z − + i = z + − i 2) Tìm s ph c z có mơ un nh nh#t, bi t r ng: z − + z + = 02: THTT 12/2013 Trong m t ph ng ph c, cho i m A, B, C, D theo th t bi u di n s ph c ( ) ( ) − + i, − + i, − 3i, − i Ch ng minh r ng: ABCD t giác n i ti p 03: THTT 12/2013 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -40- CLB Giáo viên tr TP Hu , Chuyên S PH C Luy n thi z1 − 3i = iz1 + i H c 2015 2013 Trong t p s ph c, tìm hai s ph c z1 z2 th a mãn: z2 − z12013 = z1 04: THTT 10/2013 Tìm s ph c z th a mãn (1 − 3i ) z s th c z − + 5i = 05: THTT 02/2013 Cho s ph c z th a mãn: z − + 2i = Tìm s ph c w có mơ un l n nh#t, bi t r ng w = z + + i 06: THTT 11/2012 1) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c: z = + i + i + 2i + 3i + + 2011.i 2012 2) Cho s ph c z = − 3i Hãy tính ph n th c ph n o c a z 4n , bi t r ng n ∈ th a mãn: n − 2n + + ( log3 n − n + ) = n − 2n + log ( ) 07: THTT 11/2012 Tìm m ph ng trình sau có úng m t nghi m ph c: z + ( i − 2m ) z + ( m − 2m − 2mi ) z + m 2i − 2mi = 0, bi t r ng ph ng trình có m t nghi m thu n o 08: THTT 06/2012 1) Cho s ph c z th a mãn: z + = i 2011 + i 2012 Tìm mơ un c a s ph c iz + z 2) V i m i s th c a , g i z nghi m ph c c a ph ng trình z − z + a − 2a + = Tìm a z nh nh#t 09: THTT 05/2012 i−z Tìm t#t c s ph c z th a mãn ph ng trình z +i = 10: THTT 03/2012 z1 − z2 = − 2i Gi i h ph ng trình t p h p s ph c: 1 − = − i z2 z1 5 11: THTT 02/2012 2 1) Tìm s ph c z th a mãn: ( z + 1) + ( z + 1) + ( z + ) + = 2) Cho s ph c z = 7−i Tính S = + z + z + + z 2009 − 2i Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -41- CLB Giáo viên tr TP Hu ... ( + ") = ⇔ bán kính + )( ) ) + − $≤ + ≤ $ ≤ -+% $ Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -23- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi =− V y = -−% $ ⇔ C = − $ =− $⇔ + =− i H c 2015 $ % = −... p.c.m ) Ta có: % = - Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -27- CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 TUY/N T P THI H - C QU C GIA Ph n t luy n: 01: Cho s ph c... th a mãn: − = + Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 -29- s ph c Tìm ph n th c ph n o c a s ph c CLB Giáo viên tr TP Hu Chuyên S PH C Luy n thi i H c 2015 TUY/N T P THI H - C QU C GIA Ph n g i